整式的乘法与乘法公式
整式的乘法乘法公式
5、增项变化：(m n p)(m n p) m p 2 n2
6、增因式变化：(a b)(a b)(a2 b2 )(a4 b4 )
a2 b2 a2 b2 a4 b4
(3)结果是： 单项式 ， 是由 系数 、 字母 、字母的指数 组成. (4) 推广：三个或是三个以上的单项式相乘仍然适用.
B 6a5
9x5
一符号，二系数绝对值，三字母
2.
2xn1 yn
3xy
1 2
x
2
z
25y14
知识点二：单项式与多项式相 乘的运算法则
单项式去乘多项式的 每一项 ，再把所得的 积 相加 .即
知识点三：多项式与多项式相乘 的运算法则
a bm n __a_m__a_n__b_m___b_n__
要点诠释：
色笔区分
(1)结果是：.多项式 ， 结果需__化__简____，有同类项必须_合__并____.
(2) 特殊的二项式相乘：
x ax b __x_2__a__b_x___ab______
《 整式的乘法、乘法公式 》
2019/7/29
重点：
区分重难点
掌握整式的乘法运算性质和平方差公式、完 全平方公式进行计算。
难点：
1、整式的加、减、乘、乘方的混合运算，并 能灵活地运用运算律简化运算. 2、平方差公式、完全平方公式的灵活运用.
1、简单计算
5 52
53
54
9
_____
c c3
a8 b8
整式的乘法和乘法公式 复习课课件
2
5
7
-(x-y) (y-x)
7
7
找一找 -7 (A) ( 4
1 2
D
x y z ) (- x y ) = x y
5 3 2
2
2
4 7
2
3
3
( (B) (-2 10 ) ·-10 ) ·3 10 ) = -6 10 (
(C) (-
10
ab )= - a b
2 3n
2 3 3
1 6
8
27
( (D) (a ) · b ) = (ab)
乘 完全平方公式 2 法 (a+b) = 公 式
二次三项型乘法公式
2
a -b
2
2
a + 2ab +b
2
2
(x+a)(x+b)=
x +(a+b)x+ab
想一想 下列计算是否正确？如不正确，应
如何改正？
(-x+6)(-x-6) = -x - 6 2 2 2 = (-x) - 6 =x - 36 2 (2) (-x-1)(x+1) = -x- 1 2 = -(x+1)(x+1) = -(x+1) 2 2 =- ( x + 2x + 1) = -x - 2x -1 2 (3) (-2xy-1)(2xy-1) =1-2xy
(3) a · a
2
3
3
=2a
3
3
a
6
6
a a 6 2 3 5 x (4) ( x ) = x
(2) a· a
2
=
2
3
(5) 5a ·a =10a 2 (6) (8)
整式的乘法和乘法公式
学之导教育中心教案 学生: 陈林茵 授课时间： 月 日 课时： 2 年级： 八年级 教师： 陆老师课 题 整式的乘法和乘法公式教案构架 ：一、 知识回顾二、 知识检验三、 知识新授四、 知识小结教案内容：一、知识回顾二、知识检验三、知识新授22222()(,,)()()()():()()()2m n m n m n mn n n n a a a a a m n a b ab a b m a b ma mb m n a b ma mb na nb a b a b a b a b a ab b +⎧⎫⋅⎪⎪=⎨⎬⎪⎪=⋅⎩⎭⨯⎧⎪⨯+=+⨯++=+++⎨⎧+-=-⎪−−−→⎨±=±+⎪⎩特殊的=幂的运算法则为正整数，可为一个单项式或一个式项式单项式单项式单项式多项式:多项式多项式：整式的乘法平方差公式 乘法公式完全平方公式：⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩本次内容掌握情况总结 教 务 老 师 签 字 学 生 签 字整式的乘法1、同底数幂的乘法例：计算。
()()432a a a -∙-∙- ()()()x y x y y x -∙-∙-32 ()()122--∙-m m x y y x例：已知568122222⨯⨯=-x ，1211101010=∙+-y y ，求y x +的值。
练一练：已知1112x x x n n m =∙+-，且541y y y n m =∙--，求2mn 的值。
例：已知510=a ，610=b ，求b a 3210+的值。
2、幂的乘方例：计算。
()()31212+-∙n n a a ()()3223x x -∙- 归纳： 1、当a ＞0，m 为奇数时，()m m a a -=-，当m 为偶数时，()m m a a =-； 2、对于()m b a -，当m 为奇数时，()()m m a b b a --=-，当m 为偶数时，()()m m a b b a -=-。
整式的乘除—乘法公式
整式的乘除—乘法公式1整式的乘除—乘法公式【复习】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳⼩结公式的变式，准确灵活运⽤公式：①位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2②符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2⑦连⽤公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧逆⽤公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz【典例分析】例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
2 例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
整式的乘法和乘法公式
教师姓名 学生姓名 教材版本 北师大版学科名称 数学年 级七上课时间2012．6.12课题名称 整式的乘法及乘法公式教学目标 公式的变形和应用。
