函数与极限测试题及答案一
函数与极限习题与答案计算题(供参考)
高等数学二、计算题（共 200 小题，）1、设xxx f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。
2、设x xx f -+=11)(，确定)(x f 的定义域及值域。
3、设)ln(2)(22x x xx x f -+-=，求)(x f 的定义域。
4、的定义域，求设)(sin 512arcsin )(x f x x x f π+-=。
5、的定义域，求设⎪⎭⎫⎝⎛++-=x f x f x x x f 1)(22ln )(。
6、的定义域求函数22112arccos)(x x xxx f --++=。
7、设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．，)0(<m ，求)(x F 的定义域。
8、的定义域，求设 )(16sin )(2x f x x x f -+=。
9、的定义域，求设)(12)(2x f xx x f --=。
10、设，求的定义域f x x xf x ()lg ()=+256。
11、设，求的定义域f x x xf x ()arctan ()=-+2512。
12、13、,55lg )(-+=x x x f 设的定义域；确定)()1(x f []的值，求若)2(lg )()2(g x x g f =。
14、),00()(≠≠++=abc x c bx xa x f ， 设成立，对一切，使求数0)()(≠=x x f x m f m 。
15、1)()1(3)2(3)3()(2+-+++-+++=x f x f x f x f c bx ax x f ，计算设的值，其中c b a ，，是给定的常数。
16、)1()11(1)(2-≠+-+=x x xf xx x f ，求设。
17、)()0(13)1(243x f x x x x x x x f ，求 设≠+++=+。
18、)()0( )11()1(2x f x x x xf ，求 设>++=。
(完整版)函数、极限与连续习题及答案
第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
第一章 函数与极限习题
第一章 函数与极限【内容提要】1. 函数的定义与性质（1）常量与变量、区间与邻域 常量就是在某变化过程中不变的量；而变量则是在某变化过程中变化的量。
（2）函数的概念 设有两个变量x 和y ，D 为一非空数集，如果对于D 内每一个数x ，变量y 按一定的法则f 总有唯一确定的值与之对应，则称y 是x 的函数。
记作y=f (x )。
数集D 称为函数的定义域。
（3）函数的表示法 解析法、列表法、图象法。
（4）函数的性质 有界性、奇偶性、单调性、周期性。
2. 函数的极限（1）自变量趋于无穷大时函数的极限对于给定的任意小的正数ε，总存在一个正数X ，当|x |>X 时，不等式ε<-|)(|A x f （A 是一个确定的常数）恒成立，则称常数A 为函数∞→x x f 当)(时的极限，记作lim ()()()x f x A f x A x →∞=→→∞或。
（2）自变量趋于有限值时函数的极限设函数f (x )在点0x 的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在一个正数δ，当δ<-<||00x x 时，不等式ε<-|)(|A x f （A 是一个确定的常数）恒成立，则称常数A 为函数0)(x x x f →当时的极限，记作0l i m ()()()x f x Af x A x x →∞=→→或。
（3）极限存在定理函数f (x )在点0x 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存在并且相等，即lim ()x f x A →∞=⇔00lim ()lim ()x x x x f x f x A +-→→== （4）函数极限的性质定理1（唯一性）若lim ()x f x →∞（或0lim ()x x f x →）存在，则它的极限是唯一的。
定理2（局部有界性）若0lim ()x x f x →存在，则在点0x 的某一邻域内函数f (x )有界。
定理3（局部保号性）若0lim ()x x f x →=A ，且A>0(或A<0)，则存在点0x 的某一去心邻域，使得在该邻域内的任意x 都有f (x )>0(或f (x )<0)。
函数、极限与连续测试卷带答案
函数、极限与连续测试卷带答案第一篇：函数、极限与连续测试卷带答案上海民航学院函数、极限与连续测试卷总分100分命题人:叶茂莹一、填空题（每空2分，共20分）1、函数y=3-2x|-4的定义域是；解：|3-2x|-4≥0,3-2x≥4,或3-2x≤-4 ∴-2x≥1,或-2x≤-717∴x≤-,或x≥ 2217∴x∈(-∞,-]⋃[,+∞)222、把复合函数y=earctan(1+x)分解成简单的函数________________________；解：y=eu,u=arctanv,v=1+x23、函数y=arcsin2x的反函数是_____________________；1⎡ππ⎤解：y=sinx,x∈⎢-,⎥ 2⎣22⎦⎛1+x⎫4、lim ⎪； x→∞⎝x⎭2x2⎛1+x⎫解：lim ⎪x→∞⎝x⎭2x⎡⎛1⎫x⎤=lim⎢1+⎪⎥=e2 x→∞⎝x⎭⎦⎢⎥⎣2(2x-1)15(3x+1)30=；5、limx→∞(3x-2)45(2x-1)15(3x+1)30215⨯330⎛2⎫==⎪解：lim4545x→∞(3x-2)3⎝3⎭x2-3x+26、lim2；x→2x+4x-12(x-1)(x-2)=lim(x-1)=1x2-3x+2lim解：lim2 