自考线性代数经管类串讲优秀课件
(完整版)第一章自考线性代数精讲
10 2020/6/16 线性代数 Hainan University
第一章 行列式
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）
由方程组的四个系数确定.
3 2020/6/16 线性代数 Hainan University
D2
a11 a21
b1 . b2
8 2020/6/16 线性代数 Hainan University
第一章 行列式
第一章 行列式
则二元线性方程组的解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
注意 分母都为原方程组的系数行列式.
a11 x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .
D a11 a12 , a21 a22
(完整版)自考线性代数全套课件
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
x12 2x1 x2 2x1 x3 2x22 5x32 6x2 x3
15
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3
2 5
2 45
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
16
于是所求正交变换为
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2 A E 2 14
2 4
182
9
2 4 14
14
从而得特征值 1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将1 9代入A E x 0,得基础解系
1 (1 2,1,1)T .
x Cy
9
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
定理1 任给可逆矩阵C ,令B C T AC ,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
将2 3 18代入A E x 0,得基础解系
线性代数经管类(课堂PPT)
0a 0 2.计算 D b c d .
0e0
三、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 1 a 1 a 2 3 a 3 12 a 1 a 2 3 a 3 2 1 a 1 a 2 1 a 3 3 2 a 1 a 2 2 a 3 13
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积． （3）正负项各占一半.
1 2 -4 例1 计算三阶行 D列 -2式 2 1
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
线性代数
主讲：刘 群
海口经济学院继教学院
2014.5.11---2014.6.22
目录
第一章 行列式 第二章 矩 阵 第三章 向量空间 第四章 线性方程组 第五章 特征值与特征向量 第六章 实二次型
第一章 行列式
行列式是为了求解线性方程组而引入 的，但在线性代数和其它数学领域以及工 程技术中，行列式是一个很重要的工具。 本章主要介绍行列式的定义、性质及其计 算方法。
主对角线 a11
次对角线
a 21
a12 a11a22a12a21.
a 22
说明 （1）二阶行列式共有 2 项，即 2 ! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的 乘积． （3）正负项各占一半.
（4）行列式的本质是数.
例如 1 3
线性代数自考(经管类)
3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.
4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型.
5.范德蒙行列式的计算公式
例6求4阶行列式的值.
测试点 行列式的计算
解
测试点 个维向量线性无关相应的行列式;
解
所以 且.
答案 且.
2. 关于线性相关的几个定理
1) 如果向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.
矩阵的加、减、乘有意义的充分必要条件
例1设矩阵,， ，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）
A． B．
C． D．
测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件
答案: B
例2设矩阵， ，则 =_____________.
测试点: 矩阵运算的定义
解 .
例3设矩阵， ，则____________.
3．转置 对称阵和反对称阵
1）转置的性质
2）若，则称为对称（反对称）阵
例4矩阵为同阶方阵，则=（ ）
A． B．
C． D．
答案: B
例5设令,试求.
测试点 矩阵乘法的一个常用技巧
解 因为,所以
答案
例6为任意阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）
1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件：
1）定义: 设是一组维向量.如果存在个不全为零的数，使得
,
则称向量组线性相关，否则，即如果，必有
，则称向量组线性无关.
2) 个维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.即线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.