教学重点整式乘法的步骤和乘法公式。
教 学 过 程备 注一、 知识要点：1. 整式的乘法步骤。
2. 平方差公式。
3. 完全平方公式。
二、 典型例题： 1．先化简，再求值：（1）（2a-3）（3a+1）-6a （a-4），其中a=217． （2） x 2(x-1)-x(x 2+x-1) ,其中x=0.52．解下列方程（1）（x+1）（x-4）-（x-5）（x-1）=0 （2） ()()()()2342362x x x x x +--+-=+3．如图：计算下面各个图形的表面积与体积．3x-42xxx2x+54．若（x 2+mx+8）（x 2-3x+n ）的展开式中不含x 3和x 2项，求m 和n 的值．5.(2-1)(2+1) (22+1) (24+1)…(216+1)+16．用完全平方公式计算：（1）4992（2）9982（3）5992×60127．已知22124,10n m mn n m +==+），求（ 2))(2(n m -三、 课堂练习: 整式的乘法练习： 一．填空1．x x x ⋅⋅=32；-⋅-=a a 22() ；y y m m ⋅=+1；---=()()a a 3 。
2．()y 35= ；()-=2324xy z ；()-⨯=31033；()()x x 2322⋅= 。
3．()()--=5323a b a ；()()-=1222222x y xy 。
4．52342x x x ()-+= ；()()422ab b bc --= 。
5．()()x x +-=32 ；()()y y +-=1213。
6．()()32x y x y +-= ；()x y +=2。
7．（1）2x 5•5x 2=_________； （2）（2xy 2）•（13x 2y ）=_________； （3）（-5a 3bc ）•（3ac 2）=________． （4）3x 2y •（-4xy 2）•（x 3）2=_________．（5）（a+2b ）（a-b ）=___________； （6）（3a-2）（2a+5）=__________； （7）（x-3）（3x-4）=___________； （8）（3x-y ）（x+2y ）=__________． 8．已知（x+3）（x-2）=x 2+ax+b ，则a= ,b= .9．已知（x+2）（x 2+ax+b ）的积不含x 的二次项和一次项，a= ，b= ． 10．8012519981997⨯=. ；()()-+-=2210099 ； 11．若am=3，a n =5，则a m n 2+= ；12．若()-+2215x y m 与()13152x y n -是同类项，则m = ，n = 。
整式的乘法和乘法公式最新版
择 (2) 如果4x2+12xy+k是一个关于x、y的完全
B 平方式，则k=( )
(A) 3y 2 (B) 9y 2 (C) y
(D) 36y 2
如果4x2+kxy +9y2是一个关于x、y的完全平 方式，则k=(+ 12)
A （3）如果a+
1
a
=3,则a2+
1
a2
=(
)
选 (A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11
=(-1)2-(2xy)2 =1-4x2y2
口答练习一
(1) (x-2y)(x+2y) =x2-4y 2
(2)
(x-1y)(2源自x-1 2y
) =x2-xy +
1 4
y2
(3)
( 3x-
1 2
y
)
(
9x2+
23xy+
1
4
y
2
) =27x3-
y1 3
8
(4) (-x-2y)(-x+2y) =x2-4y2
整式的乘复法习和乘法公
式
a a a 同底数幂的乘法
m · n = m+n
幂的乘方
a a ( m )n = mn
整 式
积的乘方
( ab )n= an b n
的 乘
单项式的乘法
4a2x5 ·(-3a3bx2)
法
=[4 ( -3)](a2a3) (x5x2)b
=-12a5bx7
a a a 同底数幂的乘法
动手做
（1） 已知x=a+2b,y=a-2b，
求:x2+xy+y 2
整式的乘和乘法公式复习法
例1 利用完全平方公式计算： （1） 197 2
练习 利用整式乘法公式计算： （1）998 2
（2）( a b 3 )( a b 3 )
( x 2 )( x 2 ) ( x 1 )( x 3 ) （3 ）
ab 1 ) ( ab 1 ) （4）(
三乘法公式 四（一） 平方差公式 2 2 ( a b )( a b ) a b 五 （a、b可以 是数，也可以是整式） 六即：两数和与这两数差的积，等 于它们的平方差。
例2 利用平方差公式计算： 1 1 （1）( x y )( x y )
4
4
（2）
( m n )( m n ) 3 n
练习：计算 1 . (b5 ) 2
1 3 ( ) 2. 3
3 2
3 8
2
3 .(a
(p )
4
5 .(x ) 7 . 3
4 6
(x ) 6 .(2)
8. (2)
3 2
2 3
（三）积的乘方 n n n ( ab ) a b （n是正整数） 法则： 积的乘方等于各乘因数（或式）的 乘方的积。
例：计算： n 2 （1 ） (3 a ) （3 ） (2xy)
4
（2） (2 3)
2
（4 ） ( 2 b )
5
练习 ：计算 2 2 3 （1 ） (4a ) （2） (ab)
（3）( x
4
2
y )
2
3 3
（4） ( p q)
2
2
( 3 x ) ( 2 x ) （5 ） （6 ） 2 3 5
三） 多项式乘多项式 四法则 多项式与多项式相乘，先 用一个多项式的每一项乘另一多 项式的每一项，再把所得的积相 加。
整式的乘法(复习)——多多、乘法公式
整式的乘法（复习）——多×多 乘法公式【知识点复习】【乘法公式的使用技巧】(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础。
