平方差公式(2)

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平方差公式教案 (2)

平方差公式一、教学目的和要求1. 使学生能运用多项式乘法法则导出平方差公式，培养学生分析问题的能力和罗辑思维的能力。

2. 要求学生牢固地掌握平方差公式，并能熟练地掌握和应用公式进行计算。

二、教学重点和难点重点：平方差公式的应用。

难点：运用公式过程中出现的系数的差错和符号的变换。

三、教学过程(一)复习、引入提问：1. 多项式乘法法则是什么？2. 分别用代数式表示a与b的和、差、平方差。

（a＋b，a－b，）3. 计算(1)(3＋a)(3－a) (2)(2x＋y)(2x－y)(3)(2a－1)(2a＋1) (4)(3a＋2b)(3a－2b)(二)新课观察以上各式左边的特点与计算结果有什么关系？可以得到乘法公式：，由于公式右边是两个数的平方差的形式，我们称它为平方差公式。

因语言叙述出来，即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

启发学生进一步仔细分析这个公式的结构特征：1. 公式的左边是两个二项式的乘积，在这两个二项式中，有一项完全相同，另一项仅相差一个符号，右边是这两个数的平方差。

2. 对平方差公式的认识与应用。

(1)公式中的a，b可以表示数（正数或负数）也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可用此公式进行计算。

(2)公式中的是不可颠倒的，注意是相同项的平方减去相反项的平方，还要注意字母的系数和指数。

例1 计算(1)(2x＋3y)(2x－3y)(2)(－x＋a)(－x－a)(3)(4)(－4a－1)(4a－1) 解：(1)(2)(3)(4)或例2 运用平方差公式计算(1) 102×98(2)解：(1)(2)(三)巩固练习1. 判断对错，如果有错，如何改正？2. 运用平方差公式计算(1) (x＋a)(x－a) (2) (a＋3b)(a－3b)(3) (3＋2a)(－3＋2a) (4)(5) (4x－5y)(4x＋5y) (6)(7) 103×97 (8)巩固练习答案：1. (1)错，应是(2)错，应是(3)错，应是(4)错，应是(5)错，应是(6)对(7)错，应是(8)对2.(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) 9991 (8)(四)小结1. 记住平方差公式的左边和右边。

平方差的公式。

平方差的公式
平方差是一种用来衡量数据波动程度的测量方法，也称为方差。

它可以用来识别数据之间的差异和波动。

平方差的公式如下：
σ²=Σ(xi-μ)²/n
其中，σ² 是方差
xi 是所有数据的样本值
μ 是样本的平均值
n 是样本的数量
平方差是用来统计数据分布情况的测量方法，其值提供了以下信息：
1、原始数据之间的差异和波动大小。

2、数据越集中，方差值越小；比如，在相同数量的样本中，
两个组中的样本值均分布在比较宽散的范围内，那么它们的方差值比较大。

3、方差的值有助于我们分析数据的变化规律，可以帮助我们
了解数据的分布特点，即距离数据量中心点的距离越远，所谓的数据越分散。

4、通过方差值可以比较不同样本（或数据集）之间的差异。

5、方差值也可以应用于统计学检验，为统计分析提供理论支持。

总之，平方差是一种测量波动度和分布样本的数据统计方法，它有助于我们分析数据变化规律，当然也可以为统计分析提供理论依据。

平方差公式的规律

平方差公式的规律
平方差公式的规律：
平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）。

平方差公式（formula for the difference of square）是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。

公式中字母的不仅可代表具体的数字、字母、单项式或多项式等代数式。

在三角函数公式中，有一组公式被称为三角平方差公式。

由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形。

定义：
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

文字表达式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

此即平方差公式。

公式特征：左边为两个数的和乘以这两个数的差，即左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b与-b)互为相反数；右边为这两个数的平方差即右边是完全相同的项的平方减去符号相反项的平方。

