线性代数(人大版赵树嫄编)第一章行列式课件刘国刚资料

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线性代数课件第1章行列式

0156 1234
解 120 1 120 1 120 1
r2r1 0 1 5 1 r4r1 0 1 5 1 r3r2 0 1 5 1
D
015 6 015 6 000 7
．
123 4 003 3 003 3
120 1
r3 r4 0 1 5 1
21
003 3
课件
27
000 7
例2 计算 a b b b
式的值不变．即第 i 行乘 k 加到第 j 行上，有
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n
ai1
ai2
ain
ai1 ai2
ain
aj1 kai1 aj2 ．kai2
ajn kain aj1 aj2
ajn
an1
an2
ann
an1 an2
ann
课件
25
为叙述方便，引进以下记号：
（1）交换行列式的 i , j 两行（列），记
为行列式 d e t ( a ij ) 的元素．
定理2 n 阶行列式也可定义为
a11 a12 Da21 a22
a1n
a2n (1)ta a p11 p22
apnn
an1 an2
ann
其中 t 为行标排列 p1p2 pn 的逆序数．
课件
17
定义4 对角线以下（上）的元素均为零的行列式称为上（下）三角行列式．
列组成的记号
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1
a． n2
ann
为 n 阶行列式，简记为 D det(aij ) ．
课件
16
n 阶行列式可表示为

线性代数课件第一章行列式7

3 ? 27,
?7 ?2
8 1 ?5 1 9 ?3 0 ?6 D1 ? ? 5 2 ? 1 2 0 4 ?7 6 ? 81,
2 8 ?5 1 1 9 0 ?6 D2 ? 0 ? 5 ? 1 2 1 0 ?7 6 ? ?108,
2020/7/15
课件
14
21 8 1 1 ?3 9 ?6 D3 ? 0 2 ? 5 2 14 0 6
Dj ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
a ? a b a ? a n1
n , j? 1
n
n , j?1
nn
2020/7/15
课件
6
证明
用D中第 j列元素的代数余子式 A1 j , A2 j ,? , Anj
依次乘方程组 ?1?的n个方程 ,得
? ? ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn A1 j ? b1 A1 j
a21 ?
x1 ?
? a22 x2 ? ? ?????
? a2n xn ????
? ?
b2
(1)
??an1 x1 ? an2 x2 ? ? ? ann xn ? bn
a11 a12 ? a1n
的系数行列式不等于零，即
D?
a21 ??
a22 ??
? ?
?
a2n ?
?
0
an1 an 2 ? ann
2020/7/15
? 3 x1 ? 5 x2 ? 2 x3 ? x4 ? 3,
?? ? ?
3 x2 ? 4 x4 ? x1 ? x2 ? x3
4, ? x4
?
11
6,
?? x1 ? x2 ? 3 x3 ? 2 x4 ? 5 6 .

线性代数第一章行列式课件

a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设

赵树嫄-《线性代数(第五版)》第一章行列式

(二) n 阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
(1) 三阶行列式共有 3! = 6 项． (2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积． (3) 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个
a12a31b2 a11a22b3 a12a21b3 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
10
x3

b1a21a32 a11a22a33
a22a31b1 a11a32b2 a12a23a31 a13a21a32

a12a31b2 a11a22b3 a11a23a32 a12a21a33

(a12a31 a11a32 ) x2
(a13a31 a11a33 ) x3
a31b1 a11b3
(a22 )
(a22a31 a21a32 ) x2 (a23a31 a21a33 ) x3 a31b2 a21b3 a12
x3

b1a21a32 a22a31b1 a11a32b2 a11a22a33 a12a23a31 a13a a21 32
1 1 1
0 1 1
1 2 1
1 2 2
D2 2 1 3 10, D3 2 1 1 5,
1 0 1
1 1 0
故方程组的解为
x1

D1 D

1,
x2

D2 D

2,
x3

线性代数课件

两式相减消去 x2，得
（a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 ;
类似地，类似地，消去 x1，得
（a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 ,
当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时，方程组有唯一解为
b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = . ， x2 = a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21
观察结果（1）每项都是位于不同行不同列的元素的乘积．（2）每项行标都是自然排列，列标都是1,2,3的某个排列，列标为偶排列则该项符号为＋，否则为－
(3)每项的通式： 1)t a1 j1 a2 j2 a3 j3 , t为j1 j2 j3的逆序数 (−
类似地：
a11 D= a21 a12 = a11a22 − a12 a21 a22
b1a22 a23 + a12 a23b3 + a13b2 a32 − b1a23a32 − a12 b2 a33 − a13a22 b3 x1 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31 a11b2 a33 + b1a23a31 + a13a21b3 − a11a23b3 − b1a21a33 − a13b2 a31 x2 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31 a11a22 b3 + a12 b2 a31 + b1a21a32 − a11b2 a32 − a12 a21b3 − b1a22 a31 x3 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31

