多元函数微分习题课

x
x
z
y
x
( ) du
dx
=
f1 +
f2 cos x −
1 f3 ϕ3
2 xϕ1 + esin xϕ2 cos x
十.设u = f ( x, y,z),ϕ( ) x2,ey,z = 0, y = sinx,
其中 f ,ϕ 都具有一阶连续偏导数,且 ∂ϕ ≠ 0 ,求 du .
∂z
dx
解法二:用微分形式不变性:
(A). f ( x, y) 在 P 点连续; (B). f ( x, y) 在 P 点必可微;
(C). lim x → x0
f
( x,
y0 )
及 lim y→ y0
f
( x0 ,
y)
都存在;
(D). lim f ( x, y) 存在. x → y→ y0
答:(C)
三.求由方程 xyz + x2 + y2 + z2 = 2 所确定的函 数 z = z ( x, y) 在点(1,0,−1) 处的全微分dz .
答:dz = dx − 2dy
四.设 z = z ( x , y ) 定义在全平面上 (1).若 ∂z ≡ 0 ,试证 z = f ( y ) ,其中 f ( y )
∂x
是任意待定的函数; (2).若 ∂ 2 z ≡ 0 ,试证 z = f ( x ) + g ( y ) ,其
∂x∂y
中 f ( x ), g ( y ) 是可导的待定函数.
;
有二阶连续偏导数,
解: z y = x4 f1 + x2 f2 , z yy = x5 f11 + 2 x3 f12 + xf22
zxy = 4 x3 f1 + 2 xf2 + x4 yf11 − yf22
七.设变换
⎧u ⎨⎩v
= =
x x
− +
2y ay
可把方程
6 ∂2z + ∂2z − ∂2z = 0 简化为 ∂2z = 0 ,求常数a .
证 :(1) ∂z ≡ 0 ⇒ z( x, y) = c (c 与 x 无 关 ), 所 以
∂x
z (0, y) = c 即c = f ( y)
(2). ∂2z
∂x∂y
=
∂ ∂y
⎛ ⎜⎝
∂z ∂x
⎞ ⎟⎠
≡
0
⇒
∂z ∂x
= ϕ ( x) ⇒
z( x,
y)
=
∫
ϕ
( x)dx
+
c
(c 与 x 无关)
所以 z (0, y) = c1 + c ,所以c = z (0, y) − c1 = g ( y)
且ϕ′(u) ≠ 1 ,求 P ( y) ∂z + P ( x) ∂z .
∂x
∂y
解法一提示:看着两个方程四个变量的方程组, z,u 看做 x, y 的函数求偏导.
解法二: dz = f ′du, du = ϕ′du + p( x)dx − p( y)dy
即
du
=
p(
1−
x)
ϕ′
dx
−
p(
1−
y)
ϕ′
=
−2
∂2z ∂u2
+
(a
−
2)
∂2z ∂u∂v
+
a
∂2z ∂v 2
代入原方程整理得
( ) (10 + 5a) ∂2z + ∂u∂v
6 + a − a2
∂2z = 0 ∂v 2
所以必有10 + 5a ≠ 0,6 + a − a2 = 0 ,得a = 3 .
z〈u
〈
x y
v
〈
x y
八.设 z = xϕ ( x + y) + yψ ( x + y)
,证明: ∂2z
∂x 2
− 2 ∂2z ∂x∂y
+
∂2z ∂y 2
=
0;
九.设 z 是由方程 x + y − z = ez 所确定的 x 与 y 的 隐函数,求 ∂2z ;
∂x∂y
答: ∂2z = − ez
( ) ∂x∂y
1+ ez 3
十.设 u = f ( x, y, z),ϕ ( x2 ,e y , z) = 0, y = sin x ,
其中 f ,ϕ 都具有一阶连续偏导数,且 ∂ϕ ≠ 0 ,求 du .
∂z
dx
解法一:三个方程都对 x 求导得
du dx
=
f1 +
f2
dy dx
+
f3
dz dx
,
(1)
ϕ12 x + ϕ2e y
dy dx
+ ϕ3
dz dx
= 0,
(2)
dy = cos x
(3)
dx
(1)(2)(3)联立解得:
x
u
y
∂x2 ∂x∂y ∂y2
∂u∂v
解: ∂z = ∂z + ∂z ∂z = −2 ∂z + a ∂z
∂x ∂u ∂v ∂y ∂u ∂v
， ∂2z = ∂2z + 2 ∂2z + ∂2z
∂x2 ∂u2 ∂u∂v ∂v2
∂2z ∂y 2
=
∂2z 4 ∂u2
− 4a
∂2z ∂u∂v
+ a2
∂2z ∂v 2
∂2z ∂x∂y
连续偏导数,且 F1 + F2 ≠ 0
,求 ∂z + ∂z
∂x ∂y
.
答: ∂z = F1 , ∂z = F2 , ∂z + ∂z =1
∂x F1 +F2 ∂y F1 +F2 ∂x ∂y
十三.设 u = f (ux,v + y) , g (u − x,v2 y) = 0 ,求 ∂u , ∂v . ∂y ∂y
du = f1dx + f2dy + f3dz, ϕ12xdx +ϕ2eydy +ϕ3dz = 0,
dy = cos xdx 解得
( ) du
dx
=
f1
+
f2 cos
x−
f3
1
ϕ3
2xϕ1 + esinxϕ2 cos x
十一.设 z = f (u)
,方程
u
=
ϕ
(
u
)
+
x
∫y
P
(
t
)
dt
确定 u
是 x, y 的函数,其中 f (u),ϕ (u) 可微, P (t ),ϕ′(u) 连续,
五.设 z = 1 f ( xy) + yϕ ( x + y), f ,ϕ 有二阶连续导数,
x
求 ∂2z ;
∂x∂y
答: ∂2z = yf ′′( xy) +ϕ′( x+ y) + yϕ′′( x+ y)
∂x∂y
六.设
z
=
x3
f
⎛ ⎜⎝
xy,
y x
⎞ ⎟⎠
,f
求
∂z ∂y
,
∂2z ∂y 2
及
∂2z ∂x∂y
dy
所以 dz
=
f
′⎛⎜ ⎝
p(
1−
x)
ϕ′
dx
−
p(
1−
y)
ϕ′
dy
⎞ ⎟ ⎠
所以 ∂z = f ′ p( x) ∂z = − f ′ p( y)
∂x 1− ϕ ′ ∂y
1−ϕ′
代入得 P ( y) ∂z + P ( x) ∂z =0
∂x
∂y
十二. z = z ( x, y) 由 F ( x − z, y − z) = 0 确定, F 有一阶
多元函数微分学习题课
一. 讨论lim xy ,若存在求极限.
x→0 y→0
x
+
y
解:不存在.因lim xy = 0, lim xy = −1
x→0 x + y
y=x2−x x + y
y=x
x→0
二、设 f ( x, y) 在 P ( x0 , y0 ) 的两个偏导数 fx , f y 都存在,则（ ）