8_函数与方程练习题.doc

§2.8函数与方程

—、选择题

1.下列函数图象与/轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（）

解析能川二分法求零点的函数必须在给定区间［日，方］上连续不断，并H.有f（日）・f（Q 〈O. A、

B选项屮不存在/VXO, D选项屮零点两侧函数值同号，故选C.

答案C

2.已知函数f（x）=臼"一/一白（自>0,臼H1）,那么函数f（x）的零点个数是（）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D.至少1个

答案D

解析在同一坐标系中作出函数y=a与y=x+日的图象，a>\时,如图⑴,0

3.方程2対=/+］（日>0）的解的个数是（）.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解析（数形结合法）・為>0,・・・/+1>1.而y=|< —2”的图象如图，・・・y=|# —2”的图象与尸才+1的图象总有两个交点•・・・方程有两解.

答案B

【点评】木题采川数形结合法解题，画出对应函数的图象，观察函数的交点情况确定解的

个数.

4.若函数/'（^） =x +mx+l H 两个不同的零点，则实数刃的取值范围是（） A. （-1, 1）

B. （—2,2）

C. （―°°, 一2） U （2, +°°）

D. （一°°, —1） U （1, +°°）

解析：由题意知，一元二次方程x+mx+\= 0有两不等实根，可得A 〉0,即d —4>0,解 得刃>2或冰一2. 答案:C

5.惭数/（兀）=2X 3+3X -3的零点所在的区间为（ ）

A. (-1,0)

B. ( 0, 1)

C. (1,2)

D. (2, 3)

【解析】因为/(0) = -3 <0, /(I) = 5-3-2>0,所以函数/(X)在区间(0,1)上一定存在零点, 故选氏 答案B

6.加呈/+V2T -1= 0的解可视为函数y=x+迈的图象与函数+的图象交点的横坐标,

…，xg4）所对应的点6, -）（/=1,2,…，Q 均在

Xi ） 直线的同侧，则实数日的収值范围是（）・

B. 0

D. ( —

—6) U (6, +°°) 4

解析（转化法）方程的根显然％工0,原方程等价于R+臼=3原方程的实根是曲线/=/

X

4

+臼与曲线y=上的交点的横坐标；而曲线y=^+a 是由曲线向上或向下平移|臼|个单

X

位而得到的.

若交点X"彳（/=1,2,…，&）均在直线y=x 的同侧,

4

因直线y=x 与y=-交点为：（一2, —2）, （2, 2）；

X

x2_2、

=>a^ （ ——6） U （6, +°°）；选 D.

答案D

【点评】转化法能够在一定程度上简化解题过程.

若” +站一4=0的各个实根xi, xz> A. R

C. (—6, 6) 5>0,

所以结合图象可得：\x+a >-2,

a<0,

或< x+a<2,

xS

7.已知函数f\x） =xe—ax—i,则关于f（x）零点叙述正确的是（）.

A. 当日=0时，函数fd)有两个零点

B. 函数fd)必有一个零点是正数

C. 当臼<0吋，函数fd)有两个零点

D. 当臼>0吋，函数代力只有一个零点

解析 f(x)=0Oe"=&+丄

x

答案B

二、填空题

取值范围是

解析：画出图象，令g(x) =f(x) —z»=0,即f\x) A/ y= in 的图彖的交点 有3个，・・・05<1・

答案：(0,1) ,1

y2

0 < X < 9

9.已知函数/(%) =

；

?

则/(%)的零点是 _________ .

+ x, — 2 S 兀 < 0.

【解析】当0壬亡9时,解得x = 0；当-2兰1：0时,令，+工=0解得x=-l,所以函数 /(©的零点是-1和0. 答案T 和0

10. 函数/(X)= cosx-|lgx|零点的个数为_____________ .

【解析】函数hb-」零点的个数即为方程「•十 得.」的根的个数，即为函数 J {X) = cos X —

|lg X|

COSX= |lg X]

y = cosx 的图象与函数y^lgx|的图彖的交点个数,画出图象可知，交点个数为4个，故所 求的函

在同一坐标系中作出y*与丄的图象

,

8.已知函数fg =

%>0 xWO.

若函数g{x) =f(x) —m 有3个零点，则实数加的

可观察出A 、C 、D 选项错误,

数零点个数为4.

答案4

11.已知函数f(x) =e x—2x+a有零点，则曰的取值范围是___________ ・解析由原函数有零点，可将问题转化为方程e-2^+<7=0有解问题，即方程日=2x-y 有解.令函数g{x) =2x—e\则g，3=2 —e v,令g'(力=0,得x=ln 2,所以gCO在(一8, In 2)上是增函数，在(In 2, +°°).上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln 2) =21n 2 —2.凶此，日的取值范围就是函数g(0的值域，所以，$丘(一8, 21n 2—2］・

答案(一8, 21n 2-2］

12.川二分法求方程/ = 2的止实根的近似解(精确度0. 001)时，如果我们选取初始区间是

［1.4,1.51，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是__________.

解析设至少需要计算〃次，rh题意知一于一vo.ooi,

即2">100,由2^=64,27=128 知n=7.

答案7

三、解答题

13.二次函数f(x) =/—16X+(7+3.若函数在区间［一1,叮上存在零点，求实数g的取值范围；解析：丁函数f\x) =x—l^x+(7+3的对称轴是x=8,

・"3在区间［—1,1］上是减函数.

•・•函数在区间［— 1,1］上存在零点,则必有

1 WO ［l-16 + g+3W0

«,即< ,

f—1 $0 l + 16 + g+3M0

・・・一20WqW12.

・・・实数q的取值范围为［-20, 12］

14.若臼>1,设函数f(x) = a+x— 4的零点为刃，g(x)=log点+x— 4的零点为〃，求丄+丄的

m n

取值范围.

［分析］欲求丄+丄的取值范围，很容易联想到基木不等式，于是需探讨刃、刀之间的关系，m n

观察fd)与以方的表达式，根据函数零点的意义，可以把题kl中两个函数的零点和转化为指数

函数和对数函数y=log^与直线y=~x+4的交点的横坐标，凶为指数函数

和对数函数y =1鸥」互为反函数，故其图象关于直线对称，乂因直线%+4 垂直于ft线y=x,指数函数和対数函数y=log抹与冇•线y= ~x+4的交点的横坐标Z和是直线y=x与y=~x+4的交点的横坐标的2倍，这样即可建立起刃,n的数量关系式，进而利川基本不等式求解即可.

解析令a + X—A = 0 得a r= — %+4,

令log屛+x—4 = 0 得log』=—x+4,

在同--坐标系中画出函数y=a f y=log.f x, y=—x+ 4的图象，结合图形可知，n+m为直