线性代数教学课件第一章行列式第一节n 阶行列式

b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
为了便于记忆，引入记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
称为2阶行列式(determinant)，其中横排叫行，
纵排叫列，aij叫行列式的元素，元素aij 的第一个
下标i叫行标，第二个下标j叫列标. 13
二阶行列式的计算
行列式中的横排叫行，纵排叫列，叫元素. 三阶行列式所表示的代数和可利用下图所示的对角线法则来记忆，实线上三元素之积取正号，虚线上三元素之积取负号.
16
对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
28
同理可得下三角行列式
a11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann
a11a22 ann .
29
特殊情况:
a11 0 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 0 a33 0 0 a11a22 ann . 0 0 0 0 ann
这种行列式称为对角行列式.
30
类似可证：
关，如方程 x2 1 0
在有理数范围和实数范围均无解，但在复数
范围有解：x i
5
因此同一问题在不同的数集内可有不同的结果. 另一方面，有理数、实数和复数有许多共同的关于加、减、乘、除的运算性质, 为了把具有这些共同运算性质的数集统一处理，便引入以下数域的概念.
定义1.1 设F是至少含有两个不同复数的数集，若中任意两个数（可以相同）的和、差、积、商（除数非零）仍为F中的数，则称F是一个数域(field of numbers). 若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F中，则称F关于这一运算封闭. 因此，F为数域当且仅当至少含有两个不同数且关于加、减、乘、除（除数非零）的运算封闭.

线性代数(赵树嫄)第1章行列式

1
0 1 5 1 1 3 4 7 1
§1.2 n阶行列式引例 n元线性方程组（方程个数＝未知量个数）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 .......... ......... an1 x1 an2 x2 ann xn bn
N (n(n 1)L 21) (n 1) (n 2) 1
定理1.2． n个数码共有n!个排列，其中奇偶排列各占 n! 一半, 各为 . 2 (二) n阶行列式的定义
即
定义1.2 用n2个元素aij (i , j 1,2, , n)排成的数表
a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
aij中i称为行标, j称为列标, aij
竖排称为列 , 其中横排称为行，
(i , j )元
表示该元素处在第 i行第j列, 处在行列的交叉处 , 有时也记为
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a 33
6 2 8
主对角线及其主对角线方向上的三个元素的乘副对角线及其副对角线方向上的三个元积带正号，素的乘积带负号，所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式．
例5
a, b R, a , b 满足什么条件时有
a b 0 b a 0 0 1 0 1
解
a b 0 2 a b a 0 b2 1 0 1

《线性代数》课件第1章

3
1
1 r1 6
1131
1113
1 1 1 1 r2 r1 1 1 1 1
1 3 1 1 r3 r1 0 2 0 0
6
6
48
1 1 3 1 r4 r 1 0 0 2 0
11 1 3
0002
例1.3.4 计算
a1 a1 0 0
0
a2 a2
0 .
0 0 a3 a3
11 1 1
解根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将
an1 an2
a nj
a nn
an1 an2
bn
a nn
性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变，即
a11
a1n
a11
a1n
ai1
ain ri krj ai1 ka j1
ain a jn
a j1
a jn
(1.3.1.3) a1…alabb1…bmc1…cn
再作m+1次相邻对换，式(1.1.4) a1…albb1…bmac1…cn
(1.1.2) (1.1.3) (1.1.4) ( 1.1.5)
1.2 行列式的定义
1.2.1
定义1.2.1 由4个元素aij(i=1，2；j=1，2)排成两行两列，并定义
3a11 a12
5a23 2 3a21 a22
5a33
3a31 a32
a11 2 (3) 5 a21
a31
5a13 5a23 5a33
a12 a13 a22 a23 a32 a33
2 (3) 51 30.
例1.3.2 计算
3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3

线性代数人大(赵树

线性代数 18
推广之，有如下n 阶行列式定义

定义： n阶行列式
a11 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
a 21 D a n1
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn Det(aij )
记
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn
线性代数 16
n! n( n 1) C n 2!(n 2)! 2
方法2
n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排列
x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构
成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和为 li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n)
a1 j1 a2 j2 a3 j3
(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的
乘积构成，除符号外可写为 a1 j1 a2 j2 a3 j3 (ii)符号为 ( 1) ( j1 j2 j3 ) “+” 123 231 312 （偶排列） (iii)项数为 3！=6 “-” 321 213 132 （奇排列）
从而 ( x1 x2 xn ) ( xn xn1 x1 ) n( n 1) ( n 1) ( n 2) 2 1 2 此即 ( x x x ) n( n 1) I . n n 1 1 2
线性代数
17
3. n阶行列式定义

x1 3 x2 5 例1 解二元线性方程组 4 x1 3 x2 5
解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式