字母的含义：公式中字母的不仅可代表具体的数字、字母、单项式或多项式等代数式。

平方差公式(2)课后练习

平方差公式（2）课后练习一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．（4分）计算2x2•（﹣3x3）的结果是（）A．6x5B．2x6C．﹣2x6D．﹣6x5 2．（4分）已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（）A．8B．3C．﹣3D．10 3．（4分）499×501可表示为（）A．5002+12B．5002﹣12C．5002﹣4992D．5002+4992 4．（4分）计算1998×2002＝（）A．400016B．4000004C．399996D．3999996 5．（4分）计算（﹣4x﹣5y）（5y﹣4x）的结果是（）A．16x2﹣25y2B．25y2﹣16x2C．﹣16x2﹣25y2D．16x2+25y2 6．（4分）下列各式中，计算结果是x2+7x﹣18的是（）A．（x﹣2）（x+9）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣1）（x+18）7．（4分）计算（−12x）•（﹣2x2）（﹣4x4）的结果为（）A．﹣4x6B．﹣4x7C．4x8D．﹣4x8 8．（4分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣ab＝a（a﹣b）C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 9．（4分）下列运算中，正确的是（）A．2x3+3x3＝6x6B．2x3•3x3＝6x6C．（x2）3＝x5D．（﹣ab）2＝a2b10．（4分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）11．（4分）若（x+3）（x+n）＝x2+mx﹣15，则m的值为（）A．﹣5B．﹣2C．5D．212．（4分）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（）①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．A．①②B．③④C．①②③D．①②③④二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）13．（4分）若x+y＝﹣4，x﹣y＝9，那么式x2﹣y2＝．14．（4分）用平方差公式计算：（ab﹣2）（ab+2）＝．15．（4分）计算：（2+3x）（﹣2+3x）＝．16．（4分）计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝．17．（4分）在横线上填写适当的整式：（）（﹣4x﹣3y）＝9y2﹣16x2．三．解答题（共4小题，满分32分，每小题8分）18．（8分）计算：（﹣8ab2）（−12a）3．19．（8分）计算：|−2|+(π−3)0−(13)−2+(−1)2019．20．（8分）（2x﹣y）（2x+y）﹣3（x2﹣y）21．（8分）（﹣2xy）2•（3xy2）﹣3x（4x2y4﹣xy2）平方差公式（2）课后练习参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．（4分）计算2x2•（﹣3x3）的结果是（）A．6x5B．2x6C．﹣2x6D．﹣6x5【解答】解：原式＝2×（﹣3）x2+3＝﹣6x5，故选：D．2．（4分）已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（）A．8B．3C．﹣3D．10【解答】解：∵a+b＝﹣3，a﹣b＝1，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣3）×1＝﹣3．故选：C．3．（4分）499×501可表示为（）A．5002+12B．5002﹣12C．5002﹣4992D．5002+4992【解答】解：499×501，＝（500﹣1）×（500+1）＝5002﹣12．故选：B．4．（4分）计算1998×2002＝（）A．400016B．4000004C．399996D．3999996【解答】解：原式＝（2000﹣2）×（2000+2）＝20002﹣22＝4000000﹣4＝3999996，故选：D．5．（4分）计算（﹣4x﹣5y）（5y﹣4x）的结果是（）A．16x2﹣25y2B．25y2﹣16x2C．﹣16x2﹣25y2D．16x2+25y2【解答】解：（﹣4x﹣5y）（5y﹣4x）＝（﹣4x）2﹣（5y）2＝16x2﹣25y2．故选：A．6．（4分）下列各式中，计算结果是x2+7x﹣18的是（）A．（x﹣2）（x+9）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣1）（x+18）【解答】解：A、（x﹣2）（x+9）＝x2+7x﹣18，故本选项正确；B、（x+2）（x+9）＝x2+11x+18，故本选项错误；C、（x﹣3）（x+6）＝x2+3x﹣18，故本选项错误；D、（x﹣1）（x+18）＝x2+17x﹣18，故本选项错误；故选：A．