用贪心法求解0-1背包问题

算法设计与分析期末论文题目用贪心法求解“0-1背包问题”专业计算机科学与技术班级09计算机一班学号0936021姓名黄帅日期2011年12月28日一、0-1背包问题的算法设计策略分析1.引言对于计算机科学来说，算法的概念是至关重要的，例如，在一个大型软件系统的开发中，设计出有效的算法将起决定性的作用。

算法是解决问题的一种方法或一个过程。

程序是算法用某种设计语言具体实现描。

计算机的普及极大的改变了人们的生活。

目前，各行业、各领域都广泛采用了计算机信息技术，并由此产生出开发各种应用软件的需求。

为了以最小的成本、最快的速度、最好的质量开发出适合各种应用需求的软件，必须遵循软件工程的原则。

设计一个高效的程序不仅需要编程小技巧，更需要合理的数据组织和清晰高效的素算法，这正是计算机科学领域数据结构与算法设计所研究的主要内容。

2. 算法复杂性分析的方法介绍算法复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，需要时间资源的量称为时间复杂性，需要的空间资源的量称为空间复杂性。

这个量应该只依赖于算法要解的问题的规模、算法的输入和算法本身的函数。

如果分别用N 、I 和A 表示算法要解问题的规模、算法的输入和算法本身，而且用C 表示复杂性，那么，应该有C=F(N,I,A)。

一般把时间复杂性和空间复杂性分开，并分别用T 和S 来表示，则有： T=T(N,I)和S=S(N,I) 。

（通常，让A 隐含在复杂性函数名当中最坏情况下的时间复杂性：最好情况下的时间复杂性：平均情况下的时间复杂性：其中DN 是规模为N 的合法输入的集合；I*是DN 中使T(N, I*)达到Tmax(N)的合法输入； 是中使T(N, )达到Tmin(N)的合法输入；而P(I)是在算法的应用中出现输入I 的概率。

算法复杂性在渐近意义下的阶：渐近意义下的记号：O 、Ω、θ、o 设f(N)和g(N)是定义在正数集上的正函数。

O 的定义：如果存在正的常数C 和自然数N0，使得当N ≥N0时有f(N)≤Cg(N)，则称函数f(N)当N 充分大时上有界，且g(N)是它的一个上界，记为f(N)=O(g(N))。

即f(N)的阶不高于g(N)的阶。

根据O 的定义，容易证明它有如下运算规则：(1)O(f)+O(g)=O(max(f,g))；(2)O(f)+O(g)=O(f+g)；(3)O(f)O(g)=O(fg)；(4)如果g(N)=O(f(N))，则O(f)+O(g)=O(f)；(5)O(Cf(N))=O(f(N))，其中C 是一个正的常数；∑∈=N D I I N T I P (N)T ),()(avg ∑∑∈==N D I k i i i I N e t I P ),()(1),(min min I N T (N)T N D I ∈=),(min 1I N e t k i i i D I N ∑=∈=)~,(1I N e t k i i i ∑==)~,(I N T =),(max max I N T (N)T N D I ∈=),(max 1I N e t k i i i D I N ∑=∈=),(*1I N e t k i i i ∑==),(*I N T =(6)f=O(f)。

Ω的定义：如果存在正的常数C和自然数N0，使得当N≥N0时有f(N)≥Cg(N)，则称函数f(N)当N充分大时下有界，且g(N)是它的一个下界，记为f(N)=Ω(g(N))。

即f(N)的阶不低于g(N)的阶。

θ的定义：定义f(N)= θ(g(N))当且仅当f(N)=O(g(N))且f(N)= Ω(g(N))。

此时称f(N)与g(N)同阶。

o的定义：对于任意给定的ε＞0，都存在正整数N0，使得当N≥N0时有f(N)/Cg(N)≤ε,则称函数f(N)当N充分大时的阶比g(N)低，记为f(N)=o(g(N))。