例1. 计算：(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2. 计算：例3. 计算：（三）、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
（因式分解）例4. 计算：（四）、变用: 题目变形后运用公式解题。
例5. 计算：（五）、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()2222221.22.23.4.a b ab a b ab a b a b a b a b +-=-+=++-=+--==++×))((n m b a 多：多（1）平方差公式：=+)-)((b a b a （2）完全平方公式：①=+2)(b a②=2)-(b a（3）“pq 型”（补充公式）：=++))((q x p x【跟踪练习】 计算：(1)(－2x －y)(2x －y)(2)19982－1998·3994＋199722222211111(3)(1)(1)(1)(1)(1)234910---⋅⋅⋅--（4）化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．（5）计算：(2x －3y －1)(－2x －3y ＋5)（6）已知a ＋b=9，ab=14，求2a 2＋2b 2【乘法公式与几何图形的面积】1、请你观察图中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。
2、（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示．用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②我们知道：同一个长方形的面积是确定的数值．由此，你可以得出的一个等式为：（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图并说明推出的过程．3、图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为：（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m-n）2，mn之间的等量关系是：（3）若x+y=-6，xy=5，则x-y=（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？【能力提高】 1、计算;（1）、22()()33m n m n -+-- （2）、2211(3)(3)22y x x y +-（3）、2222(2)(2)x y y x ---（4）、223()32x y -- （3）、(4)(3)x x +-（4）、(23)(23)x y x y +--+（5）、2()()()2a b a b a b a b ++-+-（6）、（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）（7）、（8）、［(x +2y )(x －2y )+4(x －y )2－6x ］6x .（9）、22222(2)(2)(2)(2)x x y x y x y x y -+-+-+（10）、222(3)4(3)(3)3(3)a a a a +-+-+- 2、化简求值：（1）先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-.（2）先化简，再求值：2(1)(2)x x x ++-，其中243x =.（3）已知1582=+x x ，求2)12()1(4)2)(2(++---+x x x x x 的值.3、求值：（1）已知a －b ＝1 ，a 2＋b 2＝25 ，求ab 的值； （2）已知,21=-x x 求221xx +的值； （3）已知,16)(2=+y x 4)(2＝y x - ，求xy 的值； （4）如果a 2＋b 2－2a ＋4b ＋5＝0 ，求a 、b 的值。
整式的乘法乘法公式
先算乘方，再算乘除，最后算 加减；
运用分配律
将括号内的代数式展开，并运用 分配律进行计算；
合并同类项
将同类项进行合并，得到最简结果 。
整式乘法公式的计算技巧
熟记公式
熟练掌握整式乘法公式，如平 方差公式、完全平方公式等；
化简代数式
在计算过程中，尽量化简代数 式，减少计算量；
灵活运用运算法则
整式乘法公式是一种简化的运算方法，适用于任何两个整式 的乘法运算。
整式乘法公式的特点
1
整式乘法公式具有普遍适用性，适用于任何两 个整式的乘法运算。
2
整式乘法公式可以简化复杂的计算过程，提高 运算效率。
3
整式乘法公式有助于培养学生的数学思维能力 和符号意识。
整式乘法公式的历史与发展
01
整式乘法公式是数学运算中的基本工具，有着悠久的历史和广 泛的应用。
2023
《整式的乘法乘法公式》
contents
目录
• 整式乘法公式概述 • 整式乘法公式的形式与证明 • 整式乘法公式的计算方法与技巧 • 整式乘法公式的应用实例
01
整式乘法公式概述
整式乘法公式的定义
整式乘法公式定义：整式乘法公式是单项式与单项式相乘， 把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的 指数不变，作为积的因式的运算。
交换律公式
$(a+b)(c+d)=(a+b)(c+d)$
整式乘法公式的证明方法
分配律公式的证明
根据乘法分配律，可以得出$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
结合律公式的证明
根据乘法结合律，可以得出$(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$。
整式的乘法运算
整式的乘法运算整式的乘法运算是代数学中的一种重要的运算方式。
整式是由常数、字母以及它们的乘积组成的式子。
整式的乘法运算是指将两个整式相乘，从而得到一个新的整式。
在整式的乘法运算中，我们需要掌握以下几个基本的规则：一、常数的乘法：常数与常数相乘的结果仍然是常数。
