二次函数压轴题基本模型ppt课件
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《二次函数》-完整版PPT课件
列二次函数关系式 3．两个数的和为 8，设其中一个数为 x，这两个数的乘积 是 y，则 y 与 x 之间的函数关系式为_y＝__x_(_8_－__x_)_，这是___二__次___ 函数．
4．正方形的边长是 3，若边长增加 x，则面积增加 y，写出 y 与 x 之间的关系式．
答案：增加的面积为 y＝(x＋3)2－9＝x2＋6x.
二次函数的概念
1．自由落体公式 h＝12gt2(g 为常量)，h 与 t 之间的关系是 ( C)
A．正比例函数 C．二次函数
B．一次函数 D．以上答案都不对
2．请分别指出二次函数 y＝4(x－1)(x－3)中的二次项系数， 一次项系数及常数项．
答案：二次项系数为 4，一次项系数为－16，常数项为 12.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1．二次函数是一个整式函数． 2．容易忽略二次函数定义中的 a≠0，当 a＝0，b≠0 时，y ＝ax2＋bx＋c 是 x 的一次函数．
二次函数
1．二次函数的概念 形如 y＝ax2＋bx＋c(a、b、c 是常数，a≠0)的函数叫做二次 函数． 2．列二次函数关系式 列函数表达式的基本思路： (1)认真审题，弄清题中的自变量和因变量； (2)确定一共有几个条件，每个条件和变量可以列出什么意 义的代数式； (3)确定等量关系，得到表达式．
《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
中考二次函数压轴题PPT
∴ 点 F 到 AC 的距离为 9 × = ， 4
又∵ AC=
=3 ，
∴ △ ACE 的最大面积=×3 × = ，此时 E 点坐标为（ 5 ，﹣ 3 ）．
24
9
7、（2013•曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+4 与坐标轴分别交 于 A、B 两点，过 A、B 两点的抛物线为 y=﹣x2+bx+c．点 D 为线段 AB 上一动点，过 点 D 作 CD⊥x 轴于点 C，交抛物线于点 E． （1）求抛物线的解析式． （2）当 DE=4 时，求四边形 CAEB 的面积． （3）连接 BE，是否存在点 D，使得△ DBE 和△ DAC 相似？若存在，求此点 D 坐标； 若不存在，说明理由．
解得
，
所以，直线 AC 的解析式为 y=x﹣1，
∵ y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=2，
当 x=2 时，y=2﹣1=1，
∴ 抛物线对称轴上存在点 D（2，1），使△ BCD 的周长最小；
8
（3）如图，设过点 E 与直线 AC 平行线的直线为 y=x+m，联立， 消掉 y 得，x2﹣5x+3﹣m=0， △ =（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，
7
解：（1）∵ 抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0），点 C（4，3），
∴
，解得
，
所以，抛物线的解析式为 y=x2﹣4x+3；
（2）∵ 点 A、B 关于对称轴对称， ∴ 点 D 为 AC 与对称轴的交点时△ BCD 的周长最小， 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k≠0），则，
S 四边形 CAEB=S△ ACE+S 梯形 OCEB﹣S△ BCO= ×2×6+ （6+4）×2﹣ ×2×4=12．
试卷讲评：二次函数压轴题解析 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
2019-2020三模数学试卷讲评
二次函数压轴题解析
二次函数压轴题面临的问题
选填无从下手，解答题一般只完成 1、2两问，第三问学生一般都不看 直接放弃，即使优秀学生也有所恐惧。
二次函数压轴题的特点
综合性强，通常以二次函数为背景，运用二次函数图 像性质探讨点、线段、特殊角、三角形、四边形、相似 三角形以及恒等式证明等问题，解题时由于许多学生对 图形依赖强，代数几何参杂在一起，逻辑跳跃太大，思 维过程复杂，导致学生望而生畏；
解题策略：化繁为简、代数为主、几何为辅
x b 2a
xh
x x1 x2 2
(x1 x2 )2 ( 上的抛物线，离对称轴距离越近的点， 函数值_越__小_，开口向下的抛物线，离对称轴距离 越近的点，函数值_越__大_；
原题再现
原题再现
组内交流： 1、自查丢分原因，交流考试时审题出现哪些问题； 2、你认为此题审题时需要注意的细节有哪些？ 3、解决问题的关键是什么？
对称轴左侧 对称轴右侧
点：点C和点P 线： 式：纵坐标之差
点：点C和顶点 线： 式：纵坐标之差
线：点P和顶点 线： 式：纵坐标之差
由线思点 由点到线 由线到式 点：点P、点B和点N
线：BN=BP或BN=PN
式：两点间距离公式
二次函数压轴题解析
二次函数压轴题面临的问题
选填无从下手，解答题一般只完成 1、2两问，第三问学生一般都不看 直接放弃，即使优秀学生也有所恐惧。
二次函数压轴题的特点
综合性强，通常以二次函数为背景，运用二次函数图 像性质探讨点、线段、特殊角、三角形、四边形、相似 三角形以及恒等式证明等问题，解题时由于许多学生对 图形依赖强，代数几何参杂在一起，逻辑跳跃太大，思 维过程复杂，导致学生望而生畏；
解题策略：化繁为简、代数为主、几何为辅
x b 2a
xh
x x1 x2 2
(x1 x2 )2 ( 上的抛物线，离对称轴距离越近的点， 函数值_越__小_，开口向下的抛物线，离对称轴距离 越近的点，函数值_越__大_；
原题再现
原题再现
组内交流： 1、自查丢分原因，交流考试时审题出现哪些问题； 2、你认为此题审题时需要注意的细节有哪些？ 3、解决问题的关键是什么？
对称轴左侧 对称轴右侧
点：点C和点P 线： 式：纵坐标之差
点：点C和顶点 线： 式：纵坐标之差
线：点P和顶点 线： 式：纵坐标之差
由线思点 由点到线 由线到式 点：点P、点B和点N
线：BN=BP或BN=PN
式：两点间距离公式
中考二次函数压轴题解题通法PPT课件
6
方程总有固定根问题
• 可以通过解方程的方法求出该固定根
已知关于的方程（mx2 3(m 1)x 2m 3 0 为实数），
求证：无论为何值，方程总有一个固定的根。
解：当 m 0 时， x 1
x1
当 m 0 时，
2
3 m
、x2
1
m3
2
0
，x
3m
1
2m
，
综上所述无论:m 为何值，方程总有一个固
19
２、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题
2020/3/23
20