例如，4NlogN+7=o(3N2+4NlogN+7)。

二、贪心算法分析设计策略介绍贪心算法：顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。

也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。

具有最优子结构性质的问题，用贪心算法更简单、更直接且解题效率更高。

当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。

虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。

如单源最短路经问题，最小生成树问题等。

在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。

三、结合0-1背包问题详述贪心算法解决问题的过程0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。

物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量是c。

问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中的物品总价值最大。

在选择装入背包的物品时，对每种物品i只能有两种选择，装入包或者不装入。

不能物品i装入包多次，也不能之装入部分的物品i。

问题描述：假定有n个物体和一个背包，物体i 有质量wi，价值为pi，而背包的载荷能力为M。

若将物体i的一部分xi（1<=i<=n,0<=xi<=1)装入背包中，则有价值pi*xi。

在约束条件（w1*x1+w2*x2+…………+wn*xn)<=M下使目标(p1*x1+p2*x2+……+pn*xn)达到极大，此处0<=xi<=1,pi>0,1<=i<=n.这个问题称为背包问题（Knapsack problem）。

算法描述 :首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。

若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。

依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。

程序代码：#include <iostream.h>structgoodinfo{float p; //物品效益float w; //物品重量float X; //物品该放的数量int flag; //物品编号}; //物品信息结构体voidInsertionsort(goodinfo goods[],int n){intj,i;for(j=2;j<=n;j++){goods[0]=goods[j];i=j-1;while (goods[0].p>goods[i].p){goods[i+1]=goods[i];i--;}goods[i+1]=goods[0];}} //按物品效益，重量比值做升序排列void bag(goodinfo goods[],float M,int n){float cu;inti,j;for(i=1;i<=n;i++)goods[i].X=0;cu=M; //背包剩余容量for(i=1;i<n;i++){if(goods[i].w>cu)//当该物品重量大与剩余容量跳出break;goods[i].X=1;cu=cu-goods[i].w;//确定背包新的剩余容量}if(i<=n)goods[i].X=cu/goods[i].w;//该物品所要放的量for(j=2;j<=n;j++) /*按物品编号做降序排列*/{goods[0]=goods[j];i=j-1;while (goods[0].flag<goods[i].flag){goods[i+1]=goods[i];i--;}goods[i+1]=goods[0];}///////////////////////////////////////////cout<<"最优解为:"<<endl;for(i=1;i<=n;i++){cout<<"第"<<i<<"件物品要放:";cout<<goods[i].X<<endl;}}void main(){cout<<"|--------运用贪心法解背包问题---------|"<<endl; cout<<"|---power by zhanjiantao(028054115)---|"<<endl; cout<<"|-------------------------------------|"<<endl;int j;int n;float M;goodinfo *goods;//定义一个指针while(j){cout<<"请输入物品的总数量：";cin>>n;goods=new structgoodinfo [n+1];//cout<<"请输入背包的最大容量：";cin>>M;cout<<endl;inti;for(i=1;i<=n;i++){ goods[i].flag=i;cout<<"请输入第"<<i<<"件物品的重量:";cin>>goods[i].w;cout<<"请输入第"<<i<<"件物品的效益:";cin>>goods[i].p;goods[i].p=goods[i].p/goods[i].w;//得出物品的效益，重量比cout<<endl;}Insertionsort(goods,n);bag(goods,M,n);cout<<"press <1> to run agian"<<endl;cout<<"press <0> to exit"<<endl;cin>>j;}}四、贪心算法策略小结贪心算法中，作出的每步贪心决策都无法改变，因为贪心策略是由上一步的最优解推导下一步的最优解，而上一部之前的最优解则不作保留。

由前面中的介绍，可以知道贪心法正确的条件是：每一步的最优解一定包含上一步的最优解。

五、结合自身情况谈谈本课程学习体会及其影响算法是编程最终的部分，想要把程序写的好，就要用好的算法。

不同的问题有不同的算法模型，同一个问题也可能有不同的算法描述。

每种算是都有自己的时间复杂度和空间复杂度。