2020年上海交通大学自主招生考试数学试卷第15-25题解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷)(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（上海卷）一、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 已知集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，求A B =_______【分值】4分 【答案】{}2,42. 1lim31n n n →∞+=-________【分值】4分【答案】133. 已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______【分值】4分4. 已知行列式126300a cd b =，则行列式a cd b=_______【分值】4分 【答案】25. 已知()3f x x =，则()1f x -=_______【分值】4分 【答案】()13xx R ∈6.已知a 、b 、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab= 【分值】4分 【答案】367.已知20230x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最大值为【分值】5分 【答案】-18.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅=【分值】5分 【答案】2789.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。
【分值】5分 【答案】18010.椭圆22143x y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为【分值】5分【答案】10x y +-=11、设a R ∈，若存在定义域R 的函数()f x 既满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”又满足“关于x 的方程()f x a =无实数解”，则α的取值范围为【分值】5分【答案】()()(),00,11,-∞⋃⋃+∞【解析】题目转换为是否为实数a ,使得存在函数()f x满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”，又满足“关于的方程()f x a =无实数解”构造函数；()2,,x x af x x x a≠⎧=⎨=⎩，则方程()f x a =只有0,1两个实数解。
上海交通大学2020级第二学期高等数学期末试题知乎
上海交通大学2020级第二学期高等数学期末试题知乎一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
每小题只有一个选项符合题目要求）1.点是函数的（） [单选题] *A.连续点B.可去间断点(正确答案)C.跳跃间断点D.第二类间断点答案解析：2.若函数,在处连续，则常数为（） [单选题] *A.2B.-2C.-1(正确答案)D.1答案解析：3.若曲线的水平渐近线存在，则常数为（） [单选题] *A.1(正确答案)B.-1C.2D.-2答案解析：4.设函数是二阶可导函数，并且，当∈（0，+∞）时，<0，>0，则在（-∞，0）上函数为（） [单选题] *A.单调下降，曲线是凸的B.单调下降，曲线是凹的C.单调上升，曲线是凸的D.单调上升，曲线是凹的(正确答案)答案解析：5.曲线的水平渐近线为（） [单选题] *A.(正确答案)B.C.-4D.4答案解析：二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）6.若的定义域为（0，2），则的定义域为 . [填空题] * _________________________________答案解析：7.函数的间断点是 . [填空题] *_________________________________答案解析：8.极限 . [填空题] *_________________________________答案解析：9.[填空题] *_________________________________答案解析：10.若点是曲线的拐点，则常数M，N的值分别为 . [填空题] *_________________________________答案解析：三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）11. [填空题]_________________________________答案解析：12. [填空题] _________________________________答案解析：13. [填空题]_________________________________答案解析：14.[填空题]_________________________________答案解析：15. [填空题] _________________________________答案解析：16. [填空题]_________________________________答案解析：17.[填空题]_________________________________答案解析：18.[填空题]_________________________________答案解析：四.综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）19.（1） [填空题] * _________________________________答案解析：（2） [填空题] * _________________________________答案解析：（1）函数的定义域; [填空题] *_________________________________答案解析：（2）该函数曲线的凹凸性; [填空题] *_________________________________答案解析：（3）求函数的单调区间. [填空题] *_________________________________答案解析：。
2020年上海交大自主招生数学试卷
2020年上海交大自主招生数学试卷一、填空题1．函数f（x）的定义域为（0，1）．若c∈（0，），则函数g（x）＝f（x+c）+f（x﹣c）的定义域为 ．2．已知方程2x﹣sin x＝1，则下列判断：（1）方程没有正数解（2）方程有无穷多个解（3）方程有一个正数解（4）方程的实根小于1其中错误的判断有 ．3．小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有 个．4．已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB，BC上，满足AD＝BE＝，联结AE，CD，则AE和CD的夹角为 ．5．△ABC的顶点坐标分别为A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），则角A的平分线所在的直线方程为 ．6．从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，则有 种不同的取法．7．已知y＝ax2+bx+c过A（﹣3，4），B（5，4），则2a+b＝ ．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线m交抛物线于A，B两点，若A，B横坐标之和为5，则直线m的条数为 ．9．用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n的值为 ．10．若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是（ ）A．只有唯一值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．无穷多个值11．非零实数a，b，c，若，，成等差，则下列不等式成立的是（ ）A．|b|≤|ac|B．|b|≤C．b2≥|ac|D．a2≤b2≤c2 12．若集合M中任意两个元素的和差积商的运算结果都在M中，则称M是封闭集合．下列集合：（1）R（2）Q（3）∁R Q（4）{x|x＝m+n，m，n∈Z}中．封闭集合的个数为 ．13．方程x（x+1）+1＝y2的正整数解有 ．14．若a，b＜0，且满足+＝，则＝ ．15．若四面体的各个顶点到平面α距离都相等，则称平面α为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是 ．16．设m（a）是函数f（x）＝|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值，则m（a）的最小值为 ．17．立方体8个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有 对．18．空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有 条．19．用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长最小值为 ．20．矩形ABCD的边AB＝，过B，D作直线AC的垂线，垂足分别为E，F，且E，F分别为AC的三等分点．沿着AC将矩形翻折，使得二面角B﹣AC﹣D成直角，则BD长度为 ．21．