可靠性灵敏度分析的一种新方法

ther efor e it is mor e suit able for t he implicit limit state equatio n compar ing w ith the r eliabilit y sensitivit y based
on the first o rder and second moment method. Some illustr ations ar e used to demonst rate t he rationalit y and
the precision of the pr esented reliability sensitiv ity analysis method.
Key words: reliability; pro babilistic analysis; f irst- o rder r eliability method; M o nte- Car lo simulatio n; parame-
摘 要: 基于极限状态函数矩估计的失效概率计算, 提出一种新的可靠性灵敏度分析方法。推 导极限状 态函 数的矩对基本变量分布参数的偏导数, 并进而利 用失效概率与极限 状态方程 矩的关系, 推导失 效概率对 基本 变量分布参数的偏导数, 从而得到可靠性灵敏度 。与改 进一次二阶 矩可靠性 灵敏度分析 方法相比, 所提方 法
1 基于极限状态函数矩估计的失效概率 计算
1 1 极限状态函数矩的点估计[ 7]
设极限状态函数 g ( x) = g ( x 1 , x 2 , , x n ) , x= { x 1 , x 2 , , x n } 为基本随机 向量。x i 服从均
值为 xi 和标准差为 xi 的正态分布, 则由文献[ 7] 可知极限状态函数的各阶矩可采用下列方法进行
估计。
对仅 有 x 1 一 个随 机变 量的 极限 状态 函数 g= g( x 1) , g 的各阶矩可以由下列式( 1) 和式( 2) 给出
m
g=
P l g( T- 1( ul ) )
( 1)
l
m
M kg =
Pl {g [ T- 1(ul)] - g }k, k 2
l= 0
( 2)
式中: g 和 M kg 分别为 g ( x 1 ) 的均值和 k 阶无量
( 西北工业大学 航 空学院, 陕西 西安 710072)
A New Reliability Sensitivity Analysis Method
SONG Jun, L U Zhen- zhou
( Schoo l of A ero nautics, No rthw est er n Polytechnical U niv ersity , Xi an 710072, China)
P0 = 16/ 35, P1 = P2 = 0 240 123 3, P3 = P4 =
3 075 71 10- 2 , P 5 = P6 = 5 482 69 10- 4
当极限状态函数 g 中含有 n 个服从正态分布的
基本变量时, 则 g 的前四阶矩可由下列算式给出,
n
g=
(
i= 1
gi -
g )+
824
航空学报
第 27 卷
以最高采用 极限状 态函 数的 二阶 矩、三阶矩 和 四阶矩来计 算失效 概率, 并 给出 了极 限状态 函 数各阶矩的点估计方 法[ 7] 。二阶矩和四 阶矩法 比较容易实 现而且 四阶 矩方 法的 精度较 高, 因 此本文选择二阶和四阶矩 失效概率计算 方法来 进行灵敏度分析。由于基 于极限状态函 数矩的 失效概率计 算方法 不要 求设 计点, 因 此它适 用 于隐式极限状态方 程。又 由于其属于一 种近似 解析法, 所 以计 算工作 量非 常小。本 文方法 是 基于矩估计失效概率计算 而提出的一种 可靠性 灵敏度分析 方法, 整个 灵敏 度计 算公 式的推 导 是精确的, 所以本 文方 法的 适用 范围 取决于 矩 估计失效概率计算 方法的适用范 围。根 据已有 文献的报道[ 6 , 7] 和本文作者的验 证可以知道, 四 阶矩失效概率计算方法适 用于非线性次 数小于 等于 4 次或非线性次数大 于 4 次但基本 变量的 变异系数较 小的情 况, 而大 部分 工程 问题处 在 这样的情况 下, 因 此本 文提 出的 方法 有较宽 的 适用范 围, 可以 解决大 部分 的工 程问 题。对 于 少数非线性次数大于 4 且 基本变量的变 异系数 很大的工程 问题, 可以 通过 增加 矩的 阶数来 提 高精度。为 了便于 读者 的理 解, 首先 介绍了 基 于极限状态 函数矩 的失 效概 率计 算方法, 基 于 此, 详细推 导了失 效概 率对 基本 变量 的灵敏 度 计算公式, 最后用算例验证了所 提方法的精度, 并给出了结论。
解析表达式有较强的依赖性。M onte- Carlo 可靠 性灵敏 度分 析方 法是 由 M ont e- Carlo 失 效概 率 求解方法和改进的一次 二阶矩可靠性灵 敏度分
析方法派生而来。如果对某个问题采用 M ont eCarlo 数值模拟法来求解失 效概率, 则可以 通过 在设计点附近回归分析 得到极限状态方 程的线 性解析表达式来得到 可靠性灵敏度[ 2] 。很显然 这种方法适 合于隐 式极 限状 态方 程, 但其显 著 的缺点是计算工 作量太大。重要抽样可 以大大 减小 M ont e- Carlo 法 的计 算工 作 量[ 4, 5] , 但对 于 小概率问题仍不太适合 大型复杂结构的 可靠性 及其灵 敏度分 析。文献[ 6] 提出 了一 种基于 极 限状态函数 矩估计 的失 效概 率的 计算 方法, 该 方法依据所 研究问 题的 不同 复杂 程度, 分别 可
tion to distr ibution par ameters of basic v ariables is deriv ed. By use of the relat ionship of the failur e pro bability