例如，2乘以3等于6。
二、字母的乘法：字母与字母相乘的结果仍然是字母，并且按照字母表顺序排列。
例如，a乘以b等于ab。
三、常数与字母的乘法：常数与字母相乘的结果仍然是字母，并且乘积的值等于常数与字母的乘积。
例如，2乘以a等于2a。
四、字母的指数幂：字母的指数幂是将字母连续乘以自身指数次数。
例如，a的2次幂等于aa，简记为a²。
五、整式的乘法：整式的乘法是将两个整式的每一项相乘，然后将结果相加。
例如，(2a + 3b)乘以(4a - 5b)等于8a² - 10ab + 12ab - 15b²，简记为8a² + 2ab - 15b²。
除了以上的基本规则外，我们还需要掌握一下常见的整式的乘法公式：一、二次方的乘法公式：(a + b)² = a² + 2ab + b²。
例如：(2x + 3y)² = (2x)² + 2(2x)(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²。
二、差的乘法公式：(a - b)² = a² - 2ab + b²。
例如：(2x - 3y)² = (2x)² - 2(2x)(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy + 9y²。
三、平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)。
例如：4x² - 9y² = (2x + 3y)(2x - 3y)。
整式乘法和乘法公式复习
常见的变形：
1、位置变化：(a b)(b a)
2、系数变化：(3x 5 y)(3x 5 y ) 3、指数变化： (m3 n2 )(m3 n2 ) 4、符号变化：(a b)(a b)
a b
2
2
2
2
9 x 25y
m n
6 4
b a
2
2
2
5、增项变化：(m n p)(m n p)
让我们一起来回顾：
单项式×单项式 ＝(系数×系数)(同底数幂相乘)(单独的幂)
2 3 3 单项式与单项式相乘，把他们的系 ( 3 a c ) ( 2 a b ) 数、相同字母的幂分别相乘。其余 =[(-3).(-2)](a2.a3).c.b3 字母连同他的指数不变，作为积的 5 3 =6a b c 因式。
m p n2
知识点五：完全 a b __________ 头平方，尾平方， 2倍乘积放中央 2 a 2 ab b a b __________ _____ 左边
2 2
两数和（差）的平方，等于这两个数的平方和加上 乘积的两倍 （减去）这两数____________ 右边 二次三项式
5、完全平方公式
2
a ba b __________ _____
2 2
a b
a b __________ _____ 2 a 2ab b a b __________ _____
a 2 2ab b 2
2 2
总结升华： (1)变形为完全平方形式，灵活运用公式； (2)非负性：平方、二次根式、绝对值
2 (m-1)(m+1)(m +1)
小
整式的乘法与因式分解所有知识点总结
整式的乘法与因式分解所有知识点总结一、整式的乘法1.乘法法则：(1)两个整系数多项式相乘，按照分配律逐项相乘再相加即可。
(2)对于整式的乘幂，将底数相乘，指数相加。
(3)进行乘法时，可以将同类项合并。
2.乘法的性质：(1)乘法交换律：a*b=b*a(2)乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)(3)乘法的分配律：a*(b+c)=a*b+a*c3.乘法公式：(1) 平方公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(2)平方差公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2(3) 三项平方和公式：a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc)4.乘法的运用：(1)计算多项式的立方和高次幂。
(2)将多项式与常数相乘。
(3)将多项式乘以一个多项式。
二、因式分解1.因式分解的定义：因式分解是指将一个多项式表示为几个乘积的形式，其中每个乘积称为因式。
2.因式分解的方法：(1)公因式提取法：将多项式的所有项提取出一个最高公因式，然后将剩余部分因式分解。
(2)公式法：利用数学公式，如平方公式、立方公式等进行因式分解。
(3)分组分解法：将多项式分成若干组，每组提取公因式后进行因式分解。
3.公式法的常见因式分解：(1)平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)(2) 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2(3) 差平方公式：a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2(4) 立方和公式：a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)(5) 三项平方和公式：a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc)4.分组分解法的常见因式分解：(1)将多项式分成两组，每组提取公因式后进行因式分解。
(2)将多项式分成三组，每组提取公因式后进行因式分解。
整式的乘法运算法则
整式的乘法运算法则乘法运算法则1. 相同数乘以相同数等于它们的乘积：a*a=a²；2. 指数乘积性质：xⁿ*xᵐ=xⁿ⁺ᵐ；3. 幂乘积性质：(x*y)ᵐ=xᵐ*yᵐ；4. 相反数乘积：(-a)*(-b)=a*b；5. 乘积与商乘积性质：a¹／b¹=a*b；6. 乘积与商除积性质：a¹／b⁰=a/b；7. 乘积与和差乘积性质：(a+b)*(a-b)=a²-b²；8. 乘积的特点：乘积不受其中的任意一个因子的变化而受影响。