平面上给定5个点，任意三点不共线．过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直．过5点中任意一点向另外4点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的5点）个数至多有 个．22．实数a，b满足（a+b）59＝﹣1，（a﹣b）60＝1，则（a n+b n）＝ ．23．甲乙丙三人的职业分别是A，B，C，乙的年龄比C大，丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为（ ）A．ABC B．CAB C．CBA D．BCA24．函数y＝，x∈（﹣，）的最小值是 ．2020年上海交大自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．函数f（x）的定义域为（0，1）．若c∈（0，），则函数g（x）＝f（x+c）+f（x﹣c）的定义域为 （c，1﹣c） ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意可得，，结合c的范围解不等式可求．【解答】解：由题意可得，，解可得，，因为0＜c＜，所以﹣c＜c＜1﹣c＜1+c，所以c＜x＜1﹣c．故函数的定义域（c，1﹣c），故答案为：（c，1﹣c）【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础试题．2．已知方程2x﹣sin x＝1，则下列判断：（1）方程没有正数解（2）方程有无穷多个解（3）方程有一个正数解（4）方程的实根小于1其中错误的判断有 1个 ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】在同一直角坐标系内画出函数y＝2x﹣1与y＝sin x的图象，由两函数图象的交点逐一分析四个命题得答案．【解答】解：由2x﹣sin x＝1，得2x﹣1＝sin x，作出函数y＝2x﹣1与y＝sin x的图象如图：当x＝时，sin＝，＜＜＝，可知函数y＝2x﹣1与y＝sin x的图象在（0，1）上一定有一个交点，且唯一，故（1）错误，（3）（4）正确；由图可知，方程有无穷多个解，故（2）正确．∴其中错误的判断有1个．故答案为：1个．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．3．小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有 686 个．【考点】等差数列的前n项和．【分析】先求出5的倍数有200个，7的倍数有142个，35的倍数有28个，从而可求．【解答】解：因为小于1000的正整数中，5的倍数有1000÷5＝200个，1000÷7＝142…6即7的倍数有142个，因为1000÷35＝28…20即35的倍数有28个，故既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有1000﹣（200+142﹣28）＝686个故答案为：686【点评】本题主要考查了等差数列的简单应用，属于基础试题．4．已知边长为a的正三角形ABC，D，E分别在边AB，BC上，满足AD＝BE＝，联结AE，CD，则AE和CD的夹角为 60° ．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】以BC的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy，分别求得A，B，C，D，E 的坐标，以及直线AE，CD的斜率，由两直线的夹角公式，计算可得所求值．【解答】解：以BC的中点为坐标原点O，建立直角坐标系xOy，可得A（0，a），B（﹣a，0），C（a，0），由AD＝BE＝，可得E（﹣a，0），又＝，可得D（，a），即为（﹣a，a），则直线AE的斜率为k AE＝＝3，直线CD的斜率为k CD＝＝﹣，可得两直线AE，CD的夹角的正切为||＝，则所求夹角为60°．故答案为：60°．【点评】本题考查两直线的夹角的求法，运用坐标法是解题的关键，考查直线的斜率和两直线的夹角公式，考查化简运算能力，属于中档题．5．△ABC的顶点坐标分别为A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），则角A的平分线所在的直线方程为 7x﹣y﹣17＝0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的性质．【分析】求出|AB|、|AC|的长，利用定比分点坐标公式求出点T的坐标，即可写出AT所在的直线方程．【解答】解：由A（3，4），B（6，0），C（﹣5，﹣2），所以|AB|＝＝5，|AC|＝＝10，设角A的平分线AT交BC于点T，则点T分BC所成的比为λ＝＝，由定比分点坐标公式，得x T＝＝，y T＝＝﹣；所以点T（，﹣），所以AT所在的直线方程为＝，即7x﹣y﹣17＝0．【点评】本题考查了线段的定比分点和直线方程的应用问题，是中档题．6．从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，则有 11 种不同的取法．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，按不同颜色球的数目列举所有的情况，即可得答案．【解答】解：根据题意，从2个红球，3个黑球，5个白球中任意取6个球，有以下情况：1、2个红球，3个黑球，1个白球；2、2个红球，2个黑球，2个白球；3、2个红球，1个黑球，3个白球；4、2个红球，4个白球；5、1个红球，3个黑球，2个白球；6、1个红球，2个黑球，3个白球；7、1个红球，1个黑球，4个白球；8、1个红球，5个白球；9，3个黑球，3个白球；10、2个黑球，4个白球；11、1个黑球，5个白球；共11种情况；故答案为：11．【点评】本题考查分类计数原理的应用，注意分类讨论要做到不重不漏，属于基础题．7．已知y＝ax2+bx+c过A（﹣3，4），B（5，4），则2a+b＝ 0 ．【考点】二次函数的性质与图象．【分析】由二次函数图象的对称性，可得对称轴方程为x＝1，可解出答案．【解答】解：图象过A，B两点，可知该函数一定是二次函数，对称轴方程为，所以b＝﹣2a，b+2a＝0．故答案为0．【点评】本题考查了二次函数的对称性．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线m交抛物线于A，B两点，若A，B横坐标之和为5，则直线m的条数为 当p＞5时，直线条数为0条；当p＝5时，直线条数为1条；当p＜5时，直线条数为2条． ．【考点】抛物线的性质．【分析】设直线方程为x＝ty+，联立可得x1+x2＝t（y1+y2）+p＝5，，根据5﹣p的符号判定即可．【解答】解：设直线方程为x＝ty+，联立整理可得y2﹣2pty﹣p2＝0，y1+y2＝2pt，x1+x2＝t（y1+y2）+p＝5，t•2pt+p＝5∴，当p＞5时，直线条数为0条；当p＝5时，直线条数为1条；当p＜5时，直线条数为2条．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．9．用同样大小的正n边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n的值为 3，4，6 ．【考点】进行简单的合情推理．【分析】设m个正n边形可以铺满平面，得到关于m和n的式子，找到满足条件的正整数解即可．【解答】解：设m个正n边形可以无重叠，无缝隙地平铺平面如图所示，则，化简可得：2（m+n）＝mn，则满足条件的有，，，因此满足条件的n的值为3，4，6，故答案为：3，4，6【点评】本题考查一般推理能力，属于中档偏难题目．10．若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是（ ）A．只有唯一值B．有两个不同的值C．有三个不同的值D．无穷多个值【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线的交点坐标．【分析】由题意可得其中只有2条直线互相平行，第三条和这2条平行线都相交，再利用两条直线平行的条件求出k的值．【解答】解：若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则其中只有2条直线互相平行，第三条和这2条平行线都相交，则k＝﹣2或k＝0，或者三条直线经过同一个点，即x﹣2y+2＝0和x＝2的交点（2，2）在直线x+ky＝0上，此时k＝﹣1．综上，k＝﹣2 或k＝0或k＝﹣1，故选：C．【点评】本题主要考查两条直线平行的条件，两条直线的位置关系，属于基础题．11．非零实数a，b，c，若，，成等差，则下列不等式成立的是（ ）A．|b|≤|ac|B．|b|≤C．b2≥|ac|D．a2≤b2≤c2【考点】不等关系与不等式；等比数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质得2a2c2＝（a2+c2）b2≥2b2|ac|，推导出|b|≤，进而得到≤≤，或，由此能求出结果．【解答】解：∵由题意得+＝，即2a2c2＝（a2+c2）b2≥2b2|ac|，∴b2≤|ac|，∴，即|b|≤，又2b2c2＝（a2+c2）b2．∴，∴≤≤，或，即a2≤b2≤c2，或c2≤b2≤a2．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．若集合M中任意两个元素的和差积商的运算结果都在M中，则称M是封闭集合．下列集合：（1）R（2）Q（3）∁R Q（4）{x|x＝m+n，m，n∈Z}中．