函数的平均变化率和瞬时变化率教学教案
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明一、教学目标1. 让学生理解平均变化率的定义及其几何意义。
2. 培养学生运用导数概念理解实际问题中的变化率。
3. 训练学生运用极限思想分析问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 平均变化率的定义：引入变化率的概念，解释平均变化率的含义。
2. 平均变化率的计算：讲解如何计算函数在某一区间的平均变化率。
3. 平均变化率与导数的关系：阐述导数的几何意义，引导学生理解导数与平均变化率之间的联系。
三、教学重点与难点1. 教学重点：平均变化率的定义及其计算方法。
2. 教学难点：导数与平均变化率之间的关系。
四、教学方法与手段1. 教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、讨论法等，引导学生主动探究、合作学习。
2. 教学手段：利用多媒体课件、板书、图形等辅助教学。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生关注变化率的概念。
2. 讲解平均变化率：给出平均变化率的定义，解释其几何意义。
3. 演示计算平均变化率：利用多媒体课件，展示计算过程。
4. 分析导数与平均变化率的关系：引导学生理解导数与平均变化率的联系。
5. 巩固练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 布置作业：设计课后作业，巩固所学知识。
教案说明：本教案以学生为主体，注重培养学生的动手操作能力、思考能力和合作精神。
在教学过程中，教师应关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，引导学生运用所学知识解决实际问题。
通过案例分析、讨论等形式，激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度。
在教学内容上，重点讲解平均变化率的定义和计算方法，引导学生理解导数与平均变化率之间的关系。
在教学手段上，充分利用多媒体课件和板书，直观展示概念和计算过程，有助于学生更好地理解和掌握知识。
六、教学拓展1. 引导学生思考实际生活中的其他例子，运用平均变化率解释。
2. 探讨平均变化率在物理学、经济学等领域的应用。
七、课堂互动1. 提问环节：在学习过程中，鼓励学生提问，解答学生疑问。
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解平均变化率的概念，掌握平均变化率的计算方法，并能应用于实际问题中。
通过本教案的学习，学生将能够：1. 理解平均变化率的定义和意义；2. 掌握平均变化率的计算公式；3. 应用平均变化率解决实际问题。
教案内容：一、导入1. 引导学生回顾函数的定义，强调函数的输入输出关系；2. 引入“变化率”的概念，引导学生思考函数在某一点处的变化率是什么；3. 提问：如何描述函数在某一段区间内的变化情况？二、平均变化率的定义1. 给出平均变化率的定义：函数在区间[a, b]上的平均变化率定义为(f(b) f(a)) /(b a)；2. 解释平均变化率的含义：平均变化率表示函数在区间[a, b]上的平均变化速度；3. 强调平均变化率是对函数变化情况的宏观描述。
三、平均变化率的计算1. 引导学生思考如何计算函数在某一段区间上的平均变化率；2. 给出计算公式：函数在区间[a, b]上的平均变化率= (f(b) f(a)) / (b a)；3. 举例说明如何计算具体函数的平均变化率。
四、应用1. 引导学生思考平均变化率在实际问题中的应用；2. 举例说明如何利用平均变化率解决实际问题，如物体运动的速度变化、物价变化的分析等；3. 引导学生尝试自己解决一个实际问题，如计算某商品价格在一段时间内的平均变化率。
五、总结与评价1. 总结本节课的重点内容：平均变化率的定义、计算方法和实际应用；2. 强调平均变化率的概念在实际问题中的重要性；3. 鼓励学生课后思考更多与平均变化率相关的问题，拓展思维。
教学评价：本教案通过导入、讲解、应用和总结等环节，引导学生逐步理解平均变化率的概念，掌握计算方法，并应用于实际问题中。
在教学过程中，教师应关注学生的理解情况，及时解答学生的疑问，并通过举例和练习等方式巩固学生的知识。
通过本教案的实施，学生将能够掌握平均变化率的基本概念和应用方法。
六、案例分析1. 提出案例：分析某商品价格在一段时间内的变化情况；2. 引导学生运用平均变化率的概念和计算公式进行分析；3. 演示如何根据商品价格的变化数据计算平均变化率；4. 解释平均变化率在分析商品价格变化中的作用。
导数——平均变化率与瞬时变化率
导数——平均变化率与瞬时变化率本讲教育信息】⼀. 教学内容：导数——平均变化率与瞬时变化率⼆. 本周教学⽬标：1、了解导数概念的⼴阔背景，体会导数的思想及其内涵．2、通过函数图象直观理解导数的⼏何意义．三. 本周知识要点：（⼀）平均变化率1、情境：观察某市某天的⽓温变化图2、⼀般地,函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．（⼆）瞬时变化率——导数1、曲线的切线如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上⼀点作割线PQ，当点Q 沿着曲线c⽆限地趋近于点P，割线PQ⽆限地趋近于某⼀极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线割线PQ的斜率为，即当时，⽆限趋近于点P的斜率．2、瞬时速度与瞬时加速度1）瞬时速度定义：运动物体经过某⼀时刻（某⼀位置）的速度，叫做瞬时速度.2）确定物体在某⼀点A处的瞬时速度的⽅法：要确定物体在某⼀点A处的瞬时速度，从A点起取⼀⼩段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表⽰物体经过A点的瞬时速度.当位移⾜够⼩时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度．我们现在已经了解了⼀些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律⽤函数表⽰为s＝s（t），也叫做物体的运动⽅程或位移公式，现在有两个时刻t0，t0+Δt，现在问从t0到t0+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs＝s（t0+Δt）－s（t0）（Δt称时间增量）平均速度根据对瞬时速度的直观描述，当位移⾜够⼩，现在位移由时间t来表⽰，也就是说时间⾜够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t0到t0+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt⾜够短，就是Δt⽆限趋近于0．当Δt→0时，位移的平均变化率⽆限趋近于⼀个常数，那么称这个常数为物体在t＝ t0的瞬时速度同样，计算运动物体速度的平均变化率，当Δt→0时，平均速度⽆限趋近于⼀个常数，那么这个常数为在t＝ t0时的瞬时加速度．3、导数3、导数设函数在（a,b）上有定义，．若⽆限趋近于0时，⽐值⽆限趋近于⼀个常数A，则称f（x）在x＝处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作．⼏何意义是曲线上点（）处的切线的斜率．导函数（导数）：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每⼀个，都对应着⼀个确定的导数，从⽽构成了⼀个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作．【典型例题】例1、⽔经过虹吸管从容器甲中流向容器⼄，t s后容器甲中⽔的体积（单位：），计算第⼀个10s内V的平均变化率．解：在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为即第⼀个10s内容器甲中⽔的体积的平均变化率为．例2、已知函数，，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数及的平均变化率．解：函数在[－3，－1]上的平均变化率为在[－3,－1]上的平均变化率为函数在[0，5]上的平均变化率为在[0，5]上的平均变化率为例3、已知函数，分别计算函数在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率．解：函数在区间[1，3]上的平均变化率为函数在[1，2]上的平均变化率为函数在[1，1.1]上的平均变化率为函数在[1，1.001]上的平均变化率为例4、物体⾃由落体的运动⽅程s＝s（t）＝gt2，其中位移单位m，时间单位s，g＝9.8 m/s2. 求t＝3这⼀时段的速度.解：取⼀⼩段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs＝g（3+Δt）2－g·32＝（6+Δt）Δt，平均速度g（6+Δt）当Δt⽆限趋于0时，⽆限趋于3g＝29.4 m/s．例5、已知质点M按规律s＝2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），（1）当t＝2，Δt＝0.01时，求.（1）当t＝2，Δt＝0.01时，求.（2）当t＝2，Δt＝0.001时，求.（3）求质点M在t＝2时的瞬时速度.分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，即平均速度，当Δt越⼩，求出的越接近某时刻的速度.解：∵＝4t+2Δt∴（1）当t＝2，Δt＝0.01时，＝4×2+2×0.01＝8.02 cm/s．（2）当t＝2，Δt＝0.001时，＝4×2+2×0.001＝8.002 cm/s．（3） Δt0，（4t+2Δt）＝4t＝4×2＝8 cm/s例6、曲线的⽅程为y＝x2+1，那么求此曲线在点P（1，2）处的切线的斜率，以及切线的⽅程．解：设Q（1+，2+），则割线PQ的斜率为：斜率为2∴切线的斜率为2．切线的⽅程为y－2＝2（x－1），即y＝2x．【模拟试题】1、若函数f（x）＝2x2+1，图象上P（1,3）及邻近点Q（1+Δx,3+Δy），则＝（）A. 4B. 4ΔxC. 4+2ΔxD. 2Δx2、⼀直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么时，为（）A. 从时间到时，物体的平均速度；B. 在时刻时该物体的瞬时速度；C. 当时间为时物体的速度；D. 从时间到时物体的平均速度3、已知曲线y＝2x2上⼀点A（1，2），求（1）点A处的切线的斜率.（2）点A处的切线⽅程.4、求曲线y＝x2+1在点P（－2，5）处的切线⽅程．5、求y＝2x2+4x在点x＝3处的导数．6、⼀球沿⼀斜⾯⾃由滚下，其运动⽅程是s＝s（t）＝t2（位移单位：m，时间单位：s），求⼩球在t＝5时的瞬时速度7、质点M按规律s＝2t2+3做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s），求质点M在t＝2时的瞬时速度．【试题答案】1、B2、B3、解：（1）时，k＝∴点A处的切线的斜率为4.（2）点A处的切线⽅程是y－2＝4（x－1）即y＝4x－24、解：时，k＝∴切线⽅程是y－5＝－4（x+2），即y＝－4x－3.5、解：Δy＝2（3+Δx）2+4（3+Δx）－（2×32+4×3）＝2（Δx）2+16Δx，＝2Δx+16∴时，y′|x＝3＝166、解：时，瞬时速度v＝（10+Δt）＝10 m/s.∴瞬时速度v＝2t＝2×5＝10 m/s.7、解：时，瞬时速度v＝＝（8+2Δt）＝8cm/s。
