2021年全国卷高考数学(理)二轮复习测试1.1集合与常用逻辑用语(学生版)
2021年高考数学大二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、平面向量、算法、复数、推理与证明1.2
1.2 不等式【课时作业】1．集合M ＝{x |x 2－4x >0}，N ＝{x |m <x <8}，假设M ∩N ＝{x |6<x <n }，那么m ＋n ＝( ) A ．10 B ．12 C ．14D ．16解析： M ＝{x |x 2－4x >0}＝{x |x >4或x <0}，N ＝{x |m <x <8}，由于M ∩N ＝{x |6<x <n }，∴m ＝6，n ＝8，∴m ＋n ＝14，应选C.答案： C2．假设a <b <0，那么以下不等式错误的选项是( ) A.1a >1bB ．1a －b >1aC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析： 因为a <b <0，所以1a >1b，故A 对．因为a <b <0，所以0<－b ，a <a －b <0， 所以1a >1a －b，故B 错．因为a <b <0，所以－a >－b >0，即|－a |>|－b |， 所以|a |>|b |，故C 对． 因为a <b <0，所以－a >－b >0，所以(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2，故D 对． 答案： B 3．a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为p ，且－2∉p ，那么a 的取值范围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析： ∵－2∉p ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案： D4．(2021·北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，那么( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2,1)∉A解析： 假设点(2,1)∈A ，那么不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a >32，a ≥0，解得a >32.即点(2,1)∈A ⇒a >32，其等价命题为a ≤32⇒点(2,1)∉A 成立．应选D. 答案： D5．(2021·广东清远清城一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，那么关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析： 关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求解集是(－1,3)．应选C.答案： C6．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4≤0，－2≤x <2，y ≤1，假设z ＝2x －y ，那么z 的取值范围是( )A ．[－5,6)B ．[－5,6]C ．(2,9)D ．[－5,9]解析： 作出可行域如图中阴影局部所示，由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，并平移，可知当该直线经过点A (－2,1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－2)－1＝－5，当该直线经过点B (2，－2)时，z ＝2×2＋2＝6，由于点B 不在可行域内，应选A.答案： A7．在平面直角坐标系中，假设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，那么a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解析： 如图，阴影局部即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的区域，而ax －y ＋1＝0的直线恒过点(0,1)，故看作直线绕点(0,1)旋转，当a ＝－5时，那么可行域不是一个封闭区域，当a ＝1时，面积是1；a ＝2时，面积是32；当a ＝3时，面积恰好为2，应选D.答案： D8．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析： 设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，那么另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，那么y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．答案： C9．(2021·江西九江二模)实数x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，x ＋y －2≥0，2x －y ＋2≥0，假设z ＝y －1x ＋3的最大值为1，那么z 的最小值为( ) A ．－13B ．－37C.13D ．－15解析： 作出可行域如图中阴影局部所示，目标函数z ＝y －1x ＋3的几何意义是可行域内的点(x ，y )与点A (－3,1)两点连线的斜率，当取点B (a,2a ＋2)时，z 取得最大值1，故2a ＋2－1a ＋3＝1，解得a ＝2，那么C (2,0)．当取点C (2,0)时，z 取得最小值，即z min ＝0－12＋3＝－15.应选D.答案： D10．(2021·湖北省五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，那么该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (单位：吨) 3 2 12 B (单位：吨)128A.15万元 B ．16万元 C ．17万元D ．18万元解析： 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，那么有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影局部所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点M (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18，应选D.答案： D11．假设两个正实数x ，y 满足13x ＋3y ＝1，且不等式x ＋y 4－n 2－13n12<0有解，那么实数n的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2512，1B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)C.()1，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512 解析： 因为不等式x ＋y 4－n 2－13n 12<0有解，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min <n 2＋13n 12，因为x >0，y >0，且13x ＋3y ＝1，所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋3y ＝1312＋3x y ＋y 12x ≥1312＋23xy ·y 12x ＝2512，当且仅当3x y ＝y 12x ，即x ＝56，y ＝5时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝2512，故n 2＋13n 12－2512>0，解得n <－2512或n >1，所以实数n 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)，应选B.答案： B12．实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，假设y ≥kx －3恒成立，那么实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，113C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫115，＋∞D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－115∪[0，＋∞)解析： 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x ＋y ＝0，解得B (3，－3)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y ＋5＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3≥3k －3，52≥－52k －3，解得－115≤k ≤0.所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－115，0.答案： A13．不等式12x －3>0的解集为________．解析： 由题意知2x－3>0，所以x >log 23，即不等式12x－3>0的解集为(log 23，＋∞)． 答案： (log 23，＋∞)14．(2021·南昌市摸底调研)函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，那么正数m 的值为________．解析： ∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2x －2·mx －2＋2＝2m ＋2，当x＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，即2m ＋2＝6，解得m ＝4.答案： 415．(2021·北京卷)假设x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，那么2y －x 的最小值是________．解析： 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出可行域，如图阴影局部所示． 设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.答案： 316．定义min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <y ，y ，x ≥y ，那么不等式min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＋4x，4≥8 min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，1x 的解集是________．解析： 因为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＋4x ，4＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x >0，x ＋4x，x <0，min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－1，1x ，－1<x <0，x ，0<x ≤1，1x ，x >1，所以当x >1时，由4≥8x得x ≥2；当0<x ≤1时，由4≥8x ，得0<x ≤12；当x ≤－1时，由x ＋4x≥8x ，得x ≤－1；当－1<x <0时，由x ＋4x ≥8x得－1<x <0.综上所述，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案： (－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)。
高考数学(理)二轮专题练习：集合与常用逻辑用语(含答案)
集合与常用逻辑用语1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[问题1] 集合A ＝{a ，b ，c }中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 答案 A2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集．[问题2] 集合A ＝{x |x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝1}，则A ∩B ＝________.答案 ∅3．遇到A ∩B ＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A ＝∅或B ＝∅；同样在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，不要忽略A ＝∅的情况．[问题3] 设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，集合B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数m 组成的集合是________．答案 {0，12，13} 4．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n －1,2n －1,2n －2.[问题4] 满足{1,2}M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 有________个．答案 75．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[问题5] 已知全集I ＝R ，集合A ＝{x |y ＝1－x }，集合B ＝{x |0≤x ≤2}，则(∁I A )∪B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 C6．“否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否定命题p 的结论．[问题6] 已知实数a 、b ，若|a |＋|b |＝0，则a ＝b .该命题的否命题和命题的否定分别是________________．答案 否命题：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ；命题的否定：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b7．要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[问题7] 设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的________条件．答案 充分不必要8．要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a ，b 都是偶数”的否定应该是“a ，b 不都是偶数”，而不应该是“a ，b 都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．[问题8] 若存在a ∈[1,3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2>0成立，则实数x 的取值范围是________________．答案 (－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 解析 不等式即(x 2＋x )a －2x －2>0，设f (a )＝(x 2＋x )a －2x －2.研究“任意a ∈[1,3]，恒有f (a )≤0”．则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (3)≤0， 解得x ∈⎣⎡⎦⎤－1，23. 则实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞.易错点1 忽视空集致误例1 已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A .求实数m 的取值范围．错解 ∵x 2－3x －10≤0，∴－2≤x ≤5，∴A ＝{x |－2≤x ≤5}．由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋12m －1≤5，即－3≤m ≤3， ∴m 的取值范围是－3≤m ≤3.找准失分点 B ⊆A ，B 可以为非空集合，B 也可以是空集．漏掉对B ＝∅的讨论，是本题的一个易失分点．正解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}．①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，故m <2时，A ∪B ＝A ；②若B ≠∅，如图所示，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2.由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ＋1，2m －1≤5. 解得－3≤m ≤3.又∵m ≥2，∴2≤m ≤3.由①②知，当m ≤3时，A ∪B ＝A .易错点2 对命题的否定不当致误例2 已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5M ，则a 的取值范围是________． 错解 (－∞，－2)∪(5，＋∞)找准失分点 5M ，把x ＝5代入不等式，原不等式不成立，有两种情况：①5a ＋105a －25>0；②5a －25＝0，答案中漏掉了第②种情况． 正解 方法一 ∵5M ，∴5a ＋105a －25>0或5a －25＝0， ∴a <－2或a >5或a ＝5，故填a ≥5或a <－2.方法二 若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0， ∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a <5，∴5M 时，a <－2或a ≥5.答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)易错点3 充要条件判断不准例3 设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C ，使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的________条件．错解 若A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，又B ⊆∁U C ，∴A ∩B ＝∅，故填“充要”．找准失分点 没有理解充分条件的概念，p ⇒q 只能得到p 是q 的充分条件，必要性还要检验q ⇒p 是否成立．正解 若A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，当B ⊆∁U C 时，可得A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，不能推出B ⊆∁U C ，故填“充分不必要”答案 充分不必要1．(2014·北京)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B 等于( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2}答案 C解析 ∵A ＝{x |x 2－2x ＝0}＝{0,2}，B ＝{0,1,2}，∴A ∩B ＝{0，2}．2．(2014·北京)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 {a n }为递增数列，则a 1>0时，q >1；a 1<0时，0<q <1.q >1时，若a 1<0，则{a n }为递减数列．故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D.3．命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1<0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0B ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1>0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1<0 答案 C解析 特称命题的否定为全称命题．4．已知p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，q ：y ＝(2a －1)x 为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是( )A ．a ≤23B ．0<a <12 C.12<a ≤23D.12<a <1 答案 C解析 p ⇔a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，23，q ⇔a ∈⎝⎛⎭⎫12，1， ∴a ∈⎝⎛⎦⎤12，23.5．如果全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则图中的阴影部分表示的集合是( )A ．(－∞，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0]∪(1,2)C ．(－∞，0)∪(1,2)D ．(－∞，0)∪(1,2]答案 D解析 由题意得A ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，B ＝(1，＋∞)，图中的阴影部分表示的集合是[A ∩(∁U B )]∪[(∁U A )∩B ]，而A ∩(∁U B )＝(－∞，0)，(∁U A )∩B ＝(1,2]，故阴影部分表示的集合是(－∞，0)∪(1,2]．6．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a ≥2D ．a >2答案 C解析 ∵B ＝{x |1<x <2}，∴∁R B ＝{x |x ≤1，或x ≥2}，又∵A ＝{x |x <a }，且A ∪(∁R B )＝R ，利用数轴易知应有a ≥2，故选C.7．已知集合U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 2＋y 24＝1，B ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈A }，则(∁U A )∩(∁U B )＝____________. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 A ＝{x |－1≤x ≤1}＝[－1,1]，B ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈A }＝[0,2]，(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．8．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中的元素有________个．答案 89．设U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是________．答案 m >－1，n <510．已知条件p ：x 2＋2x －3>0，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为__________．答案[1，＋∞)解析由x2＋2x－3>0可得x>1或x<－3，“綈p是綈q的充分不必要条件”等价于“q是p的充分不必要条件”，故a≥1.。