封闭集合的个数为 2 ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意结合封闭集合的定义逐一考查所给的集合是否满足题中的定义即可确定封闭集合的个数．【解答】解：两个实数的和差积商仍然是实数，故R是一个封闭集合；两个有理数的和差积商仍然是有理数，故Q是一个封闭集合；注意到，而，故∁R Q不是封闭集合；令，注意到，而，故不是封闭集合；综上可得，封闭集合的个数为2．故答案为：2．【点评】本题考查集合中的新定义问题，属于中等题．13．方程x（x+1）+1＝y2的正整数解有 0 ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由已知等式可得y＞x，y﹣1＜x，进一步得到x＜y＜x+1，由此可得满足该式的正整数y不存在，从而得到方程x（x+1）+1＝y2的正整数解为0个．【解答】解：由x（x+1）+1＝y2，得y2﹣x2＝x+1，∵x为正整数，∴x+1＞1，即y2﹣x2＞1，则y＞x，由x（x+1）+1＝y2，得y2﹣1＝（y﹣1）（y+1）＝x（x+1），∵y+1＞x+1，∴y﹣1＜x，则x＜y＜x+1，满足该式的正整数y不存在，则方程x（x+1）+1＝y2的正整数解为0个．故答案为：0．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．14．若a，b＜0，且满足+＝，则＝ ．【考点】有理数指数幂及根式．【分析】推导出a2﹣b2＝ab，整理得（）2﹣﹣1＝0，由此能求出的值．【解答】解：∵a，b＜0，且满足+＝，∴＝，整理得a2﹣b2＝ab，∴＝1，∴（）2﹣﹣1＝0，由a，b＜0，解得＝．故答案为：．【点评】本题考查两数比值的求法，考查指数定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．若四面体的各个顶点到平面α距离都相等，则称平面α为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数是 7 ．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】分3种情况分类讨论即可，①四个顶点均在平面的一侧，②平面的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点，③平面的两侧各有两个顶点．分别求出中位面的个数再相加可得答案．【解答】解：将所考虑的四面体记作ABCD．若四个顶点均在平面的一侧，则这四个顶点必位于一个与平面平行的平面内，不符合条件；只考虑以下两种情形．（i）平面的一侧有三个顶点，另一侧有一个顶点．不妨设点A，B，C在平面的一侧，点D在另一侧，则A，B，C三点所确定的平面必平行与，由点D作平面ABC的垂线DD1，D1为垂足．则中位面必为经过DD1的中点且与DD1垂直的平面（存在且唯一），该中位面平行于平面ABC．这种类型的中位面共有4个．（ii）平面的两侧各有两个顶点，不妨设点A，B在平面α的一侧，点C，D在另一侧，显然，易知，AB与CD为异面直线，中位面必为经过它们公垂线中点且平行于它们的平面（存在且唯一）．由于四面体的6条棱可按异面直线关系分为3组，于是这种类型的中位面共有3个．综上，一个四面体的中位面由7个互不相同的中位面．故答案为：7．【点评】本题考查空间中线面位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．设m（a）是函数f（x）＝|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值，则m（a）的最小值为 ．【考点】带绝对值的函数．【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这一范围内进行，结合二次函数的单调性及a的正负及1的大小分类讨论求解M （a）．【解答】解：由题意可得函数f（x）为偶函数，因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这一范围内进行；①当a≤0时，f（x）＝x2﹣a，函数f（x）在[0，1]单调递增，M（a）＝f（1）＝1﹣a≥1．②当1＞a＞0时，函数f（x）在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，所以f（x）在[0，]内的最大值为M（a）＝f（0）＝a，而f（x）在[，1]上的最大值为M（a）＝f（1）＝1﹣a．若f（1）＞f（0）得，则1﹣a＞a，求得0＜a＜．故当a∈（0，）时，M（a）＝f（1）＝1﹣a＞；若f（1）≤f（0）得，则1﹣a≤a，求得1＞a≥．故当a∈[，1）时，M（a）＝f（0）＝a，③当a≥1时，函数在[0，1]上为减函数，所以M（a）＝f（0）＝a≥1．综上，M（a）＝1﹣a，（当a＜时）；或M（a）＝a，（当a≥时）．所以M（a）在[0，]上为减函数，且在[，1]为增函数，易得M（a）的最小值为M（）＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了偶函数的性质的应用，其实由分析可得M（a）＝f（0）或f （1），所以可直接通过比较f（0）与f（1）的大小得出M（a）的解析式从而求解．17．立方体8个顶点任意两个顶点所在的直线中，异面直线共有 174 对．【考点】异面直线的判定．【分析】求出正方体中不在同一个平面上的4个点的个数，然后求出这4个点中异面直线的对数即可．【解答】解：立方体中有8个顶点，任意两个顶点所构成的直线有：＝28，其中不在同一个平面上的4个点的个数有C84﹣12＝58，4个点中异面直线的对数是：3，所以过正方体任意两个顶点的直线共有28条，其中异面直线有：58×3＝174对．故答案为：174．【点评】本题考查排列组合的知识，结合空间几何体难度比较大，注意不在同一个平面的4点中，能够出现异面直线，是解答本题的关键．18．空间三条直线a，b，c两两异面，则与三条直线都相交的直线有 无穷多条 条．【考点】异面直线的判定．【分析】在a、b、c上取三条线段AB、CC′、A′D′，作一个平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，在直线A′D′上取一点P，过a、P作一个平面β，平面β与DD′交于Q、与CC′交于R，由面面平行的性质定理，得QR∥a，由点P的任意性，得与a，b，c都相交的直线有无穷多条．【解答】解：在a、b、c上取三条线段AB、CC′、A′D′，作一个平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，如右图所示在c上，即在直线A′D′上取一点P，过a、P作一个平面β平面β与DD′交于Q、与CC′交于R，则由面面平行的性质定理，得QR∥a，于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a相交，得直线PR是与a，b，c都相交的一条直线．根据点P的任意性，得与a，b，c都相交的直线有无穷多条．故答案为：无穷多条．【点评】本题考查满足条件的直线条件的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长最小值为 3 ．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】画出图象，结合图象求出六边形的周长，即可求得此六边形周长最小值．【解答】解：如图示：，则结合对称性可知，六边形的周长最小值是6×＝3，故答案为：3．【点评】本题考查利用平面几何的知识解决立体几何，考查学生的空间想象能力，考查运算求解能力．20．矩形ABCD的边AB＝，过B，D作直线AC的垂线，垂足分别为E，F，且E，F分别为AC的三等分点．沿着AC将矩形翻折，使得二面角B﹣AC﹣D成直角，则BD长度为 ．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】根据，可以求出EF，再根据勾股定理即可求出BD的长度．【解答】解：设AF＝FE＝EC＝x，则，，解得，故．故答案为：．【点评】本题考查二面角的概念，考查学生空间想象能力和运算能力，属于基础题．21．平面上给定5个点，任意三点不共线．过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直．过5点中任意一点向另外4点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的5点）个数至多有 310 个．【考点】进行简单的合情推理．【分析】固定一个点进行研究，然后推广开后用排除法去掉不符合要求的即可．【解答】解：由给定的五个点两两连线共有＝10条，记五个点为A1，A2，A3，A4，A5，则以A1为例进行研究：A2，A3，A4，A5四个点共产生＝6条连线，由A1向6条连线可引出6条垂线，则推广到其他点共可得到6×5＝30条垂线．若每两条垂线均相交，则可得到个交点，易知每一条线段的垂线互相平行且每一条线段共有3条垂线，则应减去30个交点，又A1，A2，A3，A4，A55点共可得到个三角形，三角形的三边垂线交于一点，故要减去20个点，而由A1，A2，A3，A4，A55点中任一点引出的垂线必交于该点，故减去点，则最终有435﹣75﹣20﹣30＝310个点．故答案为310．【点评】本题考查了排列组合和逻辑推理的相关内容，属于难题．22．实数a，b满足（a+b）59＝﹣1，（a﹣b）60＝1，则（a n+b n）＝ 0 ．【考点】数列的求和．