逆命题与逆定理(基础)知识讲解

逆命题与逆定理（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，会区分命题的题设（条件）和结论，并能判断一个命题的真假；会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立；
2．理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题；
3．理解并掌握线段垂直平分线性质定理及其逆定理，能用它们解决几何计算和证明题．
【要点梳理】
要点一、互逆命题与互逆定理
1.互逆命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.
要点诠释：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.
2.互逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
要点诠释：
（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；
(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.
要点二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理
线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
要点诠释：
性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.
要点二、角平分线性质定理及其逆定理
角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
【典型例题】
类型一、互逆命题与互逆定理
1、“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是 .
【答案】轴对称图形是等腰三角形
【解析】根据轴对称图形的概念求解．逆命题是结果与条件互换一下的说法．
【总结升华】掌握好逆命题，及轴对称的概念．
举一反三：
【变式】下列定理中，没有逆定理的是（）．
A.全等三角形的对应角都相等
B.全等三角形的对应边都相等
C.等腰三角形的两底角相等
D.等边三角形的三边都相等
【答案】A
类型二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理
2、如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD=3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长．
【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出即可．
【答案与解析】
解：∵AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，BD=CD，
又∵BD=3cm，
∴BC=6cm，
又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm，
∴2AC=14，
AC=7cm．
【总结升华】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
举一反三
【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）．
A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°
【答案】D
3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【思路点拨】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．
【答案与解析】
证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
【总结升华】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．
举一反三：
【变式】数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）
【答案】
解：
类型三、角平分线性质定理及其逆定理
4、（2016•邯郸二模）如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是．
【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE=OD=OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
【答案与解析】
解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF
=×（AB+BC+AC）×3
=20×3
=30.
【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图：△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（）．
①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等④BP平分∠APC．
A．①②B．①④C．③②D．③④
【答案】C
5、如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF
求证：AD平分∠BAC．
【思路点拨】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE=DF，然后由角平分线性质的逆定理，即可证得AD平分∠BAC．
【答案与解析】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC．
【总结升华】此题考察了角平分线性质的逆定理与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
举一反三：
【变式】点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（）．
A. BC的中线上
B. BC边的垂直平分线上
C.BC边的高线上
D.∠A的平分线所在的直线上
【答案】D。