《3.1.1函数的平均变化率》教学案1
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 《3.1.1函数的平均变化率》教学案1 《《3. .1. .1 函数的平均变化率》教学案教学目标：1、知识目标：通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念；掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率；理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用为下一节导数概念的学习打好基础. 2、能力目标：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景数学表示应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力. 3、情感目标：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质.并养成学生探究总结型的学习习惯. 教学重点：函数自变量的增量、函数值的增量的理解教学难点：函数平均变化率的理解. 教学过程：一、引入：1、情境设置：(图片)巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片 2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来1 / 5反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题. 二、例举分析：(一)登山问题例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点，H是山顶，登山路线用y=f(x)表示 HD1 D Fy 问题：当自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？分析：1、选取平直山路AB放大研究若 ) , ( ), , (1 1 0 0y x B y xA 自变量x的改变量：0 1x x x = 函数值y的改变量：0 1y y y = 直线AB的斜率：xyx xy yk==0 10 1 说明：当登山者移动的水平距离变化量一定( x 为定值)时，垂直距离变化量( y )越大，则这段山路越陡峭； 2、选取弯曲山路CD放大研究方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD 1 的陡峭程度可用直线CD 1 的斜率表示.(图略) 结论：函数值变化量( y )与自变量变化量 ) ( x 的比值xy反映了山坡的陡峭程度.各段的xy不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在这段山路上的平均变化量不同.当xy越大，说明山坡高度的平均变化量越大，所以山坡就越陡；当xy越小，说明山坡高度的平---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------均变化量小，所以山坡就越缓.所以，k kk kx xx f x fxy=++11) ( ) (高度的平均变化成为度量山的陡峭程度的量，叫做函数f(x)的平均变化率. 三、函数的平均变化率与应用. 1、定义：已知函数 ) ( x f y = 在点0x x = 及其附近有定义，令0x x x = ；B ) , (1 1y x A( ) ,0 0y x 0x0y1x1yO y x ) ( ) ( ) ( ) (0 0 0 0x f x x f x f x f y y y + = = = .则当 0 x 时，比值xyxx f x x f= + ) ( ) (0 0叫做函数 ) ( x f y = 在0x 到x x +0之间的平均变化率. 2、例题解析例1.求2x y = 在0x 到x x +0之间的平均变化率. 解：当自变量从0x 变到 x x +0时，函数的平均变化率为x xxx x xxxf x x f + = += +02020 0 02) ( ) ( ) (.当 x 取定值，0x 取不同数值时，该函数的平均变化率也不一样.可以由图看出变化. 例2.求xy1= 在0x 到 x x +0之间的平均变化率. 解：当自变量从0x 变到 x x +0时，函数的平均变化率为0 00 0 0 0) (11 1) ( ) (x x x xx x xxx f x x f + = += + 变式：某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：天气热得太快了！但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃．而人们却不会发出上述感叹.这3 / 5是什么原因呢？原来前者变化得太快，而后者变化得缓慢. 问题：当自变量t表示由3月18日开始计算的天数，T表示气温，记函数 ) (t g T = 表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情况应当怎样表示？分析：如图：1、选择该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较， C T t01 . 15 5 . 3 6 . 18 , 30 = = = ，由此可知 5033 . 0 tT； 2、选择该市2004年4月18日最高气温18.6 0 C与4月20日33.4 0 C进行比较 C T t08 . 14 6 . 18 4 .33 , 2 = = = ，由此可知 4 . 7 tT 结论：函数值的平均变化率tT反映了温度变化的剧烈程度. 各段的tT不同反映了温度变化的剧烈程度不同，也就是气温在这段时间内的平均变化量不同.当tT越大，说明气温的平均变化量越大，所以升温就越快；当tT越小，说明气温的平均变化量小，所以升温就越缓. 四、课堂练习：甲乙二人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图 (1)(2)所示，试问：(1)甲乙二人哪一个跑得快？ (2)甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快甲乙路程 y 甲乙100m 2030 342102030A(1,3.5) B(32, 18.6) 0C(34, 33.4) T(℃) t(天)2 10 五、课堂小结：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ (1) (2)5 / 5。
《平均变化率与瞬时变化率》示范公开课教案【高中数学北师大】
第二章导数及其应用2.1 平均变化率与瞬时变化率1. 从实例分析中理解平均变化率和瞬时变化率的意义，会求简单函数在某一区间的平均变化率和在某一点处的瞬时变化率；2. 领会从平均变化率到瞬时变化率的逼近过程，使学生体会、理解平均变化率与瞬时变化率的联系．重点：函数在某一点处的瞬时变化率．难点：从平均变化率到瞬时变化率的逼近．一、新课导入问题1：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图：比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？答案：①根据图象可以看出在这两段时间下降的体温一样多；②这两段时间的长度不一样，因此在20 min到30 min这段时间内，体温变化较快．我们可以用单位时间内的变化情况来刻画快慢；如，在0 min到20 min这段时间内，单位时间体温变化为：38.5−3920−0=−0.520=−0.025(℃/min)，在20 min到30 min这段时间内，单位时间体温变化为：38−38.530−20=−0.510=−0.05(℃/min)，单位时间里，20 min到30 min这段时间内提问变化量大，这段时间内的体温变化就快．二、新知探究平均变化率：对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为 f(x2)，它在◆教学目标◆教学过程◆教学重难点◆区间[x1，x2]的平均变化率=f(x2)−f(x1)x2−x1．通常我们把自变量的变化x2−x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)−f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx =f(x2)−f(x1)x2−x1用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．问题2：函数平均变化率有怎样的几何意义？答案：函数的平均变化率的几何意义是函数图象上过P(x1，f(x1))， Q (x2，f(x2))两点的直线的斜率(如图)，即k PQ=ΔyΔx =f(x2)−f(x1)x2−x1．设计意图：通过学生熟悉的生活体验，提炼出数学模型，归纳出函数平均变化率的概念，让学生体会“数学来源于生活”，感知如何探讨问题的本质，学会用数学语言和数学观点分析问题.如果一块岩石突然松动，从峭壁顶上垂直下落，请估算岩石在时刻t=5s时的速度．问题３：用数学语言表达岩石下落过程中的平均速度答案：下落的岩石是自由落体，由物理学知识可得ℎ=12gt2，其中ℎ是下落高度，t是时间．于是，取一小段时间由t1到t2，可得这一小段时间内的平均速度ΔℎΔt =ℎ(t2)−ℎ(t1)t2−t1．追问：你能计算某一时刻的速度吗？答案：我们可以用平均速度逼近某一时刻的速度．