整式的乘法与乘法公式

C、 1 ab3 a 4b12 4
D、 1 a3b2 2 1 a6b4 3 9
例三： 3m 3 3 m1的值是（ ）
A、1
B、－1
C、0
例四：化简下列结果
(1) a3 x y 3a 2by x
D、 3m1
(2) 23 5a2 53a 73a 7
(3)(2y x )(x 2y ) _____________ (4) (3a b)2 ___________________,(2a b)2 ______________________ (5) (a b)2 (a b)2 ____________,(x 2 y)2 _________________________
.
例五：你能很快算出 19952 吗？
为了解决这个问题，我们考察个位上的数字是 5 的自然数的平方，任意一个个位数为 5 的自然数可写成
10n 5，即求 10n 52 的值（n 为正整数），你分析 n=1、n=2，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、
猜想出结论（在下面的空格内填上你探索的结果）。 （1）通过计算，探索规律 152=225 可写成 100×1×（1+1）+25 252=625 可写成 100×2×（2+1）+25 352=1225 可写成 100×3×（3+1）+25 452=2025 可写成 100×4×（4+1）+25 …
14、与(x2＋x＋1)(x－1)的积等于 x6－1 的多项式是（ ）
A、x2－1 B、x3－1 C、x2＋1 D、x3＋1
15、已知 5x＝3，5y＝4，则 25x+y 的结果为（ ）
A、144
B、24
C、25
D、49
16、x 为正整数，且满足 3x+1·2x－3x2x+1＝66，则 x＝（ ）
A、2
wenku.baidu.com
.
8、比较 25180，64120，8190 的大小用“＜”号联
.
9、把下列各式分解因式：
(1) a2n－2a2n－1＝
；
(2) 1 x2－x＋1＝
；
4
(3) m－m5＝
；
(4) (1－x)＋(x－1)3＝
.
10、在多项式 16a2＋4 上加上一个单项式，使其成为一个整式的平方，该单项式是 .
11 、 四 个 连 续 自 然 数 中 ， 已 知 两 个 大 数 的 积 与 其 余 两 个 数 的 积 的 差 等 于 58 ， 则 这 四 个 数 的 和
am an =amn
幂的运算法则
(a
m
)n
a mn
(m,
n为正整数，a,
b可为一个单项式或一个式项式)
整
(ab)n
an
bn
式
单项式 单项式
的 乘
单项式多项式:m(a b) ma mb
法 整式的乘法 多项式多项式：(m n)(a b) ma mb na nb
特殊的
图5
课堂测试：
一、填空题
1、(－a)2·(－a)3＝
，(－x)·x2·(－x4)＝
，(xy2)2＝
.
2、(－2×105)2×1021＝
，(－3xy2)2·(－2x2y)＝
.
3、计算：(－8)2004 (－0.125)2003＝
，22005－22004＝
.
4、计算：(m－n)3·(m－n)2·(n－m)＝
752 5625 可写成
。
852 7225 可写成
。
（2）从第（1）题的结果归纳、猜想得： 10n 52
。
（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952
。
技巧 3：开放创新型 例六：请写出一个三项式，使它能先提公因式，在运用公式来分解。 你编写的三项式是_______________，分解的结果是________________.