2021新高考数学二轮总复习专题一常考小题点1.1集合常用逻辑用语推理小题组合练学案含解析.docx
专题一常考小题点1.1集合、常用逻辑用语、推理小题组合练必备知识精要梳理1.A∪B={x|x∈A或x∈B};A∩B={x|x∈A,且x∈B};∁U A={x|x∈U,且x∉A};A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.2.含有n个元素的集合,其子集、真子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-2.3.若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p是q的充要条件.4.充要条件的三种判断方法:(1)定义法,(2)集合法,(3)等价转化法.5.“∀x∈M,p(x)”的否定为“∃x0∈M, p(x0)”;“∃x0∈M,p(x0)”的否定为“∀x∈M, p(x)”.考向训练限时通关考向一集合的概念及运算1.(2020山东,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}2.(2020全国Ⅲ,理1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.63.(2020全国Ⅱ,理1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)=()A.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}4.(2020山东泰安一模,1)已知全集U=R,集合M={x|-3<x<1},N={x||x|≤1},则阴影部分表示的集合是()A.[-1,1]B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-1,+∞)D.(-3,-1)5.(多选)(2020福建双十中学期中,1)集合A,B是实数集R的子集,定义A-B={x|x∈A,且x∉B},若集合A={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3},B={y|y=x2+1,1≤x≤3},则以下说法正确的是()A.A=[-1,5]B.B=[2,10]C.A-B=[1,2)D.B-A=(5,10]6.(2020江苏南京六校5月联考,1)已知集合A={x|x2-2x<0},B={x|x<1},则A∪B=.考向二充分、必要、充要条件7.(2020浙江,6)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.(2020北京,9)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.(2020山东菏泽一模,3)2019年12月,湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例.2020年1月12日,世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”.2020年2月11日,世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎).新冠肺炎患者早期症状是发热、干咳、浑身乏力等外部表征.“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.(2020安徽合肥一中模拟,理2)已知命题p:(a-2)x2+2(a-2)x-2<0(a∈R)的解集为R,命题q:0<a<2,则p是q的()A.充分条件B.必要不充分条件C.充要条件D.充分不必要条件11.(多选)(2020南京秦淮中学期末)已知命题p:1x-1>1,则命题成立的一个必要不充分条件是()A.1<x<2B.-1<x<2C.-2<x<1D.-2<x<2考向三全称量词与存在量词12.(2020山东淄博一模,3)设m∈R,命题“存在m>0,使方程x2+x-m=0有实根”的否定是()A.任意m>0,使方程x2+x-m=0无实根B.任意m≤0,使方程x2+x-m=0有实根C.存在m>0,使方程x2+x-m=0无实根D.存在m≤0,使方程x2+x-m=0有实根13.(多选)(2020山东郓城一中期中,7)若命题“∃x0∈[12,2],使得2x02-λx0+1<0成立”是假命题,则实数λ的可能取值是()A.32B.2√2 C.3 D.9214.(2020山东青岛5月模拟,13)已知命题“∃x0∈R,x02-mx0+1<0”是假命题,则实数m的取值范围是.考向四逻辑推理判断题15.(2020山东潍坊二模,3)甲、乙、丙三人中,一人是律师,一个是医生,一人是记者.已知丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是()A.甲是律师,乙是医生,丙是记者B.甲是医生,乙是记者,丙是律师C.甲是医生,乙是律师,丙是记者D.甲是记者,乙是医生,丙是律师16.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛,决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”;乙说:“丁是第一名”;丙说:“乙是第一名”;丁说:“我不是第一名”.成绩公布后,发现这四位同学中只有一位说的是正确的.则获得第一名的同学为()A.甲B.乙C.丙D.丁17.(2020安徽马鞍山二模,16)根据疾病防控的需要,某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作,现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加.为确定最终驰援武汉的人选,医院领导组五位成员先各推荐两名人员,分别为“丁、戊”“丙、戊”“甲、乙”“乙、戊”“甲、丁”.根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选,其余四人推荐的人选中各有一人入选.根据以上信息判断,最后随省医疗队参加抗疫的两名医生分别是.1.1集合、常用逻辑用语、推理小题组合练考向训练·限时通关1.C解析(数形结合)由数轴可知所以A ∪B={x|1≤x<4},故选C .2.C 解析满足x ,y ∈N *,y ≥x ,且x+y=8的元素(x ,y )有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个,故A ∩B 中元素的个数为4.3.A 解析∵A ∪B={-1,0,1,2},∴∁U (A ∪B )={-2,3}.故选A .4.D 解析由U=R ,N={x||x|≤1},可得∁U N={x|x<-1,或x>1},又因为M={x|-3<x<1},所以M ∩∁U N={x|-3<x<-1}.故选D .5.BCD 解析A={y|y=(x-1)2+1,0≤x ≤3}={y|1≤y ≤5},B={y|y=x 2+1,1≤x ≤3}={y|2≤y ≤10},故A-B={y|y ∈A ,且y ∉B }={y|1≤y<2},B-A={y|y ∈B ,且y ∉A }={y|5<y ≤10}.故选BCD .6.(-∞,2) 解析∵集合A={x|x 2-2x<0}={x|0<x<2},B={x|x<1},∴A ∪B={x|x<2}.7.B 解析由条件可知,当m ,n ,l 在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可能两条直线平行,或三条直线平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直线m ,n ,l 两两相交时,如图,三个不同的交点确定一个平面,则m ,n ,l 在同一平面内,所以“m ,n ,l 共面”是“m ,n ,l 两两相交”的必要不充分条件.故选B .8.C 解析当存在k ∈Z 使得α=k π+(-1)k β时,若k 为偶数,则sin α=sin(k π+β)=sin β;若k 为奇数,则sin α=sin(k π-β)=sin[(k-1)π+π-β]=sin(π-β)=sin β.当sin α=sin β时,α=β+2m π或α+β=π+2m π,m ∈Z ,即α=k π+(-1)k β(k=2m )或α=k π+(-1)k β(k=2m+1),亦即存在k ∈Z 使得α=k π+(-1)k β.所以“存在k ∈Z 使得α=k π+(-1)k β”是“sin α=sin β”的充要条件.故选C .9.A 解析由题意得,表现为发热、干咳、浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒,而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热、干咳、浑身乏力等外部表征.因而“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的必要不充分条件.10.B 解析(a-2)x 2+2(a-2)x-2<0(a ∈R )的解集为R ,则{a -2<0,4(a -2)2-4(a -2)×(-2)<0或a=2,解得0<a ≤2.所以命题p :0<a ≤2.因为命题q :0<a<2,所以p 是q 的必要不充分条件.故选B .11.BD 解析1x -1>1⇔x -2x -1<0⇔(x-1)(x-2)<0⇔1<x<2.选项A 中“1<x<2”为“1<x<2”的充要条件,选项B 中“-1<x<2”为“1<x<2”的必要不充分条件,选项C 中“-2<x<1”为“1<x<2”的既不充分也不必要条件,选项D 中“-2<x<2”为“1<x<2”的必要不充分条件.故选BD .12.A 解析由特称命题的否定是全称命题,知“存在m>0,使方程x 2+x-m=0有实根”的否定是“任意m>0,使方程x 2+x-m=0无实根”.故选A .13.AB 解析由题意得,命题“∃x 0∈[12,2],使得λ>2x 0+1x 0成立”是假命题,则命题“∀x ∈[12,2],λ≤2x+1x 成立”是真命题,令f (x )=2x+1x ,x ∈[12,2],由对勾函数得,当x ∈[12,2]时,f (x )在[12,√22]上单调递减,在(√22,2]上单调递增,∴当x=√22时,函数f (x )取最小值,即f (x )min =f (√22)=2√2, ∴λ≤f (x )min =2√2,故实数λ的取值范围为(-∞,2√2].故选AB .14.[-2,2] 解析因为命题“∃x 0∈R ,x 02-mx 0+1<0”是假命题,所以命题“∀x ∈R ,x 2-mx+1≥0”是真命题,所以Δ=m 2-4≥0,所以-2≤m ≤2.15.C 解析由甲的年龄和记者不同,记者的年龄比乙小,得到丙是记者,从而排除B 和D;由丙的年龄比医生大且比乙小,得到乙不是医生,从而乙是律师,甲是医生.故选C .16.A 解析当甲获得第一名时,甲、乙、丙说的都是错的,丁说的是对的,符合条件;当乙获得第一名时,甲、丙、丁说的都是对的,乙说的是错的,不符合条件;当丙获得第一名时,甲和丁说的都是对的,乙、丙说的是错的,不符合条件;当丁获得第一名时,甲和乙说的都是对的,丙、丁说的是错的,不符合条件,故选A .17.乙、丁 解析五位领导中有一人推荐的两人都没有入选,其余四人推荐的人选中各有一人入选.设“丁、戊”两人都没入选,那么不含丁、戊的人选组合中还剩“甲、乙”,这与其余四人推荐的人选中各有一人入选矛盾.设“丙、戊”两人都没入选,那么不含丙、戊的人选组合中还剩“甲、乙”和“甲、丁”,由题意这两个组合中各有一人入选,则为“乙、丁”,这符合题意,故答案为乙、丁.。
2021年高考数学大二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、平面向量、算法、复数、推理与证明1.3
1.3 平面向量【课时作业】1．向量m ＝(t ＋1,1)，n ＝(t ＋2,2)，假设(m ＋n )⊥(m －n )，那么t ＝( ) A ．0 B ．－3 C ．3D ．－1解析： 法一：由(m ＋n )⊥(m －n )可得(m ＋n )·(m －n )＝0，即m 2＝n 2，故(t ＋1)2＋1＝(t ＋2)2＋4，解得t ＝－3.法二：m ＋n ＝(2t ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴－(2t ＋3)－3＝0，解得t ＝－3.答案： B2．在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .假设AB →＝a ，AC →＝b ，那么PQ →＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析： PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，应选A.答案： A3．向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)那么向量a ，b 的夹角的余弦值为( ) A.31010 B ．－31010 C.22D ．－22解析： 因为向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，所以b ＝(2,0)，那么向量a ，b 的夹角的余弦值为1×2＋1×02×2＝22.答案： C4．在平面直角坐标系中，点A (0,1)，向量AB →＝(－4，－3)，BC →＝(－7，－4)，那么点C 的坐标为( )A ．(11,8)B ．(3,2)C ．(－11，－6)D ．(－3,0)解析： 设C (x ，y )，∵在平面直角坐标系中，点A (0,1)，向量AB →＝(－4，－3)，BC →＝(－7，－4)，∴AC →＝AB →＋BC →＝(－11，－7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －0＝－11，y －1＝－7，解得x ＝－11，y ＝－6，故C (－11，－6)．应选C.答案： C5．(2021·广东广雅中学等四校2月联考)两个单位向量a ，b 的夹角为120°，k ∈R ，那么|a －k b |的最小值为( )A.34 B ．32C ．1D ．32解析： ∵两个单位向量a ，b 的夹角为120°，∴|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，∴|a －k b |＝a 2－2k a ·b ＋k 2b 2＝1＋k ＋k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＋34.∵k ∈R ，∴当k ＝－12时，|a －k b |取得最小值32，应选B. 答案： B6．在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3→与向量a ＝(1，－1)共线，假设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，那么λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析： 设OP 3→＝(x ，y )，那么由OP 3→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x )．假设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，那么有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，应选D.答案： D7．(2021·河北衡水中学2月调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，假设AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R )，那么52μ－λ＝( )A ．－12B ．1 C.32D ．－3解析： AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因为E 、M 、F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12，应选A.答案： A8．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为线段BC 上的点，那么AE →·DE →的最小值为( ) A ．2 B ．154C.174D ．4解析： 如图，以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴，BA 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么A (0,2)，D (1,2)．设E (x,0)(0≤x ≤1)，那么AE →＝(x ，－2)，DE →＝(x －1，－2)．∴AE →·DE →＝(x ，－2)·(x －1，－2)＝x 2－x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋154.∵0≤x ≤1，∴当x ＝12，即E 为BC 的中点时，AE →·DE→取得最小值，最小值为154.应选B.答案： B9．a ，b 为平面向量，假设a ＋b 与a 的夹角为π3，a ＋b 与b 的夹角为π4，那么|a ||b |＝( )A.33 B ．63C.53D ．2解析： 在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AC →＝a ＋b ，∠BAC ＝π3，∠DAC＝π4.在△ABC 中，由正弦定理，得|a ||b |＝sin ∠ACB sin ∠BAC ＝sin ∠DACsin ∠BAC ＝sinπ4sinπ3＝2232＝63.应选B. 答案： B10．向量OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，OC →＝mOA →－nOB →(m >0，n >0)，假设m ＋n ＝1，那么|OC →|的最小值为( )A.52B ．102C. 5 D ．10解析： 由OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)得OC →＝mOA →－nOB →＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m >0，n >0)，所以n ＝1－m 且0<m <1，所以OC →＝(1＋2m,4m －3)，那么|OC →|＝1＋2m2＋4m －32＝20m 2－20m ＋10＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋5(0<m <1)，所以当m ＝12时，|OC →|min ＝ 5.答案： C11．(2021·惠州市第二次调研)等边三角形ABC 的边长为2，其重心为G ，那么BG →·CG →＝( )A ．2B ．－14C ．－23D ．3解析： 法一：如图，建立平面直角坐标系，那么A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，得重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，那么BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，CG →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，33，所以BG →·CG →＝－1×1＋33×33＝－23，应选C. 法二：因为AC →·AB →＝|AC →|·|AB →|cos 60°＝2×2×12＝2，BG →＝13AC →－23AB →，CG →＝13AB →－23AC →，所以BG →·CG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →－23AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－23AC →＝19AC →·AB →－29AC →2－29AB →2＋49AC →·AB →＝59AC →·AB →－29×4－29×4＝59×2－169＝－69＝－23，应选C. 答案： C12．向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，那么|b |的取值范围为( ) A ．[1,2]B ．[2,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析： 由题意知b ≠0，设向量a ，b 的夹角为θ，因为(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a·b －2b 2＝0，又|a |＝1，所以1－|b |cos θ－2|b |2＝0，所以|b |cos θ＝1－2|b |2，因为－1≤cosθ≤1，所以－|b |≤1－2|b |2≤|b |，所以12≤|b |≤1，所以|b |的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案： D13．(2021·全国卷Ⅲ)向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．假设c ∥(2a ＋b )，那么λ＝________.解析： 2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.答案： 1214．等边△ABC 的边长为2，假设BC →＝3BE →，AD →＝DC →，那么BD →·AE →＝________.解析： 如下图，BD →·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AC →－13AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC→－AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AC →＋23AB →＝ 16AC →2－23AB →2＝16×4－23×4＝－2. 答案： －215．(2021·益阳市，湘潭市调研试卷)向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，那么tan θ＝________.解析： 法一：∵|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝5＋2a·b ＝1＋3，∴a ·b ＝－12，∴cos θ＝a·b |a |·|b |＝－14，∴sin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝154，∴tan θ＝sin θcos θ＝－15. 法二：∵a ＋b ＝(1，3)，∴|a ＋b |＝1＋3＝2，记OA →＝a ，AB →＝b ，那么OB →＝a ＋b ，由题意知|AB →|＝|OB →|＝2，|OA →|＝1，θ＝π－∠OAB ，∴在等腰三角形OBA 中，tan ∠OAB ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫12212＝15，∴tan θ＝－tan ∠OAB ＝－15. 答案： －1516．(2021·福州市质量检测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠DCA ＝2∠BAC .假设BD →＝xBA →＋yBC →(x ，y ∈R )，那么x －y 的值为________．解析： 如图，延长DC ，AB 交于点E ，因为∠DCA ＝2∠BAC ，所以∠BAC ＝∠CEA . 又∠ABC ＝90°，所以BA →＝－BE →.因为BD →＝xBA →＋yBC →，所以BD →＝－xBE →＋yBC →.因为C ，D ，E 三点共线，所以－x ＋y ＝1，即x －y ＝－1.答案： －1。
