误差分布与精度指标
误差分布与精度指标
误差分布与精度指标引言：在数据分析和机器学习中，误差（error）是常见的概念。
误差分布是指一个或多个误差值在一定范围内的分布情况，精度指标则是用来衡量机器学习模型或数据分析结果的准确性和精确性的度量。
正确理解和评估误差分布和精度指标对于数据科学的实践和决策具有重要的意义。
一、误差分布误差分布是指在数据分析或机器学习过程中，模型预测值与真实值之间的差距的分布情况。
具体来说，误差可以表示为预测值减去真实值的差异。
常见的误差分布包括正态分布、均匀分布等。
误差分布的形状和特点直接影响了模型的性能和结果的可靠性。
对于机器学习模型来说，误差分布的形状决定了模型的偏差和方差。
偏差表示模型的平均预测值距离真实值的偏离程度，方差表示模型的预测值在不同训练集上的波动性。
在理想情况下，我们希望模型的误差分布是零均值和方差较小的正态分布，即偏差较小且稳定可靠。
误差分布的形状还与模型的表达能力和特征工程密切相关。
模型表达能力越高，误差分布越可能逼近理想的正态分布。
同时，好的特征工程可以使估计误差分布更接近真实的数据分布，从而提高模型的准确性和稳定性。
二、精度指标精度指标是用来衡量机器学习模型或数据分析结果的准确性和精确性的度量。
不同的任务和场景会有不同的精度指标。
1.分类问题的精度指标对于分类问题，常用的精度指标包括准确率（accuracy）、精确率（precision）、召回率（recall）和F1-score等。
-准确率是指分类正确的样本数占总样本数的比例，可以直观地衡量分类模型的准确性。
-精确率是指模型预测为正类的样本中实际为正类的比例，用于评估模型预测的精确性。
-召回率是指实际为正类的样本中，模型预测为正类的比例，用于评估模型的查全率。
- F1-score是精确率和召回率的调和平均值，综合考虑了精确性和查全率。
这些指标可以帮助我们了解模型的分类能力，并可以根据实际需求进行选择和调整。
2.回归问题的精度指标对于回归问题，常用的精度指标包括均方误差（Mean Squared Error，MSE）、均方根误差（Root Mean Squared Error，RMSE）、平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）等。
第二章 误差分布与精度指标
DXX E X E( X )X E( X )
T
§2.1
正态分布
正态分布曲线的性质:
1、曲线关于 x=u 对称； 成反比； 2、当x=u时，f(x)具有最大值，且与 3、当X离 u越远，f(x)的值越小； 4、曲线x=u± 处有拐点； 5、 越小，曲线顶点越高，曲线形状越陡峭
§2.4 方差—协方差阵
三、互协方差阵：
Y X 观测值向量 n 关于 的互协方差阵： 1 n1
nm
DXY E X E ( X )Y E (Y ) E X Y
T
T
x1 y 2 x2 y2 xn y 2 x1 y m x2 y m xn ym
逆矩阵的性质:
(1)( AB) B A (2)( A ) A 1 T 1 1 T (3)( I ) I (4)( A ) ( A ) (5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。 (6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
1 1 1
1 1
A (diag (a11, a22 , ann )) 1 1 1 diag ( , ) a11 a22 ann
x2
xn
§2.4 方差—协方差阵
观测值向量 X的自协方差阵DXX：
n1
DXX特点： 对称可逆方阵 主对角线上元素为 对应观测值的方差; 非主对角线上元素 为对应两个观测值 的协方差
E (2x1 ) E ( x1 x2 ) E (2x2 ) E ( x2 x1 ) E ( x x ) E ( x x ) n 1 n 2
数据的误差与精度分析
数据的误差与精度分析数据的准确性对于各行各业都是至关重要的。
在科学研究、工程设计、经济分析等领域，我们需要确保所采集和使用的数据具有高度的精确性和可靠性。
然而，由于各种因素的影响，数据往往会存在一定的误差。
因此，对数据的误差和精度进行分析和评估就变得尤为重要。
一、数据的误差来源数据的误差来源主要包括系统误差和随机误差。
系统误差是由于系统的固有缺陷或不完善而引起的，例如仪器的漂移、环境的影响、操作者的技术水平等。
随机误差则是由一系列不可控因素引起的，例如测量仪器的精度限制、测量结果的波动等。
二、误差的分类与描述误差可以根据其产生的原因和性质进行分类。