图3 例十：有若干张如图 4 所示的正方形和长方形卡片，
a
a (1)
b
b
b
a
(2)
(3)
图4
表中所列四种方案能拼成边长为 a b的正方形的是（ ）
7
卡片 数量（张） 方案
A B C D
（1）
1 1 1 2
（2）
1 1 2 1
（3）
2 1 1 1
例十一：如图 5 是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一 个关于 a、b 的恒等式
请你将猜想到的规律用自然数 n(n≥1)表示出来
. 5
例四：请先观察下列算式，再填空：
32 12 8 1， 52 32 8 2 ．
（1） 72 52 8×
；
（2） 9 2 －（ ） 2 ＝8×4；
（3）（ ） 2 －9 2 ＝8×5；
（4）132 －（ ） 2 ＝8×
；……
通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论：
3.逆向变换的方法 在进行有些整式乘法运算时，逆用公式可使计算简便。这样的例子很多，前边已举了一些，这里再举一例。
例： ( 5 )2002 1.42003 7
4.整体代换的方法 此方法的最典型应用表现于乘法公式中，公式中的字母 a、b 不仅可以表示一个单项式，还可以表示一个 多项式，在因式分解 3a(m－2)＋4b(m－2)中，可把 m－2 看作一个整体，提公因式 m－2，即原式＝(m－2)(3a ＋4b)。 例一：（与方程综合）一个长方形的长增加 4 cm，宽减少 1 cm，面积保持不变；长减少 2 cm，宽增加 1 cm，
1 22
)(1
1 24
)(1
1 28
)
1 215
方法 3：将条件或结论巧妙变形简化计算 例三：计算 20030022－2003021×2003023
例四：已知(x＋y)2＝1，(x－y)2＝49，求 x2＋y2 与 xy 的值。
知识点三：整式乘法在求代数式值中的应用
方法 1：先将求值式化简，再代入求值 例一：先化简，再求值
知识点五：解题方法、技巧
技巧 1：构造求值型
例一：已知 x+y=1，那么 1 x2 xy 1 y2 的值为_______.
2
2
例二：计算： 2 22 23 218 219 220 ___________.
技巧 2：探索规律型
例三：观察下列各式：l2+1=1×2，22+2=2×3，32+3＝3×4，……
，(3＋a)(1－a)＝
，
(a＋2)(a－2)(4＋a2)＝
，(m＋n－1)(m－n－1)＝
.
5、xn＝5，yn＝3，则(xy)2n＝
，若 2x＝m，2y＝n，则 8x+y＝
.
6、若 A＝3x－2，B＝1－2x，C＝－5x，则 A·B＋A·C＝
.
7、不等式(x＋16)(x＋4)＞(x＋12)2 的解集是
.
例四：已知; a2 a 1 0，求 a3 2a2 1999 的值
3
例五：已知 x(x 1) (x2 y) 3 ，求 x2 y2 xy 的值 2
知识点四：学科内综合运用（数学思想方法简介）
1.从特殊到一般的认识规律和方法
在探索幂的运算法则时，都是从几个特殊例子出发，再推出法则。
如：从以下几个特殊的例子 a2·a3＝ a a a a a ＝a5＝a2＋3，
教学课题
整式的乘法与乘法公式
教学目标 教学重难点
知识网络归纳：
1.掌握整式的乘法、除法法则，会进行单项式与多项式的乘除运算，并熟练地进行 整式的计算与化简； 2.认识平方差公式与完全平方公式，并了解公式的意义并用其简化计算和解决简单 的实际问题； 重点：掌握整式乘除的乘法、除法法则，理解并运用乘法公式； 难点：迅速准确地进行整式的乘法运算及运算过程中的系数与符号问题，理解乘法 公式中字母的广泛含义；
(6)(－4x－y)(－5x＋2y)
(7)(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1)
(8)求(a＋b)2－(a－b)2－4ab 的值，其中 a＝2002，b＝2001；
（9）化简 a(b c) b(c a) c(a b) 的结果是（ ）
知识点二：巧用幂的运算和乘法公式简化运算
方法 1：逆用幂的三条运算法则简化计算
(a－2b)2＋(a－b)(a＋b)－2(a－3b)(a－b)，其中 a＝ 1 ，b＝－3 2
方法 2：整体代入求值
例二：当代数式 a＋b 的值为 3 时，代数式 2a＋2b＋1 的值是（ ）
A、5
B、6
C、7
D、8
例三：若代数式 2a2 3a 1的值为 6，则代数式 6a2 9a 5 的值为
例七：多项式 9x2 + 1 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 _________________________(填上一．个．你认为正确的即可)。
技巧 4：数形结合型
6
例八：如图 1，在长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形(a＞b)把余下的部分剪拼成一个矩形(如 图 2),通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式,则这个等式是( )
乘法公式
平方差公式 : (a 完全平方公式：(a
b)(a b) b)2 a
a2 b2 2 2ab
b2
知识点一：整式乘法的简单运用
注意：正确处理运算中的“符号”，避免以下错误，如： 例一：
等；
例二：下列各式计算正确的是（ ）
A、 a2b2 3 a6b6
B、 a2b 5 a2b5
4
面积仍保持不变。求这个长方形的面积。
例二：解不等式 ( y 2)2 (3 y)( y 3) 1
例三：生物课上老师讲到农作的需要的肥料主要有氮、磷、钾三种，现有某种复合肥共 50 千克，分别含 氮 23%、磷 11%、钾 6%，求此种肥料共含有肥料多少千克？
例四：（整除问题）248－1 可以被 60 和 70 之间某两个数整除，求这两个数。
是
.