线性代数（经管类）串讲资料
线性代数（经管类）串讲资料《线性代数》（经管类）串讲资料第四部分考点串讲（按标准试卷题序串讲）一、单项选择题： 1、行列式的计算本题型为历年必考题型，其有两种形式一种直接解答，考查其运算能力，其次是考查如何利用性质求行列式解，应掌握这两种方法：1）利用传统的计算方法直接计算；2）利用性质巧计算，主要性质有：①行列式和它的转置行列式相等；②行列式可以按行列提出公因数；③互换行列式中的任意两行（列），行列式的值改变符号；④如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零⑤行列式或以按行（列）拆开⑥把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上去，所得行列式值不变。
2、字母型行列式计算本题型主要考查考生利用矩阵行列式公式能力，主要涉及公式有：1）|KA|=K n |A|2）||||||B A AB3）||||A A T=45）1|||*|-=n A A3、考查方阵的性质及公式，主要是会灵活运用公式，主要有以下公式：1）A A =--11)(23）111)(---=A B AB4）TT A A )()(11--=5）kk A A )()(11--=4、考查伴随矩阵的求法1）求件随机矩阵先求出各元素的代数佘子式，再把每行对应的代数佘子代换成对应的例。
25、求方阵的逆距阵：求方阵的逆矩阵也有两种方法，根据实际情况选定：1A* 2）利用初等行变换求逆矩阵6、向量组线性相关和线性无关的考查这种题型有两种考法1）利用线性相关这一已知条件可实数：如若向量组)1,0,0()0,2,1()0,1,1(2321+==+=t a a t a 线性相关，则实数t 为多少？解：因为已知向量组线性相关所以有1=∴t2）根据线性相关和线性无关性质关断某些推断的正确和否如：已知量组4324321,,,,,,:ααααααα中A 线性相关，那么4321,,,:ααA 线性无关，B 、4321,,,αααα线性相关 C 、4321,,αααα可由线性表示 D 、43αα，线性无关根据线性相关组的扩充向量组必为相关组，所以造B 7）考查A 和B 相似性质：设立A 和B 是两个n 阶方阵，如果存在某个n 阶可逆矩阵P 使得APP B 1-=则称A 和B 是相似的，记为B A ~ A 和B 相似有：① trA=trB②|A|=|B|8、考查线性方程组的解法： 1）齐次线性方程组的解：①若21.εε是齐次线性方程组0=Ax 的解，则21εε+也是0=Ax 的解②若ε是齐次线性方程组0=Ax 的解，k 是任意实数，则k ε也是0=Ax 的解。
线性代数总复习讲义PPT课件
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
数学三《线性代数》基础知识串讲课件
第五章 特征值与特征向量
1、矩阵的特征值与特征向量 定义 求法 性质
2、相似矩阵 定义 性质
3、矩阵的对角化 判定 步骤
4、向量的内积 定义 性质 向量的长度 正交向量组 施密特正交化 正交矩阵
5、实对称矩阵的对角化 实对称矩阵的性质 实对称的对角化的步骤
第六章 二次型
1、二次型的概念 定义 矩阵 秩
2、线性替换 3、矩阵的合同
定义 性质 4、二次型的标准形
定义 求法
5、二次型的规范形 定义 求法
6、二次型的正定性 定义 判定
Hale Waihona Puke 2、向量的运算 加减法 数乘
3、线性组合 定义 性质
4、向量组的等价 定义 性质
5、线性相关与线性无关 定义 性质
6、向量组的极大无关组 定义 性质 求法
7、向量组的秩 定义 性质 矩阵的行秩与列秩 求法
第四章 线性方程组
1、线性方程组的概念 齐次和非齐次
2、解的判定 非齐次和齐次
3、解法 消元法
数学归纳法、加边法） 特殊行列式（对称行列式、范德蒙德行列式、奇数阶反对称行列式）
6、克莱姆法则 内容及推论
第二章 矩阵
1、矩阵的概念 定义 方阵 零矩阵 负矩阵 矩阵相等 行、列矩阵
2、矩阵的运算 加减法 数乘 乘法 幂 转置
3、特殊矩阵 上、下三角矩阵 对角矩阵 数量矩阵 单位矩阵 对称矩阵 反对称矩阵
数学三《线性 代数》基础知
识串讲课件
历年数学三《线性代数》分值统计
第一章 行列式
1、二、三阶行列式
2、排列与逆序 n级排列 逆序 逆序数 奇偶排列 对换
3、n阶行列式的定义 三种定义 特殊行列式（上下三角、对角）
线性代数(经管类)讲义
高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。
所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。
行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。
1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
例如）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。
（二）n阶行列式符号：它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。
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或 a1 j A1s a2 j A2s anj Ans 0( j s)
（三）行列式的计算
行列式的计算主要采用以下两种基本方法：
（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是， 在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子 k 时，必须在新的 行列式前面乘上 k.