若想求t1时刻的速度，当Δt＝t2−t1很小时，t1时刻的速度就可以用[t1，t2]内的平均速度来表示，取t1=5，再取越来越小的Δt，观察一下对应的平均速度的情况，列表如下t2/s t1/s时间t的改变量(Δt=t2−5)/s高度的改变量(Δℎ=12g(t22−52)/m平均速度(ΔℎΔt)/(m/s)4.95−0.1−0.485148.51 4.995−0.01−0.4895148.95 4.9995−0.001−0.048995148.9951速度．从以上的计算可以看出，当时间趋t2于t0=5 s时，平均速度趋于49m/s．瞬时变化率：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1−x0，Δy＝f(x1)−f(x0)，则该函数的平均变化率为ΔyΔx =f(x1)−f(x0)x1−x=f(x+Δx)−f(x)Δx，如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢．问题4：平均变化率与瞬时变化率有什么关系？答案：区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．（2）“Δx趋于0”的含义Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx−0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0．三、应用举例例1 已知函数f(x)=2x2+3x−5，且Δx=1时，求函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx．解因为f(x)=2x2+3x−5，所以Δy＝f(x1+Δx)−f(x1)=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)−5−(2x12+3x1−5)=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx．所以当x1=4，Δx=1时，Δy=2×12+(4×4+3)×1=21，则ΔyΔx =211=21总结：求函数平均变化率的三个步骤：第一步，求自变量的增量Δx=x2−x1；第二步，求函数值的增量Δy=f(x2)−f(x1)；第三步，求平均变化率ΔyΔx．例2. 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示，求物体在t=1s时的瞬时速度．解ΔsΔt =s(1+Δt)−s(1)Δt=(1+Δt)2+(1+Δt)+1−(12+1+1)Δt=3+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于3，即物体在t=1s时的瞬时速度为3 m/s．探究：若例题中的条件不变，试求物体的初速度．解求物体的初速度，即求物体在t=1s时的瞬时速度．∵ΔsΔt =s(0+Δt)−s(0)Δt=(0+Δt)2+(0+Δt)+1−1Δt=1+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于1，即物体在t=1s时的瞬时速度为1 m/s．探究：若例题中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s．解设物体在t0时的瞬时速度为9m/s．又ΔsΔt =s(t0+Δt)−s(t0)Δt=(2t0+1)+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于2t0+1，则2t0+1=9，所以t0=4．则物体在4s时的瞬时速度为9m/s．总结：求函数f(x)在点x=x0处的瞬时变化率的步骤：(1)求Δy=f(x0+Δx)−f(x0)；(2)计算ΔyΔx，并化简，直到当Δx=0时有意义为止；(3)将Δx=0代入化简后的即得瞬时变化率．四、课堂练习1．在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足( )A. Δx>0B. Δx<0C. Δx≠0D. Δx可为任意实数2．函数f(x)=8x−6在区间[m，n]上的平均变化率为_________．3．一质点运动规律是s=t2+3(s的单位为m，t的单位为s），则在t=1 s时的瞬时速度估计是________m/s．参考答案：1．答案C 解析因平均变化率为ΔyΔx，故Δx≠0．2．答案８解析因平均变化率为f(n)−f(m)n−m=8．3．答案2 解析Δs=s(1+Δt)−s(1)=(1+Δt)2+3−(12+3)=2Δt+(Δt)2∴ΔsΔt =2Δt+(Δt)2Δt=2+Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于2．五、课堂小结１.概念：平均变化率，瞬时变化率．２.平均变化率与瞬时变化率的区别与联系：区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx化率，它是一个固定值．六、布置作业教材第52页练习第2，3，4题．。
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案教学目标：1. 理解函数的平均变化率的定义和意义；2. 学会计算函数的平均变化率；3. 能够应用函数的平均变化率解决实际问题。
教学内容：第一章：函数的平均变化率的概念1.1 引入函数的平均变化率的概念1.2 解释函数的平均变化率的含义1.3 举例说明函数的平均变化率的应用第二章：函数的平均变化率的计算2.1 引入计算函数的平均变化率的方法2.2 讲解如何计算函数的平均变化率2.3 给出计算函数的平均变化率的例题第三章：函数的平均变化率的性质3.1 引入函数的平均变化率的性质3.2 讲解函数的平均变化率的性质3.3 给出函数的平均变化率的性质的证明第四章：应用函数的平均变化率解决实际问题4.1 引入应用函数的平均变化率解决实际问题的方法4.2 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题4.3 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题第五章：巩固练习5.1 给出巩固练习的题目5.2 讲解巩固练习的解法5.3 给出巩固练习的答案教学资源：1. 教学PPT；2. 教材或教案；3. 练习题。
教学评估：1. 课堂参与度；2. 练习题的完成情况；3. 学生对函数的平均变化率的理解程度。
教学步骤：Step 1：引入函数的平均变化率的概念（10分钟）1. 讲解函数的平均变化率的定义；2. 举例说明函数的平均变化率的应用。
Step 2：讲解计算函数的平均变化率的方法（15分钟）1. 讲解如何计算函数的平均变化率；2. 给出计算函数的平均变化率的例题。
Step 3：讲解函数的平均变化率的性质（15分钟）1. 讲解函数的平均变化率的性质；2. 给出函数的平均变化率的性质的证明。
Step 4：应用函数的平均变化率解决实际问题（10分钟）1. 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题；2. 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题。
Step 5：巩固练习（15分钟）1. 给出巩固练习的题目；2. 讲解巩固练习的解法；3. 给出巩固练习的答案。
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案一、教学目标1. 让学生理解函数的平均变化率的定义及其几何意义。
2. 培养学生利用导数求函数的平均变化率的能力。
3. 引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。
二、教学内容1. 函数的平均变化率的定义2. 函数的平均变化率的计算3. 函数的平均变化率的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的平均变化率的定义及其计算方法。
2. 教学难点：函数的平均变化率在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数的平均变化率的定义、计算方法及其应用。
2. 利用几何图形和实例，帮助学生形象理解函数的平均变化率。
3. 开展小组讨论，引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：通过举例，如物体在直线运动中的速度变化，引入函数的平均变化率的概念。
2. 新课讲解：讲解函数的平均变化率的定义，引导学生理解函数的平均变化率的几何意义。
讲解如何利用导数求函数的平均变化率，并通过示例进行演示。
3. 案例分析：给出几个实际问题，让学生运用函数的平均变化率进行解决，巩固所学知识。
4. 课堂练习：布置一些有关函数的平均变化率的练习题，让学生独立完成，检测学习效果。
提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
六、课后作业1. 复习本节课的内容，重点掌握函数的平均变化率的定义及其计算方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考并解答拓展问题，提高运用能力。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对函数的平均变化率的理解和应用能力。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、问题解决能力等。
八、教学反思在课后对教学情况进行反思，分析学生的学习效果，针对存在的问题调整教学方法和要求，以提高教学质量。
九、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，辅助讲解函数的平均变化率的概念和计算方法。
《3.1.1函数的平均变化率》教学案3
《3.1.1函数的平均变化率》教学案
教学目标：
1.知识与技能
理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；
2.过程与方法
通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；
3.情感、态度与价值观
感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点：
平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解
教学难点：
平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释
教学关键：
将学生头脑中的感性认知，通过多个事例，在不同的情境下，进行相同的计算程序.由此学生抽象建构出函数平均变化率的概念.并突出知识产生过程中蕴含的数学思想方法，特别是数形结合的数学能力和“以直代曲”的转化能力.