x→2x+6x→2x+4x-12x→2x+6x-28157、x→1=；2解：lim=x→1x→x-12x→12=x→1 =x→13x-1==34x+2的连续区间为(x+1)(x-4)解：x+2≥0,且(x+1)(x-4)≠08、函数f(x)=∴x≥-2,x≠-1,x≠4,∴x∈[-2,-1)⋃(-1,4)⋃(4,+∞)ax2+bx-19、已知a，b为常数，lim=2，则a=，b=.x→∞2x+1ax2+bx-1解：因为x的最高次为2，lim=2 x→∞2x+1所以a=0，b=2，即b=42x≠0在点x=0处连续，则a=x=0x1-⎤⎡=lim⎢(1-x)x⎥x→0⎣⎦-22⎧x⎪10、已知f(x)=⎨(1-x)⎪a⎩解：limf(x)=lim(1-x)x→0x→0=e-2因为f(x)在点x=0处连续，f(0)=a=limf(x)=e-2，所以a=e-2。
上海财经大学出版的高数习题集答案 第一章 函数与极限
（3）举例证明不一定存在，
x6 x6 x6 x6 x6 ， lim ( ) x 4 3 x 4 2 x 4 1 x x 4 1 x 4 3
lim(
x 0
sin 2 x e 2 ax 1 ) 2 2a a ，即 a 2 。 x x
x 1 x 1
由题知 lim x(
x
ln(1
f ( x) f ( x) ) tan x lim tan x lim f ( x) 2, x 0 x ln 3 x 0 x 2 ln 3 3x 1
x2 1 b x2 1 b a ) 0 ，则 lim ( a )0 x x ( x 1) x( x 1) x x
（4） lim
2 sin x sin 2 x 2 sin x 2 sin x cos x 2 sin x(1 cos x) lim lim x 0 x 0 x 0 xa xa xa 2 x 2x lim a2 lim x a 3 1, 所以 a 3 。 x 0 x 0 x
sin x 2 x2 sin x 2 为 x 0 时的无穷小， lim 0 ，所以 x 0 ln(1 2 x ) x 0 2 x ln(1 2 x)
1 1 （7）A： lim (1 ) x 1 ，因为由第三章第三节介绍的罗比达法则 lim (1 ) x x 0 x 0 x x
f (5) 11 。由 f (0) 1 和 f (1) 1 知 f ( x) 在 (0,1) 内至少有一个实根。
（1） ① lim
x 0
由 f (0) 1 和 f (1) 5 知 f ( x) 在 (1,0) 内至少有一个实根。由 f (0) 1 ，
(完整版)高等数学测试题及解答(分章)
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
高等数学测试题及解答上部分1-6章
第一单元 函数与极限一、填空题 1、已知x xf cos 1)2(sin+=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
(完整版)函数、极限与连续习题及答案
第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
函数与极限测试题及答案一
函数与极限测试题（一）一、 填空题 二、1、若1ln 11ln x f x x+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()f x =_____。
三、2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。
四、3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。
五、4、设()()21lim 1n n x f x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为x =_____。
六、 单选题七、 1、当0x →时，变量211sinx x是（ ） 八、A 、无穷小B 、无穷大九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、2、设函数()bx xf x a e=+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ）十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232xxf x =+-，则当0x →时（ ）十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且()()lim 0x g x x ϕ→∞-=⎡⎤⎣⎦，则()lim x f x →∞为（ ）十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例：()()()11,,221x x f x x g x x x x ϕ==+=+++ 二十、 求下列极限 二十一、1、2241limsin x x x x x+-+、()221212lim 1xx x x x -→⎛⎫ ⎪+⎝⎭二十二、确定,a b 的值，使()322ln 101tan 1sin 011ln 01ax x x x f x bx x x x x x x ⎧+⎪<+-+⎪⎪==⎨⎪-+⎪>++⎪⎩在(),-∞+∞内连续。
高数函数与极限练习题