7．（4分）计算（−12x）•（﹣2x2）（﹣4x4）的结果为（）A．﹣4x6B．﹣4x7C．4x8D．﹣4x8【解答】解：（−12x）•（﹣2x2）（﹣4x4）＝﹣4x7，故选：B．8．（4分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣ab＝a（a﹣b）C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：A．9．（4分）下列运算中，正确的是（）A．2x3+3x3＝6x6B．2x3•3x3＝6x6C ．（x 2）3＝x 5D ．（﹣ab ）2＝a 2b【解答】解：A 、2x 3+3x 3＝5x 6，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、2x 3•3x 3＝6x 6，原计算正确，故此选项符合题意；C 、（x 2）3＝x 6，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、（﹣ab ）2＝a 2b 2，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：B ．10．（4分）如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2B ．a （a ﹣b ）＝a 2﹣abC ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2D ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，∴a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ），故选：D ．11．（4分）若（x +3）（x +n ）＝x 2+mx ﹣15，则m 的值为（）A ．﹣5B ．﹣2C ．5D ．2【解答】解：（x +3）（x +n ）＝x 2+nx +3x +3n ＝x 2+（n +3）x +3n ，∵（x +3）（x +n ）＝x 2+mx ﹣15，∴x 2+（n +3）x +3n ＝x 2+mx ﹣15，可得：{n +3=m 3n =−15，解得：{m =−2n =−5，故选：B ．12．（4分）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（）①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．A．①②B．③④C．①②③D．①②③④【解答】解：表示该长方形面积的多项式①（2a+b）（m+n）正确；②2a（m+n）+b（m+n）正确；③m（2a+b）+n（2a+b）正确；④2am+2an+bm+bn正确．故选：D．二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）13．（4分）若x+y＝﹣4，x﹣y＝9，那么式x2﹣y2＝﹣36．【解答】解：∵x+y＝﹣4，x﹣y＝9，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝（﹣4）×9＝﹣36．故答案为：﹣36．14．（4分）用平方差公式计算：（ab﹣2）（ab+2）＝a2b2﹣4．【解答】解：（ab﹣2）（ab+2）＝a2b2﹣4，故答案为：a2b2﹣4．15．（4分）计算：（2+3x）（﹣2+3x）＝9x2﹣4．【解答】解：原式＝9x2﹣4．故答案为：9x2﹣4．16．（4分）计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝9y2﹣4x2．【解答】解：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝（﹣3y）2﹣（2x）2＝9y2﹣4x2．故答案为：9y2﹣4x217．（4分）在横线上填写适当的整式：（﹣3y+4x）（﹣4x﹣3y）＝9y2﹣16x2．【解答】解：9y2﹣16x2＝（﹣3y+4x）（﹣3y﹣4x）．故应填：﹣3y+4x．三．解答题（共4小题，满分32分，每小题8分）18．（8分）计算：（﹣8ab2）（−12a）3．【解答】解：原式＝（﹣8ab2）•（−18a3）＝（﹣8）×（−18）a•a3•b2＝a4b2．19．（8分）计算：|−2|+(π−3)0−(13)−2+(−1)2019．【解答】解：原式＝2+1﹣9﹣1＝﹣7．20．（8分）（2x﹣y）（2x+y）﹣3（x2﹣y）【解答】解：原式＝4x2﹣y2﹣3x2+3y＝x2﹣y2+3y．21．（8分）（﹣2xy）2•（3xy2）﹣3x（4x2y4﹣xy2）【解答】解：（﹣2xy）2•（3xy2）﹣3x（4x2y4﹣xy2）＝（4x2y2）•（3xy2）﹣12x3y4+3x2y2＝12x3y4﹣12x3y4+3x2y2＝3x2y2．。

