噪声与统计分析

噪声控制
信号完整性设计
低功耗设计
2.1 噪声的基本概念
进行噪声与统计分析的意义
分析噪声产生的根源，研究噪声的时域和频域特性 及其对信号的影响，控制噪声以尽可能的实现信息 的高保真获取。
2.2 统计分析的基本概念
集合平均与时间平均
集合平均：多个样本函数在对应的各个时刻上分别 取样本的平均值，这些平均值再组成的函数就叫做 样本函数的集合平均，集合平均是一个函数。
为：
s()
S ( )
0
/
0 0
可得：
P 0 s()d
2.3 功率谱密度函数
能量信号和功率信号
S() lim | VT () |2
T T 当T趋于无穷时， |VT(ω)|2 趋于|V(ω)|2 能量信号：|V(ω)|2为有限值，则S(ω)趋于0。
单个有限时间宽度，有限幅度的信号。
功率信号： S(ω)不为0， |V(ω)|2趋于无穷大。
VT () 2
T
T
内容提要
2.1 噪声的基本概念 2.2 统计分析的基本概念 2.3 功率谱密度函数 2.4 自相关函数 2.5 应用实例 2.6 噪声通过线性系统的变化
2.1 噪声的基本概念
噪声专指无用或干扰信息
信号在产生、传输和放大过程中都伴有噪声
2.1 噪声的基本概念
噪声与确定信号的区别
2.5 应用实例
如何求噪声电流（电压）的功率谱密度函数 和自相关函数？
V () v(t)e jtdt
是不存在的。
2.3 功率谱密度函数
我们只能通过研究噪声中频率为ω（2πf）的某一分 量对噪声功率的贡献，来研究噪声的频域特性。
（功率谱密度函数的由来）
截取噪声v(t)在-T/2到T/2范围内的一段作为能量有限 信号vT(t)，在其有效的时间T内，平均功率为：
1
第二章 噪声与统计分析
核数据获取与处理
本章知识结构
噪声（随机过程，变化杂乱无章）
时域 频域
各时域特征不能用确定的数学公式统一 描述，但服从统计规律，可由自相关函 数统一描述
R( ) v(t)v(t )
其Fourier 变换V(ω)为无限值，需要使
用有限值的函数描述其频域特征——功
率谱密度函数
lim S()
确定信号是按预定规律变化的
f (t) a bsin(t k)
f
(t)
k
ae
(
xb)2 c2
2.1 噪声的基本概念
噪声与确定信号的区别
噪声随时间的变化是杂乱无章的，不能用确定的数 学公式表示，但服从一定的统计规律。
均方值
功率谱密度函数
自相关函数
2.1 噪声的基本概念
进行噪声与统计分析的意义
设备研制工作中，按照原理图搭好的电路，往往都 无法正常工作，还需要考虑三方面的问题。
2，v(t)是实函数时，R(τ)也是实函数，并且是τ的
偶函数，即
R( ) R( )
3，当τ=0时 R(0) lim 1 T /2 v2 (t)dt v2 T T T / 2
4，当τ趋于无穷时 2 R() v
2.4 自相关函数
自相关函数的性质：
5， τ=0时，R(τ)最大； |τ|增加， R(τ)的的幅度越来 越小； τ趋于无穷时R(τ)趋于平均值的平方。
噪声的特性（三）
噪声电压或电流的均方值在数值上等于噪声电压或 电流在1Ω电阻上产生的平均功率。因此，噪声的均
方值( v2 )是其平均功率（强度）的量度。
2.3 功率谱密度函数
对于噪声而言，无法直接使用Fourier变换研究其频 谱。 原因：随机信号的物理特征是能量无限、功率有限，
因而其能量谱|V(ω)|2趋于无穷大，由此可知其频谱 V(ω)也趋于无穷大，即积分
S ( )df
T
T
S() lim | VT () |2
T T
2.3 功率谱密度函数
S(ω)是数学频域（-∞， ∞ ）内的功率谱密度，单位
是[W/Hz]。在研究工作中常需要知道在物理频域内
（0， ∞ ）相对于角频率ω的功率谱密度（单边功率
谱密度）s(ω)（单位是[W/(rad/s)]），二者相互关系
PT T
T /2 T / 2
vT2
(t
)dt
2.3 功率谱密度函数
当T趋于无穷时， vT(t)的平均功率将趋于v(t)的平均 功率，即：
P lim 1 T T
T /2 T / 2
vT2
(t)dt
lim
T
1 T
|
VT
(
)
|2
df
由此可得：
P v2
lim | VT () |2 df
平稳随机过程与各态遍历随机过程
平稳随机过程：集合平均不随时间变化，是一个常 数，即各个时刻的集合平均值是相同的。
各态遍历随机过程：集合平均等于时间平均。
v v v2 v2
我们在实际工作中遇到的噪声一般都属于各态遍历 随机过程。
2.2 统计分析的基本概念
噪声的特性（一）
噪声电压或电流的幅度，一般服从正态（高斯）分 布。
P(v)
1
(vv)2
e 2 2
2
2 (v v)2 (均方差)
2.2 统计分析的基本概念
噪声的特性（二）
独立无关的噪声之间，有如下特性
v1 v2 v3 v1 v2 v3
v1 v2 v3 v1 v2 v3 叠加后总均方偏差
2
2 1
2 2
2 3
2.2 统计分析的基本概念
周期信号、平稳随机信号和噪声。
2.4 自相关函数
自相关函数：在相隔时间为τ的两个时刻，样 本函数取值的乘积对时间平均值。
对于噪声，自相关函数作如下定义：
R( ) v(t)v(t ) lim 1
T /2
v(t)v(t )dt
T T T / 2
2.4 自相关函数
自相关函数的性质：
1，对于平稳随机过程，自相关函数是时间差τ的函 数，与时间t无关。
v(t)
lim
m
1 mБайду номын сангаас
m k 1
vk
(t)
2.2 统计分析的基本概念
集合平均与时间平均
时间平均：单个样本函数对时间取平均值，时间平 均是一个具体的数值。
vk
lim 1 T T
T /2
T / 2 vk (t)dt
vk2
lim
T
1 T
T /2 T / 2
vk2
(t
)dt
均方值
2.2 统计分析的基本概念
6，设v1(t)和v2(t)独立无关，v(t)=a1v1(t)+a2v2(t),则
R( ) a12R1( ) a22R2 ( ) 2a1a2 v1 v2
7，自相关函数和功率谱密度函数互为Fourier变换对
R( ) S()
RE ( )
v(t)v(t )dt |V () |2
对于能量信号