教学过程：
的方法，可以用比值
引导学生先分析平直山路OA段的斜率表示
山路的陡峭程度；再进一步研究曲线的如何表
①从图象上看，
图象，那一段更“陡峭”？
②如何量化曲线在
结论：平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢)，或说在某个区间上
问题1：那个企业的治污效果好一些？
结论：曲线越“陡峭”
化率的绝对值越大
例3：如图所示，已知函数在区间[-1，1]上的平均变化率
问题：结合图象分析用
曲线段的陡峭程度是否准确？。
1.1平均变化率与瞬时变化率(第一课时)
1.1、平均变化率、瞬时变化率第一课时（学案）学习目标：通过对气球半径平均变化率和高台跳水平均速度两个具体模型的学习，体会平均变化率、平均速度是刻化事物变化快慢的量。
明确瞬时速度的含义,通过两个实例分析，经历从平均速度过渡到瞬时速度的探究过程，体会“无限逼近”的方法在如何用平均变化率求瞬时变化率中的作用。
阅读课本2页问题1.气球膨胀率问题，并回答以下问题：品味之1、：如何理解课本中 “随着气球内的空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢”？这句话里涉及到哪几个量？ 和 “气球的半径增加得越来越慢”的含义就是换用数学的角度描述就是“随着体积的增大，比值 越来越小，而这个比值就是 。
品味之2、当空气容量V 1从增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？阅读课本3页问题2.高台跳水问题。
回答以下问题。
品味之3、在高台跳水的例子中，平均速度也是变化率吗？是哪个变量对哪个变量的变化率？ 练一练之1、计算当时间t=4965时，运动员离水面的高度。
练一练之2、计算49650≤≤t 这段时间里的平均速度v 是多少？其物理意义是什么？品味之4、运动员在这段时间里是静止的吗？在4965=t 这一时刻运动员是静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么欠缺吗？练一练之3、那么当运动员在4965 t 时这一瞬间，运动员的实际速度到底是多少呢？瞬时速度的快慢该如何描述 你能设计一种方案计算t=2这一时刻的瞬时速度吗？拓展：这一方案的基本思路和方法你能作一个总结吗？（或者在你的方案中，平均速度与瞬时速度两者之间有联系与区别？）练一练之4、已知一小车自A 点处沿直线方向向B 点处运动，其路程s 与时间t 的关系式为s=12t,试求（1）小车t 1 秒末到t 2秒末内的平均速度 （2）小车在3秒末时的瞬时速度是多少？你是如何确定的？简述你的方案。
练一练之5、如图设正方形的边长为x ，设其面积为s ，当边长x变化时，其面积s 也会随之变化，猜测其面积s 变化率的变化规律是什么？并设计一个方案证明你猜测的规律是正确的。
5.1.1变化率问题(教学设计)(人教A版2019选择性必修第二册)
5.1.1变化率问题教学设计一、课时教学内容1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．二、课时教学目标1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系.2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题.3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率.三、教学重点、难点1、教学重点瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法.2、教学难点割线与切线的斜率.四、教学过程设计环节一创设情境，引入课题为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数．刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念．在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑．微积分的创立与处理四类科学问题直接相关．一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等，历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分．导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具．在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想．通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义．5.1导数的概念及其意义在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数函数”比“直线上升”快得多．进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题．5.1.1变化率问题问题1高台跳水运动员的速度探究:在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++．如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快．我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v 近似地描述他的运动状态． 例如，在00.5t ≤≤这段时间里，(0.5)(0)2.35(m /s)0.50h h v -==-；在12t ≤≤这段时间里，(2)(1)9.9(m /s)21h h v -==--一般地，在12t t t ≤≤这段时间里，211221()()4.9() 4.8h t h t v t t t t -==-++-．环节二 观察分析，感知概念 思考:计算运动员在48049t ≤≤这段时间里的平均速度，你发现了什么？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 我们发现，运动员在049t ≤≤这段时间里的平均速度为0．显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态．因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态． 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity ）．探究:瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在1s t =s 时的瞬时速度吗？设运动员在0t 时刻附近某一时间段内的平均速度是v ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v 将越来越趋近于运动员在0t 时刻的瞬时速度． 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想．为了求运动员在1t =时的瞬时速度，我们在1t =之后或之前，任意取一个时刻1t +∆，t ∆是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0．当0t ∆>时，1t +∆在1之后，当0t ∆<时，1t +∆在1之前．当0t ∆>时，把运动员在时间段[1,1]t +∆内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1]t +∆内的平均速度v ，用平均速度v 近似表示运动员在1t =时的瞬时速度．当0t ∆<时，在时间段[1,1]t +∆内可作类似处理．为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表5.1-1）．表5.1-1当0t ∆<时，在时间段[1,1]t +∆内当0t ∆>时，在时间段[1,1]t +∆内t ∆2(1)(1)1(1)4.9()5 4.95h h t v t t tt t-+∆=-+∆∆+∆==-∆--∆t ∆2(1)(1)(1)14.9()5 4.95h t h v t t tt t+∆-=+∆--∆-∆==-∆-∆－0.01 －4.951 0.01 －5.049 －0.001 －4.9951 0.001 －5.0049 －0.0001 －4.99951 0.0001 －5.00049 －0.00001 －4.999951 0.00001 －5.000049 －0.000001－4.9999951 0.000001－5.0000049……观察:给出t ∆更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度v 的值．当t ∆无限趋近于0时，平均速度v 有什么变化趋势？1时，平均速度v 都无限趋近于5-．事实上，由(1)(1)4.95(1)1h t h v t t +∆-==-∆-+∆-可以发现，当t ∆无限趋近于0时， 4.9t -∆也无限趋近于0，所以v 无限趋近于5-．这与前面得到的结论一致．数学中，我们把5-叫做“当t ∆无限趋近于0时，(1)(1)h t h v t+∆-=∆的极限”，记为0(1)(1)lim5t h t h t ∆→+∆-=-∆．从物理的角度看，当时间间隔t ∆无限趋近于0时，平均速度v 就无限趋近于1t =时的瞬时速度．因此，运动员在1s t =时的瞬时速度(1)5m /s v =-． 思考:（1）求运动员在2s t =时的瞬时速度；（2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0t 的瞬时速度？ 解：（1）运动员在2s t =时的瞬时速度2200(2)(2)[ 4.9(2) 4.8()11][ 4.92 4.8211](2)lim lim (2)2t t h t h t t t v t t ∆→∆→+∆--+∆++∆+--⨯+⨯+==+∆-∆lim( 4.914.8)14.8t t ∆→=-∆+=．（2）运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0t 的瞬时速度2200000000000()()[ 4.9() 4.8()11][ 4.9 4.811]()lim lim()t t h t t h t t t t t t t v t t t t t∆→∆→+∆--+∆++∆+--++==+∆-∆000lim( 4.99.8 4.8)9.8 4.8t t t t ∆→=-∆-+=-+．1．求问题1中高台跳水运动员在0.5s t =时的瞬时速度．1．【解析】22(0.5)(0.5)[ 4.9(0.5) 4.8(0.5)11]( 4.90.5 4.80.511)h t h t t +∆-=-+∆++∆+--⨯+⨯+24.9()0.1t t =-∆-∆，所以，00(0.5)(0.5)(0.5)limlim(0.1 4.9)0.1(m /s)t t h t h v t t∆→∆→+∆-==--∆=-∆．所以，高台跳水运动员在0.5s t =时的瞬时速度为0.1m /s -． 2．