【分析】本题先根据（a+b）59＝﹣1，可得到a+b＝﹣1，以及根据（a﹣b）60＝1，可得a﹣b＝±1，然后列出关于a、b的方程组，解出a、b的值，代入求和表达式，根据等比数列的求和公式即可计算出结果．【解答】解：依题意，由（a+b）59＝﹣1，可知a+b＝﹣1，∵（a﹣b）60＝1，∴a﹣b＝±1，∴，或，解得，或，当时，a n+b n＝（﹣1）n；当时，a n+b n＝（﹣1）n，∴（a n+b n）＝（﹣1）n＝（﹣1）1+（﹣1）2+…+（﹣1）60＝＝0．故答案为：0．【点评】本题主要考查根据多项式求值，以及求和的问题．考查了方程思想，等比数列的求和公式，以及定义法，转化法，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．23．甲乙丙三人的职业分别是A，B，C，乙的年龄比C大，丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，则甲乙丙的职业分别为（ ）A．ABC B．CAB C．CBA D．BCA【考点】进行简单的合情推理．【分析】由丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，可得乙的职业为B，进而得到甲的职业为A，丙的职业为C．【解答】解：由丙的年龄和B不同，B比甲的年龄小，可知乙的职业为B，进而乙比甲的年龄小，又因为乙的年龄比C大，所以甲的职业不可能为C，从而甲的职业为A，所以丙的职业为C，所以甲乙丙的职业分别为ABC，故选：A．【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．24．函数y＝，x∈（﹣，）的最小值是 2 ．【考点】三角函数的最值．【分析】先利用换元法得到y的表达式，再利用基本不等式求得最值．【解答】解：令t＝sin x+cos x＝sin（x+），x∈（﹣，），则t∈（0，]，2sin x cos x＝t2﹣1，∴y＝＝2t+，t∈（0，]，∴y≥2＝2（当且仅当t＝时取等号）．故答案为：2．【点评】本题主要考查换元法、基本不等式在求函数最值中的应用，属于中档题．。
重视考试分析-提高教学质量
重视考试分析提高教学质量考试能够检测学生在知识和能力掌握上的不足与问题所在，给学生提供改进学习的信息，给教师提供调整和改进教学的信息,这就是考试的诊断和反馈功能.考试提供的信息有两个方面:一是考试的内容，考试的重点，试题的结构及深浅度都对老师的教学及学生的学习起着十分重要的导向作用。
二是考生解答的试卷中记录着每个学生对每一具体问题的见解,从中可以分析得出每个学生对考核内容的掌握情况,哪些掌握得好，哪些较差，问题出在何处。
这些情况反馈给学生本人及其教师，对他们有针对性地改进学习和教学是大有裨益的.所以在考试之后,教师应对试卷进行分析和教学检查，并将试卷分析情况对学生进行讲评，指出学生学习的优点、缺点、注意事项和努力方向,教师对学生的这种学习指导是非常有效的。
本文通过对一次考试进行综合的、客观的量化分析来说明合理、客观、正确地分析试卷对我们进行教学改进、提高教学质量有着十分重要的意义。
试卷分析主要包括两个方面：一是对试题的基本结构分析，二是对学生答题情况的分析。
试卷结构分析要统计试题的题型、题量（表1）和试卷的知识领域分布情况（表2)。
表1:由此反映出本次试卷的主要特点是：体现基础性，同时突出个性发展。
试卷以《考试说明》为依据，题型结构保持稳定,较好地体现了新课程基本理念.试卷立意新颖、结构合理,由易到难，有利于学生的考场发挥。
整张试卷基础知识考查到位，基础题目所占比重达三分之二,（如：第1、2、3、4、5、6、7、9、10、11、13、14、15、16、17、18均是基础题）,使大部分学生有成功的体验，可以说注重基础是近几年数学试卷的共同点。
学习数学的最终目的之一是应用数学知识解决实际问题。
试卷在几个题目中分别考查了用数学知识解决实际问题能力,例如选择题中的第5题、第18题，第21题都是以实际问题作为背景，特别是第21题以现实生活中的热点问题—-环保问题为背景，题目素材背景密切联系实际，使学生对题目有着亲切感和认同感，增强了解答的信心。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 数学(上海卷)word版 含答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学一、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 已知集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，求A B =_______ 【分值】4分【答案】{}2,42. 1lim31n n n →∞+=-________【分值】4分【答案】133. 已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______ 【分值】4分 54. 已知行列式126300a cd b =，则行列式a c d b=_______【分值】4分 【答案】25. 已知()3f x x =，则()1f x -=_______ 【分值】4分 【答案】()13xx R ∈6. 已知a 、b 、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab= 【分值】4分 【答案】367.已知20230x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最大值为【分值】5分 【答案】-18. 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅=【分值】5分 【答案】2789.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有 种排法。
【分值】5分 【答案】18010. 椭圆22143x y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为 【分值】5分 【答案】10x y +-=11、设a R ∈，若存在定义域R 的函数()f x 既满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”又满足“关于x 的方程()f x a =无实数解”，则α的取值范围为【分值】5分【答案】()()(),00,11,-∞⋃⋃+∞【解析】题目转换为是否为实数a ,使得存在函数()f x满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”，又满足“关于的方程()f x a =无实数解”构造函数；()2,,x x a f x x x a ≠⎧=⎨=⎩，则方程()f x a =只有0,1两个实数解。
2020年高考数学上海卷附答案解析版
【解析】根据向量减法的运算规律，ai bj {1,2}可转化为以向量a1 和 a2 终点为圆心，作半径r1 1 和 r2 2
的圆，两圆交点即为满足题意的b ，由图知， k 的最大值为 6。
1 /6
二、 13.【答案】B 14.【答案】D 15.【答案】D 【解析】 延长 BC 至 M 点，使得CM 2 延长C1C 至 N 点，使得CN 3 ，
2
b4 a b2
，
所以有4＜ b4 ，解得b2＞2 2 5 ，或 b2＜2 2 5 （舍） 4 b2
又因为OM ON由 ON 在 OM 上的投影可知： OM ON b2 4
所 以 OM ON b2 4＞6 2 5
OM ON 6 2 5,
21.【答案】（1）对于第一个数列有 2 3 1， 5 3 2 ， 1 3 2 ， 满足题意，该数列满足性质 p
以 C 、 M 、 N 为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为 H ， 连接 A1P 、 PH 、 HC ，则易得四边形 A1PHC 为平行四边形，
因为点 P 在平面 ADD1A1内，点 H 在平面 BCC1B1 内，
且点 P 在平面 ABCD 的上方，点 H 在平面 ABCD 下方， 所以线段 PH 必定会在和平面 ABCD 相交， 即点Q 在平面 ABCD 内。 16.【答案】C 【解析】本题要看清楚一个函数具有性质 P 的条件是，存在a R 且 a 0 ，
2024年交大附中自主招生数学试题
2024年交大附中自主招生数学试题2024年交大附中自主招生数学试题的挑战与应对交通大学附属中学自主招生考试是一场极具挑战性的数学考试，而2024年的考试试题更是引人注目。
在这场考试中，考生们将面临一些颇具难度的问题，要求他们展现出卓越的数学思维和解决问题的能力。
本文将结合具体试题，为读者解析这场考试的挑战性，并提供一些应对策略。
首先，2024年交大附中自主招生数学试题的难点表现在以下几个方面。
首先，题目涉及的知识面非常广，包括代数、几何、概率与统计等多个领域。
考生需要在短时间内掌握并运用这些知识，无疑是一大挑战。
其次，题目对考生的数学思维能力和逻辑推理能力要求极高，需要考生具备严密的逻辑推理能力和深入的数学思维能力。
最后，试题中还出现了一些需要运用复杂数学模型和方法的题目，要求考生具备较高的数学建模能力和解决问题的能力。
针对这些难点，考生可以采取以下几种应对策略。
首先，考生需要全面复习数学知识，确保自己对各个领域都有深入的理解和掌握。
在复习过程中，考生可以结合历年自主招生试题进行练习，提高自己的应试能力。
其次，考生需要注重培养自己的数学思维能力和逻辑推理能力，通过大量的练习和反思来提升自己的数学素养。
最后，考生还需要加强对数学方法和技术的应用，通过模拟考试和练习，提高自己的解题能力和应变能力。
