工程力学第6章__圆轴扭转

§6－2 扭矩和扭矩图
解题前须知：
（1）当圆轴有多个外力偶作用时，应在相邻两 个外力偶之间选取截面来求解其内力。 （2）在外力偶矩作用处，其扭矩等于该截面上 外力偶矩的数值。 （３）当横截面上的扭矩的实际转向未知时， 一般先假设扭矩为正。若求得结果为正则表示 扭矩实际转向与假设相同；若求得结果为负则 表示扭矩实际转向与假设相反。
（1）圆周线的形状和大小不变，相邻两圆周线的间 距保持不变，仅绕轴线作相对转动。
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
（2）各纵向线仍为直 线，且都倾斜同一角度γ， 使原来的矩形变成平行四边 形。
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
结论：
（1）扭转变形时，由于圆轴相邻横截 面间的距离不变，即圆轴没有纵向变 形发生，因此横截面上没有正应力。 （2）扭转变形时，各纵向线同时倾斜 了相同的角度；各横截面绕轴线转动 了不同的角度，相邻截面产生了相对 转动并相互错动，发生了剪切变形， 所以横截面上有切应力。 （3）因半径长度不变，故切应力方向 必与半径垂直。其分布规律如图所示。
一、扭转变形
杆件两端作用两个大小 相等、方向相反，且作用平
面垂直于杆件轴线的力偶，
致使杆件的任意两个横截面 都发生绕轴线的相对转动，
这样的变形形式称为扭转变
形。
扭转变形
§6-1
圆轴扭转的力学模型
二、扭转变形时的受力简化
传动轴
扭转变形时受力简化
§6-1
圆轴扭转的力学模型
三、圆轴扭转的特点
受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面
§6－2 扭矩和扭矩图
【例6－1】主动轮A输入功率PA＝50 kW，从动轮B、C的
输出功率分别为PB＝30 kW，PC＝20 kW，轴的转速为n＝300
r/min。试求轴上截面1－1和2－2处的内力。
解题过程
§6－2 扭矩和扭矩图
二、扭矩图
横坐标表示轴的各截面位置。 纵坐标表示相应横截面上的扭矩。
扭转截面系数Wn和极惯性矩Iρ。
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
1．合理安排轮系位置
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
2．选用空心轴
（1）在等强度、等截面的条件下，选用空心 轴比实心轴较合理，这样既可以节省材料，又能减
轻自重。
（2）空心轴的扭转截面系数Wn和极惯性矩Iρ
都比较大，故不论对于轴的强度还是刚度，采用空
第六章 圆轴扭转
§6－1 圆轴扭转的力学模型 §6－2 扭矩和扭矩图 §6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件 *知识拓展
第六章 圆轴扭转
掌握用截面法计算圆轴扭转时的内力——
扭矩，并能正确绘制扭矩图。 了解圆轴扭转时横截面上切应力的分布规 律。 了解圆轴扭转时强度条件的应用。
§6-1
圆轴扭转的力学模型
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
2．扭转应力——切应力
截面上任意点的切应力计算公式：
ρ M T / Iρ
——横截面上任一点的切应力，MPa；
MT——横截面上的扭矩，N· mm； ρ——欲求应力的点到圆心的距离，mm； I ρ——截面对圆心的极惯性矩，mm4。
横截面边缘上各点的切应力最大，其值为：
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
典型例题：某汽车主传动轴所传递的功率P=80 kW，转速n
= 582 r/min，直径d=55mm，材料的许用切应力[τ]=50 MPa。
试校核该轴的强度。
解题过程
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
实心圆轴与空心圆轴 通过牙嵌式离合器相连， 并传递功率。轴的转速 n=100r/min，传递的功率 P=7.5 kW。若要求两者横 截面上的最大切应力均等 于40 MPa，空心圆轴的内、 外径之比α=0.5，试确定实 心轴的直径和空心轴的外 径。
πD 4 Iρ 0.1D 4 32
4 4 4