线性代数第一章第一节PPT课件

01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩阵中的每一行可以看作是一个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切相关的概念，矩阵可以看作是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、分配律等。
向量可以用有向线段、坐标系中的点或有序数对来表示。
向量有大小和方向两个基本属性，大小表示向量的长度，方向表示向量的指向。
矩阵的定义与运算
•·
02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示二维数组。

线代代数第一章教学课件

定义由 n2 个数组成的 n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的 n 个元素的乘积
的代数和
(1)t a1 p1a2 p2 anpn .
a11 a12 a1n
记作
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
简记作det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
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三、计算几个特殊的行列式
例3 计算对角行列式
1
（1） D
2
12 n
n
（2） D
1
2
?
n
上一页下一页
解
设
a i
i ,ni1
，则
1
2
a1n a2,n1
n
an1
(1)t a1na2,n1 an1 (1)t 12 n
其中 t 是排列 n (n-1) (n-2) … 3 2 1 的逆序数，
2、n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同行、不同列的 n 个元素的乘积，正负号由下标排列的逆序数决定。
如：排列 2 4 3 1 中，21，41，31，43 均为逆序，则排列的逆序数为4。
定义 3 逆序数是奇数的排列称为奇排列；逆序数是偶数或 0 的排列称为偶排列。
如：2 4 3 1 是偶排列；3 1 4 2 5 中有 3 个逆序，是奇排列。
上一页下一页
逆序数的求法为：
在一个 n 级排列中，依次考虑每个数后面比它小的数有几个，如第 i 个元素后比它小的数有 ti 个，则此排列的逆序数为
上一页下一页
1 2 -4 例２计算三阶行列式 D - 2 2 1

线性代数(赵树嫄)第一章行列式

2a12 10a13 a22 a32 5a23 5a33
a11 a12 a1 a2 a n1 a n 2
a1n an bn ann
a1n bn ann
a1n a11 a12 an b1 b2 ann an1 an 2
推论：如果行列式的某一行（列）的每个元素都可以写成 m 个数的和，则此行列式可以写成 m 个行列式的和。性质5：行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数 k 加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变，即 a11 a12 a1n a11 a12 a1n r kr i j a i 1 a i 2 ain a i 1 ka j 1 a i 2 ka j 2 a in ka jn a n1 a n 2 a nn a n1 an 2 a nn 推理：行列式的某一行(列) 的元素直接加到另一行 (列)的相应元素上，行列式的值不变。
对于二、三阶行列式，或者 0 元素很多的高阶行列式，可以直接利用行列式定义来计算。
例1
a11 a21 a n1 0 a22 an 2
下三角形行列式
0 0 a11a22 ann ann
上三角形行列式
a11 0 0 a12 a22 0 a1n a2 n a11a22 ann ann
为三阶行列式，记为：
a21 a22 a23 a31 a32 a33
即：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33 +a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33
-a11a23a32 -a12a21a33 -a13a22a31

第五版线性代数(赵树嫄)第一章行列式

a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
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三阶行列式
(二)三阶行列式
a11 a12 a13
任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变
定理12 n个数码(n1)共有n!个n级排列其中奇偶排列各占一半
举例对排列21354施以对换(1 4)后得到排列24351 N(21354)2 而N(24351)5 可见对换后奇偶性改变
《线性代数》(第五版)教学课件
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(一)排列与逆序 (二)n阶行列式的定义
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(一)排列与逆序
n级排列
由n个不同数码1 2 n组成的有序数组i1 i2 in 称为一个n级排列
定义11(逆序数)
在一个n级排列i1 i2 in中如果有较大的数it排在较小的数is前面(isit) 则称it与is构成一个逆序一个n级排列中逆序的总数称为它的逆序数记为N(i1 i2 in)
a10 例 5 D 1 a 0 0 的充分必要条件是什么?
411
a10 解 D 1 a 0 a2 1
411
当且仅当a210 即|a|1时 D0 因此可得D0的充分必要条件是|a|1
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§12 n阶行列式
a22 a32
a23 a33
a24 a34
a41 a42 a43 a44