常见的误差分类包括绝对误差、相对误差和百分比误差。
绝对误差是指测量结果与真实值之间的差别，用来描述测量结果的准确度。
相对误差是指绝对误差与真实值之比，可以反映测量结果的精度。
百分比误差是指相对误差乘以100%得到的值，常用于表示误差的百分比。
三、误差分析方法误差分析是对数据误差和精度进行评估和分析的过程。
常用的误差分析方法包括：1. 误差传递分析：通过分析每个测量步骤中的误差来源和传递关系，确定整个测量过程中的误差产生机制，并计算其累积误差。
这种方法适用于复杂的测量系统和多步骤的测量过程。
2. 统计分析：通过对多次重复测量数据的统计处理，得到数据的平均值、标准差和置信区间等指标，从而评估测量数据的精度和可靠性。
统计分析方法可以有效地抑制随机误差对测量结果的影响。
3. 标准曲线法：通过制备一系列已知浓度的标准溶液，测量其吸光度或其他性质，构建标准曲线，从而通过测量样品的吸光度或其他性质，确定其浓度。
这种方法适用于分析化学和生物化学等领域。
四、提高数据精度的方法为了提高数据的精度，我们可以采取以下措施：1. 使用优质仪器和设备：选择具有较高精度和准确度的仪器设备，减小系统误差的影响。
2. 校正和校准：定期进行仪器的校正和校准，确保其工作状态良好，并减小测量结果的偏差。
第二章误差分布与精度指标
第二章误差分布与精度指标在机器学习中，通过建立模型来预测目标变量或进行分类的过程中，会产生误差。
误差分布是指在不同的预测结果中，误差值的分布情况。
误差分布的分析和评估对于理解模型的表现和改进模型的精度都至关重要。
因此，本章将介绍误差分布的基本概念和精度指标的计算方法。
1.误差分布的基本概念在机器学习中，误差是指模型预测结果与真实值之间的差异。
具体来说，误差可以用公式表示为e = y - y_hat，其中e表示误差，y表示真实值，y_hat表示模型的预测值。
误差分布是指在一组预测结果中，误差值的分布情况。
通常来说，我们可以通过观察误差分布来判断模型的表现是否良好，以及可能存在的问题。
例如，如果误差分布呈现正态分布，则说明模型的预测结果与真实值的差别符合正态分布的规律，这可能意味着模型的表现较好；如果误差分布呈现偏态分布，则说明模型的预测结果在一些方向上存在较大的偏差，这可能意味着模型存在一定的问题。
2.精度指标的计算方法为了评估模型的表现和对比不同模型之间的优劣，我们需要引入一些精度指标。
下面介绍几个常用的精度指标及其计算方法：- 平均绝对误差（MAE）是最简单和最直观的误差度量方法。
它表示了预测结果与真实值之间的平均差异，计算公式为： MAE = 平均(，y - y_hat，)。
对于MAE来说，数值越小表示模型的表现越好。
- 均方误差（MSE）是一个比较常用的精度指标。
它表示了预测结果与真实值之间的均方差，即差异的平方的平均值，计算公式为：MSE = 平均((y - y_hat)^2)。
对于MSE来说，数值越小表示模型的表现越好。
- 均方根误差（RMSE）是MSE的平方根，计算公式为：RMSE =sqrt(MSE)。
与MSE类似，RMSE的数值越小表示模型的表现越好。
-决定系数（R^2）是用来描述模型对样本数据的解释能力的指标，计算公式为：R^2=1-(SSR/SST)，其中SSR代表回归平方和，SST代表总平方和。
衡量精度的标准
1 20000
谢谢观看
次序
1 2 3 4
第一组观测
观测值l
Δ
Δ2
180°00ˊ03"
-3
9
180°00ˊ02"
-2
4
179°59ˊ58"
+2
4
179°59ˊ56"
+4
16
5
180°00ˊ01"
-1
1
6
180°00ˊ00"
0
0
7
180°00ˊ04"
-4
16
8
179°59ˊ57"
+3
9
9
179°59ˊ58"
+2
4
10
180°00ˊ03"
4
180 00 00
5
179 59 56
+4
5
180 00 01
6
179 59 57
+3
6
179 59 53
7
180 00 02
-2
7
179 59 59
8
180 00 01
-1
8
180 00 00
9
179 59 58
+2
9
180 00 03
10
180 00 04
-4
10
180 00 01
真误差Δ ″
m1 m2 ，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
中误差
练习：按观测值的真误差计算中误差
次序
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 Σ||