3 π D 4 空 I πD πd πD (1 4 ) Wn 1 ρ R 16 32 32 32 心 3 4 4 4 轴 0.2 D 1 0.1D (1 )
Iρ
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
二、圆轴扭转的强度条件 1．圆轴扭转的强度条件 max M Tmax ≤
Wn
2．强度条件的应用
（1）校核强度
max
M Tmax ≤ Wn
（2）选择截面尺寸
（3）确定许可载荷
Wn≥M Tmax /
MTmax ≤Wn
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
M=9550 P/n
M——外力偶矩，N•m；
P——轴传递的功率，kW；
n——轴的转速，r/min。
§6－2 扭矩和扭矩图
一、内力——扭矩 二、扭矩图
§6－2 扭矩和扭矩图
一、内力——扭矩
MT为截面的内力 偶矩，称为扭矩。
圆轴扭转的力学模型
§6－2 扭矩和扭矩图
扭矩的正负号规定
为了使不论取左段或右段求 得的扭矩的大小、符号都一致， 对扭矩的正负号规定如下： 按右手螺旋法则，四指顺着 扭矩的转向握住轴线，大拇指的 指向离开截面时(与横截面的外法 线方向一致)，扭矩为正；反之, 拇指的方向指向截面时(与横截面 的外法线方向)，扭矩为负。
内作用一对大小相等，方向相反的外力偶矩。
变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。
四、圆轴扭转的分析方法
首先计算作用于轴上的外力偶矩，再分析圆
轴横截面的内力，然后计算轴的应力和变形，最
后进行轴的强度及刚度计算。
§6-1
圆轴扭转的力学模型
工程实际中，作用于轴上的外力偶矩，一般并 不是直接给出的，而是根据所给定轴的转速n和轴 传递的功率P，通过公式确定：
max
MT Wn
Wn为抗扭截面系数，单位为mm3。
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
扭转应力和切应力
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
极惯性矩Iρ 与抗扭截面系数Wn
极惯性矩I/mm4 实 心 轴 抗扭截面系数Wn/mm3
πD 4 D Wn / R 32 2 πD 3 0.2 D 3 16 Iρ
心轴都比采用实心轴合理。
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
小孔弹性钻具
1－弹簧 2－钻杆 3－钻套 4－垫圈 5－螺栓
知识拓展
一、圆轴扭转时的变形计算
二、圆轴扭转时的刚度计算
圆轴扭转时的变形计算
解题前须知：
1．在进行三类强度计算前，仍应遵循解题步骤：首先根
据已知条件进行外力偶计算，然后运用截面法求内力，最后 应用强度条件进行相关计算。 2．对等截面圆轴来说，应计算最大扭矩所在截面的外周 边各点处。对于阶台轴，由于各段抗扭截面系数Wn不同，需
综合考虑Wn和MT两个因素。
3．注意区分空心圆与实心圆抗扭截面系数Wn不同计算 公式。
扭矩为正时，曲线画在横坐标上方。
扭矩为负时，曲线画在横坐标下方。
§6－2 扭矩和扭矩图
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
一、圆轴扭转时的应力 二、圆轴扭转的强度条件 三、提高圆轴抗扭强度的主要措施
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
一、圆轴扭转时的应力
1．扭转变形的几何关系
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
Байду номын сангаас
解题过程
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
三、提高圆轴抗扭强度的主要措施
观察如图所示搅拌机， 该搅拌机的搅拌轴主要产生 扭转变形，在满足使用要求 条件下，如何提高搅拌机的 搅拌轴强度呢？
提高圆轴抗扭强度的主要措施
§6－3 圆轴扭转时的应力及强度条件
为了提高圆轴的强度应降低τmax，途径有：
（1）在载荷不变的前提下，合理安排轮系，从而降 低圆轴上的最大扭矩MTmax。 （2）在力求不增加材料（用横截面面积A来度量） 的条件下，选用空心圆截面代替实心圆截面，从而增大