火箭发射s t 后，其高度（单位：m ）为2()0.9h t t =，求： （1）在12t ≤≤这段时间里，火箭爬高的平均速度； （2）发射后第10s 时，火箭爬高的瞬时速度． 2．【解析】（1）因为22(2)(1)0.920.91 2.7(m /s)21h h v -==⨯-⨯=-，所以在12t ≤≤这段时间里，火箭爬高的平均速度为2.7m /s ；（2）因为222000(10)(10)0.9(10)0.9100.9()18lim lim lim (10)10t t t h t h t t t t t t ∆→∆→∆→+∆-⨯+∆-⨯∆+∆==+∆-∆∆ 0lim(0.11898)t t ∆→=∆+=．所以发射后第10s 时，火箭爬高的瞬时速度18m /s ．3．一个小球从5 m 的高处自由下落，其位移y （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为2() 4.9y t t =-．求1s t =时小球的瞬时速度．3．【解析】由题意知：222000()() 4.9() 4.99.8 4.9()lim lim limt t t y t t y t t t t t t t t t t∆→∆→∆→+∆--+∆+-⋅∆-∆==∆∆∆ 0lim(9.8 4.9)9.8t t t t ∆→=--∆=-，当1s t =时，小球的瞬时速度为s 9.8m /-．环节四 辨析理解，深化概念 问题2抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C ，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线2()f x x =为例进行研究． 探究：你认为应该如何定义抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线？与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线，我们通常在点0(1,1)P 的附近任取一点2(,)P x x ，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况．观察：如图5.1-1，当点2(,)P x x 沿着抛物线2()f x x =趋近于点0(1,1)P 时，割线0P P 有什么变化趋势？我们发现，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0P T 称为抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线． 环节五 概念应用，巩固内化探究我们知道，斜率是确定直线的一个要素．如何求抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线0P T 的斜率0k 呢？从上述切线的定义可见，抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线0P T 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系．记1x x ∆=-①，则点P 的坐标是2(1,(1))x x +∆+∆．于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1)121(1)1f x f x k x x x -+∆-===∆+-+∆-．①x ∆可以是正值，也可以是负值，但不为0．我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0P T 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格（表5.1-2）．表5.1-20x ∆< 0x ∆>x ∆ 2k x =∆+ x ∆ 2k x =∆+ －0.01 1.99 0.01 2.01 －0.001 1.999 0.001 2.001 －0.00011.99990.00012.0001OxyP 0PT2()f x x =－0.00001 1.99999 0.00001 2.00001 －0.0000011.9999990.0000012.000001……观察：利用计算工具计算更多割线0P P 的斜率k 的值，当x ∆无限趋近于0时，割线0P P 的斜率k 有什么变化趋势？近于1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2．事实上，由(1)(1)2f x f k x x+∆-==∆+∆可以直接看出，当x ∆无限趋近于0时，2x ∆+无限趋近于2．我们把2叫做“当x ∆无限趋近于0时，(1)(1)f x f k x+∆-=∆的极限”，记为(1)(1)lim2x f x f x∆→+∆-=∆．从几何图形上看，当横坐标间隔x ∆无限变小时，点P 无限趋近于点0P ，于是割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0P T ．这时，割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0P T 的斜率0k ．因此，切线0P T 的斜率02k =．思考：观察问题1中的函数2() 4.9 4.811h t t t =-++的图象（图5.1-2），平均速度(1)(1)(1)1h t h v t +∆-=+∆-的几何意义是什么？瞬时速度(1)v 呢？环节六 归纳总结,反思提升问题:请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？2() 4.9 4.811h t t t =-++(1,(1))h (1,(1))t h t +∆+∆图5.1-2(1) 平均速度、瞬时速度的概念及其关系。
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解平均变化率的概念，掌握平均变化率的计算方法，并能应用于实际问题中。
通过本教案的学习，学生将能够：1. 理解平均变化率的定义和意义；2. 掌握平均变化率的计算公式；3. 应用平均变化率解决实际问题。
教案内容：一、引言1. 引入话题：讨论物体速度的变化，引导学生思考如何描述速度的变化。
2. 引入平均变化率的概念：速度的变化可以用平均变化率来描述，平均变化率的定义是速度的变化量与时间的比值。
二、平均变化率的定义与计算1. 讲解平均变化率的定义：平均变化率是变化量与变化时间的比值，表示变化的快慢。
2. 给出平均变化率的计算公式：平均变化率= 变化量/ 变化时间。
3. 举例说明：假设一个物体在时间t1时的速度为v1，在时间t2时的速度为v2，速度的平均变化率为(v2 v1) / (t2 t1)。
三、平均变化率的应用1. 问题情境：给出一个物体在不间点的速度，要求学生计算平均变化率。
2. 学生分组讨论：学生分组讨论并计算给定情境下的平均变化率。
3. 集体讨论：各组汇报计算结果，集体讨论并解释结果的意义。
四、巩固练习1. 给出一些实际问题，要求学生计算平均变化率。
2. 学生独立完成练习，教师进行解答和讲解。
五、总结与反思1. 总结平均变化率的定义、计算方法和应用。
2. 学生反思学习过程中的困难和问题，提出疑问并进行解答。
教学资源：1. 教学PPT：用于展示平均变化率的定义、计算公式和应用实例。
2. 练习题：用于巩固学生对平均变化率的理解和应用能力。
教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确性和解题思路。
3. 学生反馈：收集学生对教学内容的反馈和建议，以便进行教学改进。
六、实际情境分析1. 引入实际情境：讨论商品价格的变化，引导学生思考如何描述价格的变化。
2. 应用平均变化率的概念：商品价格的变化可以用平均变化率来描述，平均变化率的定义是价格的变化量与时间的比值。
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案教案：函数的平均变化率一、教学目标1.了解函数的平均变化率的概念和意义。
2.掌握计算函数在给定区间内的平均变化率的方法。
3.掌握函数的平均变化率在实际问题中的应用。
二、教学准备1.准备一些能够让学生实际体验函数的平均变化率的例子。
2.准备一些函数图像，以帮助学生理解平均变化率的概念。
3.检查计算函数平均变化率的方法和公式。
三、教学过程第一部分：引入概念1.导入问题：首先，向学生提出以下问题：如果我们关注一些物体的运动，我们如何描述它的平均速度？请学生回答。
引导学生思考速度的概念：速度是距离关于时间的变化率，即速度等于位移与时间的比值。
3.定义平均变化率：引导学生思考平均变化率的定义：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数在这个区间的平均变化率为：平均变化率=(f(b)-f(a))/(b-a)解释上述定义的含义。
引导学生通过举例来解释平均变化率的意义和计算方法。
第二部分：计算平均变化率1.案例讲解：通过一个实际问题来计算平均变化率。
例如，一辆汽车在段时间内的行驶距离。
假设汽车在0到5秒之间的行驶距离由函数f(t)=2t^2表示。
按照平均变化率的定义，可以计算出从0到5秒的平均变化率为：平均变化率=(f(5)-f(0))/(5-0)2.练习训练：让学生计算以下函数在给定区间内的平均变化率：a)f(x)=3x-1,在区间[1,5]上的平均变化率。
b)g(t)=t^2+2,在区间[-2,3]上的平均变化率。
第三部分：平均变化率的应用1.实际问题应用：给学生提供一些实际问题的例子，并要求他们计算相应的平均变化率。
例如：一个婴儿的身高和年龄的关系由函数h(t)=0.05t^2+0.5t表示（其中t表示年龄，单位为岁，h(t)表示身高，单位为米）。
学生需要计算出从1到5岁之间身高的平均变化率。
2.探究问题：让学生思考平均变化率的物理和经济含义，并展示一些相关问题的实际应用。
例如，学生可以考虑一张成绩单上各门功课的平均变化率，或者市场上其中一种商品的价格随时间的变化率。
5.1.1变化率问题(教学设计)
5.1.1变化率问题本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习变化率问题本节内容通过分析高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤。
平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。
在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。
课程目标学科素养A.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.B.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.C.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．1.数学抽象：函数的变化率2.逻辑推理：平均变化率与瞬时变化率的关系3.数学运算：求解瞬时速度与切线斜率4.数学建模：函数的变化率重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念多媒体来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v̅近似的描述它的运动状态。