高数函数与极限练习题一、函数的基本概念1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 3x + 4(2) g(x) = 2x^2 + 5x + 1(3) h(x) = e^x x2. 求下列函数的定义域：(4) f(x) = √(x^2 9)(5) g(x) = 1 / (x 2)(6) h(x) = ln(x^2 4)3. 判断下列函数的奇偶性：(7) f(x) = x^3 3x(8) g(x) = sin(x) + cos(x)(9) h(x) = e^x e^(x)二、极限的计算4. 计算下列极限：(10) lim(x→0) (sin(x) / x)(11) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(12) lim(x→+∞) (1 / x^2 1 / x)5. 讨论下列极限的存在性：(13) lim(x→0) (sin(1/x))(14) lim(x→0) (x^2 / sin(x))(15) lim(x→+∞) (x ln(x))6. 计算下列极限：(16) lim(x→0) (e^x 1) / x(17) lim(x→+∞) (x^2 + x + 1) / (2x^2 + 3x 1)(18) lim(x→∞) (x^3 + 3x^2 + 2x + 1) / (x^4 + 4x^3 + 3x^2)三、无穷小与无穷大7. 判断下列表达式的无穷小性质：(19) sin(x) x(20) 1 cos(x)(21) e^x 1 x8. 判断下列表达式的无穷大性质：(22) 1 / (x 1)(23) ln(1 / x)(24) x^2 e^x (x > 0)四、连续性与间断点9. 讨论下列函数的连续性：(25) f(x) = |x 1|(26) g(x) = { x^2, x < 0; 1, x ≥ 0 }(27) h(x) = { sin(x), x ≠ 0; 1, x = 0 }10. 求下列函数的间断点：(28) f(x) = 1 / (x^2 1)(29) g(x) = √(1 cos(x))(30) h(x) = ln|x^2 4|五、综合题11. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，求lim(x→+∞) f(x)。
极限计算测试题及答案高中
极限计算测试题及答案高中一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在点x=0处的极限是（）A. 1B. 0C. 无穷大D. 不存在2. 如果\( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 2 \)，那么\( \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \)等于（）A. 1B. 2C. 无穷大D. 不存在3. 函数\( f(x) = x^2 \)在x=2处的极限是（）A. 4B. 2C. 0D. 无穷大4. 函数\( f(x) = \sin(x) \)在x=0处的极限是（）A. 1B. 0C. -1D. 不存在5. 函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)在x=2处的极限是（）A. 2B. 4C. 8D. 12二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数\( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)在x=2处的极限是______。
7. 如果\( \lim_{x \to 3} (x - 3) = 0 \)，那么\( \lim_{x \to 3} \frac{1}{x - 3} \)等于______。
8. 函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=0处的极限是______。
9. 函数\( f(x) = \frac{\tan(x)}{x} \)在x=0处的极限是______。
10. 函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=π处的极限是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 计算函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=0处的左极限和右极限，并判断其极限是否存在。
12. 证明函数\( f(x) = x^2 \)在任何实数x处的极限都存在，并求出这个极限。
13. 给定函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)，计算其在x=1处的极限，并说明其性质。
高等数学函数的极限与连续习题及答案
上式化简为
1a2
0，∴a1，
2
1b
12ab12abx1b212ablimlimlim
xxx1a∴1
a1，12ab0，b2
10、函数fx
的间断点是（x0,x1）．
11
xx2x2
11、fx2的连续区间是（,1,1,3,3,）．
x4x3ax2sinx
2，则a（2）12、若lim．
xx∴aax2sinxsinxlimlima2a0a02limxxxxx
a
xx21
logaxx21fx
3、当x0时，ex1是x的（c）
a．高阶无穷小b．低阶无穷小c．等价无穷小
4、如果函数fx在x0点的某个邻域b．连续c．有界
5、函数fx1
1x在（c）条件下趋于.