在应对2024年交大附中自主招生数学试题的过程中，考生还需要注意一些问题。
首先，要合理规划答题时间，避免在难题上过度纠结，影响整体成绩。
其次，要注重解题的准确性和规范性，避免因为细节问题而丢分。
最后，要保持冷静，遇到难题时要保持冷静，避免因为紧张而犯错。
总之，2024年交大附中自主招生数学试题是一场极具挑战性的考试，要求考生具备全面的数学知识、深刻的数学思维能力和灵活的解题技巧。
考生在备考过程中需要全面复习数学知识，注重培养数学思维能力和解题技巧，同时保持良好的心态和冷静的态度，以应对这场极具挑战性的考试。
2020年自主招生数学试题及解答
2020年自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．IHG F E 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()29s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅( ④又由当12x a x b s ==-=∴min ()ECD S ∆=注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ．5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2020年自主招生数学试题及解答2020年自主招生数学试题及解答。
2020年高考数学上海卷附答案解析版
.
x 2 y 3≤0
a a a
答
8.已知an是公差不为零的等差数列，且 a 1 a10 a ，9 则 1
2
a10
9
.
9.从 6 人中挑选 4 人去值班，每人值班 1 天，第一天需要 1 人，第二天需要 1 人，第三
天需要 2 人，则有
种排法.
题
10.椭圆 x2 y2 1 ，过右焦点F 作直线 l 交椭圆于P 、 Q 两点， P 在第二象限已知 43
性质 p . （1）判断数列 3，2，5，1 和 4，3，2，5，1 是否具有性质 p ，请说明理由. （2）若 a1 1 ，公比为q 的等比数列，项数为 10，具有性质 p ，求 q 的取值范围.
（3）若 an 是 1，2，…， m 的一个排列m≥4， bk ak1 k 1, 2 m 1 ，an， bn，都具有性质 p ，求所有满足条件的an .
PF1 8 ，求∠F1PF2 ；
（3）过点 S
0, 2
b2 2
且斜率为
b的直线l 2
交曲线 于 M
、N
两点，用 b
的代数式
表示OM ON，并求出OM ON的取值范围。
21.有限数列an，若满足 a1 a2 ≤ a1 a3 ≤≤ a1 an ， m 是项数，则称an满足
数学试卷 第 3 页（共 4 页）
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18.【答案】（1）
1， 2
x
x∣x
3
4k或x
5
3
4k
,
k
Z；
（2）
1 2
,
0
19.【答案】（1）
x
0,
80 3
；
（2）
x
2020年上海市重点高中自主招生考试数学部分题目透析(一)
2020年上海市重点高中自主招生考试数学部分试题透析和分享（一）解题思路：这题不难，联想到一道平面几何题：先用高中方法暴力求解：一般的初中解法，令人赏心悦目：上面是一些平面几何问题，下面是一道数形结合题，如果用代数方法算，就误入歧途了，此题既要考虑方程本身的对称性（关于x轴对称，关于y轴对称），也要考虑方程与方程的对称性（两个方程关于y=x对称）：解题思路：下面这题同时出现在某校高三周练中，虽说不难，因为跟对称轴有关，所以与a 有关，因为是差值，所以与b无关。
但可以看出对初三学生的考察力度。
下面这题可能有多种解法，但第一思路还是降维，或者说主元法：解题思路：最后一个压轴题：解题思路：此题为今年七宝的自招题目，乍一看，跟今年杨浦初三二模的第16题的架子是一样的，细细一品，又可以总结个二级结论出来，即符合题意的三角形OAC（C、AC 中点在反比例函数y=k/x上，下题即三角形OAB）的面积为1.5k。
上题菱形可以转化为对角线垂直，也可以转化为邻边相等（OA=OC），都可以得到x0和y0的关系。
（2020杨浦初三二模16题，k=4）这类题没做过的话不一定能立即产生思路，最好的方法就是去发现规律，从简单的开始，从少部分开始，从局部入手。
比如从前2个开始，1、1/2，发现结果是2，再来三个数，1、1/2、1/3，发现结果是3...，就能总结出一般规律了，然后解释起来也会有了方向。
从特性总结出一般共性，再带回结论中。
这也是为什么很多题目的前几小问都是引导，为最后一问作铺垫，如果题目没有前几小问，我们要学着自己能不能给自己先提出简单的一些小问题，这样会利于快速明白问题，解决问题。
这题本质上跟a、b是无关的，那么问题就可以简化了。
类似的还有上期分享的一题：这题在某校最近的高三周练中出现过，不算难。
但如果此题问，求M-m的最小值，是不是很熟悉的一道题，那就是今年一模松江的15题了，难度瞬间就上了一档这题高中老师应该都很熟悉了，在很多高中数学试卷中的小题压轴中出现过，只要想明白了它的对称性，理解了那种互补，即可秒解。
强基计划 你准备好了吗
强基计划㊀你准备好了吗甘志国(北京市丰台二中㊀１０００７１)摘㊀要:强基计划的前身是大学自主招生ꎬ文章对强基计划及其数学试题的特点给予了详细介绍.关键词:强基计划ꎻ大学自主招生ꎻ强基计划数学试题的特点ꎻ序中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００５１－０７收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:甘志国(１９７１－)ꎬ湖北省竹溪人ꎬ研究生ꎬ正高级教师ꎬ特级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:本文系北京市教育学会 十三五 教育科研滚动立项课题 数学文化与高考研究 (课题编号ＦＴ２０１７ＧＤ００３ꎬ课题负责人:甘志国)阶段性研究成果之一.㊀㊀一㊁强基计划介绍强基计划的前身是大学自主招生(下简称自主招生).㊀自主招生是我国高校统一考试招生制度的重要补充ꎬ也是对学生多元录取㊁综合评价的重要组成部分.据统计显示ꎬ２０１８年清华北大自主招生㊁综合评价㊁高校专项获得降分的总人数ꎬ达到了惊人的６１００人ꎬ占其计划招生总数６７００人的９１％ꎬ详见下表:２０１８年清华北大获得降分人数汇总降分类型清华大学北京大学合计自主招生９４９８５５１８０４领军计划/博雅计划１８２５１５５９３３８４自强计划/筑梦计划４７９４６６９４５获得降分总人数３２５３２８８０６１３３预计计划招生总人数３４００３３００６７００获得降分人数所占比例９５.６８％８７.２７％９１.５４％㊀㊀从上面的数据可以看出自主招生在扮演非常重要的角色ꎬ仅凭裸分考进清华和北大的学生比例已经很低了.２０２０年１月１４日ꎬ教育部以教学 ２０２０ １号文件印发«关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见».文件指出ꎬ决定自２０２０年起ꎬ在部分高校开展基础学科招生改革试点(也称强基计划).同时ꎬ在部分 一流大学 建设高校范围内遴选高校开展试点.教育部将按照 一校一策 (着重号为笔者所加)的原则ꎬ研究确定强基计划招生高校㊁专业和规模.从２０２０年起ꎬ不再组织开展高校自主招生工作.㊀㊀二㊁强基计划考试介绍很多考生对强基计划试题的难度不太了解ꎬ这里做一个粗略的对比.各科综合起来的大致情况是ꎬ高考的中档题相当于强基计划简单题ꎬ高考难题相当于强基计划中档题也相当于竞赛简单题ꎬ强基计划难题相当于竞赛中档题.可以说ꎬ名校强基计划６５％的题在课内范围ꎬ３５％的题是超纲范围(是竞赛题难度ꎬ甚至有的题目超过联赛一试).㊀所以ꎬ有人说强基计划试题的难度介于高考和竞赛之间是有道理的.较为细致的来说ꎬ也可以把强基计划试题分为下面三部分:１.有的题是课内常见的.这类题检查同学们学习基础情况ꎬ一般熟练掌握高考内容的同学都能比较容易拿到分.２.有的题是在高考考纲边缘附近.这类题保留一定数量的高考核心考点ꎬ但着力点和区分度主要放在高考自然延伸出的一些知识和方法上.３.有的题是超出高考考纲的.这类题涉及到课内没学过的知识㊁公式(比如反三角函数㊁极限)ꎬ或者是竞赛联赛经典方法㊁技巧.强基计划考试没有考纲ꎬ由大学教授㊁专家或数学界知名人士命题ꎬ所以有超纲内容是正常的(当然教授是有出题原则的:应当说ꎬ名校强基计划考试题都是好题ꎬ对普通高考和全国联赛的复习备考也有重要参考价值).如果说笔试让名校间接认识了考生ꎬ那么面试则是二者的直接碰撞ꎬ能否擦出火花直接决定了强基计划考１５试的最终结果.因此ꎬ面试也是名校强基计划考试中十分重要的环节.㊀㊀三㊁强基计划考试数学试题特点目前ꎬ高中生在数学思维和数学素养方面表现出诸多不足ꎬ比如思维广度不开阔ꎻ思路不清晰ꎬ对题目的分析不周全ꎬ难以准确识别模型以尽快将其转化为相应的数学问题ꎻ学生普遍知识面狭窄(如对复数等许多基本知识都不了解)ꎻ运算能力较低等等ꎻ尤其是创新意识和动手操作能力较差.针对以上情形ꎬ强基计划试题便有如下特点.１.强基计划数学试题突出考查考生的数学思维与数学素养强基计划的目的是选拔顶尖的优秀人才ꎬ所以试题必然会突出这一特点ꎬ因为它是各种能力的核心.题１㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)已知甲㊁乙㊁丙三人的职业是ＡꎬＢꎬＣ之一ꎬ且每两个人的职业均不相同.若乙的年龄比Ｃ的年龄大ꎬ丙的年龄与Ｂ的年龄不同ꎬＢ的年龄比甲的年龄小ꎬ则甲㊁乙㊁丙三人的职业分别是(㊀㊀).Ａ.ＡꎬＢꎬＣ㊀Ｂ.ＣꎬＡꎬＢ㊀Ｃ.ＣꎬＢꎬＡ㊀Ｄ.ＢꎬＣꎬＡ答案:Ａ.