例如,在 0 ≤ t ≤0.5这段时间里，v̅=ℎ(0.5)−ℎ(0)0.5−0=2.35(m/s)在 1≤ t ≤2这段时间里，v̅=ℎ(2)−ℎ(1)2−1=−9.9(m/s)一般地，在 t 1≤ t ≤t 2这段时间里，v̅=ℎ(t 2)−ℎ(t 1)t 2−t 1=−4.9(t 1+t 2)+4.8探究1： 计算运动员在0 ≤ t ≤4849这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
探究2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗？1．平均变化率对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx ＝_______. (2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率ΔyΔx ＝ ＝ .x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)；f x 2－f x 1x 2－x 1；f x 1＋Δx －f x 1Δx2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在________的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0ΔyΔx＝ .某一时刻；limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx问题2. 抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究.探究3. 你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？与研究瞬时速度类似为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近取一点P(x,x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况。
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案引入问题：在学习函数的过程中，我们经常会遇到一个重要的概念，函数的平均变化率。
那么，什么是函数的平均变化率呢？它又有什么重要意义呢？本节课我们将围绕这一主题展开讨论和学习。
一、基本概念为了理解函数的平均变化率，我们首先需要了解函数的概念。
函数可以简单地理解为一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素，都对应到另一个集合中的一个元素。
用数学符号表示，函数可以写成f(x)=y或y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量。
平均变化率=(函数值在b处的值-函数值在a处的值)/(b-a)二、计算方法在计算函数的平均变化率时，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们需要找到区间[a,b]内的两个点：点A和点B。
点A的坐标为(a,f(a))，点B的坐标为(b,f(b))。
2.接下来，我们需要根据公式计算函数在这个区间内的平均变化率。
公式为：平均变化率=(f(b)-f(a))/(b-a)3.最后，我们将计算出的值进行整理和分析，可以得出函数在这个区间内的平均变化率是多少，以及这个平均变化率的意义和特点。
三、应用举例理解平均变化率的概念后，我们可以通过一些具体的例子来加深对其应用的理解。
例子1：假设一辆汽车在一段时间内的速度变化如下所示：时间（小时）：012345速度（km/h）：0 20 40 60 80 100我们可以选择一个区间[2,5]，然后计算这个区间内的平均速度变化率。
按照前面的计算方法，我们可以得到：平均速度变化率 = (80 - 40) / (5 - 2) = 40 / 3 ≈ 13.33 km/h 这个平均速度变化率的值告诉我们，这辆汽车在这个区间内平均每小时的速度增加了13.33公里。
例子2：假设一条直线的方程为y=2x+1、我们可以选择一个区间[1,3]，然后计算这个区间内的平均斜率变化率。
按照前面的计算方法，我们可以得到：平均斜率变化率=(2*3+1-2*1-1)/(3-1)=(7-2)/2=5/2=2.5这个平均斜率变化率的值告诉我们，这条直线在区间[1,3]内的平均斜率变化率为2.5四、总结和思考通过本节课的学习，我们对函数的平均变化率有了初步的了解。
《1.1.1函数的平均变化率》教学设计
《1.1.1函数的平均变化率》教学设计（共1课时，第1课时）【课程标准要求】通过实例理解函数的平均变化率。
【教学目标】1.理解函数平均变化率的概念。
2.会求函数的平均变化率。
3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题。
【学情与内容分析】本节课是湘教版高中数学选择性必修第二册《第一章导数及其应用》的第1节，教材通过学生熟悉的概念平均速度出发，结合两个实例介绍函数在指定区间的平均变化率，并且总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，引导学生掌握求函数平均变化率的一般步骤.教材例题的设计，从直线运动的物体的平均速度到曲线运动的物体的平均速度，从物体的平均速度到一般函数的平均变化率，是一个逐步抽象，由特殊到一般的过程.它是从具体的实际背景出发，到舍去物理背景得到数学对象的过程，不断渗透了数学抽象的素养.新课程标准提出，通过实例分析，学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景。
平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础.【教学准备】希沃课件。
【难、重点】重点：理解函数平均变化率的概念．难点：1.会求函数的平均变化率；2.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.【教学过程】通过教材中给出的两个具体例子作为引例，进一步理解平均速度的概念，并且总结概括出一般函数的平均变化率的定义.【引例1】（课本例1）设数轴上的动点P 在任何时刻t 的位置都能用()0.51f t t =+来表示，求该点P 在时间段[],a b 内的平均速度[],a b v . 分析： 计算得到[](),0.510.51()()0.5a b b a f b f a v b a b a+-+-===--，可见，点P 在任意时间段[],a b 内的平均速度都为0.5，所以它做匀速直线运动.作出()0.51f t t =+的图像，可以发现[],0.5a b v =就是图像上两点()()()(),,,A a f a B b f b 之间的线段AB 的斜率.【引例2】（课本例2）某物体做自由落体运动，其运动方程为212s gt =，其中t 为下落的时间（单位：s ），g 为重力加速度，大小为29.8/m s ,求它在时间段[]13，内的平均速度.分析：所求平均速度为(3)(1)219.6(/)31s s g m s -==-例3．在正弦曲线()sin f x x =上取两点()(),()22A f B f ππππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，求直线AB 的的斜率．分析：直接通过两点坐标运算斜率.解: ()()012222ABf f k ππππππ--===-- 例 4．充满气的气球近似为球体 在给气球充气时，我们都知道，开始充气时，气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来 气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体积的平均变化率． 分析：由生活事实可知，随着气球体积的增大，半径的增长越来越缓慢，引导学生通过平均变化率来描述这一事实.解;设气球的半径为体积为r ，则343V r π=，所以1334V r π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当0.51V ≤≤时，半径的平均变化率为1133(1)(0.5)13 1.50.2610.50.544r r ππ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪=-≈ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当1 1.5V ≤≤时，半径的平均变化率为1133(1.5)(1)1 4.530.181.510.544.r r ππ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪=-≈ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭由上面两个结果，随着气球体积的逐渐增大，气球的半练习 1. 小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t 内所经过的距离为2()s t at =，求小球在时间段[]22h +，内的平均速度. 练习 2. 已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化（温度不变），下表记录了某温度下，该化学物质在溶液中反应时不同时刻t 的浓度()c t .试根据上表求下列时间段内的平均反应速率 （1）26t ≤≤；（2）24t ≤≤；（3）02t ≤≤.【板书设计】【评价设计】【作业设计】1、完成导学案内容2、教材P5 练习题1，2，3【教学反思】。
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案一、教学目标：1. 让学生理解函数的平均变化率的定义及意义。
2. 让学生掌握计算函数的平均变化率的方法。
3. 培养学生运用函数的平均变化率解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 函数的平均变化率的定义2. 函数的平均变化率的计算方法3. 函数的平均变化率在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的平均变化率的定义及计算方法。
2. 教学难点：函数的平均变化率在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数的平均变化率的定义及计算方法。
2. 采用案例分析法，分析函数的平均变化率在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高学生的思维能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引出函数的平均变化率的概念。