a．x1 b．x10 c．x10
6、设函数fxsinx
x，则limx0fx（c）
a．１b．－１c．不存在∵sinx
6、如果～，则o．
1，是
∴limlim10，即是的同阶无穷小．
2xx2sin2sin1cosx11limlim2正确∵limx0x0x04x2x2x2
2正确∵lim
11limxlimsin0．x0xx0x0x
1错误∵limsin不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。x0x8、limxsin
高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
第一章函数与极限复习题
1、函数fxx2x31x1与函数gxx1相同．
错误∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴fxx2x31x1与gx函数关系相同，但定义域不同，所以fx与gxx1
是不同的函数。
2、如果fxM（M为一个常数），则fx为无穷大．
函数与极限练习题
函数与极限练习题第一章函数与极限§1 函数一、是非判断题1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。
[ ]2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有B x f A ≤≤)( [ ]3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。
[ ]4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。
[ ]5、任一周期函数必有最小正周期。
[ ]6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。
[ ]7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。
[ ] 8、f(x)=1+x+2x 是初等函数。
[ ]二．单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是（A ）||ln x e y = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn = 2、下列函数中既是奇函数，又是单调增加的。
（A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是（A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2x 4、若)(x f 为奇函数，则也为奇函数。
(A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D))].([x f f -三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。
1、 y=)1arctan(+x e2、 y=x x x ++3、 y=xln ln ln四．设f(x)的定义域D=[0，1]，求下列函数的定义域。
（1） f()2x(2) f(sinx)(3) f(x+a) (a>0)(3) f(x+a)+f(x-a) (a>0)五．设??=,,2)(x x x f 00≥<="">-=,3,5)(x x x g 00≥<="" 及)]([x="" ，求)]([x="">六．利用x x f sin )(=的图形作出下列函数的图形：1．|)(|x f y = 2。
高等数学测试题一(极限、连续)答案
高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。
A 1sin x xB 1x e C ln x D 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的（C ）。
A 连续点B 第一类非可去间断点C 可去间断点D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。
A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x→∞++=，则常数a 等于（A ）。
A -1B 0C 1D 25、极限201lim cos 1x x e x →--等于（D ）。
A ∞B 2C 0D -2二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x→∞-=2e -2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A=33、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =04、 111lim[]1223(1)n n n →∞+++••+=15、 若lim ()x f x π→存在，且sin ()2lim ()x xf x f x x ππ→=+-，则lim ()x f x π→=1二、解答题1、（7分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n→∞--- 解：原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n →∞→∞-++•••=•=2、（7分）计算极限 30tan sin lim x x xx →-解：原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x xx x x x x x x →→→--===3、（7分）计算极限 123lim()21x x x x +→∞++解：原式= 11122112221lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)1122x x x x x x x xx e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++=+•+=++ 4、（7分）计算极限 01x e →-解：原式=201sin 12lim 2x x xx →=5、（7分）设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值解：因为1lim(1)0x x →-+=，所以 321lim(4)0x x ax x →---+=，因此 4a = 并将其代入原式321144(1)(1)(4)lim lim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++6、（8分）设3()32,()(1)nx x x x c x αβ=-+=-，试确定常数,c n ，使得()()x x αβ解：32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x cα→=-+=-+-+=∴==- 此时，()()x x αβ7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin 0()0x x f x xa xx ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续解：当0x >时，()f x 连续，当0x <时，()f x 连续。