9. 乘方：x*x*x=x³；10. 平方根：x*x=√x；11. 积与分母乘积：(x*x)*(1/x)=x，(x*y/a)*(a/z)= x*y/z。
12. 求倒数乘积：（1/a）*（1/b）=1/(ab)；13. 指定数乘积：x*a=a*x=a，x*0=0*x=0；14. 除数与商的乘积性质：a/b*b=a；15. 乘法减法：x/(x-a)=1+a／x；16. 四、三、二乘方：a⁴*b³*c²=(abc)⁶；17. 乘积减法：a*b*c-a*b=a*b*(c-1)；18. 乘积的和减去乘积的差：a*b-c*d=(a-c)*(b-d)。
乘法运算在日常生活中很常见，由小孩子到成年人，都会用到乘法，小学是孩子学习数学中最基础的概念，乘法运算是学习过程中重要的一步。
乘法运算分为乘法公式和乘法运算法则两部分。
乘法公式主要是指某些具体的情形，根据这些具体情形来估算和求解数学问题；乘法运算法则则是一些更宽泛的知识，用来解决不同概念之间的关系。
以下是乘法运算法则的18条规则：1、相同数乘以相同数等于它们的乘积：a*a=a²；2、指数乘积性质：xⁿ*xᵐ=xⁿ⁺ᵐ；3、幂乘积性质：(x*y)ᵐ=xᵐ*yᵐ；4、相反数乘积：(-a)*(-b)=a*b；5、乘积与商乘积性质：a¹／b¹=a*b；6、乘积与商除积性质：a¹／b⁰=a/b；7、乘积与和差乘积性质：(a+b)*(a-b)=a²-b²；8、乘积的特点：乘积不受其中的任意一个因子的变化而受影响；9、乘方：x*x*x=x³；10、平方根：x*x=√x；11、积与分母乘积：(x*x)*(1/x)=x，(x*y/a)*(a/z)= x*y/z；12、求倒数乘积：（1/a）*（1/b）=1/(ab)；13、指定数乘积：x*a=a*x=a，x*0=0*x=0；14、除数与商的乘积性质：a/b*b=a；15、乘法减法：x/(x-a)=1+a／x；16、四、三、二乘方：a⁴*b³*c²=(abc)⁶；17、乘积减法：a*b*c-a*b=a*b*(c-1)；18、乘积的和减去乘积的差：a*b-c*d=(a-c)*(b-d)。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总1.一元整式的乘法：一元整式是只含有一个变量的整式，例如3x^2+2x+1、一元整式的乘法就是将两个一元整式相乘，可以使用分配律和合并同类项的方法。
例如：(3x+2)(2x-5)=3x*2x+3x*(-5)+2*2x+2*(-5)=6x^2-15x+4x-10=6x^2-11x-102.多项式的乘法：多项式是含有多个项的整式，例如(3x+2)(2x-5)。
多项式的乘法可以通过将每个项相乘，并使用分配律和合并同类项的方法进行简化。
例如：(3x+2)(2x-5)=3x*2x+3x*(-5)+2*2x+2*(-5)=6x^2-15x+4x-10=6x^2-11x-103.完全平方公式：完全平方公式是一种特殊的乘法形式，将一个一元二次多项式乘积进行简化。
完全平方公式为(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2例如：(x+3)(x+3)=x^2+2*x*3+3^2=x^2+6x+9因式分解知识点汇总：1.因式分解的基本思想：因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式，其中每个乘积称为一个因式。
通过因式分解，可以简化计算和解决问题。
2.因式分解的基本方法：2.1提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，得到一个公因式和一个因式为公因式的多项式。
例如：2x^2+4x=2x(x+2)2.2公式法：使用已知的公式，例如完全平方公式、差平方公式等，将多项式进行因式分解。
例如：x^2-9=(x+3)(x-3)2.3分组分解法：将多项式中的各项进行分组，并找出可以进行因式分解的共同因式。
例如：ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)2.4平方差公式：将一个二次多项式表示为两个平方的差。
例如：x^2-4=(x+2)(x-2)2.5公因式平方差公式：将一个二次多项式表示为公因式的平方减去另一个平方。
例如：x^2-y^2=(x+y)(x-y)2.6公式的逆运算：将一个多项式进行展开，得到可以进行因式分解的形式。
“整式的乘法、乘法公式”全精复习
“整式的乘法、乘法公式”全精复习一、知识要点1．单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．2．单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 即m(a ＋b ＋c)＝ma ＋mb ＋mc3．多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即(m ＋n)(a ＋b)＝ma ＋mb ＋na ＋nb ．4．平方差公式：22b a )b a )(b a (-=-+．即两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差．平方差公式的特点：(1)左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数；(2)右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反数的平方)；(3)公式中的a 和b 可以是有理数，也可以是单项式或多项式．5．完全平方公式：.222)(,2)(2222222ca bc ab c b a c b a b ab a b a +++++=+++±=±．即两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的2倍．完全平方公式的特点：(1)左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．(2)公式中的a 、b 可以是单项式，也可以是多项式．二、重要方法1． 待定系数法；2．配方法；3．迭代法（整体代换）．三、典型例题1.平方差公式完全平方公式基本应用例1（1） (13 a 2－14 b)( －14 b －13 a 2) （2） (a －12 )2 (a 2+14 )2(a+12)2（3） (－2a －3b)2 （4） (a －3b+2c)2（5）(c －2b+3a)(2b+c －3a) （6） (a －b)(a+b)2－2ab(a 2－b 2)例2（1）当m ＝ 时，25)3(22+-+x m x 是完全平方式。