3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标 问题Leabharlann 2020/3/2321
4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离 最大”的问题
2020/3/23
22
5.常数问题
2020/3/23
23
6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定 直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的 问题
2020/3/23
2
两点间的距离公式
AB yA yB 2 xA xB 2
2020/3/23
3
中点坐标
• 线段的中点的坐标为：
xA xB ，yA yB 2 2
2020/3/23
4
一元二次方程有整数根问题
解题步骤如下：① 用和参数的其他要求确定
参数的取值范围 ② 解方程，求出方程的根
2020/3/23
28
10、“定四边形面积的求解”问题
• 有两种常见解决的方案： • 方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和； • 方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向
中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)
（3）抛物线与y轴的交点坐标是（0，c） c决定抛物线与y轴的交点位置
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
高中二次函数 课件ppt课件ppt课件ppt
翻折变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行翻转。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
二次函数复习(共36张PPT)
y=ax2+bx+c的图 方程ax2+bx+c=0
象和x轴交点
的根
b2-4ac
有两个交点
方程有两个不相等的 b2-4ac>0
实数根
只有一个交点
方程有两个相等的 b2-4ac=0
实数根
没有交点
方程没有实数根 b2-4ac<0
函数的图象
y
.
. ox
y
o
x
y
o
x
根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数 值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
(4)函数的自变量x的取值范围：任意实数
当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范
围.
二次函数的一般形式:
• 函数y＝ax2＋bx＋c
– 其中a、b、c是常数 – 切记：a≠0 – 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
向上
直线X=-h
（-h，k）
a ＜ 0 向下
图象的平移规律：
对于抛物线y=a(x+h)2+k的平移有以下规律： (1)、平移不改变 a 的值； (2)、h决定图象沿x轴方向左右平移，左+右— (3)、k决定图象沿y轴方向上下平移，上+下—
知识运用
（坐1标）是抛物线,图(y0象=,0过)x32 第2的开口向一象、,限对上二称；轴是
二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
y = ax 2
a ＞ 0 向上 直线X=0 a ＜ 0 向下 （或y轴）
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
初三二次函数课件ppt课件
02
二次函数的解析式
一般式
总结词
最通用的二次函数形式，包含三个系数a、b和c。
详细描述
一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a≠0。它可以表示任意二次 函数，通过调整系数a、b和c的值，可以改变函数的形状、开口方向和大小。
顶点式
总结词
包含顶点坐标的二次函数形式。
详细描述
顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。通过顶点式可以直接 读出顶点的坐标，并且可以快速判断抛物线的开口方向和对称轴。
伸缩变换
总结词
伸缩变换是指二次函数的图像在平面坐标系中沿x轴或y轴方向进行缩放。
详细描述
伸缩变换包括沿x轴方向的伸缩和沿y轴方向的伸缩。沿x轴方向的伸缩是指将图像在x轴方向上放大或 缩小，对应的函数变换是将x替换为kx(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。沿y轴方向的伸缩是指将图 像在y轴方向上放大或缩小，对应的函数变换是将y替换为ky(k>1表示放大，0<k<1表示缩小)。
利用二次函数求面积
详细描述
通过设定一个变量为常数，将 二次函数转化为一次函数，再 根据一次函数的性质求出面积 。
总结词
几何图形面积
详细描述
在几何图形中，如矩形、三角 形、圆等，可以利用二次函数
来求解面积。
生活中的二次函数问题
总结词
生活中的二次函数
总结词
实际应用案例
详细描述
在生活中，许多问题都可以用二次函数来 描述和解决，如速度、加速度、位移等物 理量之间的关系。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由系数$a$决定。
中考数学复习---二次函数考点归纳与典型例题讲解PPT课件
【解析】解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y kx b （ k 0 ），根据题意，得：
12k 14k
b b
90 80
，解得
k b
5 150
，∴
y
与
x
之间的函数关系式为
y
5x
150（10≤x≤15，
且 x 为整数）；
（2）根据题意，得：w (x 10)(5x 150) 5x2 200x 1500 5(x 20)2 500 ，
舍去）；
Байду номын сангаас
函数的应用
（2）∵ a 3 ，∴ C(0, 3) ，∵ SABP SABC .∴ P 点的纵坐标为±3，
把 y 3 代入 y x2 2x 3 得 x2 2x 3 3 ，解得 x 0 或 x 2 ，
把 y 3 代入 y x2 2x 3 得 x2 2x 3 3 ，解得 x 1 7 或 x 1 7 ， ∴ P 点的坐标为 (2,3) 或 (1 7, 3) 或 (1 7, 3) ．
得 810 40x=0 ，解得 x 20.25 ．∴排队人数最多时是 490 人，全部考生都完成体温检测
需要 20.25 分钟．
（3）设从一开始就应该增加 m 个检测点，根据题意，得12 20(m 2) 810 ，解得 m 1 3 ． 8