平方差公式的交换律

平方差公式的交换律
平方差公式是数学中的一个基本公式，它描述了两个数的平方之差可以如何简化。

平方差公式为：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)a2−b2=(a+b)(a−b)
交换律是数学中的一个基本性质，它表明在某些运算中，改变运算的顺序不会改变结果。

对于平方差公式，交换律意味着我们可以交换a a和b b的位置，而结果仍然成立。

具体来说，如果我们有a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)a2−b2=(a+b)(a−b)，那么交换a a 和b b的位置后，我们得到b^2 - a^2 = (b + a)(b - a)b2−a2=(b+a)(b−a)。

现在我们来验证这个交换律是否成立。

原始平方差公式为：Eq(a2 - b2, (a - b)(a + b))
交换a和b后的平方差公式为：Eq(-a2 + b2, (-a + b)(a + b))
交换律成立，因为交换a a和b b的位置后，平方差公式仍然成立。

2.2.2完全平方差公式(2)

2
2

2
= x 2 - 2· x · 1 + 1 2 2

= x2 - x + 1 4
山 2 3 2 2 （3） ( x y xy ) 3 4
2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 ( x y) 2 x y xy ( xy ) 3 3 4 4
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2.2.2 完全平方公式（2）
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新课导入
完全平方公式的数学表达式：
我们把
(a+b)2=a2+2ab+b2，
(a-b)2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式.
两数和(或差)的平方，等于它们的
平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
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你能利用完全平方公式快速地计算出(2x+y)2吗？
(2 x y ) 4 x 4 x y
2 2
2
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例
运用完全平方公式计算：
（ 1 ） ( 3 a +b ) 2 解 ( 3 a +b ) 2
（ 2） x - 1 2

= (3a)2+2 ·3a ·b + b2 = 9a2+6ab+b2.
解 x-1 2

∴m2+n2=5．故选C．
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(5)
(4x-3y)2
(6)
(-2a-b)2
=16x2-24xy+9y2
=4a2+4ab+b2
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2、计算：（1）（3x+2y)(3x-2y)-(3x-2y)2 12xy-8y2 (2) (2a+3)2+(3a-2)2 13a2+13

1.5__平方差公式(2)

例题 (1)10397 (2)118122
解： (1)103 97 (2)118122
100 3100 3 120 2120 2
1002 32
10000 9 9991
1202 22
14400 4 14396
练一练
计算：（1）704×696 ；（2）9.9 ×10.1.
下列各式的解法中，哪种简单？请选择
20002 20002 1
1
练一练
计算：（1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1);
（2）x(x-1)-
(x
1) 3
(
x
1 3
)
.
(3)(x 3)(x 3)(x2 9)
(4) (x 1)(x2 1)(x 1)
2
42
公 1.学校有一个边长为 m米的正方形式花坛，现在要进行改建，将它的一的边增加3米，而另一边缩短3米.问改应建后的正方形花坛的面积是多少？
63
143
6399
64
144
6400
2.从以上的过程中，你发现了什么规律？
3.请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
a 1a 1 a2 1
例3 用平方差公式进行计算：（1）103×97 ；（2）118×122 （100+3）（100-3）（120-2）（120+2）
用平方差公式进行简便计):原式
a3 a2b
a b a2b2
a4 a3b a3b a2b2 a2b2
a4
解(二):原式 a2 a2 b2 a2b2
a4 a2b2 a2b2
a4
辨析与反思
2

平方差公式的特征

平方差公式的特征
平方差公式是数学中的一个基本公式，用于计算两个数的平方差。

它的表达式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

平方差公式的特征如下：
1. 左边是两个数的平方差，即一个数的平方减去另一个数的平方。

2. 右边是两个数的和乘以这两个数的差。

3. 公式中的a和b可以是任意实数。

平方差公式的应用非常广泛，可以用于简化数学表达式、求解方程、计算面积等。

例如，计算一个长方形的面积可以使用平方差公式，即长方形的面积等于长和宽的积，即A=lw。

如果长和宽分别为a和b，则有A=a\times b，可以简化为A=(a+b)(a-b)。

平方差公式是数学中非常重要的一个公式，它具有简单、易用、广泛适用等特点，在数学和实际应用中都有广泛的应用。

平方差公式 (2)

平方差公式
回顾 & 思考 ☞ 回顾与思考
多项式的乘法
(a+b)(p+q) = ap+aq+bp+bq
如果 (a+b)(p+q)中的a、b 、p 、q再有某种特殊关系，又将得到什么特殊结果呢? 这就是从本课起要学习的内容．
做一做
平方差公式
探索规律: (x+3)(x−3) ； 2−92;; =x −3 (1+2a)(1−2a) ； 2−(2a)2 ; =1−4a2 ; =1 (x+4y)(x−4y) ； 22−16y2 2; ; =x −(4y) =x (y+5z)(y−5z) ； 22−(5z)2 ; =y −25z 2 . =y
(2) (a-b+c)(-a+b-c)=b2-(a+c)2×
(3) (a-b+c)(a-b-c)=a2-(b-c)2
(4) (a+b-c)(a-b+c)=(b-c)2-a2× A.1 个 B(1) (x+y-z)(x+z-y) (2) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)
(7) (-4k3+3y2)(-4k3-3y2) 是
3.请你判断下列计算对不对？为什么？
(1) (x2+2)(x2-2)=x4-2 (2)(4x-6)(4x+6)=4x2-36 (3)
x4-4
(× )
16x2-36 ( × ) 2x2-3x-9 ( × )
(2x+3)(x-3)=2x2-9
(4) (5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1
(√ )
(5) (mn-1)(mn+1)=mn2-1 m2n2-1 ( × )