2021-2022年高考数学二轮复习专题能力训练1集合与常用逻辑用语理
2021年高考数学二轮复习专题能力训练1集合与常用逻辑用语理一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1,或x>3},则A∩B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}2.(xx浙江镇海中学5月模拟)设集合A={x|x<-2,或x>1,x∈R},B={x|x<0,或x>2,x∈R},则(∁R A)∩B是()A.(-2,0)B.(-2,0]C.[-2,0)D.R3.原命题为“若<a n,n∈N*,则数列{a n}是递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假4.“直线l与平面α内的两条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知α,β∈(0,π),则“sin α+sin β<”是“sin(α+β)<”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},则集合A×B中属于集合{(x,y)|log x y∈N}的元素个数是()A.3B.4C.8D.97.(xx浙江“超级全能生”8月联考)设A,B是有限集合,定义:d(A,B)=,其中card(A)表示有限集合A中的元素个数,则下列不一定正确的是()A.d(A,B)≥card(A∩B)B.d(A,B)=C.d(A,B)≤D.d(A,B)=[card(A)+card(B)+|card(A)-card(B)|]8.已知集合A={x∈R|x2-2x-3<0},B={x∈R|-1<x<m},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数m的取值范围为()A.(3,+∞)B.(-1,3)C.[3,+∞)D.(-1,3]二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知集合A={3,m2},B={-1,3,2m-1}.若A⊆B,则实数m的值为.10.已知集合A={x|(x-2)(x+5)<0},B={x|x2-2x-3≥0},全集U=R,则A∩B=,A∪(∁U B)=.11.设全集U=R,集合A={x|x(x-2)<0},B={x|x<a},若A与B的关系如图所示,则实数a的取值范围是.12.设集合P={t|数列{n2+tn(n∈N*)}单调递增},集合Q={t|函数f(x)=kx2+tx在区间[1,+∞)上单调递增},若“t∈P”是“t∈Q”的充分不必要条件,则实数k的最小值为.13.给出下列四个命题:①在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B;②若0<a<1,则函数f(x)=x2+a x-3只有一个零点;③函数y=2sin x cos x在上是单调递减函数;④若lg a+lg b=lg(a+b),则a+b的最小值为4.其中真命题的序号是.14.若X是一个集合,τ是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足:①X属于τ,空集⌀属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a,b,c},对于下面给出的四个集合τ:①τ={⌀,{a},{c},{a,b,c}};②τ={⌀,{b},{c},{b,c},{a,b,c}};③τ={⌀,{a},{a,b},{a,c}};④τ={⌀,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知集合A={x|2<x<7},B={x|2<x<10},C={x|5-a<x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若C⊆B,求实数a的取值范围.16.(本小题满分15分)已知p:-x2+16x-60>0,q:>0,r:关于x的不等式x2-3ax+2a2<0(x∈R).(1)当a>0时,是否存在a使得r是p的充分不必要条件?(2)若r是p的必要不充分条件,且r是q的充分不必要条件,试求a的取值范围.参考答案专题能力训练1集合与常用逻辑用语1.A解析A∩B={x|-2<x<-1}.故选A.2.C解析∵集合A={x|x<-2或x>1,x∈R},∴∁R A={x|-2≤x≤1}.∵集合B={x|x<0或x>2,x∈R},∴(∁R A)∩B={x|-2≤x<0}=[-2,0).故选C.3.A解析由<a n,得a n+a n+1<2a n,即a n+1<a n.所以当<a n时,必有a n+1<a n,则数列{a n}是递减数列.反之,若数列{a n}是递减数列,必有a n+1<a n,从而有<a n.所以原命题及其逆命题均是真命题,从而其否命题及其逆否命题也均是真命题.4.B解析根据线面垂直的判定:l与α内的两条相交直线垂直⇔l⊥α,故是必要不充分条件,应选B.5.A解析当α=β=时,sin α=sin β=1,sin α+sin β=2,sin(α+β)=0<,所以后不能推前,又sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β<sin α+sin β,所以前推后成立.故选A.6.B解析由给出的定义得A×B={(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),( 4,2),(4,4),(4,6),(4,8)}.其中log22=1,log24=2,log28=3,log44=1,因此一共有4个元素,应选B.7.C解析∵card(A∪B)≥card(A∩B),∴d(A,B)≥card(A∩B),选项A正确;∵d(A,B)===,∴选项B正确;∵d(A,B)=,∴选项C错误;又|card(A)-card(B)|≥0,∴d(A,B)≤[card(A)+card(B)+|card(A)-card(B)|],选项D 正确.故选C.8.A解析A={x∈R|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},∵x∈A是x∈B的充分不必要条件,∴A⫋B,∴m>3.故选A.9.1解析∵A⊆B,∴m2=2m-1或m2=-1(舍).由m2=2m-1得m=1.经检验m=1时符合题意.10.{x|-5<x≤-1}{x|-5<x<3}解析由题意知集合A={x|(x-2)(x+5)<0}={x|-5<x<2},B={x|x2-2x-3≥0}={x|x≥3或x≤-1},所以∁U B={x|-1<x<3},A∩B={x|-5<x≤-1},A∪(∁U B)={x|-5<x<3}.11.a≥2解析因为A={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2},又Venn图表达的集合关系是A⊆B,B={x|x<a},所以a≥2.12. 解析因为数列{n2+tn(n∈N*)}单调递增,所以(n+1)2+t(n+1)>n2+tn,可得t>-2n-1,又n∈N*,所以t>-3.因为函数f(x)=kx2+tx在区间[1,+∞)上单调递增,所以其图象的对称轴x=-≤1,且k>0,所以t≥-2k,又“t∈P”是“t∈Q”的充分不必要条件,所以-2k≤-3,即k≥.故实数k的最小值为.13.①④解析在△ABC中,A>B⇒a>b⇒2R sin A>2R sin B⇒sin A>sin B,故①为真命题.在同一直角坐标系内作出函数y1=3-x2,y2=a x(0<a<1)的图象如图所示.由图知两函数图象有两个交点,故②为假命题.由y=2sin x cos x=sin 2x,又x∈时,2x∈,可知y=2sin x cos x在上是增函数,因此③为假命题.④中由lg a+lg b=lg(a+b)知ab=a+b,且a>0,b>0.又ab≤,所以令a+b=t(t>0),则4t≤t2,即t≥4,因此④为真命题.14.②④解析①τ={⌀,{a},{c},{a,b,c}},但是{a}∪{c}={a,c}∉τ,所以①错;②④都满足集合X上的一个拓扑的集合τ的三个条件,所以②④正确;③{a,b}∪{a,c}={a,c,b}∉τ,故错.所以答案为②④.15.解 (1)A∪B={x|2<x<10},∁R A={x|x≤2或x≥7},(∁R A)∩B={x|7≤x<10}.(2)①当C=⌀时,满足C⊆B,此时5-a≥a,得a≤;②当C≠⌀时,若C⊆B,则解得<a≤3.故由①②得实数a的取值范围是a≤3.16.解 (1)由-x2+16x-60>0,解得6<x<10,当a>0时,由x2-3ax+2a2<0,解得a<x<2a.若r 是p的充分不必要条件,则(a,2a)⊆(6,10)且两集合不相等,则a无解,不存在.(2)由-x2+16x-60>0,解得6<x<10,由>0,解得x>1.当a>0时,由x2-3ax+2a2<0,解得a<x<2a.若r是p的必要不充分条件,则(6,10)⊆(a,2a),此时5≤a≤6.①若r是q的充分不必要条件,则(a,2a)⊆(1,+∞),此时a≥1.②由①②得5≤a≤6.当a<0时,由x2-3ax+2a2<0,解得2a<x<a<0,而若r是p的必要不充分条件,(6,10)⊆(a,2a)不成立,(a,2a)⊆(1,+∞)也不成立,不存在a值.当a=0时,由x2-3ax+2a2<0,解得r为⌀,(6,10)⊆⌀不成立,不存在a值.综上,5≤a≤6为所求.。
2021年高考数学二轮复习 专题1 第1讲 集合与常用逻辑用语素能训练(文、理)
2021年高考数学二轮复习 专题1 第1讲 集合与常用逻辑用语素能训练（文、理）一、选择题1．已知集合A ＝{x ||x －2|>1}，B ＝{x |y ＝x －1＋3－x }，那么有( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ⊆B C ．B ⊆A D ．A ＝B[答案] A[解析] 由|x －2|>1得x －2<－1，或x －2>1，即x <1，或x >3；由⎩⎨⎧x －1≥03－x ≥0得1≤x ≤3，因此A ＝{x |x <1，或x >3}，B ＝{x |1≤x ≤3}，所以A ∩B ＝∅，故选A.2．(xx·浙江文，2)设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A. 3．(xx·银川市一中二模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x －1x<0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合{x |x ≤0}等于( )A ．A ∩B B ．A ∪BC ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )[答案] D[解析] A ＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∪B ＝{x |x >0}，∴∁U (A ∪B )＝{x |x ≤0}，4．(xx·天津理，4)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝12相切．其中真命题的序号是( )A．①②③B．①②C．①③D．②③[答案] C[解析] 统计知识与直线和圆的位置关系的判断．对于①，设球半径为R，则V＝43πR3，r＝12R，∴V1＝43π×(12R)3＝πR36＝18V，故①正确；对于②，两组数据的平均数相等，标准差一般不相等；对于③，圆心(0,0)，半径为22，圆心(0,0)到直线的距离d＝22，故直线和圆相切，故①、③正确．5．(文)(xx·天津文，3)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则¬p为( )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1[答案] B[解析] 由命题的否定只否定命题的结论及全称命题的否定为特称(存在性)命题，“>”的否定为“<”知选B.(理)已知命题p：“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x∈R，x2＋1≤1”；命题q：在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充分条件，则下列命题是真命题的是( ) A．p且q B．p或¬qC．¬p且¬q D．p或q[答案] D[解析] p为假命题，q为真命题，∴p且q为假命题，p或¬q为假命题，¬p且¬q为假命题，p或q为真命题．6．(文)若集合A＝{x|2<x<3}，B＝{x|(x＋2)(x－a)<0}，则“a＝1”是“A∩B＝∅”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当a＝1时，B＝{x|－2<x<1}，∴A∩B＝∅，则“a＝1”是“A∩B＝∅”的充分条件；当A∩B＝∅时，得a≤2，则“a＝1”不是“A∩B＝∅”的必要条件，故“a＝1”是“A∩B ＝∅”的充分不必要条件．(理)(xx·沈阳模拟)已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A．a≥1B．a≤1C．a≥－1 D．a≤－3[答案] A[解析] 条件p：x>1或x<－3，所以¬p：－3≤x≤1；条件q：x>a，所以¬q：x≤a，由于¬p是¬q的充分不必要条件，所以a≥1，故选A.7．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|log x y∈N}的元素个数是( )A．3 B．4C．8 D．9[答案] B[解析] 用列举法求解．由给出的定义得A×B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此，一共有4个元素，故选B.8．(文)(xx·湖南理，5)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是( )A．①③B．①④C．②③D．②④[答案] C[解析] 当x>y时，两边乘以－1可得－x<－y，所以命题p为真命题，当x＝1，y＝－2时，因为x2<y2，所以命题q为假命题，所以②③为真命题，故选C.(理)(xx·重庆理，6)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．¬p∧¬qC．¬p∧q D．p∧¬q[答案] D[解析] 命题p是真命题，命题q是假命题，所以选项D正确．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．9．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数[分析] 根据四种命题的关系判定．[答案] B[解析] “若p则q”的否命题为“若¬p则¬q”，故选B.10．(xx·陕西理，8)原命题为“若z1、z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假[答案] B[解析] 若z1＝a＋b i，则z2＝a－b i.∴|z1|＝|z2|，故原命题正确、逆否命题正确．其逆命题为：若|z1|＝|z2|，则z1、z2互为共轭复数，若z1＝a＋b i，z2＝－a＋b i，则|z1|＝|z2|，而z1、z2不为共轭复数．∴逆命题为假，否命题也为假．二、填空题11．设p：xx－2<0，q：0<x<m，若p是q成立的充分不必要条件，则m的取值范围是________．[答案] (2，＋∞)[解析] 由xx－2<0得0<x<2，∵p是q成立的充分不必要条件，∴(0,2)(0，m)，∴m>2.12．设集合A＝{5，log2(a＋3)}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.[答案] {1,2,5}[解析] ∵A∩B＝{2}，∴2∈A，∴log2(a＋3)＝2，∴a＝1，∴b＝2，∴A∪B＝{1,2,5}.一、选择题13．(xx·哈三中一模)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，P＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则集合P的元素个数为( )A．3 B．4C．5 D．6[答案] C[解析] 由题意知P＝{1,2,4,3,6}，∴选C.14．(文)已知集合A＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，则A∩B的元素数目为( )A．0 B．1C．2 D．无穷多[答案] C[解析] 函数y＝2x与y＝2x的图象的交点有2个，故选C.(理)设全集U＝R，集合M＝{x|y＝3－2x}，N＝{y|y＝3－2x}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|32<x≤3}B．{x|32<x<3}C．{x|32≤x<2} D．{x|32<x<2}[答案] B[解析] M＝{x|x≤32}，N＝{x|x<3}，∴阴影部分N∩(∁U M)＝{x|x<3}∩{x|x>32}＝{x|32<x<3}．15．(xx·重庆理，2)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )A．对任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x0∈R，使得x20≥0D．存在x0∈R，使得x20<0[答案] D[解析] 根据全称命题的否定是特称命题，应选D.16．(文)(xx·西城区模拟)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，则“c<0”是“∃x0∈R，使f(x0)<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] c <0时，f (0)＝c <0；当⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0c >0，即b 2>4c >0时，存在x 0∈R ，使f (x 0)<0，例如取b ＝3，c ＝1，此时，f (x )＝x 2＋3x ＋1＝(x ＋32)2－54，其最小值－54<0.故选A.(理)(xx·新课标Ⅰ理，9)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3[答案] C [解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －2y ≤4表示的平面区域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)，∵目标函数u ＝x ＋2y 的斜率k ＝－12，∴当直线x ＋2y ＝u 过A 时，u 取最小值0. 故选项p 1，p 2正确，所以选C.17．(xx·辽宁理，5)设a 、b 、c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∨(¬q )[答案] A[解析] 取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)知，a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ≠0，∴命题p 为假命题；∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p∨q为真命题．