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2020/10/11
广东财经大学数学与统计学院刘国刚
第一章行列式
▪ 本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计算方法．此外还要介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克莱姆(Cramer)法则．
2020/10/11
广东财经大学数学与统计学院刘国刚
§1.1 二阶、三阶行列式
2020/10/11
a32 a33
a11 a12 a13
＋
a11 D a21
a31
a12 a13 a22 a 23
a32 ＋a33
a21 a22 a 23
a3－1 a32 a33 －
＋
a11a a 22 33 a12a a 23 31 a13a a 21 32
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
D1
b1 b2
a12 a22
b1a22 a12 b2
D2
a11 a21
b1 a11 b2 b1 a21
b2
x1
b1a22 a12b2
a11a2D 2 a12a21
x1
D1 D
x2
D2 D
a11 x1 a12 x2 b1
a21
x1
a22 x2
b2
x2
a11b2 b1a21
(1)
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
a11 a12 a13
D a21 a22 a23
a31 a32 a33
2020/10/11
称为三阶行列式
广东财经大学数学与统计学院刘国刚
当
a11
D a21
a31
x1
D1 D
x2
D2 D
x3
D3 D
a12 a13
a22 a23 0 时，方程组(1)有唯一解－：
2020/10/11
广东财经大学数学与统计学院刘国刚
D1
1 5
3 4 15 19, 4
11 D2 2 5 5 2 3
x1
x2
D1 19 D 10
D2 3 D 10
19
10
3 10
引例三元线性方程组
2x1x134xx2 215
1 D
3 10
2 4
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2
b2
D
a21
a11a22 a12a21
a22
－
＋
称为二阶行列式，横排的称为行，竖排的称为列．
表示一代数和 a11a22 a12a21.左上角到右下角称为主对角线，右上角到左下角称为副对角线．
对角线法则：二阶行列式等于主对角线元素的乘
积减去副对角线元素的乘积．
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辅导用书:
１、高等代数（第三版），北京大学数学系几何与代数小组编．高等教育出版社．
２、《线性代数辅导及习题精解》人大第三版罗剑、滕加俊编著．陕西师范大学出版社
３、《线性代数习题集》胡显佑、彭勇行主编南开大学出版社
４、经济数学基础（第二分册线性代数），龚德恩主编．四川人民出版社．
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组有唯一解：
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x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 2
b1a21 a12a21
a11 x1 a12 x2 b1
a11 a12
a21 x1
a22 x2
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引例二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 ①
a21 x1
a22 x2
b2
②
将 ①× a22－ ②× a12 得
(a11a22 a12a21) x1 b1a22 a12b2
同理可得
(a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21
▪ 2.既有一定的理论推导，又有大量的繁杂运算。有利于培养学生逻辑思维能力、分析问题和动手解决问题的能力。
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用途与特点：
线性代数不仅为学习后续课程奠定必要的数学基础，而且在工农业生产如国防技术中有着广泛的应用，是理工科以及经管类大学生的一门重要的数学基础课。该课程的特点是：公式多、式子大、符号繁，但规律性强。课程内容比较抽象，需要学生具备一定的抽象思维能力，逻辑推理能力，分析问题能力和动手解决实际问题的能力．
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例4
1 23
4 0 5 1 0 6 2 5 (1) 3 4 0
1 0 6 3 0 (1) 246 150
10 48 58
1 01
0 2 1 1 2 3 01 (1) 1 0 0
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学习与要求： ▪ 为学好这门课程，要求学生要认真上好每一
节课，深刻理解每一节课的基本理论，熟练掌握每一节课的重要内容，熟练运用知识点解题，能够收到举一反三，触类旁通的效果。
▪ 按时完成作业。
▪ 考查方式:期末考试闭卷---70%; 平时作业、出勤、小测试---30%。
线性代数
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课程的性质：
▪ 线性代数是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一。它既是学习数学的必修课，也是学习其他专业课的必修课。
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内容与任务：
▪ 1 线性代数是研究有限维线性空间及其线性变换的基本理论，包括行列式、矩阵及矩阵的初等变换、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等内容。
a11aD 22 a12a21
D a11 a12 a21 a22
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a11a22 a12a21
0 广东财经大学数学与统计学院刘国刚
例１
5 1
5 2 (1) 3 13
32
例２
设 D 2
,
31
(1)当为何值时 D 0,
(2)当为何值时 D 0.
解
2
D 3 2020/10/11
2 3 0 0，
2 3
1
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或 3
因此可得：
(1) 当 0 或 3时 D 0, (2)当 0 且 3 时 D 0.
例３解二元线性方程组
x1 3x2 1 2x1 4x2 5
解
13
D
2
4
1 (4) 3 2 10 0
此线性方程组有唯一解