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
测绘技术中的误差分析与精度评定
测绘技术中的误差分析与精度评定导语：测绘技术是现代社会不可或缺的一项重要技术，它在国土规划、城市建设、交通运输等方面起着至关重要的作用。
然而，在测绘过程中会不可避免地产生一定的误差，这就需要进行误差分析和精度评定，以保证测绘结果的准确性和可靠性。
一、误差类型及产生原因测绘过程中的误差可分为系统误差和随机误差两种类型。
系统误差是指由某种规律或偏差引起的误差，例如仪器偏差、人为因素等；而随机误差则是不规律的、偶然的误差，如环境因素、测量操作等。
1.1 仪器误差测绘中使用的仪器往往会存在一些误差，如精度不高、零点漂移等问题。
这些误差会直接影响到测绘结果的准确性。
1.2 人为误差人为因素是测绘误差的主要原因之一。
例如测量员的操作不严谨、不规范，或者受到主观因素的影响导致的误差等。
1.3 环境误差环境因素对测绘误差的影响也不能忽视。
例如天气、地形、地貌等因素都可能对测绘结果产生一定的影响。
二、误差分析方法误差分析是指通过一系列的方法和技术手段，对测绘中产生的误差进行分析和判断，找出误差的规律和影响因素，为进一步的精度评定提供依据。
2.1 内容分析法内容分析法是一种定性的误差分析方法，主要通过对测绘数据的比对和研究，找出与真实情况不符的地方，并分析产生这些误差的原因。
2.2 数理统计法数理统计法是一种定量的误差分析方法，通过对测绘数据进行统计和分析，可以得出误差的一些基本指标，如平均误差、标准差等，更为客观地评估测绘结果的准确性。
2.3 数学建模法数学建模法是一种较为复杂的误差分析方法，通过建立误差模型，将各种误差因素纳入考虑，进而对误差进行分析和预测。
三、精度评定标准精度评定是指对测绘结果进行准确性的评定，以确定测绘数据是否符合要求。
根据测绘的具体应用领域和要求，确定相应的精度评定标准非常重要。
3.1 绝对精度评定绝对精度评定是指将测绘结果与已知准确数据进行比对，计算出其误差范围，评估其准确性。
3.2 相对精度评定相对精度评定是指对测绘成果内部的误差进行评估，即在同一测区内，通过比对不同测量点之间的误差，来评定测绘的相对精度。
测量误差分析与精度评定中的最小二乘法原理与应用
测量误差分析与精度评定中的最小二乘法原理与应用引言：在科学研究和工程实践中，准确测量和评定误差的大小是至关重要的。
而最小二乘法则是一种常用的数据处理方法，用于识别和分析测量误差，并对测量精度进行评定。
本文将介绍最小二乘法的原理和应用，以期帮助读者更好地理解和运用该方法。
一、最小二乘法原理最小二乘法是一种通过最小化测量残差平方和来确定最优拟合曲线或其他模型参数的方法。
其基本原理是找到一组参数，使得模型预测值与实际观测值之间的误差平方和最小化。
这样做的目的是尽量减小误差的影响，提高测量结果的精度。
二、最小二乘法应用最小二乘法广泛应用于各种领域，例如物理学、工程学、经济学等。
以下是几个常见的应用案例：1. 直线拟合最小二乘法可以用于拟合一条直线，以确定直线的斜率和截距。
通过将观测点到拟合直线的垂直距离的平方和最小化，可以获得最佳拟合直线。
2. 曲线拟合最小二乘法也可以用于拟合曲线，以确定曲线的方程和参数。
通过最小化观测点到拟合曲线的垂直距离的平方和，可以找到最佳拟合曲线。
3. 数据平滑有时，测量数据中包含一些噪声或随机误差，这可能会影响对数据的分析。
最小二乘法可以用于数据平滑，通过拟合一个平滑曲线来消除噪声或误差的影响，从而得到更可靠的结果。
4. 变量选择在一些实验设计和数据分析中，为了简化模型和减少计算量，需要选择最为重要的变量。
最小二乘法可以通过评估变量的贡献程度来选择最相关的变量，从而建立一个更简化的模型。
三、最小二乘法误差分析最小二乘法不仅可以用于拟合和参数估计，还可以用于误差分析。
通过对残差进行统计分析，可以获得有关测量误差的重要信息。
以下是几种常见的误差分析方法：1. 观测误差分布分析最小二乘法可以通过统计方法来分析观测误差的分布特性，比如均值、方差等。
这有助于确定测量误差的大小和分布情况。
2. 置信区间估计最小二乘法可以根据残差的分布情况，进一步估计参数的置信区间。
这有助于评估参数估计的精度和可靠性。
测量平差知识大全
➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
测量平差知识大全
➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
测绘技术中的误差理论与精度评定