整式的乘法与乘法公式考点归纳
人教版八年级上第十四章14.1整式的乘法、14.2乘法公式必背重点公式考点归纳黎平县地坪附中80（2）班、80（4）班 姓名14.1整式的乘法1、同底数幂的乘法：p n m p n ma a a a ++=∙∙ 例如：621323x x x x x ==∙∙++2、幂的乘方：()mnnm aa = 例如：()()[]24342342126262;x xxm mm ====⨯⨯⨯3、积的乘方：()m m mb a ab =例如：()()()242222223333422;y x y x y xc b a abc ===4、单项式⨯单项式（单单）：①有乘方先算乘方；②系数乘系数；③同底数幂相乘；④单独的字母连同它的指数作为积的一个因式。
例如：()()()255322432222232212343232z y x xy z y x xy zy x xy yz x =⨯=⨯-=⨯-5、单项式⨯多项式（单多）：()cx bx ax c b a x ++=++（类似乘法分配律）例如：6、多项式⨯多项式（多多）：bn bm an am n m b a +++=++))((例如：4)3(5)3(4252)45)(32(∙-+∙-+∙+∙=+-y x y x y x1215810)12()15(810--+=-+-++=y x xy y x xy7、同底数幂的除法：),(n m n m aa anm nm＞都是正整数，-=÷)0(10≠=a a 重点公式： 例如：()12020114.3;1)2019(;052727-=-=-=-==÷-；πx xx x8、单项式÷单项式：①有乘方先算乘方；②系数除系数；③同底数幂相除；④对于被除式里单独的字母连同它的指数作为商的一个因式。
（也可以变成分数的约分来理解）5)3(4)3(23)542)(3(2222⨯--⨯-+⨯-=-+-ab ab ab a ab ab a ab abb a b a ab b a b a 15126)15()12(6323323+--=---+-=例如：333364332343234686)()2(6)2(b a a b a a b a a b a -=÷-=÷-=÷-9多项式÷单项式：m c m b m a m c b a ÷+÷+÷=÷++)(（类似乘法分配律）例如：124333)6(3123)3612(22323+-=÷+÷-+÷=÷+-a a a a a a a a a a a a 14.2乘法公式10、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+11、完全平方公式：①完全平方和公式：2222)(bab a b a ++=+②完全平方差公式：2222)(bab a b a +-=-12、整式的加减乘除混合运算：①有乘方先算乘方；②再算乘除；③最后算加减说明：整式的加减乘除混合运算必须要以以上11个公式为运算工具，所以必须掌握上面11个公式。
《整式的乘法》整式的乘除
汇报人： 2023-11-28
contents
目录
• 整式乘除法的定义与规则 • 整式乘法的运算方法 • 整式除法的运算方法 • 整式乘除法的实际应用 • 整式乘除法在数学中的重要性 • 整式乘法的技巧和注意事项
01
整式乘除法的定义与规则
整式的乘法定义
整式乘法的定义
整式乘法是将几个整式相乘，所得的 积叫做整式的乘积。
整式乘法的运算顺序
在进行整式乘法时，应先进行单项式 的乘法运算，再合并同类项。
整式的乘法规则
同底数幂相乘
同底数幂相乘，底数不变，指 数相加。
幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相 乘。
积的乘方
积的乘方，等于把积的每一个 因式分别乘方，再把所得的幂 相乘。
单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘，就是根 据分配律用单项式去乘多项式 的每一项，再把所得的积相加
单项式与多项式的乘法运算
要点一
总结词
要点二
详细描述
逐项处理，将单项式与多项式的每一项分别相乘，再合并 同类项。
单项式与多项式的乘法运算，需要把单项式与多项式的每 一项分别相乘，并且把所得的积相加。具体地，对于多项 式的每一项，将其系数和字母部分分别与单项式的系数和 字母部分相乘，然后合并同类项得到结果多项式的每一项 。特别地，当多项式中有一项与单项式完全相同时，则结 果多项式中该项的系数为单项式的系数乘以多项式中该项 的系数。
03
整式除法的运算方法
单项式与单项式的除法运算
总结词
简单、易于操作
详细描述
单项式与单项式的除法运算相对简单，只需将被除数除以除数，得到商即可。例 如，$10/3 = 3.33\ldots$。
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C、x、y 异号 D、x、y 同号
19、不等式(x－1)2－(x＋1)(x－1)＋3(x＋1)＞0 的正整数解为（ ）
A、1, 2
B、1, 2, 3
C、1, 2, 3, 4
D、任意正整数
20、若二次三项式 ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)，则当 a＞0，b＜0，c＞0 时，c1，c2 的符号为（ ）
是
.