平方差公式和差的平方公式

平方差公式和差的平方公式1. 引言大家好，今天我们聊聊数学中两个经典的公式：平方差公式和差的平方公式。

这可不是枯燥无味的课本知识，而是能让你在学习中如鱼得水的好帮手！首先，先给大家打个预防针——这两个公式听起来可能有点复杂，但咱们轻松愉快地聊聊，就像喝茶聊天一样。

准备好了吗？走起！2. 平方差公式2.1 什么是平方差公式？首先，我们来揭开“平方差公式”的神秘面纱。

简单来说，平方差公式就是把一个数的平方和另一个数的平方之间的差，给我们一个简洁的表达式。

公式是这样的：(a^2 b^2 = (a + b)(a b))。

哎呀，听起来有点绕对吧？不过没关系，咱们用个生动的比喻来理解一下。

想象一下，(a)和(b)就像两个好朋友，分别代表他们的个性。

(a)总是很积极向上，而(b)则显得有点沉闷。

当这两个朋友聚在一起时，他们的共同点（也就是和）让他们的友谊更加紧密，而当他们各自去追求自己的梦想时，那种差异感（差）又让他们更加独特。

平方差公式就像是把他们的个性通过数学的方式表现在我们面前，挺有意思吧？2.2 生活中的应用那么，这个公式有什么实际用处呢？哈哈，真是好问题！生活中其实处处都有数学的影子。

比方说，你在购物时发现买两个相同的商品，能享受优惠，那么你就可以用这个公式计算出总共能省下多少钱。

又或者，你在测量一个房间的面积时，想知道长和宽的差异，也可以用平方差公式轻松搞定！生活就是这么神奇，连数学都可以变得有趣。

3. 差的平方公式3.1 差的平方公式的基本概念接下来，我们说说“差的平方公式”。

它的公式是这样的：((a b)^2 = a^2 2ab +b^2)。

听起来像是个魔法咒语，对吧？但其实它表达的是一个很简单的道理：如果你想知道两个数之间差距的平方，背后其实是他们各自的平方，加上两倍他们的乘积。

很酷吧？想象一下，(a)和(b)就像两个人在一个足球场上，(a)的得分是10，(b)的得分是6。

当他们在场上争夺胜利时，他们之间的差距不仅仅是比分的差异，还有双方的努力程度。

1.5平方差公式(2)

（4）（2y+z）（2y－z）
二、合作探究：
例 3 用平方差公式进行计算：（1）103×97 ；（2）118×122
例 4：计算
（1）（２a－３b）－（３a－２b）（2）
2 2
y 2 y 2 y 1 y 1
例 5.计算：（1）a2 （a+b）（a-b）+a2 b2 ；（2 ）（2x －5）（2x +5）－2x （2x －3）
图
a
a
。
b
图 1-4
小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如右图），这个长方形的
1-3
长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？ 4.计算下列各题（1）（x +2）（x －2）；（3）（x +5y）（x －5y）；（2）（1+3a）（1－3a）
2.抢答题：（2 +1）（2 +1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)
1
2
4
8Leabharlann 163264
四、总结反思：
五、课后练习：
1.2002 2 －2001×2003 的计算结果是（） A. 1 B.-1 C.2 D.-2 2 2 2.若 x－ y＝４， x＋ y＝７，则 x －y ＝ 100 3. ＝ 99 101 1 4.(1) (x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x-y) (2) (a+2b+c)(a+2b-c)
三、当堂检测：
1.计算：
1 1 （1）（x +2y）（x -2y） + （x +1）（x －1）；（2） x （x －1）－(x ) (x ) 3 3

§15平方差公式(2)

初一数学讲学稿(10)课题：§1.5平方差公式(2) 课型：新授课主编：审核：时间：姓名___【学习目标】了解平方差公式的几何背景，并能运用平方差公式进行简单的计算。

【学习重点】了解平方差公式的几何背景，并能运用平方差公式进行简单的计算。

【学习难点】了解平方差公式的几何背景【学习方法】合作探索，讲练结合教学法【学习过程】一、课前自学：1、如下图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。