测绘技术中的误差理论与精度评定导言：测绘技术在现代社会中拥有广泛的应用，它不仅用于地图制作、土地测量等领域，还用于构建数字地球、导航系统以及智慧城市等方面。
然而，测绘数据的准确性和精度一直是测绘科学研究的重要问题之一。
误差理论与精度评定是解决这些问题的重要理论基础和方法。
一、误差理论1.1 测量误差的概念在测绘过程中，由于仪器、环境以及操作人员等原因，所得数据很难完全准确。
这种准确度不可避免的影响称为测量误差。
测量误差可以分为系统误差和随机误差两类。
1.2 系统误差系统误差是指在一系列测量中，由于仪器或环境等原因所导致的测量结果偏离真实值的一种可预见的偏差。
通常情况下，可以通过仪器校准、环境调整等手段来减小或消除系统误差。
1.3 随机误差随机误差是指在一系列测量中，由于测量的无规律性因素所导致的结果波动。
这种误差通常是不可避免的，并且可以通过多次重复测量来求得误差的分布规律。
二、测量精度评定2.1 精度和精度指标精度是指测量结果与真实值之间的接近程度。
在测绘中，精度是评价测量结果质量的重要指标。
通常情况下，精度可以通过准确性、精确性和可靠性等方面进行评估。
2.2 准确性评定方法准确性是指测量结果与真实值之间的差异。
为了评价准确性，需要进行误差检测和精度评定。
其中，误差检测可以利用重复测量、对比测量以及辅助测量等方式来进行。
而精度评定则需要利用误差理论与统计学原理进行分析和计算。
2.3 精确性评定方法精确性是指测量结果的稳定程度和一致性。
为了评定精确性，需要进行多次重复测量，并计算其测量结果的均值、方差以及标准差等统计数据。
通过统计分析，可以评估测量数据的分布特征以及稳定性程度。
2.4 可靠性评定方法可靠性是指测量结果的可信程度和可重复性。
为了评定可靠性，需要进行不同人员、仪器和环境等条件下的测量实验，并对测量结果进行对比分析。
通过比较不同实验组的测量结果，可以评估可靠性的高低。
三、误差理论在测绘技术中的应用3.1 测绘数据的处理与解算误差理论为测绘数据的处理和解算提供了重要的方法与技术支持。
测量误差及性能指标
测量误差及性能指标一、测量误差测量值-真实值=误差真实值用标准值、理论值代替，可以用精度高的仪表指示值代替。
误差分类：根据误差本身的性质可分为：系统误差、随机误差、疏忽误差。
1、系统误差定义：仪表零点、灵敏度漂移，使用不当，外界条件变化均可能导致系统误差。
系统误差表现为测量结果整体偏离真实值或呈现有规律的变化。
消除系统误差的方法是找出产生此种误差的原因，对结果引入修正值来加以消除。
事例∶如仪器零点误差，温度、电磁场等环境引起的误差，动力源引起的误差。
解决办法∶单纯增加测量次数，无法减少系统误差对测量的影响、但在找出产生误差的原因之后，可以通过对测量结果引入适当的修正而消除之。
2、随机误差定义;随机误差指在已经消除系统误差之后，在相同的条件下测量同一量时，出现的这种误差值以不可预计的方式变化的误差。
形成原因∶随机误差是出于那些对测量结果影响较小、我们尚未认识或无法控制的因素（如电子噪声干扰等）造成的。
在多次重复测量同一量时，其误差值总体上服从统计规律（如正态分布）。
解决办法∶从随机误差的统计规律分布特征，可对其示值大小和可靠性做出评价，并可通过适当增加测量次数求平均值的方法，减少随机误差对测量结果的影响。
3、疏忽误差定义∶疏忽误差是指一种显然与事实不符的误差，其误差值较大且违反常规。
形成原因∶疏忽误差一般是由于操作人员在操作、读数或记录数据时粗心大意造成的。
测量条件的突然改变或外界重大干扰也会造成疏忽误差。
解决办法∶对于这类误差一旦发现，应及时纠正。
二、仪表性能指标（一）绝对误差、相对误差1、绝对误差：a＝X－X0X：测量值X0：真实值（标准值）2、对于绝对误差，应注意下面几个特点∶绝对误差是有单位的量，其单位与测定值和实际值相同。
绝对误差是有符号的量，其符号表示出测定值与实际值的大小关系。
测定值与被测量实际值之间的偏离程度和方向通过绝对误差来体现。
举例：量程不同的两支温度计测同一点温度，与真实值均只差1℃，哪一个准确？绝对误差均为1℃，无法表示仪表（温度计）的性能优劣。
5.1测量误差及衡量精度的指标
（1）测量误差概述测量工作中，尽管观测者按照规定的操作要求认真进行观测，但在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论值之间仍存在差异。
例如，对某一三角形的三个内角进行观测，其和不等于180°；又如所测闭合水准路线的高差闭合差不等于零等，这说明观测值中包含有观测误差。
研究观测误差的来源及其规律，采取各种措施消除或减小其误差影响，是测量工作者的一项主要任务。