12、如图(1)的面积可以用来解释(2a)2＝4a2，那么根据图(2)，可以用来解释
（写出一个符合要
8
求的代数恒等式）。
二、选择题
13、下列各式中，正确的是（ ）
A、m2·m3＝m6
B、(－a＋b)(b－a)＝a2－b2
C、25a2－2b2＝(5a＋2b)(5a－2b)
D、(x－y)(x2＋xy＋y2)＝x3－y3
752 5625 可写成
。
852 7225 可写成
。
（2）从第（1）题的结果归纳、猜想得： 10n 52
。
（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952
。
技巧 3：开放创新型 例六：请写出一个三项式，使它能先提公因式，在运用公式来分解。 你编写的三项式是_______________，分解的结果是________________.
(6)(－4x－y)(－5x＋2y)
(7)(x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1)
(8)求(a＋b)2－(a－b)2－4ab 的值，其中 a＝2002，b＝2001；
（9）化简 a(b c) b(c a) c(a b) 的结果是（ ）
知识点二：巧用幂的运算和乘法公式简化运算
方法 1：逆用幂的三条运算法则简化计算
4
面积仍保持不变。求这个长方形的面积。
例二：解不等式 ( y 2)2 (3 y)( y 3) 1
例三：生物课上老师讲到农作的需要的肥料主要有氮、磷、钾三种，现有某种复合肥共 50 千克，分别含 氮 23%、磷 11%、钾 6%，求此种肥料共含有肥料多少千克？
例四：（整除问题）248－1 可以被 60 和 70 之间某两个数整除，求这两个数。
如在本章中，单项式乘以单项式可转化为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘以多项式以及多项式乘
以多项式都可转化为单项式乘以单项式，即多×多 转化 多×单 转化 单×单。还有：如比较 420 与 1510
的大小，通常也是将要比较的两个数化．为．底数相同或指数相同的形式，再进行比较，即 420＝(42)10＝1610，1610 ＞1510，所以 420＞1510。
.
8、比较 25180，64120，8190 的大小用“＜”号联
.
9、把下列各式分解因式：
(1) a2n－2a2n－1＝
；
(2) 1 x2－x＋1＝
；
4
(3) m－m5＝
；
(4) (1－x)＋(x－1)3＝
.
10、在多项式 16a2＋4 上加上一个单项式，使其成为一个整式的平方，该单项式是 .
11 、 四 个 连 续 自 然 数 中 ， 已 知 两 个 大 数 的 积 与 其 余 两 个 数 的 积 的 差 等 于 58 ， 则 这 四 个 数 的 和
A．a2－b2＝(a 十 b)(a—b) B．(a＋b)2＝a2＋2ab 十 b2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a 十 2b)(a－b)＝＝a2＋ab －2b2
例九：请你观察图 3，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这 个公式是_____________．
3.逆向变换的方法 在进行有些整式乘法运算时，逆用公式可使计算简便。这样的例子很多，前边已举了一些，这里再举一例。
例： ( 5 )2002 1.42003 7
4.整体代换的方法 此方法的最典型应用表现于乘法公式中，公式中的字母 a、b 不仅可以表示一个单项式，还可以表示一个 多项式，在因式分解 3a(m－2)＋4b(m－2)中，可把 m－2 看作一个整体，提公因式 m－2，即原式＝(m－2)(3a ＋4b)。 例一：（与方程综合）一个长方形的长增加 4 cm，宽减少 1 cm，面积保持不变；长减少 2 cm，宽增加 1 cm，
am an =amn
幂的运算法则
(a
m
)n
a mn
(m,
n为正整数，a,
b可为一个单项式或一个式项式)
整
(ab)n
an
bn
式
单项式 单项式
的 乘
单项式多项式:m(a b) ma mb
法 整式的乘法 多项式多项式：(m n)(a b) ma mb na nb
特殊的
A、c1＞0, c2＞0 B、c1＜0, c2＜0 C、c1＞0, c2＜0 D、c1, c2 异号 21、若 m2＋m－1＝0，则 m3＋2m2＋3＝（ ）
A、2
B、4
C、－2
知识点五：解题方法、技巧
技巧 1：构造求值型
例一：已知 x+y=1，那么 1 x2 xy 1 y2 的值为_______.
