自考线性代数经管类串讲优秀课件

前一式称为 D 按第 i 行的展开式，后一式称为 D 按第 j 列的展开式. 本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.
定理 2
n 阶行列式 D
aij
的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积
n
之和等于零.即 ai1 Ak1 ai2 Ak 2 ain Akn 0(i k )
abbb babb 例 2 计算行列式 D4 b b a b bbba
解：方法 1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取 0
值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为 a 3b （我们把它称为行和相 同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子 a 3b ，再将后三行都减
定理 1（行列式展开定理）
n
阶行列式 D
aij
等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即
n
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain (i 1,2,, n)
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1,2,, n)
ann 0 0
wk.baidu.com a11a22 ann
ann
（二）行列式的性质
性质 1 行列式和它的转置行列式相等，即 D DT
性质 2 用数 k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD，也就是说，行 列式可以按行和列提出公因数.
性质 3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号. 推论 1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零. 推论 2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 性质 4 行列式可以按行（列）拆开. 性质 5 把行列式 D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元 素上去，所得的行列式仍为 D.
a31 a32 a33
3
3
我们把它称为 D3 按第一列的展开式，经常简写成 D3 ai1 Ai1 (1)i1 ai1M i1
i 1
i 1
4．n 阶行列式
一阶行列式 D1 a11 a11
n 阶行列式
a11 a12 a1n
Dn
a21 a22a2n
a11 A11 a21 A21 an1 An1
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
2．三阶行列式
a11 a12 a13 由 9 个数 aij (i, j 1,2,3) 得到下列式子： a21 a22 a23
a31 a32 a33
称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递 归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.
或 a1 j A1s a2 j A2s anj Ans 0( j s)
（三）行列式的计算
行列式的计算主要采用以下两种基本方法：
（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是， 在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子 k 时，必须在新的 行列式前面乘上 k.
， M 21
a12 a32
a13 a33
， M 31
a12 a22
a13 a23
再记 Aij (1)i j Mij ，称 Aij 为元素 aij 的代数余子式.
例如 A11 M11 ， A21 M 21 ， A31 M 31
那么 ，三阶行列式 D3 定义为
a11 a12 a13 D3 a21 a22 a23 a11 A11 a21 A21 a31 A31
（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是 利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：
2141 3 1 2 1 例 1 计算行列式 D4 5 2 3 2 7025
解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是 a12 1 ，利用这个元素可以把这一
an1 an2 ann
其中 Aij (i, j 1, 2, , n) 为元素 aij 的代数余子式.
5．特殊行列式
a11 a12
0
上三角行列式
a22
00
a11 0 下三角行列式 a21 a22
对角行列式
an1 an2
a11 0 0 a22
00
a1n a2n a11a22 ann
ann 0 0
a11a22 ann
自考线性代数经管 类串讲
第一章 行列式
（一）行列式的定义
行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按 一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.
1．二阶行列式
由
4
个数
aij
(i,
j
1,2)
得到下列式子：
a11 a21
a12 称为一个二阶行列式，其运算规则为 a22
去第一行：
a b b b a 3b b b b
1b b b
b a b b a 3b a b b
1a b b
(a 3b)
b b a b a 3b b a b
1b a b
b b b a a 3b b b a
1b b a
1b bb
(a 3b) 0 a b 0 0 0 0 ab 0
0 0 0 ab
3．余子式及代数余子式
设有三阶行列式
a11 a12 a13 D3 a21 a22 a23
a31 a32 a33
对任何一个元素 aij ，我们划去它所在的第 i 行及第 j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，
称它为元素 aij 的余子式，记成 M ij
例如
M 11
a22 a32
a23 a33
列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开.
2141
2141
3 1 2 1 2行 11行 5 D4 5 2 3 2 3行 (2) 1行 1
062 0 5 0
56 按第二列展开 1 5
2 0
7025
7025
725
5 31 2
2列 51列 1
0
0 按第二行展开 31
2 81
37 5
7 37 5
(a 3b)(a b)3
方法 2 观察到这个行列式每一行元素中有多个 b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与 D4
有相同值的五阶行列式：