题２㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)在小于１０００的正整数中ꎬ即不是５的倍数也不是７的倍数的整数个数是.答案:６８６.题３㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第７题)已知函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)２＋ｋ２.若ａꎬｂꎬｃɪ[０ꎬ１]ꎬｆ(ａ)ꎬｆ(ｂ)ꎬｆ(ｃ)是某个三角形的三边长ꎬ则ｋ的取值范围是.答案:(－¥ꎬ－１)ɣ(１ꎬ＋¥).注:题１考查逻辑知识(判断命题的真假)ꎬ题２的解法须用到韦恩图(即容斥原理)ꎬ解答题３要用到对恒成立问题的处理方法及二次函数在所给闭区间上的最值求法.这些知识㊁方法都是考生必备的数学素养.２.强基计划数学试题突出考查思维的广阔性(如发散思维)㊁深刻性与灵活性题４㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)ｘ２＋１ｘ＋ｙ３＋１ｙæèçöø÷１０的展开式中的常数项为.答案:１２６００.题５㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第６题)已知数列ａｎ{}满足ａ１＝１ꎬａ２＝４ꎬ且ａｎ２－ａｎ－１ａｎ＋１＝２ｎ－１(ｎȡ２ꎬｎɪＮ∗)ꎬ求ａ２０２０的个位数.解法１㊀先对ｎ用数学归纳法证明:ａｎ>０ꎬａｎ＋１>２ａｎ＋(２)ｎ(ｎɪＮ∗).ｎ＝１时成立:ａ１＝１>０ꎬａ２＝４>２２＝２ａ１＋(２)１.假设ｎ＝ｋ时成立:ａｋ>０ꎬａｋ＋１>２ａｋ＋(２)ｋ.可得ａｋ＋１>２ａｋ＋(２)ｋ>(２)ｋ>０.由题设ꎬ还可得ａｋ＋２＝ａｋ＋１ａｋ＋１－２ｋａｋ>ａｋ＋１[２ａｋ＋(２)ｋ]－２ｋａｋ＝２ａｋ＋１＋(２)ｋａｋ＋１－２ｋａｋ>２ａｋ＋１＋(２)ｋ[２ａｋ＋(２)ｋ]－２ｋａｋ＝２ａｋ＋１＋(２)ｋ＋１ꎬ得ｎ＝ｋ＋１时成立ꎬ所以欲证结论成立.由题设ꎬ可得２ａ２ｎ－２ａｎ－１ａｎ＋１＝２ｎ＝ａ２ｎ＋１－ａｎａｎ＋２(ｎȡ２ꎬｎɪＮ)ꎬａｎ(２ａｎ＋ａｎ＋２)＝ａｎ＋１(２ａｎ－１＋ａｎ＋１)(ｎȡ２ꎬｎɪＮ)①.因为前面已证得ａｎ>０(ｎɪＮ∗)ꎬ所以２ａｎ＋ａｎ＋２ａｎ＋１＝２ａｎ－１＋ａｎ＋１ａｎ(ｎȡ２ꎬｎɪＮ)ꎬ得数列２ａｎ＋ａｎ＋２ａｎ＋１{}是常数列ꎬ因此２ａｎ＋ａｎ＋２ａｎ＋１＝２ａ１＋ａ３ａ２＝２ １＋１４４＝４ꎬａｎ＋２＝４ａｎ＋１－２ａｎ(ｎɪＮ∗).进而可得数列ａｎ(ｍｏｄ１０){}:１ꎬ４ꎬ４ꎬ８ꎬ４ꎬ０ꎬ２ꎬ８ꎬ８ꎬ６ꎬ８ꎬ０ꎬ４ꎬ６ꎬ６ꎬ２ꎬ６ꎬ０ꎬ８ꎬ２ꎬ２ꎬ４ꎬ２ꎬ０ꎬ６ꎬ４ꎬ４ꎬ８ꎬ所以ａｎ＋２４ʉａｎ(ｍｏｄ１０)(ｎȡ２ꎬｎɪＮ)ꎬ因而ａ２０２０＝ａ２４ ８４＋４ʉａ４＝４８ʉ８(ｍｏｄ１０)ꎬ得ａ２０２０的个位数是８.解法２㊀先对ｎ用数学归纳法证明:ａｎ＋２>ａｎ＋１>ａｎ>０ꎬａｎ＋２＝４ａｎ＋１－２ａｎ(ｎɪＮ∗).由ａ１＝１>０ꎬａ２＝４ꎬａ３＝１４ꎬ可得ｎ＝１时成立.假设ｎ＝ｋ时成立:ａｋ＋２>ａｋ＋１>ａｋ>０ꎬａｋ＋２＝４ａｋ＋１－２ａｋ.在解法１中得到的①式中ꎬ令ｎ＝ｋ＋１ꎬ可得ａｋ＋１(２ａｋ＋１＋ａｋ＋３)＝ａｋ＋２(２ａｋ＋ａｋ＋２)(ａｋ＋１>０)ꎬ所以ａｋ＋３＝ａｋ＋２(２ａｋ＋ａｋ＋２)ａｋ＋１－２ａｋ＋１＝ａｋ＋２(２ａｋ＋４ａｋ＋１－２ａｋ)ａｋ＋１－２ａｋ＋１＝４ａｋ＋２－２ａｋ＋１＝ａｋ＋２＋ａｋ＋２＋２(ａｋ＋２－ａｋ＋１)>ａｋ＋２ꎬａｋ＋３>ａｋ＋２>ａｋ＋１>０ꎬ所以ａｋ＋３>ａｋ＋２>ａｋ＋１>０ꎬａｋ＋３＝４ａｋ＋２－２ａｋ＋１ꎬ得ｎ＝ｋ＋１时成立ꎬ因而欲证结论成立.２５接下来的解法同解法１.注:题４的解法是用二项展开式的通项解决四项展开式的通项问题ꎬ进而求出其常数项ꎬ充分考查了思维的广阔性㊁深刻性与灵活性.在题５两种解法中ꎬ难点均是证明 ａｎʂ０(ｎɪＮ∗) .这体现了思维的深刻性:蒙混过关是一定会丢分的.３.许多强基计划试题有深刻背景ꎬ可以引申推广题６㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)若某集合中的任意两个不同元素的和㊁差㊁积㊁商(求商时除数不为０)仍是该集合中的元素ꎬ则称该集合是封闭集合.在集合ＲꎬＱꎬ∁ＲＱꎬ{ｍ＋ｎ２｜ｍꎬｎɪＺ}中ꎬ是封闭集合的个数为.答案:２.题７㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第３题)已知椭圆ｘ２２＋ｙ２＝１与圆ｘ２＋ｙ２＝４ꎬ从圆上的动点Ａ作椭圆的切点弦ꎬ求所有的切点弦所在的直线围成曲线的面积.解㊀可设动点Ａ(２ｃｏｓθꎬ２ｓｉｎθ)ꎬ可得切点弦所在的直线方程是ｘｃｏｓθ＋２ｙｓｉｎθ＝１.因为椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)在点(ａｃｏｓθꎬｂｓｉｎθ)处的切线方程是ｃｏｓθａｘ＋ｓｉｎθｂｙ＝１ꎬ所以令ａ＝１ꎬｂ＝１２后ꎬ可得直线ｘｃｏｓθ＋２ｙｓｉｎθ＝１是椭圆ｘ２＋４ｙ２＝１在点(ｃｏｓθꎬ１２ｓｉｎθ)处的切线ꎬ即直线ｘｃｏｓθ＋２ｙｓｉｎθ＝１围成的图形是椭圆ｘ２＋４ｙ２＝１(如图１所示)ꎬ可得其面积是π １ １２＝π２.图１注:题６的背景是«近世代数»中的群㊁环㊁域.题７的背景是«高等几何»知识 曲线是切线的包络 :曲线可 点动成线 来生成ꎻ也可由曲线上点的切线围成ꎬ即 曲线是切线的包络 .由题７的解法ꎬ还可得到其一般结论:过圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上的动点Ａ作椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的切点弦ꎬ所有的切点弦围成的曲线是椭圆ｒ２ｘ２ａ４＋ｒ２ｙ２ｂ４＝１.４.强基计划试题覆盖面广强基计划还没有明确的考试大纲ꎬ试题的覆盖面很广ꎬ很多题的难度超出高考㊁联赛ꎬ甚至高中数学的知识范围而涉及高等数学ꎬ需要考生 见多识广 .题８㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)若函数ｆ(ｘ)＝３ｘ－３－ｘ的反函数为ｙ＝ｆ－１(ｘ)ꎬ则ｇ(ｘ)＝ｆ－１(ｘ－１)＋１在[－３ꎬ５]上的最大值和最小值的和为(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.４答案:Ｃ.题９㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)已知两点Ａ(ｘꎬｙ)ꎬＢ(ｙꎬｘ)ꎬ其中ｘꎬｙɪ{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎬ９}且ｘʂｙꎬ连结ＯＡꎬＯＢ(其中Ｏ是坐标原点)ꎬ则øＡＯＢ＝２ａｒｃｔａｎ１３的概率为.答案:１９.题１０㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)ａｒｃｓｉｎ１４＋３２８＋ａｒｃｓｉｎ３４＝.答案:ＤＡ.π３㊀㊀Ｂ.π２㊀㊀Ｃ.２π３㊀㊀Ｄ.３π４题１１㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)已知抛物线ｘ＝３ｙ２的焦点为Ｆꎬ若该抛物线在点Ａ处的切线与直线ＡＦ的夹角为３０ʎꎬ则点Ａ的横坐标为(㊀㊀).Ａ.１９㊀㊀Ｂ.１３６㊀㊀Ｃ.１４㊀㊀Ｄ.１１６答案:Ｃ.题１２㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第３题)双曲线ｙ＝ｘ３＋１ｘ的离心率是.答案:２３３.题１３㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第２题)已知关于ｘ的方程ｘ５＋ｐｘ＋ｑ＝０有有理根ꎬ且正整数ｐꎬｑ均不大于１００ꎬ求满足这些条件的有序数组(ｐꎬｑ)的组数.答案:１３３.题１４㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第４题)求方程１９ｘ＋９３ｙ＝４ｘｙ整数解的组数.答案:８.注:解答题８要用到反函数知识ꎬ解答题９与题１０要用到反三角函数知识ꎬ解答题１１要用到两直线的夹角公式ꎬ题１２涉及平面直角坐标系的旋转变换ꎬ题１３与题１４涉及初等数论中的数的整除㊁不定方程知识.而这些知识在现行高中数学教材中均未讲述ꎬ但属于强基计划的命题范围.５.部分数学强基计划试题运算量较大ꎬ或有较强的技巧题１５㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学３５试题第６题)若ａ＝２０２０２０２０ꎬｂ＝２０１９２０２１ ２０２１２０１９ꎬｃ＝１２(２０１９２０２１＋２０２１２０１９)ꎬ则ａꎬｂꎬｃ的大小顺序是.答案:ｃ>ａ>ｂ.题１６㊀㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第１题)已知正数ｘꎬｙꎬｚꎬｗ满足ｘȡｙȡｗꎬ且ｘ＋ｙɤ２(ｗ＋ｚ)ꎬ求ｗｘ＋ｚｙ的最小值.答案:２－１２.题１７㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第９题)求函数ｙ＝ｓｉｎ２ｘ－２ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ(０ɤｘɤπ２)的值域.答案:[－５４ꎬ５].题１８㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第１０题)已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３＋ａｘ２－ｘ＋１－ａꎬ若∀ｘɪ[－１ꎬ１]ꎬ｜ｆ(ｘ)｜ȡ｜ｘ｜ꎬ求实数ａ的取值范围.