1）测量误差的来源测量误差主要来源于以下三个方面：①观测者由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。
同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
②测量仪器每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。
同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
③外界条件观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。
外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
上述三方面的因素是引起测量误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。
2）测量误差的分类测量工作中，尽管观测者按照规定的操作要求认真进行观测，但在同一量的各观测值之间，或各观测值与其理论值之间仍存在差异。
根据测量误差的性质不同，误差可分为：①粗差粗差是一种大级量的观测误差，它也包括测量过程中各种失误引起的误差。
如读错、记错等。
这主要是由于粗心大意而引起。
一般粗差值大大超过系统误差或偶然误差。
粗差不属于误差范畴，不仅大大影响测量成果的可靠性，甚至造成返工。
因此必须采取适当的方法和措施，杜绝错误发生。
含有粗差的观测值都不能用。
②系统误差在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么这类误差称为系统误差。
例如，用一把名义为30m长、而实际长度为30.02m的钢尺丈量距离，每量一尺段就要少量2cm，该2cm误差在数值上和符号上都是固定的，且随着尺段的倍数呈累积性。
误差理论与测量平差基础第二章 误差分布与精度指标
或然误差的计算： 1 通过中误差计算 2 误差按绝对值大小排列，取中数 教材：例 2－1
第二章 误差分布与精度指标
中误差、平均误差和或然误差都可以作 为衡量精度的指标，但由于 中误差具有明确的几何意义（误差分布 曲线的拐点坐标） 平均误差和或然误差都与中误差存在理 论关系 所以，世界上各国都采用中误差作为衡 量精度的指标，我国也统一采用中误差 作为衡量精度的指标。
x1xn x2 xn 2 xn
第二章 误差分布与精度指标
互协方差阵
X Z Y
DZZ
D XX DYX
D XY DYY
T
DXY
x1 y1 x1 y2 x2 y1 x2 y2 x y x y n 2 n1
x1 yn x2 y n xn y n
T
DXY E X E( X )Y E(Y ) DYX
互协方差阵是表达两组观测值间两两观测值相关程度的指标
习题：2.6.18，2.6.19
第二章 误差分布与精度指标
小结：
1、几个名词
1 f () exp ( ) 2 , 2 2 2 1
式中： 和 为参数。
第二章 误差分布与精度指标
由密度函数 1 1 2 f () exp ( ) , 2 2 2 知，偶然误差 为一维正态随机变量。所以又称偶然 误差为随机误差。 下面来看参数 和 是什么。 对正态随机变量 求数学期望：
第二章 误差分布与精度指标
§2-2 正态分布
当偶然误差的个数 n 时，偶然误差出现的频 率就趋于稳定。此时，若把偶然误差区间的间隔无限 缩小，则直方图（图1、图2）将分别变为图3所示的两 条光滑的曲线。
测量平差课后练习题(1~3章)2011
《误差理论与测量平差基础》课后测验题第一章 绪论1、什么是观测条件？相同观测条件下进行的观测称为什么观测？2、举出系统误差和偶然误差的例子各5个。
3、观测误差分为几类？分别是如何定义的？4、在测量上为什么要进行多余观测？5、测量平差的任务是什么？ 第二章 误差分布与精度指标 1、什么是真值、真误差？ 2、简述偶然误差的特性？ 3、偶然误差服从什么分布？4、衡量精度的指标有哪几种？分别是如何定义的？5、设一段距离为：520m ±2.3mm 代表什么意思？相对误差是多少？6、对于在相同的观测条件下进行的一系列的观测，误差有大有小，是否代表精度不同？7、在测距仪的检定中，要对基线场两固定观测墩点间的精确距离进行多次观测，设精确距离为326.750米，观测了10次，得距离如下：326.758m 326.754m 326.745m 326.755m326.762m326.749m 326.743m 326.740m 326.751m326.756m求测量距离的中误差？