12、如图(1)的面积可以用来解释(2a)2＝4a2，那么根据图(2)，可以用来解释
（写出一个符合要
8
求的代数恒等式）。
二、选择题
13、下列各式中，正确的是（ ）
A、m2·m3＝m6
B、(－a＋b)(b－a)＝a2－b2
C、25a2－2b2＝(5a＋2b)(5a－2b)
D、(x－y)(x2＋xy＋y2)＝x3－y3
C、x、y 异号 D、x、y 同号
19、不等式(x－1)2－(x＋1)(x－1)＋3(x＋1)＞0 的正整数解为（ ）
A、1, 2
B、1, 2, 3
C、1, 2, 3, 4
D、任意正整数
20、若二次三项式 ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)，则当 a＞0，b＜0，c＞0 时，c1，c2 的符号为（ ）
如在本章中，单项式乘以单项式可转化为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘以多项式以及多项式乘
以多项式都可转化为单项式乘以单项式，即多×多 转化 多×单 转化 单×单。还有：如比较 420 与 1510
的大小，通常也是将要比较的两个数化．为．底数相同或指数相同的形式，再进行比较，即 420＝(42)10＝1610，1610 ＞1510，所以 420＞1510。
A．a2－b2＝(a 十 b)(a—b) B．(a＋b)2＝a2＋2ab 十 b2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a 十 2b)(a－b)＝＝a2＋ab －2b2
例九：请你观察图 3，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这 个公式是_____________．
例一：(1) 计算： ( 3 )1996 (3 1)1996 ；
10
3
(2)已知 3×9m×27 m＝321，求 m 的值；
(3) 已知 x2n＝4，求(3x3n)2－4(x2) 2n 的值；
（4）已知： 39m 27m 36 ，求 m；
方法 2：巧用乘法公式简化计算 2
例二：计算
(1
1 )(1 2
2个
3个
a4·a6＝ a a a a a a a a a a ＝a10＝a4＋6，
4个
6个
推广到 am·an＝ a a a a a a ＝am+n。
m个
n个
从而得到法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”。
2.化归思想
即将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，这是初中数学中最常用的思想方法，
A、c1＞0, c2＞0 B、c1＜0, c2＜0 C、c1＞0, c2＜0 D、c1, c2 异号 21、若 m2＋m－1＝0，则 m3＋2m2＋3＝（ ）
A、2
B、4
C、－2
B、3
C、6
D、12
17、把多项式 2x2＋bx＋c 分解因式后得 2(x－3)(x＋1)，则 b、c 的值为（ ）
A、b＝3，c＝－1
B、b＝－6，c＝2
C、b＝－6，c＝－4
D、b＝－4，c＝－6
18、如果 xy≠0，且(x＋y)3＝x3＋y3，那么 x、y 的关系为（ ）
A、x＝y
B、x＋y＝0