函数与极限测试题及答案一

函数与极限测试题（一）

一、 填空题 二、

1、若1ln 1

1ln x f x x

+⎛⎫=

⎪-⎝⎭，则()f x =_____。

三、

2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。

四、

3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。 五、

4、设()()2

1lim 1

n n x f x nx →∞

-=+，则

()f x 的间断点为x =_____。

六、 单选题

七、 1、当0x →时，变量

211

sin

x x

是（ ） 八、

A 、无穷小

B 、无穷大

九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 十、

2、设函数()bx x

f x a e

=

+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ）

十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x

x

f x =+-，则当0x →时（ ）

十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小

十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且()()lim 0x g x x ϕ→∞

-=⎡⎤⎣⎦，则

()lim x f x →∞

为（ ）

十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零

十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在 十九、 例：()()()11

,,22

1

x x f x x g x x x x ϕ==+=+

++ 二十、 求下列极限 二十一、

1、

2

241lim

sin x x x x x

+-+、()2

21212lim 1x

x x x x -→⎛⎫ ⎪+⎝⎭

二十二、

确定,a b 的值，使()32

2ln 10

1tan 1sin 011ln 0

1ax x x x f x b

x x x x x x x ⎧+⎪

<+-+⎪⎪

==⎨⎪-+⎪>++⎪⎩

在(),-∞+∞内连续。

二十三、

指出函数()1

11x

x x

e e

f x e e

--=

-的间断点及其类型。

二十四、

设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程

31240123

a a a a

x x x x +++=---有且仅有三个实根。 二十五、

设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，

证明：在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。

函数与极限测试题答案（一）

一、1、

11x x

e

-+； 2、

11,

2

2a b ++⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

； 3、

4

-； 4、

；

二、1—4、DCBD

三、1、解：原式22

111

41lim

3sin 1x x x x x x

+

-++==+；

2、解：原式()

()22221

1

2

11211lim 11x x x x x x e x -++---→⎡⎤⎛⎫⎢⎥--=+= ⎪⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭

⎣⎦

四、解：注意当4

2

x π

π

-

<<-

时，1tan x +无意义，所以不存在,a b 的值使()f x 在

(),-∞+∞内连续。此题应把“在(),-∞+∞内连续”改为“在0x =处连续”

。改后即要求()()0

lim 0x f x f b →==，此式等价于()()()0

lim lim 0x x f x f x f b +-

→→===，即 2222

0002ln 11121lim ln lim lim 211x x x x x x x x b x x x x

x x +++→→→-⎛

⎫+ ⎪-+-++⎝⎭===-=++++

()

3300

ln 11tan 1sin ln 1lim

lim tan sin 1tan 1sin x x ax x x

ax x x

x x

-

-

→→++++=-+-+

3

3

1tan 1sin lim 4212

x ax x x

a b x -

→++====- 所以1,22

a b =-=-。

五、解：0,1x x ==-是此函数的间断点，因为0x -

→时，1x

→-∞，1

0x e e -∞

→=，

所以1101lim x

x

x x e e

e e e -→--=-，0x +

→时，又因为1x

→+∞，1

x

e e +∞→=+∞，1

10x

e →，所以1111

0111

lim lim 11

x

x

x x

x x x

x e e e

e e

e e

e

+

+-→→---==--，0x =是跳跃间断点。 因为111

1lim

1x

x x x

e e

e e

→---=-，1x =是可去间断点。

六、证明：因为()()()()()()()()()()()()

12343124123231312123123a x x x a x x x a x x x a x x x a a a a

x

x x x x x x x ---+--+--+--+

++=------ 分子是一个三次多项式，根据代数基本理论，分子最多有三个实的零点，即原方程最多有三个实根；又因为31

240

lim 123x a a a a x x x x +→⎛⎫+++=+∞

⎪---⎝⎭

31241lim 123x a a a a x x x x -→⎛⎫+++=-∞ ⎪---⎝⎭，31

241lim 123x a a a a x x x x +→⎛⎫+++=+∞ ⎪---⎝⎭ 31242lim 123x a a a a x x x x -→⎛⎫+++=-∞ ⎪---⎝⎭，31242lim 123x a a a a x x x x +→⎛⎫+++=+∞ ⎪---⎝⎭ 31243lim 123x a a a a x x x x -→⎛⎫+++=-∞ ⎪---⎝⎭

，所以利用零点定理，在区间 ()()()0,1,1,2,2,3原方程分别至少有一个实根。所以原方程有且仅有三个实根。

七、证明：在区间[],a b 上考虑函数()()()F x f x g x =-，由已知可得()F x 在[],a b 上连续。()()()()()()0,0F a f a g a F b f b g b =-≤=-≥