and the mo ment o f the lim it state functio n, the par tial different ial o f the failure pro bability to t he distr ibution
纲中心矩, m= 6; T - 1 ( ul ) 为正态变量标准化函数 的反函数, 也即 T - 1 ( ul ) = x1 + ul x1 , 参数 ul 和 P l 如下所示
u0 = 0, u1 = - u2 = 1 154 405 4, u3 = - u4 =
2 366 759 4, u5 = - u6 = 3 750 439 7
第5期
宋 军等: 可靠性灵敏度分析的一种新方法
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n
g/ xi =
/gi
xi
i= 1
( 20) 所示; 而考虑四阶矩时, 则 Pf 对基本变量分布
Abstract: Based on the mo ment estimatio n of limit st ate function fo r calculatio n of failur e pro bability , a new re-
liability sensitiv ity analysis method is pr esented. T he par tial different ial o f the mo ment o f t he limit state func-
收稿日期: 2005-05-08; 修订日期: 2005-07-20 基 金 项 目: 航 空 基 金 ( 00B53010 ) 、 航 天 基 金 ( N3CH 0502,
N 5CH 0001) 、陕西省自然科学基金( 2003CS0501)
度分析方法可以看作是 可靠度分析的一 个副产 品[ 1 ] , 因为只 要得 到基 于改进 的一 次二 阶矩 的 可靠度结果, 就 可以非 常直 接得 到可 靠性灵 敏 度。这种方法的主要缺 陷是对极限状态 方程的
不用求极限状态方程的设计点, 因而不需用到极 限状态函数对基本 变量的梯 度函数, 适用于隐 式极限状 态方 程的可靠性灵敏度分析, 算例结果也充分显示所 提方法的合理性和精度。 关键词: 可靠性; 概率分析; 一次二阶矩法; 蒙特卡罗法; 参数灵敏 度; 矩方法
中图分类号: T B114 3
文献标识码: A
( 10) 分别来计算相应的可靠度指标 4M 和失效概 率Pf。
2M = g / g
( 7)
Pf = (- 2M )
( 8)
4M =
3( 4g - 1) 2M +
(5
2 3g
-
9 4g +
3g (
2 2M
-
1)
9) ( 1 - 4g )
3g
0
= 4M
2M
3g = 0
( 9)
Pf = (- 4M )
( 10)
, xi , , x n ) ; gi 为由式 ( 1) 估计出 的 gi 的均
值; M kg i ( k = 2, 3, 4) 为由式( 2) 估计出 gi 的 k 阶
矩。
1 2 失效概率计算的二阶矩和四阶矩法[ 6]
当考Fra Baidu bibliotek极限状态函数的二阶矩时, 可由式( 7) 和式( 8) 来计算可靠度指标 2M 和失效概率 P f , 当 考虑极限状态函数的四阶矩 时, 可由式 ( 9) 和式
第 27 卷 第 5 期
2006 年
9月
航空学报 ACT A A ERON A U T ICA ET A ST RO N AU T ICA SIN ICA
文章编号: 1000- 6893( 2006) 05-0823- 04
Vo l 27 No 5 Sept. 2006
可靠性灵敏度分析的一种新方法
宋 军, 吕震宙
式中: ( ) 为标准正态变量的分布函数。
2 可靠性灵敏度分析
由计算失效概率的式( 8) 和式( 10) 知, 要求得 失效概率对基本变量分布参数的灵敏度, 首先必 须求得极限状态函数的各阶矩对基本变量分布参 数的偏导数。为此, 依据式( 1) ~ 式( 6) 给出的极 限状态函数各阶矩与 基本变量的分 布参数的关 系, 可以推导如下式( 11) ~ 式( 18) 所示的偏导数 表达式
ter sensitivit y; mo ment method
可靠性灵敏度分析可 以提供基本变 量的变 化引起失效 概率变 化的 信息, 为 工程 设计提 供 了有益指导, 因而 有必 要建 立可 靠性 灵敏度 分 析方法。显然可靠性灵敏 度分析方法和 可靠度 分析方法是 密切相 关的, 基 于不 同的 可靠性 分 析方法 可 以建 立 不同 的 可 靠性 灵 敏 度分 析 方 法。目前已有的可靠性灵 敏度分析方法 可以分 为两类, 其 一是基 于近 似解 析法 的可 靠性灵 敏 度分析方法, 这类 方法 中以 改进 的一 次二阶 矩 可靠性灵 敏度 分析 方法为 代表[ 1] ; 其二 是基 于 数字模拟的 可靠性 灵敏 度分 析方 法, 这类方 法 以 M ont e- Carlo 可 靠 性 灵 敏 度 分 析 方 法 为 代 表[ 2, 3] 。基于改进 的一 次二 阶矩的 可靠 性灵 敏
g
( 3)
n
g=
M 2gi
( 4)
i= 1
n
3g =
M 3g i /
3 g
( 5)
i= 1
n
n- 1 n
4g =
M + 6 M M i = 1 4g i
i= 1 j > 1
2gi
2gj
/
4 g
( 6)
式中: g = g ( x 1 , x2 , , xn ) ; gi = gi ( x1 , x 2 ,
par ameters of basic var iables is deriv ed fur thermor e. Her eby , the reliability sensitivity is o bt ained. N either de-
sig n po int no r g radient o f the lim it state functio n to the basic var iable is r equired fo r the present ed met ho d,