答案:(－ɕꎬ－１２].注:解答题１５与题１６均需要用到较强的放缩技巧ꎬ后者还要使用导数ꎻ解答题１７需要用到较强的凑配技巧:先得ｙ＝(２ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ)２＋(２ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ)－１ꎬ再用换元法求解(这与高中三角函数题的常规解法不一样)ꎻ题１８是所在试卷(共１１道试题)难度最大的一道试题ꎬ其常规解法须用到二次讨论ꎬ比较复杂.６.强基计划数学试题注重引导培养考生创新意识和动手操作能力毫无疑问ꎬ这是强基计划考试的主旨与方向.题１９㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)对于方程２ｘ－ｓｉｎｘ＝１ꎬ在下列结论中错误的序号是: (１)该方程无正数根ꎻ(２)该方程有无数个根ꎻ(３)该方程有一个正数根ꎻ(４)该方程的实根小于１.答案:(１).题２０㊀㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)若ｋ>４ꎬ则直线ｋｘ－２ｙ－２ｋ＋８＝０和２ｘ＋ｋ２ｙ－４ｋ２－４＝０与两条坐标轴围成的四边形面积的取值范围是.答案:(１７４ꎬ８).题２１㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)单位正方体的六边形截面周长的最小值是.答案:３２.注:㊀解答题１９须使用图形计算器(上海的数学高考是允许的)ꎬ否则本题难度很大ꎻ题２０的解法是准确作图后用割补法及配方法求解ꎻ题２１的解法是用正方体的平面展开图来求解.由题２１的解法还可得到结论:若点ＥꎬＦꎬＧꎬＨꎬＩꎬＪ分别在单位正方体的棱ＡＢꎬＢＢᶄꎬＢᶄＣᶄꎬＣᶄＤᶄꎬＤᶄＤꎬＤＡ(包括端点)上ꎬ则ＨＩ＋ＩＪ＋ＪＥ＋ＥＦ＋ＦＧ＋ＧＨ的最小值是３２.７.部分数学强基计划试题解法简洁新颖ꎬ用到知识也很少题２２㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第４题)若数列{ａｎ}满足ａ１＝１ꎬａ２＝３ꎬａｎ＝２ａ２ｎ－１ａｎ－２＋ａｎ－１(ｎȡ３ꎬｎɪＮ)ꎬ则数列{ａｎ}的通项公式是.答案:ａｎ＝ᵑｎｋ＝１(２ｋ－１).注:解答本题只需用到构造法与累乘法.８.数学强基计划试题的最大特点是原创性由于强基计划试题命题人多是大学教授㊁专家或数学界知名学者ꎬ他们视野宽阔ꎬ经常站在数学学科和社会发展的前沿思考问题ꎬ因此每年的自主招生试题都令人耳目一新ꎬ难以捉摸ꎻ但仔细分析一些强基计划数学试题ꎬ还是可以看出其一些特点的ꎬ而原创性是其最明显特点.㊀㊀四㊁强基计划考试数学试题的来源１.源于教材教材是命题的基本依据ꎬ不少强基计划试题有教材背景ꎬ是教材上例题㊁习题㊁定义㊁定理的组合改编ꎬ甚至有时就是原题.题２３㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)用同样大小的正ｎ边形平铺整个平面(没有重叠且没有空隙)ꎬ若要将这个平面铺满ꎬ则ｎ＝.答案:３ꎬ４ꎬ或６.题２４㊀(２０２０年北京大学强基计划数学试题第５题)已知ｘꎬｙꎬｚɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬ判断ｓ＝ｘｘ＋ｙ＋ｙｙ＋ｚ＋ｚｚ＋ｘ是否存在最大值或最小值.答案:均不存在.注:初中数学教材中就有题２３这类平面平铺问题.题２４源于全日制普通高级中学教科书(必修)«数学 第二册(上)»(人民教育出版社ꎬ２００６年第２版)第１２－１３页的 例２㊀已知都是ａꎬｂꎬｍ正数ꎬ并且ａ<ｂꎬ求证:ａ＋ｍｂ＋ｍ>ａｂ. 该结论就是大家熟悉的 糖水不等式 .２.源于国内外高考试题许多稍难的高考试题更适合更高层次的选拔ꎬ所以４５有些这样的高考题就被改编成了(或直接作为)强基计划试题.题２５㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)若某个四面体的各个顶点到某个平面的距离都相等ꎬ则称该平面为这个四面体的中位面.一个已知的四面体的中位面的个数是.(答案:７.)题２６㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)与两两异面的三条直线均相交的直线条数是.(答案:无数.)注:题２５是空间距离中的经典问题ꎻ作为排列组合知识ꎬ还涉及均匀分组和非均匀分组.这道题与２００５年高考全国卷Ⅲ文科㊁理科第１１题实质相同.不共面的四个定点到平面α的距离都相等ꎬ这样的平面α共有(㊀㊀).Ａ.３个㊀㊀Ｂ.４个㊀㊀Ｃ.６个㊀㊀Ｄ.７个题２６与下面的两道题目实质相同:(２００８年高考辽宁卷理科第１１题即文科第１２题)在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＥꎬＦ分别为棱ＡＡ１ꎬＣＣ１的中点ꎬ则在空间中与三条直线Ａ１Ｄ１ꎬＥＦꎬＣＤ都相交的直线(㊀㊀).Ａ.不存在㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.有且只有两条Ｃ.有且只有三条Ｄ.有无数条(复旦大学２００８年自主选拔数学Ｂ卷试题第２６题)若空间三条直线ａꎬｂꎬｃ两两异面ꎬ则与ａꎬｂꎬｃ都相交的直线有(㊀㊀).Ａ.０条㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.１条Ｃ.多于１条的有限条㊀Ｄ.无穷多条３.源于历年的强基计划(自主招生)试题题２７㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)若实数ａꎬｂ满足(ａ＋ｂ)５９＝－１ꎬ(ａ－ｂ)６０＝１ꎬ则 ６０ｎ＝１(ａｎ＋ｂｎ)＝.答案:０.题２８㊀㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)定义ｆＭ(ｘ)＝１ꎬɪＭꎬ－１ꎬｘ∉Ｍꎬ{Ｍ Ｎ＝{ｘ｜ｆＭ(ｘ)ｆＮ(ｘ)＝－１}ꎬ已知集合Ａ＝{ｘ｜ｘ<２－ｘ}ꎬＢ＝{ｘ｜(ｘ＋３)(ｘ－３)>０}ꎬ则Ａ Ｂ＝.答案:(－ɕꎬ－３]ɣ[０ꎬ１)ɣ(３ꎬ＋ɕ).题２９㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题)若ｚ＋ｚ＝１ꎬ则｜ｚ＋１｜－｜ｚ－ｉ｜的取值范围是.答案:(－１ꎬ２].题３０㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第２题)点集{(ｘꎬｙ)｜｜５ｘ＋６ｙ｜＋｜９ｘ＋１１ｙ｜ɤ１}的面积是.答案:２.注:题２７ꎬ２８ꎬ２９ꎬ３０分别与下面的自主招生试题如出一辙.(２００８年复旦大学千分考第６９题)若实数ａꎬｂ满足(ａ＋ｂ)５９＝－１ꎬ(ａ－ｂ)６０＝１ꎬ则 ６０ｎ＝１(ａｎ－ｂｎ)＝(㊀㊀).Ａ.－１２１㊀㊀Ｂ.－４９㊀㊀Ｃ.０㊀㊀Ｄ.２３答案:Ｃ.(２０１６年清华大学夏令营数学试题第９题)定义ｆＭ(ｘ)＝－１ꎬｘɪＭꎬ１ꎬｘ∉Ｍꎬ{ＭΔＮ＝ｘｆＭ(ｘ) ｆＮ(ｘ)＝－１{}ꎬ已知集合Ａ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０１６{}ꎬＢ＝２ꎬ４ꎬ６ꎬ ꎬ４０３２{}.(１)求ｆＡ(２０１６)ꎬｆＢ(２０１６)ꎻ(２)设ｃａｒｄ(Ｘ)表示集合Ｘ的元素个数ꎬ求ｍ＝ｃａｒｄ(ＸΔＡ)＋ｃａｒｄ(ＸΔＢ)的最小值.答案:(１)－１ꎬ－１ꎻ(２)２０１６.(２０１７年中国科学技术大学自主招生数学试题第２题)函数ｆ(ｘ)＝２ｘ２－２ｘ＋１－２ｘ２＋２ｘ＋５的值域是.答案:[－２ꎬ２).(２０１９年中国科学技术大学自主招生数学试题第１题)满足ｘ＋２ｙ＋３ｘ＋４ｙɤ５(ｘꎬｙɪＲ)的点(ｘꎬｙ)所构成的区域的面积是.答案:２５.题３０是线性规划问题(但难于作图)ꎬ可得题中的点集表示的图形是平行四边形ꎬ由公式Ｓ▱＝１２ａｈ可求解(或先通过分类讨论去掉绝对值符号后再求解).４.源于各级各类竞赛试题题３１㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)已知ｘꎬｙɪ[－π４ꎬπ４]ꎬ若ｘ３＋ｃｏｓ(ｘ＋３π２)－２ａ＝０ꎬ４ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０ꎬ{则ｃｏｓ(ｘ＋２ｙ)的值(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.－１㊀㊀Ｄ.与ａ有关答案:Ｂ.注:该题源于早年的数学竞赛试题:用减函数与单调函数的性质求解.５.源于某些初等数学研究成果题３２㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第８题)已知ａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａｎ是１ꎬ２ꎬ ꎬｎ的一个排列ꎬ若ｉ<ｊ且ａｉ<ａｊꎬ则称(ａｉꎬａｊ)为排列ａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａｎ的一个顺序对.设Ｘ为排列ａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａｎ的顺序对的对数ꎬ则Ｅ(Ｘ)＝.５５答案:１４ｎ(ｎ－１).注:该题的背景是«高等代数»中排列的顺序数㊁逆序数.拙著«初等数学研究(Ⅰ)»第５０９－５１２页的文章«１２ ｎ的所有ｍ元排列的反序数之和及其应用»研究了该题的一般情形.６.源于高等数学前面已述ꎬ题７(２０２０年北京大学强基计划数学试题第３题)源于«高等几何»知识 曲线是切线的包络 ꎬ题３２源于«高等代数»中排列的顺序数㊁逆序数.