2. 讲解函数的平均变化率的定义：解释函数的平均变化率的含义，让学生理解其本质。
3. 讲解函数的平均变化率的计算方法：详细讲解如何计算函数的平均变化率，并通过示例进行演示。
4. 案例分析：给出实际问题，让学生运用函数的平均变化率进行解答，巩固所学知识。
5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，让学生总结函数的平均变化率的定义、计算方法及其应用。
6. 布置作业：设计适量作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学评价：1. 评价学生对函数的平均变化率的定义和计算方法的掌握程度。
2. 评价学生运用函数的平均变化率解决实际问题的能力。
3. 评价学生在课堂讨论中的参与度和思维能力的发展。
七、教学反馈：1. 通过课堂提问，了解学生对函数的平均变化率的定义和计算方法的掌握情况。
2. 收集学生提交的作业，评估学生运用函数的平均变化率解决实际问题的能力。
3. 听取学生的课堂反馈，了解学生在讨论中的表现和思维能力的发展。
八、教学拓展：1. 引导学生进一步研究函数的瞬时变化率，探讨其与平均变化率的关系。
2. 引入实际应用案例，让学生了解函数的平均变化率在其他领域的应用。
函数的平均变化率教学设计
《函数的平均变化率》教学设计一、教学内容分析函数的平均变化率是解决函数问题的直观化工具，它一方面反应函数的增减性质，另一方面也反映函数的变化快慢.并且为我们今后导数相关内容的学习以及物理中的变化率学习奠定基础.本节课首先从物理中的变化率引入数学中的变化率，并首先介绍了直线斜率的定义，然后从直线斜率的角度研究了函数的单调性，并给出平均变化率的定义.引导学生会计算一个函数在相应区间内的平均变化率，并利用函数平均变化率证明函数的单调性，最后引导学生理解从函数平均变化率的角度辨析函数图像的变化快慢, 借助数形结合解决相关问题.培养学生逻辑推理、直观想象、数据分析等核心素养.二、学情分析学生已有的知识结构是对函数的认识有了一定的积累，从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．但是由于新教材是在函数单调性这一节给出函数平均变化率的定义，并将函数的平均变化率与单调性联系起来，相关定义和内容较抽象难理解.对于理性思维比较弱的学生，他们极容易在解题时钻牛角尖，因此若能让学生主动参与到平均变化率学习过程中，让学生体会到自己在学“有价值的数学”，就会激发学生的学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心.三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习实情，函数平均变化率的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际；其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。
四、教学目标知识与技能：1、掌握直线的斜率公式及三点共线的充要条件；2、理解平均变化率的定义并会计算函数在相应区间上的平均变化率；3、会利用函数的平均变化率证明函数的单调性；4、掌握利用平均变化率判断函数图像问题，辨析函数增减快慢.过程与方法：1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；2、通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想. 情感、态度与价值观：1、感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，体会数学的博大精深以及学习数学的意义.2、通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学语音描述刻画现实世界的过程.五、教学重点与难点教学重点：1.理解并掌握平均变化率的概念．2.会利用函数平均变化率证明函数单调性．教学难点：对生活现象和物理问题如何作出合理的数学阐释，概括抽象函数的平均变化率.六、 教学过程设计 【课前准备】1. 活动准备：常规分组，进行小组教学及学习活动.2. 知识准备：提前预习函数的平均变化率及斜率相关概念.【教学过程】1. 引入课题： 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量y 是时间间隔t 的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图．提出问题：“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，下降的速度是怎样变化的？ 该怎样用数学语言来刻画函数的变化快慢？ 设计意图：利用熟悉的问题激发学生的兴趣与情感，为平均变化率的自然引入提供契机.2.引入物理中的平均变化率：我们在物理中已经学过：变化率是描述变化快慢的量.例如，速度是用来衡量物体运动快慢的，速度等于位移的变化量与发生这一.x v t∆=∆变化所用时间的比值，即加速度是用来衡量速度变化的快慢，加速度等于速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值，即设计意图：从学生们已熟知的物理知识角度事先解释一下平均变化率，一方面可以激发学生们的学习热情，也会让学生们感觉这部分知识不那么陌生. 3. 引入新知： 一、直线的斜率（1）定义：给定平面直角坐标系中的任意两点()1122(,),,A x y B x y ，当12x x ≠时，称2121y y x x --为直线AB 的斜率.（2）若记21x x x ∆=-,相应的21y y y ∆=-,当0x ∆≠时,斜率记为y x∆∆. （3）当12x x ≠时，称直线AB 的斜率不存在．（4）平面直角坐标系中的三点共线,当且仅当任意两点确定的直线斜率都相等或都不存在.例1. 已知直线l 过点()()1,1,2,1M m m N m +-,当m 为何值时，直线l 的斜率为1？ 解析：由211MN m k m -==-+，解得3.2m =变式1. 已知点()()(),5,3,4,3,5A a B C a -在同一条直线上，求实数a 的值. 解析：由AB BC k k =，即12333a a --=---，解得9.a =- 【设计意图】通过题型让同学们熟练掌握斜率公式的应用..v a t ∆=∆二、函数的平均变化率与函数的单调性观察函数图像上任意两点连线的斜率符号与函数单调性之间的关系，并总结一般规律.可以看出，函数递增的充要条件是图像上任意两点连线的斜率都大于0，函数递减的充要条件是图像上任意两点连线的斜率都小于0. (1)()y f x =在I 上是增函数的充要条件是0yx∆>∆在I 上恒成立； (2)()y f x =在I 上是减函数的充要条件是0yx∆<∆在I 上恒成立. (3)一般地，当12x x ≠时，称()()2121f x f x y x x x -∆=∆-为函数在区间 [x 1，x 2](x 1＜x 2时)或[x 2，x 1](x 1＞x 2时)上的平均变化率．【设计意图】从斜率的角度得到函数单增和单减的充要条件，并通过数形结合的方式方便大家理解和记忆.例2．如图,函数y ＝f (x )在[1，3]上的平均变化率为( )A ．1B ．-2C ．2 D. -1 答案：D变式 2. 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5,当x 1＝4,且Δx ＝1时,求函数在区间11,x x x ⎡⎤+∆⎣⎦的平均变化率.解析：()()()()()()122121214,1,5.5421.1x x x f x f x f x f x y f f x x x =∆=∴=--∆∴===-=∆-【设计意图】使同学们熟练掌握函数平均变化率的计算.三、利用平均变化率证明函数的单调性例3. 判断函数()1f x x x=+在（0，,+∞）上的单调性.并用平均变化率证明. 解析：任取()12,0,x x ∈+∞，且 12x x ≠，则()()()()()212121212112212121121111.x x x x x x f x f x f x x x x x xx x x x x x x x -+----∆-====-∆---当()12,0,1x x ∈时，有121x x >，从而()0f x x∆<，则()fx 在()0,1上单调递减. 当()12,1,x x ∈+∞时，有121x x <，从而()0f xx∆>，则()fx 在()1,+∞上单调递增.变式3. 已知函数()231x f x x -=+ (1)判断函数()f x 在区间[0，＋∞)上的单调性，并用平均变化率证明其结论．(2)求函数()f x 在区间[2,9]上的最大值与最小值． 解析：(1)任取()12,0,x x ∈+∞，且 12x x ≠，则()()()()()()()()2121212121212121215232311115.11x x x x f x f x f x x x x x xx x x x x x x x ----∆-++++====∆---++当()12,0,x x ∈+∞时，有()0f x x∆>∆恒成立，所以()fx 在()0,+∞上单调递增.(2)由(1)知函数()f x 在区间[2,9]上是增函数，故函数()f x 在区间[2,9]上的最大值为()392f =；最小值为()122f =. 【设计意图】通过题型让同学们感受函数平均变化率对单调性的影响，并会利用函数平均变化率证明函数单调性.【学生活动】学生小组探究，将某个同学的做题过程利用投影进行展示，并让相应同学表达个人想法..四、平均变化率的应用例如，如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，那么容器内水面的高度y 是时间t 的函数。
“平均变化率与瞬时变化率”教案讲义
自主学习
1.（用三分钟时间）自主学习课本 P51页的实例分析1，思考我们用什么 量来衡量物体运动快慢？
2. （用五分钟时间）自主学习课本 P51-52页的实例分析2，思考我们用什 么量来衡量体温的变化快慢？
合作探究
阅读课本P52页的抽象概括，并四个人一 组合作探究如下问题：
(1)情景一:银杏:树高15米,树龄:1000年 雨后春笋:高1.5米,生长1年;
3.5
03
6
12 T(月)
11 8.6 0.4 12 6
当堂训练
（课本53页练习）某人服药物情况可以用血液中的药物 质量浓度c(单位:mg/mL)来表示，它是时间t(单位:min) 的函数，表示为c=c(t).下表给出了c(t)的一些函数值：
t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
A(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1)
=△y
f (x2) f (x1) y
x2 x1
x
0
x2-x1 =△x x
曲线 y f (x)上两点 (x1, f (x1))、(x2, f (x2)) 连线的斜率
平均变化率
一般地,函数 f ( x ) 在 [ x1 , x 2 ] 区间上
的平均变化率为: f (x2 ) f (x1)
回顾小结:
1 平均变化率的定义:
一般地,函数 f ( x ) 在 [ x1 , x 2 ] 区间上的平均变化率为:
f (x2 ) f (x1) x2 x1
y B(x2,f(x2))
A(x1,f(x1)) x2-x1
0
=△x
f(x2)-f(x1) =△y
x
f (x2) f (x1) y
《1函数的平均变化率和瞬时变化率》优秀教案
主§1、2、3、【121、x（间上的平均变化率。
2、（1）设函数)(x f y =在0x 及其附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应地改变)()(00x f x x f y -∆+=∆如果当x ∆趋近于0时，平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00趋近于一个常数l ,那么常数l 称为函数()x f 在点0x 的瞬时变化率记作：（2）如果函数)(x f 在开区间()b a ,内 ，则称函数)(x f 在开区间()b a ,可到导这样，对开区间()b a ,内每个值，都对应一个确定的导数()x f '于是，在区间()b a ,内()x f '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数)(x f y =的导函数记作【合作探究】（集思广益、用心收获）1、求函数2x y =在点1x =处的瞬时变化率。
变式：求函数xy 1=在点1x =处的瞬时变化率2、下表为某水库存水量y 单位：万3m 与水深x 单位：m 的对照表： ⑴当x 从5变到10时，存水量y 关于x 的平均变化率为多少？解释它的实际意义；⑵当x 从25变到30时，存水量y 关于x 的平均变化率为多少？解释它的实际意义； ⑶比较⑴与⑵的数值的大小，并联系实际情况解释意义。
3、（提升题）已知函数()224f x x =-的图像上一点()1,2-及图像上邻近一点()1,2x y +∆-+∆，则yx∆=∆ A 、4 B 、4x C 、42x +∆ D 、()242x +∆4、国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲乙两家企业进行检查，其连续监测结果如图所示，其中W 1t ，W 2t 分别表示甲乙两家企业的排污量，试指出在接近0t 时哪个企业治污效果好？【培养数形结合能力，体会平均变化率的作用】【归纳小结】（构建知识、为我所用）知识方面：。
数学思想与方法：。
【我要提问】作业：1、在曲线＝2＋1的图象上取一点1,2及附近一点1＋Δ,2＋Δ，则错误!为A．Δ＋错误!＋2 B．Δ－错误!－1 C．Δ＋2 D．Δ－错误!＋22、在＝1附近，取Δ＝03，在四个函数①＝、②＝2、③＝3、④＝错误!中，平均变化率最大的是A．④B．③C．②D．①3、函数f在0处可导，则错误!错误!A．与0、h都有关B．仅与0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与0无关D．与0、h均无关4、函数＝co在∈错误!时的变化率为________；在∈错误!时的变化率为________．5、一质点运动的方程为＝8－3t21求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；2求质点在t＝1时的瞬时速度．6、已知f＝2，g＝3，求适合f′0＋5＝g′0的0值．*1、若函数＝f在区间a，b内可导，且0∈a，b，则错误!错误!的值为A．f′0B．2f′0C．－2f′0D．0*2．已知函数＝f在＝0处的导数为11，则错误!错误!＝错误!错误!＝______1-3CBB4、错误!－错误!5、[解析]1∵＝8－3t2，∴Δ＝8－31＋Δt2－8－3×12＝－6Δt－3Δt2，\to v＝错误!＝－6－3Δt2质点在t＝1时的瞬时速度v＝错误!错误!＝错误!－6－3Δt＝－66、[解析]由导数的定义可知f′0＝错误!＝错误!＝2021g′0＝错误!错误!＝3错误!，因为f′0＋5＝g′0，所以2021＝3错误!，即3错误!－2021＝0解得：0＝－1或0＝错误!思考：B；－11－错误!。
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函数的平均变化率为
f(x 0 x x ) f(x 0 ) (x 0 x x )2 x 0 2 2 x 0 x
变化区间
自变量改变量x
平均变化率
y x
（1，1.1）
0.1
2.1
（1，1.01）
0.01
2.01
(1,1.001)
x
x
x x
显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山
坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比 y
x
对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。
的绝
现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎 样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？
一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段， 每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。
y 有极限．如果 y 不存在极限，就说函数在
x
x
点 x 0 处不可导，或说无导数． （2）x是自变量x在 x 0 处的改变量，x0，而
y = f(x)在点 x0 处的导数记为
f ( x0 )
即 f(x 0 ) lix m 0 y x lix m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
y 也可记作 x xo
★ 若这个极限
不存在，则称 在点x0 处不可 导。
说明：
（1）函数 f ( x) 在点 x 0 处可导，是指 x0时，
y3
D(x3,y3)
y2
C(xy2y,3y4 2) yy34yy00
y1 y0
A(x0,y0)
xx1x0
B(yx21,y1)y2y0 y1y1y0
O
x0
x1
x
Y
y4
E(x4,y4)
y3
D(x3,y3)
y2
C(x2,y2)
y1
B(x1,y1)
y0
A(x0,y0)
xx1x0
O
x0
x1
x
y1
y2
y3 y4
0.001
2.001
(1,1.0001) …
0.0001 …
2.0001 …
瞬时速度
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规 律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是
物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 时平均速度v
的极限．即
v s t lt i0m s(t tt)s(t)
思考：比值 y 表示的意义是什么？
x
它表示每一个单位上的函数值的平均增量。
函数图象上也有类似定义，由此我们引 出函数平均变化率的概念。
建构数学
形 曲线陡峭程度
数 平均变化率
变量变化的快慢
函数的平均变化率
已知函数 y f(x) 在点 x x0 及其附近有定义，
令 xxx0 , y y y 0 f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 )
函数的瞬时变化率
设函数 y f (x)在 x 0 附近有定义，
当自变量在 x x0 附近改变 x 时，
函数值相应的发生改变 yf(x 0 x )f(x 0)
如果当 x 趋近于０时，
平均变化率 f(x0 x)f(x0)
x
l 趋近于一个常数 ，
则数 l 称为函数 y f (x)在点 x 0 处的瞬时变化率。
如何用数学来 反映山势的平缓 与陡峭程度？
y
H E D
C
B A
O
X0
X1
X2
Xk
Xk+1
y
y1
A(x0,y0)
y0
x
O
x0
B(x1,y1)
y
x1
选取平直山路AB放大研究 :
若 A (x0,y0)B ,(x1,y1)
自变量的改变量 xx1x0
函数值的改变量 yy1y0
x
直线AB的斜率:
ky1y0 y0y1y x1x0 x0x1 x
则当x0 时,比值 f(x0x)f(x0)y
x
x
叫做函数 y f(x) 在 x 0 到x0 x之间的平均变化率
函数平均变化率: f(x0x)f(x0)
x
函数值的改变量与自变量的改变量之比
思考:函数平均变化率的几何意义？
过曲线 y f (x) 上的点 (x0, f (x0)和(x0x,f(x0x)
y
H E D
D1 C B A
O
X0
X1
y
X2
X3
y1
A(x0,y0)
y0
O x0
B(x1,y1)
x1
x
Xk
Xk+1
y y3
x
D1(x3,y3)
y2 C(x2,y2)
O x2
x3
x
直线AB的Байду номын сангаас率:
k
y1 y0
y
x1 x0 x
直线CD1的斜率:k1
y3 y2 x3 x2
y x
Y
y4
E(x4,y4)
导数的概念
设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的附近有定义，当自变量 x 在 x0 处
取得增量 △x ( 点 x0 +△x 仍在该定义内）时， 相应地函数 y 取
得增量 △y = f (x0 +△x)- f (x0 )，若△y与△x之比当 △x→0的极
限存在，则称函数 y = f(x)在点 x0 处可导 ，并称这个极限为函数
分析:当 x 取定值, x 0 取不同数值时,
该函数的平均变化率也不一样.
( 2 ) 求函数 y 1 在 x 0 到 x0 x 之间的平均变化率
x
解:当函数
y 1 x
在 x 0 到 x0 x 之间变化的时候
函数的平均变化率为
1 1
y f (x0 x) f (x0) x0 x x0
x
x
x
1 (x0 x)x0
课堂练习：
甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时 间的关系分别如图（1）（2）所示，
（1）甲乙二人哪一个跑得快？
（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快？ y
路程
乙
100m
甲
o 图1 t
甲 乙
o 图2 t0 t
例3：已知函数 f (x) x2，计算函数在下列区间上的平均变化率。
割线的斜率。
y
Y=f(x)
• 观察函数f(x)的图象
f(X0+△x)
B
直线 AB的 斜率
f(x0) O
f(x0x)f(x0)
A△x x
x0 X0+△x
思考：（1） △x 、△ y的符号是怎样的？ （2）该变量应如何对应？
理解：
1、 x2是 x1附近的任 ,即 意 xx一 2x1点 0,
但可正 ; 可负
yf(x2)f(x1)可正可负，也. 可为
2、 对应性：
若
x x 2 x 1 ,则 y f( x 2 ) f( x 1 ).
例1.求函数 y x 2 在 x 0 到 x0 x之间的平均变化率 解:当函数 y x 2 在 x 0 到 x0 x 之间变化的时候
函数的平均变化率为 y x f(x 0 x x ) f(x 0 ) (x 0 x x ) 2 x 0 2 2 x 0 x