∵ m 是整数，∴ m 1 3 的最小整数是 2．∴一开始就应该至少增加 2 个检测点． 8
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．
本课结束
2、函数动点问题 （1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图像问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数 综合题． （2）解答动点函数图像问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表 达式，进而确定函数图像；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总 成最终答案． （3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或 抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计 算．
2020年中考数学考前专题复习——二次函数压轴专题 课件(共22张PPT)
类型三 特殊三角形存在性问题
1. 如图，抛物线y＝x 2＋bx＋c（c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点 为D，且OB＝OC＝3．点E为线段BD上的一个动点，EF⊥x轴于F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点E，使△ECF为直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
4a
3、求解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为
_y_=__a_x_2_+_b_x_+__c_(a__≠_0)
2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常
设抛物线解析式为__y__=_a_(_x_-_h_)_2+__k_(_a≠0)
变式一：
2. 如图，抛物线y＝x²＋(m＋2)x＋4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点 (点A在点B的左侧)． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上一点，若S△PAB＝2S△ABC，求点P的坐标； (3)将直线AB上下平移，平移后的直线y＝x＋t与抛物线交于A′、B′两点(A′在B′的左侧)，当 以点A′、B′、(2)中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值．
A： y (x 4)2 6 C: y (x 2)2 2
B: y (x 4)2 2 D： y (x 1)2 3
5.二次函数与一元二次方程和不等式的关系
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根；
x1,2 b
b2 4ac .
2a
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0有两个相等的实数根:
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1： 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
《二次函数》PPT优秀课件
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
定
二
次
函
数
义
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0
一般形式
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，
还有其特殊形式如 y=ax2, y=ax2+bx, y=ax2+c等.
例2 y m 3 x
m2 7
.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
m 2 7 1,
.
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是(C
A . m,n是常数,且m≠0
B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n
D . m,n为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C
y
A．y＝2x＋1
B．
C．y＝3x2＋1
D．y
)
2
x
1
1
2
x
)
4.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求
的二次式表示的.
定义
形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫
做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项
系数、一次项系数和常数项.
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
定
二
次
函
数
义
右边是整式；
自变量的指数是2；
二次项系数a ≠0
一般形式
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，
还有其特殊形式如 y=ax2, y=ax2+bx, y=ax2+c等.
例2 y m 3 x
m2 7
.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
m 2 7 1,
.
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是(C
A . m,n是常数,且m≠0
B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n
D . m,n为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C
y
A．y＝2x＋1
B．
C．y＝3x2＋1
D．y
)
2
x
1
1
2
x
)
4.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求
的二次式表示的.
定义
形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫
做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项
系数、一次项系数和常数项.