abbb babb 例 2 计算行列式 D4 b b a b bbba
解：方法 1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取 0
值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为 a 3b （我们把它称为行和相 同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子 a 3b ，再将后三行都减
3．余子式及代数余子式
设有三阶行列式
a11 a12 a13 D3 a21 a22 a23
a31 a32 a33
对任何一个元素 aij ，我们划去它所在的第 i 行及第 j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，
称它为元素 aij 的余子式，记成 M ij
例如
M 11
a22 a32
a23 a33
前一式称为 D 按第 i 行的展开式，后一式称为 D 按第 j 列的展开式. 本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.
定理 2
n 阶行列式 D
aij
的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积
n
之和等于零.即 ai1 Ak1 ai2 Ak 2 ain Akn 0(i k )
定理 1（行列式展开定理）
n
阶行列式 D
aij
等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即
n
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain (i 1,2,, n)
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1,2,, n)
a31 a32 a33
3
3
我们把它称为 D3 按第一列的展开式，经常简写成 D3 ai1 Ai1 (1)i1 ai1M i1
i 1
i 1
4．n 阶行列式
一阶行列式 D1 a11 a11
n 阶行列式
a11 a12 a1n
Dn
a21 a22a2n
a11 A11 a21 A21 an1 An1
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
2．三阶行列式
a11 a12 a13 由 9 个数 aij (i, j 1,2,3) 得到下列式子： a21 a22 a23
a31 a32 a33
称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递 归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.
ann 0 0
a11a22 ann
ann
（二）行列式的性质
性质 1 行列式和它的转置行列式相等，即 D DT
性质 2 用数 k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD，也就是说，行 列式可以按行和列提出公因数.
性质 3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号. 推论 1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零. 推论 2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 性质 4 行列式可以按行（列）拆开. 性质 5 把行列式 D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元 素上去，所得的行列式仍为 D.
自考线性代数经管 类串讲
第一章 行列式
（一）行列式的定义
行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按 一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.
1．二阶行列式
由
4
个数
aij
(i,
j
1,2)
得到下列式子：
a11 a21
a12 称为一个二阶行列式，其运算规则为 a22
列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开.
2141
2141
3 1 2 1 2行 11行 5 D4 5 2 3 2 3行 (2) 1行 1
062 0 5 0
56 按第二列展开 1 5
2 0
7025
7025
725
5 31 2
2列 51列 1
0
0 按第二行展开 31
2 81
37 5
7 37 5
(a 3b)(a b)3
方法 2 观察到这个行列式每一行元素中有多个 b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与 D4
有相同值的五阶行列式：
， M 21
a12 a32
a13 a33
， M 31
a12 a22
a13 a23
再记 Aij (1)i j Mij ，称 Aij 为元素 aij 的代数余子式.
例如 A11 M11 ， A21 M 21 ， A31 M 31
那么 ，三阶行列式 D3 定义为
a11 a12 a13 D3 a21 a22 a23 a11 A11 a21 A21 a31 A31
（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是 利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：
2141 3 1 2 1 例 1 计算行列式 D4 5 2 3 2 7025
解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是 a12 1 ，利用这个元素可以把这一
an1 an2 ann
其中 Aij (i, j 1, 2, , n) 为元素 aij 的代数余子式.
5．特殊行列式
a11 a120上 Nhomakorabea角行列式
a22
00
a11 0 下三角行列式 a21 a22
对角行列式
an1 an2
a11 0 0 a22
00
a1n a2n a11a22 ann
ann 0 0
a11a22 ann
去第一行：
a b b b a 3b b b b
1b b b
b a b b a 3b a b b
1a b b
(a 3b)
b b a b a 3b b a b
1b a b
b b b a a 3b b b a
1b b a
1b bb
(a 3b) 0 a b 0 0 0 0 ab 0
0 0 0 ab