概率论与数理统计B考试大纲(带公式)讲解

概率论与数理统计 B

考试大纲

第2章描述统计学

1.样本均值、样本方差、样本标准差的计算；

2.样本中位数、分位数；

先对数据按从小到大排序。如果np不是整数，则第[np]+1个数据是100p%分位数。如果np 是一个整数，那么100p%分位数取第[np]和第[np]+1个值的平均值。特别地，中位数是50%分位数。

3.样本相关系数。

，

第3章概率论基础

1. 样本空间，事件的并、交、补，文图和德摩根律；

，

2. 概率的定义、补事件计算公式、并事件计算公式；

对于任何的互不相交事件序列，

3. 等可能概型的计算，排列和组合；

4. 条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；

，

5. 事件独立性及其概率的计算。

第4章随机变量与数学期望

1. 随机变量的分布函数及其性质；

2. 离散型随机变量的概率质量函数及其性质，有关概率的计算；

离散型随机变量：取值集合有限或者是一个数列x i, i=1,2, …。

概率质量函数：，

3. 连续型随机变量的概率密度函数及其性质，有关概率的计算；

连续型随机变量：随机变量的可能的取值是一个区间。

概率密度函数f(x)：对任意一个实数集B有

,

,

4 二维随机变量的联合分布函数、联合质量函数、联合密度函数，有关概率的计算；

,

,

5. 随机变量的独立性，有关概率的计算；

随机变量X与Y独立: ; 分布函数

离散型

连续型

6. 怎样求连续型随机变量函数的密度函数（先求分布函数，再求导）；

Y=g(X)

7. 数学期望（离散型，连续型），函数的数学期望（离散型，连续性）；

离散型

连续型

8. 数学期望的性质

，

当X与Y独立时，E[XY]=E[X] E[Y]

9. 方差和它的性质

；

；

当X与Y独立，，

10 协方差、相关系数，有关性质；

Corr(X,Y)=1或-1，当且仅当X和Y线性相关，即P(Y=a+bX)=1 (当b>0, 相关系数为1; 当b<0, 相关系数为-1)

当X与Y独立时，X与Y不相关，即.

11. 切比雪夫不等式，弱大数定律，概率的频率意义。

切比雪夫不等式

弱大数定律：样本均值趋向于总体均值

频率趋向于概率

第五章特殊随机变量

1 伯努利实验和伯努利分布，数学期望和方差；

伯努利(Bernoulli)试验：在一次试验中，其结果可以归为``成功,?和``失败,?两类。

x i0 1 E[X]=p

p i1-p p

Var(X)=p(1-p)

2. 二项分布：应用背景，概率质量函数，单调性，伯努利分解，可加性，数学期望和方差；

应用背景：伯努利试验“成功”的概率每次都为p, 这样独立进行n次，那么“成功”的总次数X服从参数为(n, p)二项分布，记为X~B(n,p)。

单调性：P(X=i)当i<(n+1)p递增，当i>(n+1)p递减。

二项分布的伯努利分解：设X～B(n, p)，那么, 其中X i相互独立，且为相同

的伯努利分布.

可加性: 如果X与Y独立, 且X～B(n, p)，Y～B(m,p)，那么X+Y～B(n+m, p) 。

3. 泊松分布：应用背景，概率质量函数，单调性，数学期望和方差，可加性，二项分布的

泊松近似；

应用背景: 根据二项分布的泊松近似，一段时间内某种随机事件发生的次数。

单调性：i < 时递增，i > 时递减。

泊松分布的可加性: 设X1和X2为相互独立的泊松随机变量，它们的均值分别为1和2, 那么X1+X2为均值是1+2的泊松随机变量。

二项分布的泊松近似：设X~B(n, p) 。当n很大p很小时，其分布近似于参数为 =np的泊松分布

4. 均匀分布：应用背景，概率密度函数，数学期望和方差，二维均匀分布，有关概率的计

算；

应用背景：随机变量X在区间[, ]上等可能取值

概率密度函数：

，

二维均匀分布：

5. 正态分布：应用背景，概率密度函数及其对称性，数学期望和方差，标准正态分布N(0,1)，正态分布的标准化和概率计算，线性性质，独立和的性质，分位数及其对称性；

应用背景：根据中心极限定理，大量独立随机变量的和近似服从正态分布。

密度函数：X~ N(, 2),

E[X]=, Var(X)=2

标准正态分布N(0,1)：

线性性质：正态随机变量的线性函数仍是正态分布。设X~ N(, 2), 那么对任意a, b0, Y=a+bX~N (a+b, b22).

特别地，，。

假设相互独立，且，则。

标准正态分布Z的100(1- )%(下)百分位数Z：。

对称性：z1-= - z

6. 指数分布：应用背景，概率密度函数，数学期望和方差，无记忆性，有关概率的计算；

应用背景：如果单位时间内“事件发生”数是参数泊松分布（称为泊松过程），那么两次“发生”之间的间隔时间长度就是参数的指数分布。

概率密度函数：

无记忆性

7. 卡方分布：定义，可加性，分位数；

定义：若Z1, Z2, …, Z n相互独立, 且都服从N(0,1) ，则称其平方和

服从自由度n的2（卡方）分布。

可加性：当X1和X2分别为自由度为n1 和n2的2随机变量且相互独立时，则X1+X2服从自由度为n1+n2的2分布.

100(1- )%百分位数2,n：