高数第一章 函数与极限答案(2013)
第一章 函数与极限答案第一节 映射与函数1.填空题: （1）2,1-≥±≠x x ； （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--+=10011x x x xy ； （3）{0}； （4）a ；（5）x x 1-， x ；（6）⎩⎨⎧≤<≤-=32231-x ()1-(2x x xx f ）2. 选择题:（1）C ； （2）A ； （3） B ； （4）B ； （5） B ； （6）C ； （7）C ； 3． 352)1(0,1,22++=+===x x x g c b a ；；4． )1(22x -；5. 22()0()()()0x x f x x x x ⎧--≤-=⎨-+-->⎩，即：220()0x x f x x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 6. 解：22()(1)f x f x x +-= （1）令1x t =- 得22(1)()(1)f t f t t -+=-22(1)()(1)f x f x x -+=- （2）由（1）和（2）得；221()3x x f x +-=7． （1）|sin |y x =； （2）sin ||y x =； （3）2sin 2x y =.8．设[()]f g x 由(),()y f u u g x ==复合而成的，证明：（1） 若()g x 是偶函数，则[()]f g x 是偶函数。
（2） 若()f x 单调增加，()g x 单调减少，则[()]f g x 单调减少。
（略）第二节 数列的极限1.填空题:（1）0； （2）0； （3）6,0==b a ；（4）数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的必要条件. 数列{}n x 收敛是数列{}n x 有界的充分条件. 2．选择题:（1）B ； （2） D ； （3） D ； 3. 根据数列极限的定义证明: （略）4. 若a u n n =∞→lim ，证明a u n n =∞→lim .并举例说明反之不成立.提示：利用不等式：a u a u a u n n n -≤-≤-5. 设数列{}n x 有界，又0lim =∞→n n y ，证明:0lim =∞→n n n y x . （略）第三节 函数的极限1．填空题:（1）=+)0(f b ，=-)0(f 1 . 当=b 1 时，1)(lim 0=→x f x .（2） 充分必要（3） 必要；充分；必要；充分；充分必要. 2．选择题:（1） A ； （2） C ； （3） D ； （4） C 3. 根据函数极限的定义证明: 8)13(lim 3=-→x x ； （略）4．证明xx 1sinlim 0→不存在. 提示：取2个子序列趋于0，但极限不等。
函数、极限与连续测试卷带答案
上海民航学院函数、极限与连续测试卷总分100分 命题人:叶茂莹一、填空题（每空2分，共20分）1、 函数4|23|--=x y 的定义域是 ； 解：|32|40,324,324x x x --≥-≥-≤-或 21,27x x ∴-≥-≤-或17,22x x ∴≤-≥或17(,][,)22x ∴∈-∞-⋃+∞2、 把复合函数2arctan(1)e +=x y 分解成简单的函数________________________； 解：2,arctan ,1u y e u v v x ===+3、 函数arcsin 2=y x 的反函数是_____________________；解：1sin ,,222y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦4、 21lim →∞+⎛⎫⎪⎝⎭xx x x ； 解：22211lim lim 1xx x x x e x x →∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 5、 153045(21)(31)lim(32)x x x x →∞-+=- ； 解：15153015304545(21)(31)232lim (32)33x x x x →∞-+⨯⎛⎫== ⎪-⎝⎭6、 12423lim 222-++-→x x x x x ；解：12423lim 222-++-→x x x x x ()()()()()()221211limlim 6268x x x x x x x x →→---==+-+7、12lim1→-=-x x ；解：11122x x x →→→==113134x x x →→-===8、 函数)4)(1(2)(-++=x x x x f 的连续区间为 .解：()()20,140x x x +≥+-≠且 2,1,4,x x x ∴≥-≠-≠[2,1)(1,4)(4,)x ∴∈--⋃-⋃+∞ 9、已知a ，b 为常数，2121lim2=+-+∞→x bx ax x ，则=a ，=b . 解：因为x 的最高次为2，2121lim2=+-+∞→x bx ax x 所以0a =，22b=，即4b = 10、已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00)1()(2x a x x x f x 在点0=x 处连续，则=a 解：()()()22120lim lim 1lim 1xx x x x f x x x e ---→→→⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦因为()f x 在点0=x 处连续，()()200lim x f a f x e -→===，所以2a e -=。