2
2
例二：计算： 2 22 23 218 219 220 ___________.
技巧 2：探索规律型
例三：观察下列各式：l2+1=1×2，22+2=2×3，32+3＝3×4，……
请你将猜想到的规律用自然数 n(n≥1)表示出来
. 5
例四：请先观察下列算式，再填空：
32 12 8 1， 52 32 8 2 ．
（1） 72 52 8×
；
（2） 9 2 －（ ） 2 ＝8×4；
（3）（ ） 2 －9 2 ＝8×5；
（4）132 －（ ） 2 ＝8×
；……
通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论：
.
例五：你能很快算出 19952 吗？
为了解决这个问题，我们考察个位上的数字是 5 的自然数的平方，任意一个个位数为 5 的自然数可写成
10n 5，即求 10n 52 的值（n 为正整数），你分析 n=1、n=2，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、
猜想出结论（在下面的空格内填上你探索的结果）。 （1）通过计算，探索规律 152=225 可写成 100×1×（1+1）+25 252=625 可写成 100×2×（2+1）+25 352=1225 可写成 100×3×（3+1）+25 452=2025 可写成 100×4×（4+1）+25 …
乘法公式
平方差公式 : (a 完全平方公式：(a
b)(a b) b)2 a
a2 b2 2 2ab
b2
知识点一：整式乘法的简单运用
注意：正确处理运算中的“符号”，避免以下错误，如： 例一：
等；
例二：下列各式计算正确的是（ ）
A、 a2b2 3 a6b6
B、 a2b 5 a2b5
，(3＋a)(1－a)＝
，
(a＋2)(a－2)(4＋a2)＝
，(m＋n－1)(m－n－1)＝
.
5、xn＝5，yn＝3，则(xy)2n＝
，若 2x＝m，2y＝n，则 8x+y＝
.
6、若 A＝3x－2，B＝1－2x，C＝－5x，则 A·B＋A·C＝
.
7、不等式(x＋16)(x＋4)＞(x＋12)2 的解集是
B、3
C、6
D、12
17、把多项式 2x2＋bx＋c 分解因式后得 2(x－3)(x＋1)，则 b、c 的值为（ ）
A、b＝3，c＝－1
B、b＝－6，c＝2
C、b＝－6，c＝－4
D、b＝－4，c＝－6
18、如果 xy≠0，且(x＋y)3＝x3＋y3，那么 x、y 的关系为（ ）
A、x＝y
B、x＋y＝0
图5
课堂测试：
一、填空题
1、(－a)2·(－a)3＝
，(－x)·x2·(－x4)＝
，(xy2)2＝
.
2、(－2×105)2×1021＝
，(－3xy2)2·(－2x2y)＝
.
3、计算：(－8)2004 (－0.125)2003＝
，22005－22004＝
.
4、计算：(m－n)3·(m－n)2·(n－m)＝
.
例四：已知; a2 a 1 0，求 a3 2a2 1999 的值
3
例五：已知 x(x 1) (x2 y) 3 ，求 x2 y2 xy 的值 2
知识点四：学科内综合运用（数学思想方法简介）
1.从特殊到一般的认识规律和方法
在探索幂的运算法则时，都是从几个特殊例子出发，再推出法则。
如：从以下几个特殊的例子 a2·a3＝ a a a a a ＝a5＝a2＋3，
14、与(x2＋x＋1)(x－1)的积等于 x6－1 的多项式是（ ）
A、x2－1 B、x3－1 C、x2＋1 D、x3＋1
15、已知 5x＝3，5y＝4，则 25x+y 的结果为（ ）
A、144
B、24
C、25
D、49
16、x 为正整数，且满足 3x+1·2x－3x2x+1＝66，则 x＝（ ）
A、2
教学课题
整式的乘法与乘法公式
教学目标 教学重难点
知识网络归纳：
1.掌握整式的乘法、除法法则，会进行单项式与多项式的乘除运算，并熟练地进行 整式的计算与化简； 2.认识平方差公式与完全平方公式，并了解公式的意义并用其简化计算和解决简单 的实际问题； 重点：掌握整式乘除的乘法、除法法则，理解并运用乘法公式； 难点：迅速准确地进行整式的乘法运算及运算过程中的系数与符号问题，理解乘法 公式中字母的广泛含义；
2个
3个
a4·a6＝ a a a a a a a a a a ＝a10＝a4＋6，