18．已知命题p：“∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是( ) A．(0,1) B．(0,2)C．(2,3) D．(2,4)[答案] A[解析] 由p为假命题知，∀x∈R，x2＋2ax＋a>0恒成立，∴Δ＝4a2－4a<0，∴0<a<1，故选A.19．设x、y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“x216＋y29≤1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] “|x|≤4且|y|≤3”表示的平面区域M为矩形区域，“x216＋y29≤1”表示的平面区域N为椭圆x216＋y29＝1及其内部，显然N M，故选B.20．(文)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x2－y，若关于x的不等式(x－a)⊗(x＋1－a)>0的解集是集合{x|－2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是( ) A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1C．－2≤a≤1D．1≤a≤2[答案] C[解析] 因为(x－a)⊗(x＋1－a)>0，所以x－a1＋a－x>0，即a<x<a＋1，则a≥－2且a＋1≤2，即－2≤a≤1.(理)(xx·中原名校联考)下列命题正确的个数是( )①“在三角形ABC中，若sin A>sin B，则A>B”的逆命题是真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x＋y≠5则p是q的必要不充分条件；③“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∀x∈R，x3－x2＋1>0”；④若随机变量x～B(n，p)，则DX＝np.⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程．A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析] 在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 为△ABC 外接圆半径)．∴①为真命题；∵x ＝2且y ＝3时，x ＋y ＝5成立，x ＋y ＝5时，x ＝2且y ＝3不成立，∴“x ＋y ＝5”是“x ＝2且y ＝3”的必要不充分条件，从而“x ≠2或y ≠3”是“x ＋y ≠5”的必要不充分条件，∴②为真命题；∵全称命题的否定是特称命题， ∴③为假命题；由二项分布的方差知④为假命题． ⑤显然为真命题，故选C. 二、填空题21．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则a 的取值范围是________．[答案] (0，12]∪[1，＋∞)[解析] p 真时，0<a <1；q 真时，ax2－x ＋a >0对x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，即a >12.若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则p 、q 应一真一假：①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12⇒0<a ≤12；②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a >12⇒a ≥1.综上，a ∈(0，12]∪[1，＋∞)．22．给出下列命题：①已知线性回归方程y ^＝3＋2x ，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位； ②在进制计算中，100(2)＝11(3)；③若ξ～N (3，σ2)，且P (0≤ξ≤3)＝0.4，则P (ξ<6)＝0.1；④“a ＝⎠⎛011－x 2dx”是“函数y ＝cos 2(ax)－sin 2(ax)的最小正周期为4”的充要条件；⑤设函数f(x)＝2014x ＋1＋20132014x＋1＋xx sin x(x∈[－π2，π2])的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝4027，其中正确命题的个数是________个．[答案] 4[解析] ①显然正确；100(2)＝1×22＋0×21＋0×20＝4,11(3)＝1×31＋1×30＝4，∴②正确；∵ξ<N(3，σ2)，∴P(ξ>6)＝12(1－2P(0≤ξ≤3))＝0.1，∴③错误；由数形结合法，依据定积分的几何意义得a ＝⎠⎛011－x 2dx ＝π4，y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ＝cosπx2，最小正周期T ＝2ππ2＝4，∴④正确．设a ＝xx ，则f(x)＝ax ＋1＋a －1a x＋1＋a sin x ＝a ＋a sin x －1a x＋1， 易知f(x)在[－π2，π2]上单调递增，∴M＋N ＝f(π2)＋f(－π2)＝2a －1a π2＋1－1a －π2＋1＝2a －1aπ2＋1－a π21＋aπ2＝2a －1＝4027，∴⑤正确．Q21248 5300 匀38131 94F3 铳38215 9547 镇W+22588 583C 堼29285 7265 牥32411 7E9B 纛24289 5EE1 廡y20355 4F83 侃N23034 59FA 姺33304 8218舘。
2021高考数学(理)二轮专题复习【统考版】课时作业1 集合、复数与常用逻辑用语
课时作业1 集合、复数与常用逻辑用语一、选择题 1．[2020·贵阳市第一学期监测考试]满足i 3·z ＝1－3i 的复数z 的共轭复数是( )A ．3－iB ．－3－iC ．3＋iD ．－3＋i 2．[2020·成都市诊断性检测]已知集合A ＝{－1,0，m }，B ＝{1,2}．若A ∪B ＝{－1,0,1,2}，则实数m 的值为( )A. －1或0 B ．0或1 C ．－1或2 D ．1或2 3．[2020·湖北八校第一次联考]已知集合M ＝{x |x 2－5x －6≤0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16x，x ≥－1，则( )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ＝ND ．M ⊆(∁R N )4．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0 B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠05．[2020·深圳市统一测试]若复数z ＝a ＋2i1－i的实部为0，其中a 为实数，则|z |＝( )A ．2 B. 2C ．1 D.226．[2020·南充市第一次适应性考试]“A ＝60°”是“cos A ＝12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．[2020·昆明市三诊一模]已知集合A ＝{x ∈N |x 2≤1}，集合B ＝{x ∈Z |－1≤x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．[1,3]B ．(1,3]C ．{－1,2,3}D ．{－1,0,2,3}8．[2020·开封市第一次模拟考试]在复平面内，复数a ＋i1＋i对应的点位于直线y ＝x 的左上方，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞) 9．[2020·江西五校联考]已知集合M ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，N ＝{x |y ＝x －a }，若M ∩N ＝M ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞) 10．[2019·全国卷Ⅰ]设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1 11．[2020·河北九校第二次联考]下面有四个命题： ①“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x 0∈R ，e x 0≤0”；②命题“若θ＝π6，则cos θ＝32”的否命题是“若θ＝π6，则cos θ≠32”；③“ln m <ln n ”是“e m <e n ”的必要不充分条件；④若命题p 为真命题，q 为假命题，则p ∨q 为真命题． 其中所有正确命题的序号是( ) A ．①②④ B ．①③ C ．①④ D ．②④12．已知命题p ：x ≥k ，命题q ：3x ＋1<1.如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1] 二、填空题13．已知(1＋i)(1－a i)>0(i 为虚数单位)，则实数a 等于________． 14．设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}；若(∁U A )∩B ＝∅，则m ＝________.15．已知下列命题：①∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2；②∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1；③∀x ∈R,2x ＋12x >2；④∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x 0>sin x 0. 其中真命题为________(填所有真命题的序号)． 16．[2020·北京西城期末]已知集合A ＝{x |x 2－x －6≥0}，B ＝{x |x >c }，其中c ∈R .(1)集合∁R A ＝____________；(2)若∀x ∈R ，都有x ∈A 或x ∈B ，则c 的取值范围是____________．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
高考数学(理科)二轮复习【专题1】集合与常用逻辑用语(含答案)
第1讲集合与常用逻辑用语考情解读(1)集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年也出现一些集合的新定义问题．(2)高考中考查命题的真假判断或命题的否定或充要条件的判断．1．集合的概念、关系(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.2．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.3．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．4．充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．5．基本逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．6．全称量词与存在量词“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.热点一集合的关系及运算例1(1)(2014·四川改编)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝________.(2)(2013·广东改编)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列命题正确的是________．①(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S；②(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；③(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S；④(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S.思维启迪明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．答案(1){－1,0,1,2}(2)②解析(1)因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}．(2)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排除①③④，故②正确．思维升华(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．(1)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1<x<4}，则M∩N＝________.(2)(2013·山东改编)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．答案(1){2,3}(2)5解析(1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数，所以N＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}，所以M∩N＝{2,3}．－2，－1，0，1，2.(2)x－y∈{}热点二四种命题与充要条件例2(1)(2014·天津改编)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件．(2)(2014·江西改编)下列叙述中正确的是________．①若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”；②若a，b，c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”；③命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”；④l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β.思维启迪要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义．答案(1)充要(2)④解析(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|.(2)由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，①错；因为ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，②错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，③错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确．思维升华(1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．(1)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是________．(2)“log3M>log3N”是“M>N成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)答案(1)若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数(2)充分不必要解析(1)判断词“都是”的否定是“不都是”．(2)由log3M>log3N，又因为对数函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)单调递增，所以M>N；当M>N 时，由于不知道M、N是否为正数，所以log3M、log3N不一定有意义．故不能推出log3M>log3N，所以“log3M>log3N”是“M>N成立”的充分不必要条件．热点三逻辑联结词、量词例3(1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，sin x<x，则下列命题正确的是________．①命题p∨q是假命题②命题p∧q是真命题③命题p ∧(綈q )是真命题 ④命题p ∨(綈q )是假命题(2)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是_________________________________________________________________．思维启迪 (1)先判断命题p 、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；(2)含量词的命题要理解量词含义，确定参数范围．答案 (1)③ (2)[1，＋∞)解析 (1)对于命题p ，取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin(－π2)＝－1，此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题，故③正确．(2)∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题，得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，得綈q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②，得m ≥1.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．(1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列命题中正确的是________．①p 真q 假 ②p 假q 真③“p ∧q ”为假 ④“p ∧q ”为真(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)③ (2)(1，＋∞)解析 (1)△ABC 中，C >B ⇔c >b ⇔2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径)，所以C >B ⇔sin C >sin B .故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件，命题p 是假命题．若c ＝0，当a >b 时，则ac 2＝0＝bc 2，故a >b ac 2>bc 2，若ac 2>bc 2，则必有c ≠0，则c 2>0，则有a >b ，所以ac 2>bc 2⇒a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，故命题q 也是假命题．(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn图加以解决．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.真题感悟1．(2014·浙江改编)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝________.答案{2}解析因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}，故∁U A＝{2}．2．(2014·重庆改编)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．①p∧q②綈p∧綈q③綈p∧q④p∧綈q答案④解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故④为真命题．押题精练1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.2．已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1<3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题；③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中正确的命题是________．答案 ②解析 命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则(綈p )∧(綈q )为真命题，故②正确；a >5⇒a >2，但a >2a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．3．已知p ：x ＋210－x≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由x ＋210－x≥0，得－2≤x <10，即p ：－2≤x <10； 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，得[x －(1＋m )]·[x －(1－m )]≤0，所以1＋m ≤x ≤1－m ，即q ：1＋m ≤x ≤1－m .又因为p 是q 的必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，1－m <10，解得m ≥－3， 又m <0，所以实数m 的取值范围是－3≤m <0.(推荐时间：40分钟)1．(2014·陕西改编)设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝________. 答案 [0,1)解析 N ＝{x |－1<x <1}，M ∩N ＝[0,1)．2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为_______________________________________________________________． 