8、在采用J6经纬仪进行角度测量时，规定半测回角值之差不超过36"，测回间角值之差不超过24"，分别代表什么误差？ 9、什么是协方差？协方差是描述观测值之间什么关系的？ 10、在什么情况下，观测值之间相互独立与不相关是等价的？ 11、什么是方差协方差阵？其是有什么组成的？有何特点？ 12、何谓准确度？何谓精确度？何谓不确定性？ 第三章 协方差传播率及其权1、设观测向量T L L L L ]3,2,1[=的方差协方差阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=411121113LLD ，求21L σ、22L σ、21L L σ。
2、写出协方差传播律的主要公式？3、当观测值的函数为非线性时，如何处理？4、简述协方差传播律的应用步骤？5、 已知独立观测值2,1L L 的中误差分别为1L σ、2L σ，求下列函数的中误差：（1）2513L L y +=（2）21L L y = 6、设观测向量T L L L L ]3,2,1[=的方差协方差阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=411121113LLD ， 求（1）325131L L L y ++=（2）212L L y -=的1y σ、2y σ、21y y σ、21L y σ7、已知随机变量y 、z 都是观测值L=[L1、L2、L3]T 的函数，函数关系如下：3162101733241L L L z L L L y +-=++=，已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=420231012D ，证明y 、z 间互不相关。
测量学 5测量误差分析与精度评定
一般情况 :角度、高差的误差用m表示， 量距误差用K表示。
19:07 20
5.4 误差传播定律及其应用
误差传播定律：反映观测值的中误差与观 测值函数中误差关系的定 律。 倍数函数 和差函数 函数形式 线性函数 一般函数
19:07 21
1.一般函数中误差 1.一般函数中误差
19:07 34
解法2: 解法2:
z=3x-y+2l –10， x=2l+5, z=6l+15-3l+6+2l –10
=5l+11 所以：mz =5ml
y=3l-6
两种方法，两样结果，哪里错了？？？？
19:07 35
例2:已知AB两点间的水平距离D=206.205±0.020 m，在A点安置经纬仪测得AB直线的高度角α =12 ̊ 20 30 ±30 ，计算AB间的高差h，及其 中误差 mh 。 解法1:函数式 ： h=D tg α = 45.130(m) 全微分：dh = tgα × dD + D × sec 2 α × dα 中误差关系：
19:07
8
19:07
9
19:07
10
偶然误差的特性
有界性：在有限次观测中，偶然误差应小 于限值。 密集性：误差小的出现的频率大，误差大 的出现的频率小。 对称性：绝对值相等的正负误差频率大概 相等。 抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误 差的平均数趋近于零。
19:07 11
5.3 衡量观测值精度的指标
正态曲线： 正态曲线：
1 2σ 2 f (∆) = e 2π σ
方差 :
− ∆2
k/n/d∆
σ
2
[∆ ] = lim
评定测量成果精度的指标
评定测量成果精度的指标测量成果的精度评定是评估测量结果与实际值之间的差异程度，其重要性在于判断测量结果的可靠性和准确性。
在实际测量工作中，如何评定测量成果的精度是一个关键问题。
本文将介绍几个常用的指标来评定测量成果的精度。
1. 绝对误差绝对误差是指测量值与真值之间的差异，用绝对值表示。
绝对误差越小，表示测量结果越接近真实值，精度越高。
绝对误差可以通过测量值与真值之差的绝对值来计算，即绝对误差=|测量值-真值|。
2. 相对误差相对误差是指绝对误差与真值之间的比值，通常以百分数表示。
相对误差可以表征测量结果的相对误差大小，常用于评价测量结果的精度。
相对误差可以通过绝对误差除以真值再乘以100来计算，即相对误差=(绝对误差/真值)×100%。
3. 精度指标精度指标是用来评定测量仪器或方法的精度的指标，通常包括精度限差和重复测量误差。
精度限差是指测量仪器或方法所能达到的最大误差范围，用于判断测量结果的可接受范围。
重复测量误差是指在相同条件下对同一测量对象进行多次测量所得结果的离散程度，用于评估测量方法的稳定性和可靠性。
4. 置信区间置信区间是用来评定测量结果的可靠程度的指标，它表示测量结果的误差范围。
