高中数学 第三章 概率 几何概型的类型及解法知识素材 北师大版必修3

几何概型的类型及解法

几何概型是一种特殊的概率模型，下面结合例题介绍它的类型及其解题方法。

一、与长度有关的几何概型

若一次试验中所有可能结果和某个事件A 包含的结果（基本事件）都对应一个长度，如线段长、时间区间、距离、路程等，那么需要求出各自相应的长度，然后运用几何概型的计算公式即可求出事件A 发生的概率。

例1 某人睡觉醒来，发现钟表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率。

分析 假设他在0～60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的。因为电台每隔1小时报时一次，他在哪个时间段打开收音机的概率只与这时间段的长度有关，因此，需要求出各自相应的时间“长度”，然后用几何概型公式求解。

解 设事件A ＝｛等待时间不超过10分钟｝，我们关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]之间，它的区间长度为10；电台每隔1小时报时一次，它的区间长度为60，由几何概型的计算公式得()P A ＝

605060-＝16。即“他等待的时间不多于10分钟的概率”为16

。 评注 解决此类问题的关键是确定他在哪个时间段打开收音机的概率只与这时间段的长度有关，把它转化为与“长度”有关的几何概型。

二、与角有关的几何概型

若一次试验中所有可能结果和某个事件A 包含的结果（基本事件）都对应一个角，那么需要求出各自相应的角度，然后运用几何概型的计算公式即可求出事件A 发生的概率。

例 如图1所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60的终边上，任作一条射线

OA ，求射线OA 落在xOT ∠内的概率。

分析 过O 作射线OA 是随机的，射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在xOT ∠内的概率只与xOT ∠的大小有关，符合几何概型的条件。

解 设事件A ＝｛射线OA 落在xOT ∠内｝，事件A 的“几何度量”是60，而坐标平面的“几何度量”为360，所以由几何概率公式，得()P A ＝60360＝16

。 评注 解此题的关键是找到事件A ＝｛射线OA 落在xOT ∠内｝的“几何度量”是60，以及坐标平面的“几何度量”为360。

三、与面积有关的几何概型

如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点，且该区域中每一个被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以用几何模型来解。并且，这里的区域可以用面积表示，然后利用几何概型的公式求解。

例3 两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率。

分析 设两人分别在x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当x y -≤23

。两人到达约定地点的所有时刻（x ，y ）的可能结果可用图2中的单位正方形内（包括边界）的点表示，而两人能在约定的时间内相见的所有可能结果可用图2中的阴影部分（包括边界）表示，因此可求出两人在约定时间内相见的概率。

解 设两人分别在x 时和y 时到达约见地点，要使两人在能在约定时间范围内相见，当且仅当x y -≤23

。如图2所示，根据题意，得两人在约定时间内相见的概

率为P＝

S

S

阴影部分

单位正方形

＝

2

2

1

1

3

1

⎛⎫

⎪

⎝⎭

－

＝

8

9

。

评注解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性的约束条件，转化成平面区域中的面积型几何概率问题。

四、与体积有关的几何概型

对于几何概型，如果图形与体积有关，只需把该试验的所有结果对应体积求出，就可以利用几何概型概率公式进行计算。

例4 在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，求含有麦锈病的种子的概率是多少？

分析病种子在这1L种子中的分布可以看做是随机的，取得的10mL种子可看做构成事件的区域，1L种子可看做试验的所有结果构成的区域，因此，可用“体积比”公式计算其概率。

解取出10mL种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则()

P A＝

取出种子的体积所有种子的体积＝

10

1000

＝0.01.即含有麦锈病种子的概率为0.01.

评注解决此类实际问题，应先根据题意确定试验为与体积有关的几何概型，然后求出事件对应的“几何体”的“体积”，借助几何概型的计算公式求出概率。

几何概型是一种特殊的概率模型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，它的特点是试验的结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关。