答案 13解析 若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13.3．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为________．答案 7解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的________条件．答案 必要不充分解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，a <1.log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以前者是后者的必要不充分条件．5．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x ，则该命题的否定是________． 答案 ∀x ∈(0，π2)，使得cos x >x 解析 原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题．而“cos x ≤x ”的否定是“cos x >x ”．6．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的________条件． 答案 充要解析 在A ＝60°时，有cos A ＝12，因为角A 是△ABC 的内角，所以，当cos A ＝12时，也只有A ＝60°，因此，是充要条件．7．(2013·湖北改编)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B ＝________.答案 {x |0≤x <2或x >4}解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}＝{x |0≤x <2或x >4}．8．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是_________________________________________________________________．答案 2解析 集合A 表示直线l ：x ＋y －1＝0上的点的集合，集合B 表示抛物线C ：y ＝x 2＋1上的点的集合．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y ＝x 2＋1消去y 得x 2＋x ＝0， 由于Δ>0，所以直线l 与抛物线C 有两个交点．即A ∩B 有2个元素．9．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．①p 为真；②綈q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．答案 ③解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．10．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．11．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________.答案 (1，＋∞)解析 由x (x －1)≥0可得x ≤0或x ≥1，则P ＝(－∞，0]∪[1，＋∞)；又由x －1>0可得x >1，则Q ＝(1，＋∞)，所以P ∩Q ＝(1，＋∞)．12．已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则b a＝________.答案 －4解析 由A ＝{x |x >2或x <－1}，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，可得B ＝{x |－1≤x ≤4}，则a＝－1，b ＝4，故b a＝－4. 13．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________.答案 1解析 根据题意可得：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0是真命题，则Δ<0，即22－4m <0，m >1，故a ＝1.14．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)答案 ①④解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．15．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．答案 ②④解析 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x，y)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，对于k∈(0,1)，因为(kx)3＋(ky)3－(kx)2·(ky)＝0⇒x3＋y3－x2y＝0，所以(kx，ky)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，故④是具有性质P的点集．综上，具有性质P的点集是②④.。
2021年高考数学二轮复习 集合与常用逻辑用语专题训练(含解析)
2021年高考数学二轮复习 集合与常用逻辑用语专题训练（含解析）一、选择题1．已知全集为R ，集合A ＝{x |⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}解析 A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，∁R B ＝{x |x <2或x >4}，A ∩∁R B ＝{x |0≤x <2或x >4}．答案 C2．下列命题的否定为假命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0 B ．任意一个四边形的四个顶点共圆 C ．所有能被3整除的整数都是奇数 D ．∀x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1解析 因为∀x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1正确，所以D 的否定是假命题，选D. 答案 D3．(xx·辽宁卷)设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析 依题意得p 是假命题，q 是真命题，故选A. 答案 A4．设A 、B 为两个互不相同的集合，命题p ：x ∈A ∩B ，命题q ：x ∈A 或x ∈B ，则綈q 是綈p 的( )A ．充分且必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分且非必要条件解析 命题p 是集合A ，B 的交集，命题q 是集合A ，B 的并集．若綈q 则綈p 的等价命题是：若p 则q ，故命题p 是q 的充分非必要条件，选B.答案 B5．设A ：xx －1<0，B ：0<x <m ，若B 是A 成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞) 解析xx －1<0⇔0<x <1.由已知，得(0,1)(0，m )，所以m >1.答案 D6．已知命题p ：“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}解析 若命题p 成立，则a ≤x 2对x ∈[1,3]恒成立．当x ∈[1,3]时，1≤x 2≤9，所以a ≤1.命题q 成立，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.所以当a ＝1或a ≤－2时，命题“p 且q ”是真命题．答案 A 二、填空题7．已知R 是实数集，M ＝{x |2x<1}，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩(∁R M )＝________.解析 M ＝{x |2x<1}＝{x |x <0或x >2}，N ＝{y |y ＝x －1＋1}＝{y |y ≥1}，∁R M ＝{x |0≤x ≤2}，∴N ∩(∁R M )＝{x |1≤x ≤2}＝[1,2]． 答案 [1,2]8．若命题：“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则实数k 的取值范围是________． 解析 命题：“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题．当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0，且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0.综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．答案 (－4,0] 9．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”； ③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题． 其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．答案 ①④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 解 A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}， 则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}， 故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根， ∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8. 此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意． 因此实数m 的值为8.11．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m . ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 但qD ⇒\p . ∴{x |－2≤x ≤10}{x |1－m ≤x ≤1＋m }． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．B 级——能力提高组1．已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋a x≥2的充分必要条件”；命题q ：“存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0－2>0”，下列命题正确的是( )A ．命题“p ∧q ”是真命题B．命题“(綈p)∧q”是真命题C．命题“p∧(綈q)”是真命题D．命题“(綈p)∧(綈q)”是真命题解析因为x>0，a>0时，x＋ax≥2 x·ax＝2a，由2a≥2，可得a≥1，所以命题p为假命题；因为当x＝2时，x2＋x－2＝22＋2－2＝4>0，所以命题q为真命题．所以綈p∧q为真命题，故选B.答案 B2．(理)(xx·广东卷)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( ) A．60 B．90C．120 D．130解析|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|可取1,2,3.和为1的元素个数为：C12C15＝10；和为2的元素个数为：C12C25＋A25＝40；和为3的元素个数为：C12C35＋C12C15C24＝80.故满足条件的元素总的个数为10＋40＋80＝130，故选D.答案 D2．(文)对于非空集合A，B，定义运算：A⊕B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M＝{x|a<x<b}，N＝{x|c<x<d}，其中a，b，c，d满足a＋b＝c＋d，ab<cd<0，则M⊕N＝( ) A．(a，d)∪(b，c) B．(c，a]∪[b，d)C．(a，c]∪[d，b) D．(c，a)∪(d，b)解析由题意得：a<c<0<d<b，所以M⊕N＝(a，c]∪[d，b)．也可以利用举特例：如a＝－5，b＝4，c＝－3，d＝2.答案 C3.(1)如图所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c 是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解(1)证明：记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.因为PO⊥π，a⊂π，所以直线PO⊥a.又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b＝P，所以a⊥平面PAO.又c⊂平面PAO，所以a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b 在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．c33094 8146 腆 L/37390 920E 鈎34433 8681 蚁(g36135 8D27 货39791 9B6F 魯^21038 522E 刮!24248 5EB8 庸。
2021年高考数学大二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、平面向量、算法、复数、推理与证明1.1
1.1 集合与常用逻辑用语【课时作业】1．(2021·全国卷Ⅰ)集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，那么∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析： ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如下图．由图可得∁R A ＝{}x |－1≤x ≤2. 应选B. 答案： B2．(2021·天津卷)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，那么(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}解析： ∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}， ∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}． 又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}． 答案： C3．(2021·安徽皖南八校3月联考)集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，那么A ∩B 的真子集个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A ∩B ＝{(0,0)，(4,4)}，∴A ∩B的真子集个数为22－1＝3.应选B.答案： B4．f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，那么( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )>0 解析： 因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，所以p 是真命题．又全称命题的否认是特称命题，所以綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0.答案： C5．(2021·北京卷)设a ，b ，c ，d 是非零实数，那么“ad ＝bc 〞是“a ，b ，c ，d 成等比数列〞的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： a ，b ，c ，d 是非零实数，假设a <0，d <0，b >0，c >0，且ad ＝bc ，那么a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．假设a ，b ，c ，d 成等比数列，那么由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc 〞是“a ，b ，c ，d 成等比数列〞的必要而不充分条件．应选B. 答案： B6．(2021·洛阳市第一统考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤1}，B ＝{x |x 2＋x －2≥0}，那么A ∩∁U B ＝( )A ．(0,1]B ．(－2,2]C ．(0,1)D ．[－2,2]解析： 不等式log 2x ≤1即log 2x ≤log 22，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，得不等式的解集为(0,2]，即A ＝(0,2]．由x 2＋x －2≥0，得(x ＋2)(x －1)≥0，得B ＝{x |x ≤－2或x ≥1}，所以∁U B ＝(－2,1)，从而A ∩∁U B ＝(0,1)．应选C.答案： C7．设全集U 是自然数集N ，集合A ＝{x |x 2>9，x ∈N }，B ＝{0,2,4}，那么图中阴影局部所表示的集合是( )A ．{x |x >2，x ∈N }B ．{x |x ≤2，x ∈N }C ．{0,2}D ．{1,2}解析： 由题图可知，图中阴影局部所表示的集合是B ∩(∁U A )，∁U A ＝{x |x 2≤9，x ∈N }＝{x |－3≤x ≤3，x ∈N }＝{0,1,2,3}，因为B ＝{0,2,4}，所以B ∩(∁U A )＝{0,2}．答案： C8．以下结论错误的选项是( )A ．命题“假设x 2－3x －4＝0，那么x ＝4〞的逆否命题为“假设x ≠4，那么x 2－3x －4≠0〞B ．命题“x ＝4〞是“x 2－3x －4＝0〞的充分条件C ．命题“假设m >0，那么方程x 2＋x －m ＝0有实根〞的逆命题为真命题D ．命题“假设m 2＋n 2＝0，那么m ＝0且n ＝0〞的否命题是“假设m 2＋n 2≠0，那么m ≠0或n ≠0〞解析： C 项命题的逆命题为“假设方程x 2＋x －m ＝0有实根，那么m >0〞．假设方程有实根，那么Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，应选C.答案： C9．(2021·陕西省质量检测(一))命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1〞是“x >2〞的充分不必要条件，那么以下命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．p ∧綈q解析： 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 是假命题．由复合命题真值表可知p ∧綈q 是真命题，应选D.答案： D10．(2021·辽宁省五校协作体联考)命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0〞是假命题，那么实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,4]C ．[4，＋∞)D ．(0,4)解析： 因为命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0〞是假命题，所以其否认“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14>0〞是真命题，那么Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，应选D.答案： D11．(2021·山东泰安3月联考)以下命题正确的选项是( )A ．命题“∃x 0∈[0,1]，使x 20－1≥0〞的否认为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1≤0〞 B ．假设命题p 为假命题，命题q 是真命题，那么(綈p )∨(綈q )为假命题 C ．命题“假设a 与b 的夹角为锐角，那么a·b >0〞及它的逆命题均为真命题 D ．命题“假设x 2＋x ＝0，那么x ＝0或x ＝－1〞的逆否命题为“假设x ≠0且x ≠－1，那么x 2＋x ≠0〞解析： 对于选项A ，命题“∃x 0∈[0,1]，使x 20－1≥0〞的否认为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1<0〞，故A 项错误；对于选项B ，p 为假命题，那么綈p 为真命题，q 为真命题，那么綈q 为假命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题，故B 项错误；对于选项C ，原命题为真命题，假设a·b >0，那么a 与b 的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C 项错误；对于选项D ，命题“假设x 2＋x ＝0，那么x ＝0或x ＝－1〞的逆否命题为“假设x ≠0且x ≠－1，那么x 2＋x ≠0〞，应选项D 正确．因此选D.答案： D12．(2021·广东汕头一模)命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0,2x－a >0.假设“綈p 〞和“p ∧q 〞都是假命题，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－2,1]C ．(1,2)D ．(1，＋∞)解析： 方程x 2＋ax ＋1＝0无实根等价于Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2.∀x >0,2x－a >0等价于a <2x在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1.因“綈p 〞是假命题，那么p 是真命题，又因“p ∧q 〞是假命题，那么q 是假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)，应选C.答案： C13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，那么綈p ：____________________.解析： 全称命题的否认为特称命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案： ∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点14．假设⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，那么a 2 017＋b 2 017的值为________．解析： 因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，所以⎩⎪⎨⎪⎧b a＝0，a 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝0，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)，那么a2 017＋b2017＝－1. 答案： －115．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，那么∁U (M ∪P )＝________.解析： 集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}， 所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}． 那么∁U (M ∪P )＝{(2,3)}． 答案： {(2,3)}16．a ，b ，c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大，那么a 的年龄最小〞和命题B ：“如果c 不是年龄最小，那么a 的年龄最大〞都是真命题，那么a ，b ，c 的年龄由小到大依次是________．解析： 显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．由命题A 可知，当b 不是最大时，那么a 是最小，所以c 最大，即c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“假设a 的年龄不是最小，那么b 的年龄是最大〞为真，即b >a >c .同理，由命题B 为真可得a >c >b 或b >a >c .故由A 与B 均为真可知b >a >c ，所以a ，b ，c 三人的年龄大小顺序是：b 最大，a 次之，c 最小．答案： c ，a ，b。