置信区间可以通过测量结果的平均值加减一定范围内的误差来计算，一般使用统计方法来确定置信区间的上下限。
5. 标准偏差标准偏差是用来评定测量结果的离散程度的指标，它表示测量结果与平均值之间的离散程度。
标准偏差越小，表示测量结果越稳定，精度越高。
标准偏差可以通过计算测量结果与平均值之间的差异的方差再开平方得到。
评定测量成果的精度可以使用绝对误差、相对误差、精度指标、置信区间和标准偏差等指标来进行。
这些指标可以从不同角度反映测量结果的准确性和可靠性，有助于评估测量成果的精度水平。
在实际测量工作中，根据具体需求和测量对象的特点选择合适的指标进行评定，可以更准确地判断测量结果的精度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
误差理论与测量平差基础
Error Theory and fundation of surveying Adjustment
韦建超 湖南科技大学建筑学院
第二章：误差分布与精度指标
1 §1 概述 2 §2 偶然误差的规律性 3 §3 随机变量的数字特征
4 §4 精度、准确度和精确度
8
§2.偶然误差的规律性
对闭合差结果作以下处理，以分析其规律：
误差区间( ″)
0.0～0.2 0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1.0 1.0～1.2 1.2～1.4 1.4～1.6 1.6″以上
Σ
负误差
个数
频率
45
0.126
40
0.112
33
0.092
23
0.064
17
0.047
Δ
13
i /n d
Δ
➢有界性 ➢渐降性 ➢对称性 ➢补偿性
14
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.4 -1.6 -1.8
§2.偶然误差的规律性
⊿服从参数N(0,σ2)的正态分布。
偶然误差的四个特性
2 22 e
22
§5.精度评定
一. 衡量观测值精度 ➢组成误差分布表 ➢绘制直方图 ➢画出误差分布曲线
-1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 +0.4 +0.8 +1.2 +1.6
-2.4 -2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 +0.4 +0.8 +1.2 +1.6 +2.0 +2.4
23
0.072
11
0.031
6
0.017
0
0.000
358
1
9
§2.偶然误差的规律性
10
Δ 11
频率/组距
频率
i /n
d
§2.偶然误差的规律性
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 - 0.2 - 0.4 - 0.6 - 0.8 -1 - 1.2 - 1.4 - 1.6 - 1.8
绝对值小的偶然误差比绝对值大的偶然误 差出现的可能性大（渐降性）;
绝对值相等而符号相反的偶然误差出现的 可能性大致相等（对称性）;
i /n
总误差的代数和趋于零（抵偿性）。
d
1
lim n n
n i1
i
0
偶然误差的四个特性
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.4 -1.6 -1.8
ˆ 2 []
n
[ ] 2 1 2 2 2 n
27
§5.精度评定
二、方差和中误差
方差：ˆ 2 []
n
中误差：ˆ
n
①各真误差必须对应同一测量条件。
②可将表示测量条件的中误差附于观测值之后。
注 意
如：
5 3 0 4 3.6 2 1 .8 25 .48 m 52mm
“±”并不代表该误差范围，而是测量上约定
33
37
§5.精度评定
有关几种精度指标的小结
①用 ˆ 、ˆ 或 ˆ 估计精度，只有当观
测值较多时，结果才可靠。 ②由一系列观测结果所求得的中误差，反
映了该观测系列的测量条件，它是每一个 观测值的中误差，也是相同测量条件下其 它观测值的中误差。
38
§5.精度评定
③当观测值个数n不大时，用中误差估计精 度更为可靠、灵敏一些。
>2.60
和 和
1270
1136 6…… 4 1 0 1081 210
0.0487
00..003386 …0.…017 0.011 0.002 0 00.505 0.499
00..224305
1166
00..119800
1133
…0.…08. 5
…5…
0.055
2
0.010
2
0
0
0
0177
211
00.0.04435
§2.偶然误差的规律性 i /n