高等数学第一章函数与极限试题有答案
高等数学第一章函数与极限试题有答案一. 选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数 2．设函数,11)(1-=-x xe xf 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.3．设f (x)=xx 1-，x ≠0,1,则f [)(1x f ]= ( )A ） 1－xB ） x-11C ） X1 D ） x4．下列各式正确的是 ( )A ） lim 0+→x )x1 +1(x=1 B ） lim 0+→x )x1+1(x=eC ） lim ∞→x )x1 1－(x=-e D ） lim ∞→x )x1 +1(x-=e5．已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ( )。
A.1；B.∞；C.3ln ；D.3ln 2。
6．极限：=+-∞→xx x x )11(lim ( )A.1；B.∞；C.2-e ；D.2e7．极限：∞→x lim 332xx +=（ ）A.1；B.∞；C.0；D.2．8．极限：xx x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C21； D.2．9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D.21．10．极限: xx x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） A.0； B.∞； C.161； D.16．二. 填空题11．极限12sinlim 2+∞→x xx x = . 12. lim 0→x xarctanx =_______________.13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x f xx =_______________；14. =→xxxx 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n)21(lim _________________； 16. 若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是___________________17. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x()()x x x x f 25lg 12-+-+=其定义域是 ,值域是18. 符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是 ，值域是三个点的集合19. 无穷小量是 20. 函数)(x f y =在点x0 连续，要求函数yf (x) 满足的三个条件是三. 计算题21.求).111(lim 0x ex xx --+-→ 22.设f(e 1-x )=3x-2,求f(x)(其中x>0); 23.求lim 2 x →(3－x)25--x x ;24.求lim ∞→ x (11-+x x )x; 25.求lim x →)3(2tan sin 22x x x x +26. 已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求a 的值； 27. 计算极限nnnn 1)321(lim ++∞→ 28.求它的定义域。
(完整版)函数极限习题与解析
函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。
4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。
5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。
6、432lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。
7、函数xx y sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。
8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222nn n n n n n n 。
10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。
11、=++++∞→352352)23)(1(lim x x x x x x 。
12、3)21(lim -∞→=+e n kn n ，则k= 。
13、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。
14、当+∞→x 时，x1是比3-+x15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。
17、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。
18、已知33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
19、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x xx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a=。
20、曲线2sin 2-+=x xx y 水平渐近线方程是 。
21、114)(22-+-=x x x f 的连续区间为 。
22、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。
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函数与极限测试题（一）
一、 填空题 二、
1、若1ln 1
1ln x f x x
+⎛⎫=
⎪-⎝⎭，则()f x =_____。
三、
2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。
四、
3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。
五、
4、设()()2
1lim 1
n n x f x nx →∞
-=+，则