2021新高考数学二轮总复习学案：1.1 集合、常用逻辑用语、推理小题组合练含解析
专题一常考小题点1.1集合、常用逻辑用语、推理小题组合练必备知识精要梳理1.A∪B={x|x∈A或x∈B};A∩B={x|x∈A,且x∈B};∁U A={x|x∈U,且x∉A};A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.2.含有n个元素的集合,其子集、真子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-2.3.若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p是q的充要条件.4.充要条件的三种判断方法:(1)定义法,(2)集合法,(3)等价转化法.5.“∀x∈M,p(x)”的否定为“∃x0∈M, p(x0)”;“∃x0∈M,p(x0)”的否定为“∀x∈M, p(x)”.考向训练限时通关考向一集合的概念及运算1.(2020山东,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}2.(2020全国Ⅲ,理1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.63.(2020全国Ⅱ,理1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)=()A.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}4.(2020山东泰安一模,1)已知全集U=R,集合M={x|-3<x<1},N={x||x|≤1},则阴影部分表示的集合是()A.[-1,1]B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-1,+∞)D.(-3,-1)5.(多选)(2020福建双十中学期中,1)集合A,B是实数集R的子集,定义A-B={x|x∈A,且x∉B},若集合A={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3},B={y|y=x2+1,1≤x≤3},则以下说法正确的是()A.A=[-1,5]B.B=[2,10]C.A-B=[1,2)D.B-A=(5,10]6.(2020江苏南京六校5月联考,1)已知集合A={x|x2-2x<0},B={x|x<1},则A∪B=.考向二充分、必要、充要条件7.(2020浙江,6)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.(2020北京,9)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.(2020山东菏泽一模,3)2019年12月,湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例.2020年1月12日,世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”.2020年2月11日,世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎).新冠肺炎患者早期症状是发热、干咳、浑身乏力等外部表征.“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.(2020安徽合肥一中模拟,理2)已知命题p:(a-2)x2+2(a-2)x-2<0(a∈R)的解集为R,命题q:0<a<2,则p是q的()A.充分条件B.必要不充分条件C.充要条件D.充分不必要条件11.(多选)(2020南京秦淮中学期末)已知命题p:>1,则命题成立的一个必要不充分条件是()A.1<x<2B.-1<x<2C.-2<x<1D.-2<x<2考向三全称量词与存在量词12.(2020山东淄博一模,3)设m∈R,命题“存在m>0,使方程x2+x-m=0有实根”的否定是()A.任意m>0,使方程x2+x-m=0无实根B.任意m≤0,使方程x2+x-m=0有实根C.存在m>0,使方程x2+x-m=0无实根D.存在m≤0,使方程x2+x-m=0有实根13.(多选)(2020山东郓城一中期中,7)若命题“∃x0∈,使得2-λx0+1<0成立”是假命题,则实数λ的可能取值是()A. B.2 C.3 D.14.(2020山东青岛5月模拟,13)已知命题“∃x0∈R,-mx0+1<0”是假命题,则实数m的取值范围是.考向四逻辑推理判断题15.(2020山东潍坊二模,3)甲、乙、丙三人中,一人是律师,一个是医生,一人是记者.已知丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是()A.甲是律师,乙是医生,丙是记者B.甲是医生,乙是记者,丙是律师C.甲是医生,乙是律师,丙是记者D.甲是记者,乙是医生,丙是律师16.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛,决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”;乙说:“丁是第一名”;丙说:“乙是第一名”;丁说:“我不是第一名”.成绩公布后,发现这四位同学中只有一位说的是正确的.则获得第一名的同学为()A.甲B.乙C.丙D.丁17.(2020安徽马鞍山二模,16)根据疾病防控的需要,某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作,现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加.为确定最终驰援武汉的人选,医院领导组五位成员先各推荐两名人员,分别为“丁、戊”“丙、戊”“甲、乙”“乙、戊”“甲、丁”.根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选,其余四人推荐的人选中各有一人入选.根据以上信息判断,最后随省医疗队参加抗疫的两名医生分别是.1.1集合、常用逻辑用语、推理小题组合练考向训练·限时通关1.C解析(数形结合)由数轴可知所以A∪B={x|1≤x<4},故选C.2.C解析满足x,y∈N*,y≥x,且x+y=8的元素(x,y)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个,故A∩B中元素的个数为4.3.A解析∵A∪B={-1,0,1,2},∴∁U(A∪B)={-2,3}.故选A.4.D解析由U=R,N={x||x|≤1},可得∁U N={x|x<-1,或x>1},又因为M={x|-3<x<1},所以M∩∁U N={x|-3<x<-1}.故选D.5.BCD解析A={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3}={y|1≤y≤5},B={y|y=x2+1,1≤x≤3}={y|2≤y≤10},故A-B={y|y∈A,且y∉B}={y|1≤y<2},B-A={y|y∈B,且y∉A}={y|5<y≤10}.故选BCD.6.(-∞,2)解析∵集合A={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},B={x|x<1},∴A∪B={x|x<2}.7.B解析由条件可知,当m,n,l在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可能两条直线平行,或三条直线平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直线m,n,l两两相交时,如图,三个不同的交点确定一个平面,则m,n,l在同一平面内,所以“m,n,l 共面”是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.故选B.8.C解析当存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ时,若k为偶数,则sinα=sin(kπ+β)=sinβ;若k为奇数,则sinα=sin(kπ-β)=sin[(k-1)π+π-β]=sin(π-β)=sinβ.当sinα=sinβ时,α=β+2mπ或α+β=π+2mπ,m∈Z,即α=kπ+(-1)kβ(k=2m)或α=kπ+(-1)kβ(k=2m+1),亦即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ.所以“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的充要条件.故选C.9.A解析由题意得,表现为发热、干咳、浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒,而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热、干咳、浑身乏力等外部表征.因而“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的必要不充分条件.10.B解析(a-2)x2+2(a-2)x-2<0(a∈R)的解集为R,则或a=2,解得0<a≤2.所以命题p:0<a≤2.因为命题q:0<a<2,所以p是q的必要不充分条件.故选B.11.BD解析>1<0⇔(x-1)(x-2)<0⇔1<x<2.选项A中“1<x<2”为“1<x<2”的充要条件,选项B中“-1<x<2”为“1<x<2”的必要不充分条件,选项C中“-2<x<1”为“1<x<2”的既不充分也不必要条件,选项D中“-2<x<2”为“1<x<2”的必要不充分条件.故选BD.12.A解析由特称命题的否定是全称命题,知“存在m>0,使方程x2+x-m=0有实根”的否定是“任意m>0,使方程x2+x-m=0无实根”.故选A.13.AB解析由题意得,命题“∃x0,使得λ>2x0+成立”是假命题,则命题“∀x,λ≤2x+成立”是真命题,令f(x)=2x+,x,由对勾函数得,当x时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,∴当x=时,函数f(x)取最小值,即f(x)min=f=2,∴λ≤f(x)min=2,故实数λ的取值范围为(-∞,2].故选AB.14.[-2,2]解析因为命题“∃x0∈R,-mx0+1<0”是假命题,所以命题“∀x∈R,x2-mx+1≥0”是真命题,所以Δ=m2-4≥0,所以-2≤m≤2.15.C解析由甲的年龄和记者不同,记者的年龄比乙小,得到丙是记者,从而排除B 和D;由丙的年龄比医生大且比乙小,得到乙不是医生,从而乙是律师,甲是医生.故选C.16.A解析当甲获得第一名时,甲、乙、丙说的都是错的,丁说的是对的,符合条件;当乙获得第一名时,甲、丙、丁说的都是对的,乙说的是错的,不符合条件;当丙获得第一名时,甲和丁说的都是对的,乙、丙说的是错的,不符合条件;当丁获得第一名时,甲和乙说的都是对的,丙、丁说的是错的,不符合条件,故选A.17.乙、丁解析五位领导中有一人推荐的两人都没有入选,其余四人推荐的人选中各有一人入选.设“丁、戊”两人都没入选,那么不含丁、戊的人选组合中还剩“甲、乙”,这与其余四人推荐的人选中各有一人入选矛盾.设“丙、戊”两人都没入选,那么不含丙、戊的人选组合中还剩“甲、乙”和“甲、丁”,由题意这两个组合中各有一人入选,则为“乙、丁”,这符合题意,故答案为乙、丁.。
2021届高考数学(理 )复习双测卷第一单元 集合与常用逻辑用语(A卷 基础过关原卷版)
第一单元 集合与常用逻辑用语A 卷 基础过关检查一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·全国高一）已知集合，，若，则的取值集合为A ．B ．C ．D ．2．（2020·衡水市第十三中学高二月考）已知集合{|3}A x R y x =∈=-，2{|20}B x R x x =∈+-<，则AB =（ ）A ．{|13}x x <≤B ．{|213}x x x <-<<或C ．{|213}x x x <-<≤或D ．{|21}x x -<<3．（2020·全国高三）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2020·定远县育才学校高二月考）若:p “直线+b y x =与圆221x y +=相交”，:q “01b <<”；则p是q ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2020·全国高一）已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合B 中元素的个数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．76．（2020·黄冈市黄州区第一中学高二月考）若集合{}A x 1x 1=-<<，{}2B x log x 1=<，则A B ⋂=（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,2-D ．()0,27．（2020·辽宁省抚顺一中高三）已知集合{}2670A x x x =--<，{}B x x x ==-，则A B =（ ）A ．(]1,0-B ．(]7,0-C ．[)0,7D ．[)0,1 8．（2020·上海高三专题练习）设数列是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是数列为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．（2020·天津高三二模）设x ∈R ，则“31x <”是“1122x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2020·南昌市 八一中学高二期中）若数列{a n }为等比数列，则“a 2，a 4是方程x 2﹣3x +1＝0的两根”是“a 3＝±1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．（2020·浙江省诸暨中学高二期中）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B =（ ） A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2) C ．(–1，2)D ．∅12．（2020·全国高考真题）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6二、填空题：本大题共4小题，共20分。
高考真题与模拟训练 专题01 集合与常用逻辑用语(解析版)
专题1 集合与常用逻辑用语第一部分 真题分类一、单选题1．（2021·北京高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.2．（2021·北京高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B = （ ）A ．()1,2-B ．(1,2]-C ．[0,1)D ．[0,1]【答案】B【解析】由题意可得：{}|12A B x x =-<≤ ，即(]1,2A B =- .故选：B.3．（2021·浙江高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B = （ ）A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D【解析】由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤< .故选：D.4．（2021·浙江高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】若a c b c ⋅=⋅ ，则()0a b c -⋅=r r r，推不出a b = ；若a b= ，则a c b c ⋅=⋅ 必成立，故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件故选：B.5．（2021·全国高考真题（文））设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N = （ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【解析】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=，故选：B.6．（2021·全国高考真题（理））设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N = （ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【解析】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.7．（2021·全国高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．8．（2021·全国高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（）A ．∅B ．S C ．T D ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.9．（2021·全国高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A【解析】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．10．（2021·全国高考真题（文））已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()U M N ⋃=ð（ ）A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】A【解析】由题意可得：{}1,2,3,4M N =U ，则(){}5U M N = ð.故选：A.11．（2021·全国高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .12．（2020·全国高考真题（理））已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ⋃=ð（ ）A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【解析】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U 2,3A B =- ð.故选：A.13．（2020·天津高考真题）设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.14．（2020·北京高考真题）已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】(1)当存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)kk απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.15．