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1
1、线段和最短、周长最小问题
y=x2-2x-3
1、在抛物线y=x2-2x-3的对称轴 上找一点P，使得PB+PC的和最小， 求出P点坐标。
方法点拨: 要求和最小，当两点在直线同侧，先作一点 的对称点，再连接对称点和另一点与对称轴 相交，求交点
2、在抛物线y=x2-2x-3的对称轴 上找一点P，使得PB-PC的差最大， 求出P点坐标。
方法点拨：
1、求出AB、AC、AO长度 2、当点D在直线AC上运动时，有∠OAD=∠BAC， 以A、0、D三点为顶点的三角形与△BAC相似， 必有两种情况:△OAD~ △B AC、 △OAD~ △ CAB 3、利用相似三角形的性质得出夹等角的线段构 成的比例式，求出线段长度，再转化为点的坐 标。
二次函数与相似三角形问题解决问题的主要 思路是通过两三角形中恒相等的角确定分类， 利用相似三角形的性质求得线段长并转化横平 竖直的线段长求得点的坐标。
6
5、平行四边形问题 y=x2-2x-3
如图抛物线y=x2-2x-3，点E在其对称轴 上，点F在抛物线上，且以B、A、F、E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 点F的坐标。
方法点拨：
7
E
C
铅 垂
A 设坐标: P (m，m2-2m-3) E (m，km+b) 水平宽: OA 铅垂高: (km+b)- (m2-2m-3) (高-矮)
高
面积: S= x铅垂高x水平宽
P
3
3、直角三角形问题y=x2-2x-3
如图抛物线y=x2-2x-3，连接AC, 在 其对称轴上找点P，使得△PAC为直 角三角形,求出P坐标。
方法点拨: 要求差最大，当两点在直线同侧，直接连接 与对称轴相交，求交点
2
2、面积最大问题 y=x2-2x-3
如图抛物线y=x2-2x-3，连接AC, 在 第四象限的抛物线上找点P，使得三角 形PAC面积最大，求出P坐标。
方法点拨:
水平宽
过点P作x轴的垂线交AC于点E 先求直线AC的解析式y=kx+b
4
4、等腰三角形问题 y=x2-2x-3
如图抛物线y=x2-2x-3，连接AC, 在其对称轴上找一点P，使得 △PAC为等腰三角形，求出P坐标。
5
6、相似三角形问题 y=x2-2x-3
如图抛物线y=x2-2x-3 ，动点 D在直线AC上，若以A、0、D为 顶点的三角形与△BAC相似,求出 点D坐标 .
1、线段和最短、周长最小问题
y=x2-2x-3
1、在抛物线y=x2-2x-3的对称轴 上找一点P，使得PB+PC的和最小， 求出P点坐标。
方法点拨: 要求和最小，当两点在直线同侧，先作一点 的对称点，再连接对称点和另一点与对称轴 相交，求交点
2、在抛物线y=x2-2x-3的对称轴 上找一点P，使得PB-PC的差最大， 求出P点坐标。
方法点拨：
1、求出AB、AC、AO长度 2、当点D在直线AC上运动时，有∠OAD=∠BAC， 以A、0、D三点为顶点的三角形与△BAC相似， 必有两种情况:△OAD~ △B AC、 △OAD~ △ CAB 3、利用相似三角形的性质得出夹等角的线段构 成的比例式，求出线段长度，再转化为点的坐 标。
二次函数与相似三角形问题解决问题的主要 思路是通过两三角形中恒相等的角确定分类， 利用相似三角形的性质求得线段长并转化横平 竖直的线段长求得点的坐标。
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5、平行四边形问题 y=x2-2x-3
如图抛物线y=x2-2x-3，点E在其对称轴 上，点F在抛物线上，且以B、A、F、E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 点F的坐标。
方法点拨：
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E
C
铅 垂
A 设坐标: P (m，m2-2m-3) E (m，km+b) 水平宽: OA 铅垂高: (km+b)- (m2-2m-3) (高-矮)
高
面积: S= x铅垂高x水平宽
P
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3、直角三角形问题y=x2-2x-3
如图抛物线y=x2-2x-3，连接AC, 在 其对称轴上找点P，使得△PAC为直 角三角形,求出P坐标。
方法点拨: 要求差最大，当两点在直线同侧，直接连接 与对称轴相交，求交点
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2、面积最大问题 y=x2-2x-3
如图抛物线y=x2-2x-3，连接AC, 在 第四象限的抛物线上找点P，使得三角 形PAC面积最大，求出P坐标。
方法点拨:
水平宽
过点P作x轴的垂线交AC于点E 先求直线AC的解析式y=kx+b
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4、等腰三角形问题 y=x2-2x-3
如图抛物线y=x2-2x-3，连接AC, 在其对称轴上找一点P，使得 △PAC为等腰三角形，求出P坐标。
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6、相似三角形问题 y=x2-2x-3
如图抛物线y=x2-2x-3 ，动点 D在直线AC上，若以A、0、D为 顶点的三角形与△BAC相似,求出 点D坐标 .