d Δ 12
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 - 0.2 - 0.4 - 0.6 - 0.8 -1 - 1.2 - 1.4 - 1.6 - 1.8
§2.偶然误差的规律性
在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值（有限性）;
④中误0.差5 与0.平9 均1.1误差1.3和1或.4然2误.0差4之.0间存在着 确定的ˆ函1.3数关系ˆ 。1.2并且在ˆ 误1.2差曲线上中误 差具有明确的几何意义。 ˆ1.9 ˆ 1.6 ˆ 1.3
2
P f d
1
f
§2.偶然误差的规律性
15
§3.随机变量的数字特征
1.数学期望
总体分布
——反映随机变量集中位置 的数字特征
丙
数字特征
乙
甲
16
§3.随机变量的数字特征 2.方差
——反映随机变量偏离集中位置 的离散程度
➢数理统计定义随机变量X的方差
➢观测值L和偶然误差△均为随机变量，其方差为：
果 L 与其真值 L~ 的接近
程度；
丙
包含观测结果与其数 学期望接近程度和数学期 望与其真值的偏差。
甲
（2）特征：精确度反 映了偶然误差和系统误差 联合影响的大小程度。
乙
21
§5.精度评定
345281个 个三 三角 角形 形内 内角 角和 和闭 闭合 合差 差
误区误区一差间差间 、衡— 个— 个量数数△△KK观测频频值率率KK精//nn 度(K(K//nn))//dd△△
§5.精度评定
一. 衡量观测值精度
f(Δ)
f(Δ)
Δ
Δ
左图误差分布曲线陡峭，对应的精度高 右图误差分布曲线平缓，对应的精度低
24
§5.精度评定
一. 衡量观测值精度 给出确定的数值，用以表示一定测量条件下测量
结果的精度，即为精度评定。
注意:
①只有从误差的总体分布中，才能得出反映测量 结果精度的真实数据。
对值的数学期望称为平均误差，记作 。
E ( ) f( )dlim
n n
平均误差是一组独立偶然误差
ˆ
绝对值的算术平均值。
32
三、平均误差
§5.精度评定
平均误差与中误差的关系：
20.797954，
1.2535
2
4
可见，同一测量条件下， 与
有着完全确定的关系，对应着相同的误差
分布曲线。因此，也可用平均误差作为精
出两台经纬仪观测值的中误差并比较精度高低。
50o33'54.1''
30
§5.精度评定
二、方差和中误差
第一台经纬仪
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
观测值L 50°33′52.6″
54.8 53.6 55.0 52.2 53.8 54.7 58.1 56.2
Δ -1.5 +0.7 -0.5 +0.9 -1.9 -0.3 +0.6 +4.0 +2.1
00.0.04306 …0….014 0.006 0.005 0 00.495 0.501
(K/n)/d△ (K/n)/d△
00.4.64400 00.4.52755 00.3.44650
00.3.22905
00.2.21255 00.2.10800 …0….070 0.030 0.0025 0 0
度估计的标准。
33
§5.精度评定
三、平均误差
编号
第一台经纬仪
观测值L
Δ
例 2: 以 例 1 中 第 一台经纬仪数据
1 50°33′52.6″
2
54.8
3
53.6
-1.5 +0.7 -0.5
为例，求观测值
4
55.0
5
52.2
+0.9 -1.9
的平均误差。
6
53.8
7
54.7
-0.3 +0.6
8
58.1
编号 观测值L
1 50°33′52.6″
2
54.8
Δ
-1.5 +0.7
观测值的或然误差。
3
53.6
4
55.0
-0.5 +0.9
5
52.2
-1.90.3 0.5 0.6 0.7 0.9 781.5 1.55948..71 2.1 4.0++04..60
ˆ 0.9
ˆ2ˆ9 215.67.2 7 1.18+2.1
17
§4.精度、准确度与精确度 基本概念
精度： 观测值与其数学期望的接近程度
准确度： 观测值数学期望与其真值的接近程度
精确度： 观测值与其真值的接近程度
18
§4.精度、准确度与精确度
基本概念
1. 精度
（1）定义：描述误差分
布的密集或离散程度，即离
散度的大小；
丙
精度表示的是观测值
与其数学期望的接近程度。
3331
00..007942
00..347600
3333
00.0.06992
00..6600~~00..8800
235
0.05694
00..239250
2211