（2020·浙江高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx ∈S ；下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素【答案】A【解析】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T = ，包含4个元素，排除选项 C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T = ，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T = ，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈，同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p pp p p ==，所以342p p =，故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==，又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p pp p p ==，所以441p p =，故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4iq p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确.故选：A .16．（2020·海南高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【解析】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U 故选：C17．（2020·全国高考真题（理））已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B 中元素的个数为4.故选：C.18．（2020·全国高考真题（理））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ）A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-.故选：B.二、填空题19．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.20．（2019·江苏高考真题）已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = _____.【答案】{1,6}.【解析】由题知，{1,6}A B = .三、解答题21．已知等差数列{}n a 的公差(]0,d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}|,n S x x b n N *==∈.（1）若120,3a d π==，求集合S ；（2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值.【答案】（1）S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭；（2）23d π=或d π=；（3）3,4,5,6T =【解析】（1）10a =，23d π= 223a π⇒=，343a π=，42a π=1sin 00b ∴==，22sin 32b π==，34sin 32b π==-，40b =由周期性可知，n b 以3为周期进行循环,0,22S ⎧⎪⇒=-⎨⎪⎪⎩⎭（2）1sin12b π==，2sin 2b d π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3sin 22b d π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ S 恰好有两个元素∴sinsin 222d ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或sin sin 222d d ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22d π=或2222d d πππ+++=d π⇒=或23d π=（3）由S 恰好有3个元素可知：3T ≥当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意； 当4T=时，4n n b b +=，()sin 4sin n na d a +=42n n a d a k π+=+或42n na d k a π+=-因为{}na为公差0d >的等差数列，故42nn ad a k π+=+ 2k d π⇒=又d π≤，故1,2k =当1k =时，如图取10a =，{}0,1,1S =-，符合条件当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin n na d a +=52n n a d a k π+=+或52n na d k a π+=-因为{}na为公差0d >的等差数列，故52n na d a k π+=+ 25k d π⇒=又d π≤，故1,2k =当1k =时，如图取110a π=，3sin,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，符合条件当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n na d a +=62n n a d a k π+=+或62n na d k a π+=-因为{}na为公差0d >的等差数列，故62n n a d a k π+=+ 3k d π⇒=又d π≤，故1,2,3k =当1k =时，如图取10a=时，22S =-⎨⎪⎪⎩⎭，符合条件当7T =时，7n n b b +=，()sin 7sin n na d a +=72n n a d a k π+=+或72n na d k a π+=-因为{}na为公差0d >的等差数列，故72n n a d a k π+=+ 27k d π⇒=又d π≤，故1,2,3k =当1k =时，因为127,,,b b b 对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2m n a a π-=，即()22,m n d d m nππ-==-，即22=7m n ππ-，7,7m n m -=>,不符合条件；当2k =时，因为127,,,b b b 对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2m n a a π-=，即()22,m n d d m n ππ-==-，即24=7m n ππ-，m n-不是整数，故不符合条件；当3k =时，因为127,,,b b b 对应3个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2m n a a π-=或4π若()22,m n d d m nππ-==-，即26=7m n ππ-，m n -不是整数，若()44,m n d d m nππ-==-，即46=7m n ππ-，m n -不是整数，故3k =不符合条件；综上：3,4,5,6T =22．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈= ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α= 和()12,,,n y y y β= ，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦ ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．【答案】(1)2,1;(2) 最大值为4;(3)【解析】（Ⅰ），．（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：、、、，相应的分别为、、、，所以中的每个元素应有奇数个，所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：、、、，、、、，对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数，所以集合、、、满足题意，假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，故中元素个数的最大值为．（Ⅲ），此时中有个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素，满足，则，中相同位置上的数字不能同时为，假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，所以除外至少有个元素含有，根据元素的互异性，至少存在一对，满足，此时不满足题意，故中最多有个元素.第二部分 模拟训练一、单选题1．设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈.给出如下三个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m -≤≤.其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】由定义设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，符合定义的参数m 的值一定大于等于1-，符合条件的l 的值一定大于等于0或小于等于1，对于①若1m =，21m S=∈，故必有21l l l ⎧≤⎨≥⎩，可得1l =，故{}1S =，故①正确；对于②若12m =-，214m S =∈，则214l l l ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解得114l ≤≤，故②正确；对于③若12l =，则221212mm m m ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎩，可解得02m -≤≤，故③正确.①②③都为真命题，所以正确命题的个数是3，故选：D2．已知直线l 是平面α和平面β的交线，异面直线a ，b 分别在平面α和平面β内.命题p ：直线a ，b 中至多有一条与直线l 相交；命题q ：直线a ，b 中至少有一条与直线l 相交；命题s ：直线a ，b 都不与直线l 相交.则下列命题中是真命题的为（ ）A ．()p q ∨⌝B ．()p s ⌝∧C ．()q s ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】C【解析】由题意直线l 是平面α和平面β的交线，异面直线a ，b 分别在平面α和平面β内，可知，命题p ：直线a ，b 可以都与直线l 相交，所以命题p 为假命题；命题q ：若直线a ，b 都不与直线l 相交，则直线a ，b 都平行于直线l ，那么直线a ，b 平行，与题意a ，b 为异面直线矛盾，所以命题q 为真命题；命题s ：直线a ，b 都不与直线l 相交，则直线a ，b 都平行于直线l ，那么直线a ，b 平行，与题意a ，b 为异面直线矛盾，所以命题s 为假命题；由复合命题真假可知，对于A ，p 为假命题，q ⌝为假命题，所以()p q ∨⌝为假命题，对于B ，p ⌝为真命题，s 为假命题，所以()p s ⌝∧为假命题，对于C ，q 为真命题，s ⌝为真命题，所以()q s ∧⌝为真命题，对于D ，p ⌝为真命题，q ⌝为假命题，所以()()p q ⌝∧⌝为假命题，综上可知，C 为真命题，故选：C.3．下列命题中，不是真命题的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题.B ．“1ab >”是“1a >且1b >”的必要条件.C ．命题“若29x =，则3x =”的否命题.D ．“1x >”是“11x<”的充分不必要条件.【答案】A【解析】命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题为：若a b <，则22am bm >,显然是错误的，当m=0时则不成立，故A是假命题.4．已知集合{}2320A x x x =-+≥，(){}321B x log x =+<,则A B ⋂=( )A ．{}21x x -<<B ．{}12x x x 或≤≥C ．{}1x x <D ．∅【答案】A 【解析】{}{}232012A x x x x x x 或，=-+≥=≤≥ (){}{}32121B x log x x x =+<=-<<，{}21.A B x x ∴⋂=-<<选A.5．下列命题中错误的是（ ）A ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题B ．命题“0000,ln 1x x x ∃>=-”的否定是“0000,ln 1x x x ∀>≠-”C ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题D ．已知00x >，则“00x x a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件【答案】C【解析】对于A ，若x=y ，则sinx=siny ，显然原命题正确，则逆否命题也为真命题．故A 正确；对于B ，命题“0000,ln 1x x x ∃>=-”的否定是“0000,ln 1x x x ∀>≠-”，故B 正确；对于C ，若p q ∨为真命题，则p q 与至少有一个是真命题，故p q ∧不一定为真命题，故C 错误；对于D ，充分性：当044b 2x a ==-=，，时，显然[]0,1不成立，即充分性不具备；必要性：因为00x >，[]0,1根据幂函数的单调性，显然00x x a b >，即必要性具备，故D 正确.故选C6．下列叙述中正确的是( )A ．若,,a b c ∈R ，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”B ．若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x ≥”D ．l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ【答案】D【解析】当0a <时，2"40"b ac -≤推不出2"0"ax bx c ++≥，A 错，当0b =时，""a c >推不出22""ab cb >，B 错，命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x <”，C 错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D 正确.7．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．(0,)x π∃∈，使得2sin 2sin x x+=成立．B ．命题p ：任意x ∈R ，都有cos 1≤x ，则p ⌝：存在0x R ∈，使得0cos 1x ≤．C ．命题“若2a >且2b >，则4a b +>且4ab >”的逆命题为真命题．D ．若数列{}n a 是等比数列，*,,m n p N ∈则2m n p a a a ⋅=是2m n p +=的必要不充分条件．【答案】D 【解析】由2sin 2sin x x+=，得2sin 2sin 20x x -+=，其判别式4880∆=-=-<，此方程无解，故A 选项错误.对于B 选项，全称命题的否定是特称命题，0cos 1x ≤应改为0cos 1x >，故B 选项错误.对于C 选项，原命题的逆命题是“若4a b +>且4ab >，则2a >且2b >”，如1,5a b ==，满足4a b +>且4ab >但不满足2a >且2b >，所以为假命题.对于D 选项，若1n a =，为等比数列，2123a a a ⋅=，但1223+≠⨯；另一方面，根据等比数列的性质，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=.所以2m n p a a a ⋅=是2m n p +=的必要不充分条件.故选D.。
2021新高考数学二轮总复习学案：1.1 集合、常用逻辑用语、推理小题组合练含解析
专题一常考小题点1.1集合、常用逻辑用语、推理小题组合练必备知识精要梳理1.A∪B={x|x∈A或x∈B};A∩B={x|x∈A,且x∈B};∁U A={x|x∈U,且x∉A};A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.2.含有n个元素的集合,其子集、真子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-2.3.若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇔q,则p是q的充要条件.4.充要条件的三种判断方法:(1)定义法,(2)集合法,(3)等价转化法.5.“∀x∈M,p(x)”的否定为“∃x0∈M, p(x0)”;“∃x0∈M,p(x0)”的否定为“∀x∈M, p(x)”.考向训练限时通关考向一集合的概念及运算1.(2020山东,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}2.(2020全国Ⅲ,理1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.63.(2020全国Ⅱ,理1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)=()A.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}4.(2020山东泰安一模,1)已知全集U=R,集合M={x|-3<x<1},N={x||x|≤1},则阴影部分表示的集合是()A.[-1,1]B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-1,+∞)D.(-3,-1)5.(多选)(2020福建双十中学期中,1)集合A,B是实数集R的子集,定义A-B={x|x∈A,且x∉B},若集合A={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3},B={y|y=x2+1,1≤x≤3},则以下说法正确的是()A.A=[-1,5]B.B=[2,10]C.A-B=[1,2)D.B-A=(5,10]6.(2020江苏南京六校5月联考,1)已知集合A={x|x2-2x<0},B={x|x<1},则A∪B=.考向二充分、必要、充要条件7.(2020浙江,6)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.(2020北京,9)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.(2020山东菏泽一模,3)2019年12月,湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例.2020年1月12日,世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”.2020年2月11日,世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎).新冠肺炎患者早期症状是发热、干咳、浑身乏力等外部表征.“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.(2020安徽合肥一中模拟,理2)已知命题p:(a-2)x2+2(a-2)x-2<0(a∈R)的解集为R,命题q:0<a<2,则p是q的()A.充分条件B.必要不充分条件C.充要条件D.充分不必要条件11.(多选)(2020南京秦淮中学期末)已知命题p:>1,则命题成立的一个必要不充分条件是()A.1<x<2B.-1<x<2C.-2<x<1D.-2<x<2考向三全称量词与存在量词12.(2020山东淄博一模,3)设m∈R,命题“存在m>0,使方程x2+x-m=0有实根”的否定是()A.任意m>0,使方程x2+x-m=0无实根B.任意m≤0,使方程x2+x-m=0有实根C.存在m>0,使方程x2+x-m=0无实根D.存在m≤0,使方程x2+x-m=0有实根13.(多选)(2020山东郓城一中期中,7)若命题“∃x0∈,使得2-λx0+1<0成立”是假命题,则实数λ的可能取值是()A. B.2 C.3 D.14.(2020山东青岛5月模拟,13)已知命题“∃x0∈R,-mx0+1<0”是假命题,则实数m的取值范围是.考向四逻辑推理判断题15.(2020山东潍坊二模,3)甲、乙、丙三人中,一人是律师,一个是医生,一人是记者.已知丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是()A.甲是律师,乙是医生,丙是记者B.甲是医生,乙是记者,丙是律师C.甲是医生,乙是律师,丙是记者D.甲是记者,乙是医生,丙是律师16.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛,决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”;乙说:“丁是第一名”;丙说:“乙是第一名”;丁说:“我不是第一名”.成绩公布后,发现这四位同学中只有一位说的是正确的.则获得第一名的同学为()A.甲B.乙C.丙D.丁17.(2020安徽马鞍山二模,16)根据疾病防控的需要,某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作,现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加.为确定最终驰援武汉的人选,医院领导组五位成员先各推荐两名人员,分别为“丁、戊”“丙、戊”“甲、乙”“乙、戊”“甲、丁”.根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选,其余四人推荐的人选中各有一人入选.根据以上信息判断,最后随省医疗队参加抗疫的两名医生分别是.1.1集合、常用逻辑用语、推理小题组合练考向训练·限时通关1.C解析(数形结合)由数轴可知所以A∪B={x|1≤x<4},故选C.2.C解析满足x,y∈N*,y≥x,且x+y=8的元素(x,y)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个,故A∩B中元素的个数为4.3.A解析∵A∪B={-1,0,1,2},∴∁U(A∪B)={-2,3}.