题３３㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)已知点Ｐ在曲线ｘｙ－６－１４＝０上ꎬ且点Ｐ到点Ａ(２ꎬ５)和点Ｂ(４ꎬ３)的距离相等ꎬ则点Ｐ的坐标为.答案:(１ꎬ２).题３４㊀(２０２０年中国科学技术大学创新班初试数学试题第１１题)已知１＋２＋３＋ ＋ｎ<Ｃ(ｎ＋１)３/２(Ｃ是与ｎ无关的常数)ꎬ求证:当Ｃ＝２３时ꎬ该不等式成立ꎻ当Ｃ<２３时ꎬ该不等式不恒成立.注:题３３源于«高等代数»中的行列式ꎬ题３４源于定积分.㊀㊀五㊁大学强基计划数学试题的备考策略考生在日常学习中应该重新审视高考中 不常考 的知识和方法ꎬ并做必要的拓展ꎬ增强对数学问题的探究意识ꎬ关注高中数学后续内容的学习ꎬ注重数学思想方法的学习和创造性思维的培养ꎬ细述如下.１.夯实基础ꎬ尤其要自觉加强基本运算能力的训练千里之行ꎬ始于足下ꎻ强化基本功训练ꎬ是今后延拓知识与快速提高素养的资本!解答强基计划数学试题用到的思想㊁方法和知识ꎬ大部分也都在高考范围之内.因而ꎬ准备高考和准备强基计划应该是相辅相成ꎬ互相补充的.２.注重知识的延伸与拓展题３５㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题为单项选择题)如图２所示ꎬ平面内两条直线ｌ１ꎬｌ２交于点ＯꎬＭ为该平面内的任意一点.若点Ｍ到直线ｌ１ꎬｌ２的距离分别为ｐꎬｑꎬ则称(ｐꎬｑ)是点ｍ的 距离坐标 .ｐꎬｑ是已知的非负常数ꎬ给出下列三个结论:(１)若ｐ＝ｑ＝０ꎬ则 距离坐标 为(０ꎬ０)的点有且仅有１个ꎻ(２)若ｐｑ＝０ꎬ且ｐ＋ｑʂ０ꎬ则 距离坐标 为(ｐꎬｑ)的点有且仅有２个ꎻ(３)若ｐｑʂ０ꎬ则 距离坐标 为(ｐꎬｑ)的点有且仅有４个.其中正确结论的个数是(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.３答案:Ｄ.题３６㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)已知向量数列{ａｎ}满足ａｎ＋１＝ａｎ＋ｄ(ｎɪＮ∗)ꎬ且｜ａ１｜＝３ꎬａｎ ｄ＝－３２.若Ｓｎ＝ａ１ ｎｉ＝１ａｉꎬ则当Ｓｎ取最大值时ꎬｎ＝(㊀㊀).Ａ.８㊀㊀Ｂ.７㊀㊀Ｃ.６㊀㊀Ｄ.６或７解㊀Ｄ.由题设ꎬ可得Ｓｎ＝ａ１ ｎｉ＝１ａｉ＝ａ１ [ｎａ１＋ｎ(ｎ－１)２ｄ]＝９ｎ－３４ｎ(ｎ－１)＝５０７１６－３４(ｎ－６１２)２.所以当且仅当ｎ＝６或７时ꎬＳｎ取到最大值.注:题３５中的 距离坐标 是平面直角坐标系中点的坐标的一种推广ꎬ但两者的本质均是平行线的距离ꎻ题３６仅仅是把考生在高中阶段学习的两个㊁三个向量的和推广到ｎ个向量的和而已.在日常学习中ꎬ不能仅仅局限于教材ꎬ要学得更深更广:㊀(１)注重在不同的知识阶段及时延伸与拓展.比如学习函数时ꎬ不仅要学习函数的定义㊁基本性质及各类基本初等函数ꎬ还要及时学习函数与方程的思想方法.这有助于对函数理解得更深刻ꎬ在更为高级的层面上构建知识结构和认知结构.(２)关注ＡＰ课程及其他多种形式的学习.ＡＰ课程中的许多内容和方法已经进入强基计划试题ꎬ如极限理论中的数列收敛准则㊁夹逼定理㊁函数极限存在定理㊁迫敛性定理㊁两个重要极限㊁洛比达法则ꎬ微积分中的罗尔定理㊁拉格朗日中值定理㊁积分中值定理㊁牛顿－莱布尼茨公式等等.强基计划试题的风格与难度ꎬ和高考还是有较大的不同.同时强基计划也会考一些在高考范围边缘处的知识.既没有接触过竞赛ꎬ又没有准备过强基计划的裸考考生最终很可能会无功而返.３.注重数学思想方法的领会与运用题３７㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)从２个相同的红球㊁３个相同的黑球㊁５个相同的白球中取出６个球ꎬ共有种不同的取法.答案:１１.题３８㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题ꎬ原题６５为单项选择题)已知ｆ(ｘ)＝ａｓｉｎ(２πｘ)＋ｂｃｏｓ(２πｘ)＋ｃｓｉｎ(４πｘ)＋ｄｃｏｓ(４πｘ)ꎬ若ｆ(１２＋ｘ)＋ｆ(ｘ)＝ｆ(２ｘ)ꎬ则在ａꎬｂꎬｃꎬｄ中能确定的参数是.答案:ａꎬｂꎬｃꎬｄ.注:题３７的解法是枚举法ꎻ题３８的解法是赋值法ꎬ其理论依据是 特殊与一般思想 ꎻ解答前面的题２８要用到等价转化思想与分类讨论思想.这些思想方法都是考生必备的数学素养.４.培养推广与探究的意识这是研究问题的重要方法:解一题ꎬ知一类.题３９㊀㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)方程３ｘ＋４ｙ＋１２ｚ＝２０２０的自然数解的组数为.Ａ.Ｃ２１６８㊀㊀Ｂ.Ｃ２１６９㊀㊀Ｃ.Ｃ２１７０㊀㊀Ｄ.Ｃ２１７１解㊀Ｃ.可设ｘ＝４ｍ(ｍɪＮ)ꎬ得原方程即３ｍ＋３ｚ＋(ｙ－１)＝３ １６８(ｍꎬｙꎬｚɪＮ)ꎻ可再设ｙ＝３ｎ＋１(ｎɪＮ)ꎬ得原方程即ｍ＋ｎ＋ｚ＝１６８(ｍꎬｎꎬｚɪＮ).可设ｍ＝ｍᶄ－１ꎬｎ＝ｎᶄ－１ꎬｚ＝ｚᶄ－１(ｍᶄꎬｎᶄꎬｚᶄɪＮ∗)ꎬ得原方程即ｍᶄ＋ｎᶄ＋ｚᶄ＝１７１(ｍꎬᶄｎᶄꎬｚᶄɪＮ∗).再由隔板法ꎬ可得所求答案是Ｃ.注:考生应当通过推广与探究ꎬ最终理解隔板法是解决一次不定方程正整数㊁自然数解组数的通性通法.５.留心跨界科学与学科知识的交汇题４０㊀㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)Ｇｉｖ￣ｅｎ㊀ｔｗｏ㊀ｓｅｔｓ㊀Ａ:{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５}ａｎｄＢ:{３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７}ꎬｔｈｅｎ㊀ｔｈｅ㊀ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ㊀ｓｅｔ㊀ｏｆ㊀Ａ㊀ａｎｄ㊀Ｂ㊀ｉｓ(㊀).Ａ.{１ꎬ２}㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.{３ꎬ４ꎬ５}Ｃ.{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７}Ｄ.{６ꎬ７}答案:Ｂ.题４１㊀㊀(２０２０年复旦大学强基计划数学试题)Ｗｈｉｃｈｎｕｍｂｅｒｔｈａｔｎｕｍｂｅｒ５ｉｓｔｈｅｃｕｂｉｃｒｏｏｔｏｆ(㊀㊀).Ａ.３㊀㊀Ｂ.５㊀㊀Ｃ.２５㊀㊀Ｄ.１２５答案:Ｂ.注:解答这两道题时ꎬ考生对数学专业的英语词汇(交集㊁立方根等)要过关.复旦大学的强基计划(自主招生)试题历来重视通识教育ꎬ这从复旦 千分考 可见一斑: 千分考 测试的内容涵盖高中语文㊁数学㊁英语㊁政治㊁历史㊁地理㊁物理㊁化学㊁生物和计算机共１０个科目ꎬ共计２００道选择题ꎬ满分１０００分(每题答对得５分ꎬ不答得０分ꎬ答错扣２分)ꎬ考试时间为３小时.６.培养自主学习能力题４２㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)若әＡＢＣ的三个顶点的坐标分别是Ａ(３ꎬ４)ꎬＢ(６ꎬ０)ꎬＣ(－５ꎬ－２)ꎬ则øＡ的平分线所在的直线方程是.㊀解㊀７ｘ－ｙ－１７＝０.设ＡＢңＡＢң＋ＡＣңＡＣң＝ＡＤңꎬ可得ＡＤң＝３５ꎬ－４５æèçöø÷＋－４５ꎬ－３５æèçöø÷＝－１５ꎬ－７５æèçöø÷ꎬＡＤңʊ(１ꎬ７).所以øＡ的平分线所在直线的一个方向向量是(１ꎬ７)ꎬ因而该直线的斜率是７ꎬ进而可得该直线的方程是ｙ－４＝７(ｘ－３)即７ｘ－ｙ－１７＝０.题４３㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)在正方体的８个顶点中的任意两点确定的直线中ꎬ异面直线的对数是.答案:１７４.题４４㊀㊀(２０２０年上海交通大学自主招生数学试题)函数ｙ＝４ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋３ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ(－π４<ｘ<３π４)的最小值是.答案:２２.注:题４２还可用三角形的角平分线性质定理ꎬ或解三角形知识求解ꎬ或先得出øＢＡＣ＝９０ʎ后再求解ꎬ但运算量都要大一些ꎻ题４３的解法是先构造四面体ꎬ再由 每个四面体确定３对异面直线(即３对对棱所在的直线) 来求解ꎻ可用换元法求解第４４题:在三个式子ｓｉｎｘｃｏｓｘꎬｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘꎬｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ中ꎬ只要知道任一个式子的值ꎬ就可用换元法并利用恒等式 ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１ 求出另外两个式子的值.实际上ꎬ这些的解法均是通性通法.但这些通性通法在资料中并不多见ꎬ老师也很可能不会讲到.需要考生通过自学获得.考生应当时刻培养自主学习能力:二十一世纪最重要的个人能力首推自主学习能力!有了过硬的自学能力和意识ꎬ即可与时俱进ꎬ也可从容应对很多新问题.㊀㊀六㊁强基计划数学考试备考规划参加强基计划对于大学和考生来说ꎬ是个双赢的过程.考生要想如愿考上顶尖名校ꎬ参加强基计划是一条捷径.笔者认为ꎬ强基计划会持续受到家长及学生㊁学校(高中㊁高校)㊁社会的高度关注.经过以上论述ꎬ读者(考生)可能对强基计划及其数学试题有了比较全面深入的了解ꎬ希望你提前做好规划㊁及时行动㊁充分应变ꎬ并在做中体味㊁修正㊁总结㊁提高.注:本文摘自«高考数学强基计划备考的策略与方法»(包括高一㊁高二㊁高三共三个分册)(陕西师范大学出版总社ꎬ２０２０)的«序».[责任编辑:李㊀璟]７５。