()f x 的间断点为x =_____。
六、 单选题
七、 1、当0x →时，变量
211
sin
x x
是（ ） 八、
A 、无穷小
B 、无穷大
九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、
2、设函数()bx x
f x a e
=
+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ）
十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x
x
f x =+-，则当0x →时（ ）
十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小
十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且()()lim 0x g x x ϕ→∞
-=⎡⎤⎣⎦，则
()lim x f x →∞
为（ ）
十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零
十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例：()()()11
,,22
1
x x f x x g x x x x ϕ==+=+
++ 二十、 求下列极限 二十一、
1、
2
241lim
sin x x x x x
+-+、()2
21212lim 1x
x x x x -→⎛⎫ ⎪+⎝⎭
二十二、
确定,a b 的值，使()32
2ln 10
1tan 1sin 011ln 0
1ax x x x f x b
x x x x x x x ⎧+⎪
<+-+⎪⎪
==⎨⎪-+⎪>++⎪⎩
在(),-∞+∞内连续。
二十三、
指出函数()1
11x
x x
e e
f x e e
--=
-的间断点及其类型。
二十四、
设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程
31240123
a a a a
x x x x +++=---有且仅有三个实根。
二十五、
设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，
证明：在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。
函数与极限测试题答案（一）
一、1、
11x x
e
-+； 2、
11,
2
2a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
； 3、
4
-； 4、
；
二、1—4、DCBD
三、1、解：原式22
111
41lim
3sin 1x x x x x x
+
-++==+；
2、解：原式()
()22221
1
2
11211lim 11x x x x x x e x -++---→⎡⎤⎛⎫⎢⎥--=+= ⎪⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭
⎣⎦
四、解：注意当4
2
x π
π
-
<<-
时，1tan x +无意义，所以不存在,a b 的值使()f x 在
(),-∞+∞内连续。
此题应把“在(),-∞+∞内连续”改为“在0x =处连续”。
改后即要求()()0
lim 0x f x f b →==，此式等价于()()()0
lim lim 0x x f x f x f b +-
→→===，即 2222
0002ln 11121lim ln lim lim 211x x x x x x x x b x x x x
x x +++→→→-⎛
⎫+ ⎪-+-++⎝⎭===-=++++
()
3300
ln 11tan 1sin ln 1lim
lim tan sin 1tan 1sin x x ax x x
ax x x
x x
-
-
→→++++=-+-+
3
3
1tan 1sin lim 4212
x ax x x
a b x -
→++====- 所以1,22
a b =-=-。
五、解：0,1x x ==-是此函数的间断点，因为0x -
→时，1x
→-∞，1
0x e e -∞
→=，
所以1101lim x
x
x x e e
e e e -→--=-，0x +
→时，又因为1x
→+∞，1
x
e e +∞→=+∞，1
10x
e →，所以1111
0111
lim lim 11
x
x
x x
x x x
x e e e
e e
e e
e
+
+-→→---==--，0x =是跳跃间断点。
因为111
1lim
1x
x x x
e e
e e
→---=-，1x =是可去间断点。
六、证明：因为()()()()()()()()()()()()
12343124123231312123123a x x x a x x x a x x x a x x x a a a a
x
x x x x x x x ---+--+--+--+
++=------ 分子是一个三次多项式，根据代数基本理论，分子最多有三个实的零点，即原方程最多有三个实根；又因为31
240
lim 123x a a a a x x x x +→⎛⎫+++=+∞
⎪---⎝⎭
31241lim 123x a a a a x x x x -→⎛⎫+++=-∞ ⎪---⎝⎭，31
241lim 123x a a a a x x x x +→⎛⎫+++=+∞ ⎪---⎝⎭ 31242lim 123x a a a a x x x x -→⎛⎫+++=-∞ ⎪---⎝⎭，31242lim 123x a a a a x x x x +→⎛⎫+++=+∞ ⎪---⎝⎭ 31243lim 123x a a a a x x x x -→⎛⎫+++=-∞ ⎪---⎝⎭
，所以利用零点定理，在区间 ()()()0,1,1,2,2,3原方程分别至少有一个实根。
所以原方程有且仅有三个实根。
七、证明：在区间[],a b 上考虑函数()()()F x f x g x =-，由已知可得()F x 在[],a b 上连续。
()()()()()()0,0F a f a g a F b f b g b =-≤=-≥
1）如果()0F a =或()0F b =，则ξ可取a 或b 。
2）如果()0F a <且()0F b >，由零点定理，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()0F ξ=即
()()f g ξξ=。