故选A.4.D解析由U=R,N={x||x|≤1},可得∁U N={x|x<-1,或x>1},又因为M={x|-3<x<1},所以M∩∁U N={x|-3<x<-1}.故选D.5.BCD解析A={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3}={y|1≤y≤5},B={y|y=x2+1,1≤x≤3}={y|2≤y≤10},故A-B={y|y∈A,且y∉B}={y|1≤y<2},B-A={y|y∈B,且y∉A}={y|5<y≤10}.故选BCD.6.(-∞,2)解析∵集合A={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},B={x|x<1},∴A∪B={x|x<2}.7.B解析由条件可知,当m,n,l在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可能两条直线平行,或三条直线平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直线m,n,l两两相交时,如图,三个不同的交点确定一个平面,则m,n,l在同一平面内,所以“m,n,l 共面”是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.故选B.8.C解析当存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ时,若k为偶数,则sinα=sin(kπ+β)=sinβ;若k为奇数,则sinα=sin(kπ-β)=sin[(k-1)π+π-β]=sin(π-β)=sinβ.当sinα=sinβ时,α=β+2mπ或α+β=π+2mπ,m∈Z,即α=kπ+(-1)kβ(k=2m)或α=kπ+(-1)kβ(k=2m+1),亦即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ.所以“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的充要条件.故选C.9.A解析由题意得,表现为发热、干咳、浑身乏力者不一定是感染新型冠状病毒,而新型冠状病毒感染者早期症状表现为发热、干咳、浑身乏力等外部表征.因而“某人表现为发热、干咳、浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的必要不充分条件.10.B解析(a-2)x2+2(a-2)x-2<0(a∈R)的解集为R,则或a=2,解得0<a≤2.所以命题p:0<a≤2.因为命题q:0<a<2,所以p是q的必要不充分条件.故选B.11.BD解析>1<0⇔(x-1)(x-2)<0⇔1<x<2.选项A中“1<x<2”为“1<x<2”的充要条件,选项B中“-1<x<2”为“1<x<2”的必要不充分条件,选项C中“-2<x<1”为“1<x<2”的既不充分也不必要条件,选项D中“-2<x<2”为“1<x<2”的必要不充分条件.故选BD.12.A解析由特称命题的否定是全称命题,知“存在m>0,使方程x2+x-m=0有实根”的否定是“任意m>0,使方程x2+x-m=0无实根”.故选A.13.AB解析由题意得,命题“∃x0,使得λ>2x0+成立”是假命题,则命题“∀x,λ≤2x+成立”是真命题,令f(x)=2x+,x,由对勾函数得,当x时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,∴当x=时,函数f(x)取最小值,即f(x)min=f=2,∴λ≤f(x)min=2,故实数λ的取值范围为(-∞,2].故选AB.14.[-2,2]解析因为命题“∃x0∈R,-mx0+1<0”是假命题,所以命题“∀x∈R,x2-mx+1≥0”是真命题,所以Δ=m2-4≥0,所以-2≤m≤2.15.C解析由甲的年龄和记者不同,记者的年龄比乙小,得到丙是记者,从而排除B 和D;由丙的年龄比医生大且比乙小,得到乙不是医生,从而乙是律师,甲是医生.故选C.16.A解析当甲获得第一名时,甲、乙、丙说的都是错的,丁说的是对的,符合条件;当乙获得第一名时,甲、丙、丁说的都是对的,乙说的是错的,不符合条件;当丙获得第一名时,甲和丁说的都是对的,乙、丙说的是错的,不符合条件;当丁获得第一名时,甲和乙说的都是对的,丙、丁说的是错的,不符合条件,故选A.17.乙、丁解析五位领导中有一人推荐的两人都没有入选,其余四人推荐的人选中各有一人入选.设“丁、戊”两人都没入选,那么不含丁、戊的人选组合中还剩“甲、乙”,这与其余四人推荐的人选中各有一人入选矛盾.设“丙、戊”两人都没入选,那么不含丙、戊的人选组合中还剩“甲、乙”和“甲、丁”,由题意这两个组合中各有一人入选,则为“乙、丁”,这符合题意,故答案为乙、丁.。
高考数学(理)二轮复习第一章 集合与常用逻辑用语(A卷)
高考二轮复习数学（理）第一章集合与常用逻辑用语 A 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x ∈R ，则“22103x x -+<”是“|1|1x -<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知{(,)|(1)(1)}A x y x x y y =-≤-，22{(,)|}B x y x y a =+≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．B ．1[,)2+∞C ．[2,)+∞D ．,)2+∞ 3．已知奇函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，且()11f =-，则“1x >-”是“()1xf x <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件.4．设集合{}1A x R x a =∈-<，{}2B x R x b =∈->，若A B ⋂≠∅，则实数a ，b 必满足（） A ．1a b -<B ．1a b ->C ．1a b -≥D ．1a b -≤5．设全集U =R ，{A x y ==，{}2,x B y y x R ==∈，则()R A B =（）A ．{}0x x <B ．{}01x x <≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x >6.设全集,U =R 且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()UA B ⋂=（）A.[1,4)-B.(2,3)C.](2,3D.(-1,4)7.下列命题是假命题的是（）A.000sin cos x R x x ∃∈-=，B.00cos 1x R x ∃∈≥，C.()01ln x x x ∀∈+∞-≥，， D.(0)tan 2x x x π∀∈>，，8.下列说法正确的是（） A.若a b >，则22a b >B.命题“每一个素数都是奇数”的否定是“每一个素数都不是奇数”C.若命题p ：对角线相等的四边形是矩形，则p ⌝：对角线不相等的四边形不是矩形D.若p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件9.设x 、y R ∈，条件甲：221259x y +≤，条件乙：53x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则条件甲是条件乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =RA.{}01x x <≤B.{}01x x <<C.{}12x x ≤<D.{}02x x <<11.已知集合{}21M xx =≤∣，{}21xN x -=>∣，则MN =（）A.∅B.{10}x x -≤<∣C.{10}x x -≤≤∣D.{11}xx -≤≤∣12.已知集合|M x ⎧⎪=≤⎨⎪⎪⎩⎭，{|N x y ==，那么MN =（）A.{|21}x x -≤<B.{}2|1x x -≤≤C.{|2}x x <-D.{}2|x x ≤二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022年高考数学二轮复习专题检测一集合与常用逻辑用语理
2021年高考数学二轮复习专题检测一集合与常用逻辑用语理一、选择题1．(xx·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)·(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．2．(xx·成都一诊)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >bD ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．3．(xx·广西三市第一次联考)设集合A ＝{x |8＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，则A ∩B 等于( )A ．{－1,1}B ．{－1,3}C ．{1,3}D ．{3,1，－1}解析：选C ∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{1,3,5，…}， ∴A ∩B ＝{1,3}．4．(xx·郑州第二次质量预测)已知集合A ＝{x |log 2x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x>1，则A ∩(∁RB )＝( )A ．(－∞，2]B ．(0,1]C ．[1,2]D ．(2，＋∞)解析：选C 因为A ＝{x |0<x ≤2}，B ＝{x |0<x <1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |0<x ≤2}∩{x |x ≤0或x ≥1}＝{x |1≤x ≤2}．5．(xx·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．6．(xx 届高三·湘中名校联考)已知集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z}，则A ∩B 等于( )A ．{2}B ．{2,8}C ．{4,10}D ．{2,4,8,10}解析：选B 因为集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}＝{x |－1＜x ＜12}，集合B 为被6整除余数为2的数．又集合A 中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A ∩B ＝{2,8}．7．(xx·石家庄调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)<0}，则( )A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝UC ．∁U B ⊆AD ．∁U A ⊆B解析：选A 由(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1，所以B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝∅，A ∪B ＝{x |x >－2}，∁U B ＝{x |x ≥1或x ≤－2}，A ⊆∁U B ，∁U A ＝{x |x <1}，B ⊆∁U A ，故选A.8．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．28D ．25解析：选A 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15. 9．(xx·郑州第一次质量预测)已知命题p ：1a >14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 命题p 等价于0<a <4.命题q ，对∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，必有a ＝0或⎩⎨⎧a >0，a 2－4a <0，则0≤a <4，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件．10．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )>0解析：选C 因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，所以p 是真命题．而p 的否定为∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0，故选C.11．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(1,2]D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)解析：选C 由题意可得，对命题p ，令f (0)·f (1)<0，即－1·(2a －2)<0，得a >1；对命题q ，令2－a <0，即a >2，则綈q 对应的a 的范围是(－∞，2]．因为p 且綈q 为真命题，所以实数a 的取值范围是(1,2]．12．在下列结论中，正确的个数是( )①命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－2≥0”的否定形式为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→，则O 是△ABC 的垂心；③“M >N ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N ”的充分不必要条件；④命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确． ∵OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→，∴OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝0，即OB ―→·CA ―→＝0， ∴OB ―→⊥CA ―→.同理可知OA ―→⊥BC ―→，OC ―→⊥BA ―→，故点O 是△ABC 的垂心，∴②正确．∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 是减函数，∴当M >N 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫23M <⎝ ⎛⎭⎪⎫23N ，当⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N 时，M <N .∴“M >N ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N ”的既不充分也不必要条件，∴③错误．由逆否命题的写法可知，④正确． ∴正确的结论有3个．二、填空题13．设命题p：∀a>0，a≠1，函数f(x)＝a x－x－a有零点，则綈p：________________________.解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a x0－x－a0没有零点．答案：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a x0－x－a0没有零点14．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合M＝错误!，P＝{(x，y)|y≠x＋1}，则∁U(M∪P)＝________.解析：集合M＝{(x，y)|y＝x＋1，且x≠2，y≠3}，所以M∪P＝{(x，y)|x∈R，y∈R，且x≠2，y≠3}．则∁U(M∪P)＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}15．已知命题p：不等式xx－1＜0的解集为{x|0＜x＜1}；命题q：在△ABC中，“A ＞B”是“sin A＞sin B”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p真q假；②“p ∧q”为真；③“p∨q”为真；④p假q真，其中正确结论的序号是________．解析：解不等式知，命题p是真命题，在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件，所以命题q是假命题，所以①③正确．答案：①③16．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c不是年龄最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄由小到大依次是________．解析：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．由命题A可知，当b不是最大时，则a是最小，所以c最大，即c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“若a的年龄不是最小，则b的年龄是最大”为真，即b>a>c.同理，由命题B为真可得a>c>b或b>a>c.故由A与B均为真可知b>a>c，所以a，b，c三人的年龄大小顺序是：b最大，a 次之，c最小．答案：c，a，b。
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2021年全国卷高考数学（理）二轮复习测试
1.1集合与常用逻辑用语
建议用时：45分钟姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．定义集合运算:{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合
A B *的所有元素之和为（ ）
A ．0
B ．2
C ．3
D ．6
2．若实数a ，b 满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a 与b 互补，记φ（a ，b ）=﹣
a ﹣
b 那么φ（a ，b ）=0是a 与b 互补的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要的条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 A ．()p q ⌝∨
B ．p q ∧
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()()p q ⌝∨⌝
4．设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C ⋃⋂=
A ．{1,1}-
B ．{0,1}
C ．{1,0,1}-
D ．{2,3,4}
5．已知集合{
}
2
20A x x x =-->，则
A =R
A ．{}12x x -<<
B ．{}
12x x -≤≤
C ．}{
}
{
|12x x x x <-⋃
D ．}{}{
|1|2x x x x ≤-⋃≥
6．“1x >”是“12
log (2)0x +<”的 （ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不
必要条件
7．已知是虚数单位，,则“
”是“
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．已知集合{
}
22
(,)1A x y x y =+=，{}
(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为
（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
10．若集合{
}234
,,,A i i i i = （i 是虚数单位）
，{}1,1B =- ，则A B 等于 （
） A ．{}1- B ．{}1
C ．{}1,1-
D ．φ
二、填空题
11．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ⊥（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
12．已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A B ⋂=________．
13．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ⊥R ，都有a +b 、a -b ，ab 、a
b
⊥P （除数b ≠0），则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集
{}
,F a a b Q =+∈也是数域.有下列命题：
⊥整数集是数域； ⊥若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域； ⊥数域必为无限集； ⊥存在无穷多个数域．
其中正确的命题的序号是_________．（把你认为正确的命题的序号填填上） 14．已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}3,4,5B =，则A
B =_______.
15．设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}|23x x B =≤≤，则U A
C B =_________．
三、解答题
16．设函数()211f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，
()4g x ≤的解集为N.
（1）求M ；
（2）当x M N ∈⋂时，证明：2
2
1
()[()]4
x f x x f x +≤
. 17．设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中
{},1,2,3,,,a b n a b ∈>
（1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ； （2）记n B 为满足1()3
a b -是整数的点P 的个数，求n B。