(1)．请表示左下图中阴影部分的面积。

(2)．小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？长：宽：面积：(3)．比较(1) (2)的结果，你能验证平方差公式吗?二、合作探究2、计算下面各组算式，并观察它们的共同特点：{79_____88_____⨯=⨯={1113_____1212_____⨯=⨯={7981_____8080_____⨯=⨯={10199_____100100_____⨯=⨯=（1）从以上的过程中，你发现了什么规律？（2）请用字母表示这一规律并说明它的正确性：__ _____________三、尝试练习一：3、用平方差公式进行计算：（1）10397⨯ （2）117123⨯4、计算：（1）222()()a a b a b a b +-+ （2）(34)(34)3(32)a a a a -+--四、尝试练习二：5、计算：（1）704×696 （2）(2)(2)(1)(1)a b a b a a +-+-+（3）22(1)()()33x x x x ---+ （4） 11()()(32)(32)22a b a b a b a b +---+五、能力提高：6、如果2008,1,a b a b +=-=那么22a b -的值是多少？7、 (1) 2123412351233-⨯ （2）22222110099989721-+-++-L六、小结：七、教学反思：。

平方差公式和完全平方公式

平方差公式和完全平方公式平方差公式是数学中一条重要的公式，也是学习平方差的基础。

它可以帮助我们快速计算两个数的平方差，而不必一个一个去计算。

完全平方公式是数学中求解一元二次方程的方法之一，它可以帮助我们快速找到方程的解。

下面将详细介绍这两个公式。

一、平方差公式设两个数分别为a和b，它们的平方差可以表示为(a+b)(a-b)。

我们可以通过拆分(a+b)(a-b)来计算平方差。

拆分后得到的是一个差式，可以简化计算。

例如，计算25的平方差时，我们可以使用平方差公式：(25+5)(25-5)=30×20=600。

同样地，计算8的平方差时，使用平方差公式：(8+2)(8-2)=10×6=60。

通过平方差公式，我们可以快速准确地计算两个数的平方差。

二、完全平方公式完全平方公式是一种用来求解一元二次方程的方法。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。

完全平方公式是由求解一元二次方程的根的公式推导而来。

若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0有实数根，那么根可以表示为一个平方数。

利用完全平方公式，可以直接找到方程的解。

完全平方公式的表达式为：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)利用完全平方公式，我们可以求解一元二次方程的根。

例如，对于方程x^2-2x-3=0，我们可以直接套用完全平方公式：x=(-(-2)±√((-2)^2-4×1×(-3)))/(2×1)化简得：x=(2±√(4+12))/2即：x=(2±√16)/2化简得：x=(2±4)/2分别计算得到两个根：x1=(2+4)/2=6/2=3x2=(2-4)/2=-2/2=-1通过完全平方公式，我们可以直接得到方程的根。

总结：平方差公式和完全平方公式是数学中重要的计算工具，它们可以帮助我们快速计算平方差和求解一元二次方程。

平方差公式和完全平方公式

平方差公式和完全平方公式平方差公式是先平方再减a²-b²= (a+b)(a-b)。

完全平方公式是先加减最后是平方(a±b)²=a²±2ab+b²。

平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。

公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。

该公式需要注意：1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。

2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。

3.公式中的a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。

完全平方公式指两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

为了区别，会叫做两数和的完全平方公式，或叫做两数差的完全平方公式。

这个公式的结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）。

公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。

该公式需要注意：1.左边是一个二项式的完全平方。

2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。

3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。

4.不要漏下一次项。

5.切勿混淆公式。

6.运算结果中符号不要错误。

7.变式应用难，不易于掌握。

平方差公式(2)

