二次函数中的旋转平移对称变换

二次函数中的旋转、平移、对称变换

2

1、如图，已知抛物线

y=x+bx+c 经过A （1，0），B （0，2）两点，顶点为D 。 （1）求抛物线的解析式；

（2）将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为B ，顶点为D ，若点N 在平移后的抛物线11

上，且满足△NBB 的面积是△NDD 面积的2倍，求点N 的坐标。

11

2

），，2），B （0，解：（1）已知抛物线y=x+bx+c 经过A （10

2 -3x+2；∴y=x ，解得，∴所求抛物线的解析式为（2）∵A （1，0）

，B （0，2），∴OA=1，OB=2，

2

，-3x+2得y=2x=33，1），当时，由y=x 可得旋转后C 点的坐标为

（

2

2），y=x-3x+2过点（3，可知抛物线 ，y 轴向下平移1个单位后过点C ∴将原抛物线沿2

y=x-3x+1； ∴平移后的抛物线解析式为：22

点坐标为（+1），x ，x-3x-3x+1）∵点（3N 在y=x 上，可设N

000

2

-3x+1将y=x ，∴其对称轴为配方得，

时，如图①，

）；的坐标为（N1，-1此时∴点

②当时，如图②，

同理可

得．

），N的坐标为（3， 1此时∴点）或（3，1）。综上，点 N的坐标为（1，-1

m（，1）如图所示放置，点2、在平面直角坐标系中，矩形OABCA在x轴上，点B的坐标为（m ，得到矩形OA′B′C′．，将此矩形绕＞0）O点逆时针旋转90°、C′的坐标；（1）写出点A、A′可用含cb（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、、的式子表示）m）中的抛物线上？D（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点是否可能落在（2 若能，求出此时m的

值．

ABCO是矩形，点B的坐标为（m，1）（m解：＞（01））∵四边形，

∴A（m，0），C（0，1），

∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成，

∴A′（0，m），C′（-1，0）；

（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

∵A（m，0），A′（0，m），C′（-1，0），

∴，解得，

∴此抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m；

（3）存在．

∵点B与点D关于原点对称，B（m，1），

∴点D的坐标为：（-m，-1），

∵抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m；

假设点D（-m，-1）在（2）中的抛物线上，

则y=-（-m）2+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m2+2m+1=0，

∵△=22-4×（-2）×1=12＞0，

∴此点在抛物线上，解得m=或m=（舍去）．

OB，OA分别为F，点E，点）2，0（B，点）0，-2（A为原点，点O、在平面直角坐标系中，3．的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE'D'F'，记旋转角为α.

（Ⅰ）如图①，当α＝90°，求AE'，BF' 的长；

（Ⅱ）如图②，当α＝135°，求证AE' ＝BF'，且AE' ⊥BF'；

（Ⅲ）若直线AE'与直线BF'相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）.

2，5（B，）0，1（﹣A轴交于点x与+bx+cx﹣y=抛物线如图，、

4．

﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点0）两点，直线y=D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE=5EF，求m的值；

（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理

由．

解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：

2+4x+5．y=﹣x，解得，∴抛物线的解析式为：（2）∵点P的横坐标为m，

2，﹣m+3），F（m，0）（m，﹣m．+4m+5），E（m ∴P

22+m+2|，）|=|﹣yPE=|y﹣|=|（﹣mm+4m+5 ）﹣（﹣m+3∴EP

0|=|．﹣EF=|y﹣y|=|m+3|（﹣m+3）﹣FE

2m+15|

，即：|﹣m﹣m+2|=5|+m+3|=|由题意，PE=5EF

22m=①若﹣m或17m+26=0+m+2=，解得：m+15，整理得：2m；m=2﹣

22m=m+2=﹣（，解得：﹣，整理得：m17=0﹣或m=．m②若﹣+mm+15）

m=这两个解均舍去．＜5，故、＜m=由题意，m的取值范围为：﹣1m

m=．m=2∴或

）假设存在．作出示意图如下：（3 ．，PE=PE′，对称，∴∠′关于直线PC1=∠2CE=CE′EE ∵点、，PE=CE，∴3∠2=，∴∠3∠1=轴，∴∠y平行于PE∵．

∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱

形．

﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．CD由直线解析式y=

过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，

CE=|m|，，即，解得∴

22+﹣）可知：PE=| ∴mPE=CE=|m|m+2| ∴|﹣m，又由

（+2m+2|=|m|．

22﹣；m= 4=0，解得m=4若﹣m或+m+2=m，整理得：2m7m﹣﹣①

22﹣．或m=3﹣6m﹣若﹣m2=0+，解得m=3+mm+2=﹣m，整理得：②

m=3+5＜，故1这个解舍去．由题意，m的取值范围为：﹣＜m