二．教材助读
阅读课本回答以下问题
1.课本图1-3中的阴影部分是规则图形吗？怎样求它的面积？
2.正方形的面积公式是什么？长方形的面积公式是什么？
三．预习自测
1.运用平方差公式计算：
（1）22×18=（）；（2）(y+2)(y-2)(y +4)=( )
2.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1①），把剩下的部分剪拼成一个长方形（如图1②），分别计算着两个图形中阴影部分的面积，验证了一个公式，这个公式是（）。
（1）50 ×49 ;（2）100.3×99.7
训练案
1.下列运算正确的是（）
A.(x+3)(x-3)=x -3B.(2x+3)(2x-3)=2x -9
C.(2x+3)(x-3)= 2x -9D.(5ab+1)(5ab-1)=25a b -1
预习案
【使用说明与学法指导】1.用10分钟左右的时间，阅读探究课本中的内容，，并运用平方差公式进行计算；2.完成教材助读中的问题，然后结合课本中的基础知识和例题，完成预习自测题；3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑问”处。
一．旧知回顾
1.平方差公式是什么？
2.利用平方差公式计算时需注意什么问题？
例2：利用平方差公式计算：（a-1）(a +1)( a +1)(a+1)
拓展提升计算：(1+ )(1+ )(1+ )(1+ ))（）=16 y -9 x 中，括号内应填入（）
A.3x - 4y B.4y -3x
C.-3x - 4y D.3x +4y
2.利用平方差公式计算：

平方差公式(2)

1、多项式是两数差的形式，
2、两个数又都可以写成平方的形式，
在乘法公式中，“平方差”是展开计算结果在分解因式中，“平方差”是将多项式化成乘积
典例分析：将下列各式分解因式
1、a2-144b2
=a2-(12b)2
=(a+12b)(a-12b)
2、a3b-ab
=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1)
2
2.(2012珠海中考) 因式分解:ax2-ay2=______.
【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式；
即a（x2－y2）=a（x+y）（x－y）
3.（2012东阳中考）因式分解：x3-x=___.
【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1) 4.（2012盐城中考）因式分解: x2-9______
=﹝4(x+y)+5(x-y)﹞﹝4(x+y)-5(x-y)﹞
=(9x-y)(-x+9y)
练习一：1.选择题：
1、下列多项式中，能用平方差分解因式的是( D) A、x-xy B、x+xy C 、 x–y D、x+y 2.下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ） A. 4x² +y² B. 4x-(-y)² C. -4x² -y³ D. -x² +y²
8.已知 x+ y =7, x-y =5, 求 x 2- y2-2y+2x 的值.
思维拓展
① x5 － x3 ② x6 － 4x4
③ (x-1)＋b2 (1-x) ④ (a 2 ＋ b 2) 2－(b 2 ＋ c 2 )2
如图，在一块边长为 acm 的正方形的四角，各剪去一个边长为 bcm的正方形，求剩余部分的面积。如果 a=3.6，b=0.8呢?

公式法——平方差

公式法——平方差公式法，平方差公式法，也称为代数方法或笔算方法，是一种通过使用数学公式和恒等式来解决问题的方法。

它是数学中常用的一种解题方法，适用于各种数学题目，包括代数、几何、微积分等。

其中，平方差是一种常见的公式法问题类型。

平方差是指一个数字的平方与另一个数字的平方之间的差。

解决平方差问题的一种常见方法是使用平方差公式。

平方差公式表示为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个公式可以将一个数字的平方与另一个数字的平方之间的差表示为两个数字的和与差的乘积。

通过使用这个公式，我们可以简化平方差问题的解决过程。

下面我们将通过几个例子来介绍平方差的求解过程。

例1：求解81的平方与5的平方之差。

解：根据平方差公式，我们有：(81+5)(81-5)=81^2-5^2使用计算器或者手工计算，我们可以得到：(81+5)(81-5)=86×76=6536也就是说，81的平方与5的平方之差为6536例2：求解24的平方与9的平方之差。

解：同样地，根据平方差公式，我们有：(24+9)(24-9)=24^2-9^2计算得到：(24+9)(24-9)=33×15=495所以24的平方与9的平方之差为495除了使用平方差公式，我们还可以运用一些简化技巧来求解平方差问题。

例3：求解64的平方与16的平方之差。

解：在这个问题中，我们可以观察到64和16都是平方数，并且它们之间的关系很特殊。

所以我们可以不使用平方差公式，而是直接计算它们的差。

64^2-16^2=(64+16)(64-16)=80×48=3840通过直接计算，我们得到64的平方与16的平方之差为3840。

在解决平方差问题时，我们还应该注意一些常见的特殊情况。

例4：求解81的平方与-81的平方之差。

解：这个问题中涉及到正负数的平方。

根据平方差公式，我们有：(81+(-81))(81-(-81))=81^2-(-81)^2化简并计算得到：0×162=0所以81的平方与-81的平方之差为0。