概率论典型例题PPT
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概率论课件之随机事件PPT课件
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
例1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(1) A 发生，且 B 与 C 至少有一个发生；
A( B∪C)）
(2) A 与 B 发生，而 C 不发生； (3) A , B, C 中恰有一个发生；
ABC ABC ABC ABC
(4) A , B, C 中至少有两个发生；
AB BC AC
(5) A , B, C 中至多有两个发生；
ABCA不BC发生；
(6) A , B, C 中不多于一个发生.
AB BC AC
或ABC ABC ABC ABC
３. 小结
(1) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
(4) 事件 A 与 B 积事件（交） 事件 A B { x x A 且 x B}称为事件
A 与事件 B 的积事件. A和B同时发生 A B发生 积事件也可记作 A B 或 AB.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” ，Ａ ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．
AA B
B
Ω
B A
B
A AB Ω
(7) 事件 A 的对立事件
设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作
A.
实例 “骰子出现1点”
“骰对子立不出现1点”
图示 A 与 B 的对立.
A
若 A 与 B对立,则有
A B 且 AB .
B A Ω
对立事件与互斥事件的区别 A、B 互斥(互不相容) A、B 对立（互逆）
(5) 事件 A 与 B 互不相容 (互斥)
例1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(1) A 发生，且 B 与 C 至少有一个发生；
A( B∪C)）
(2) A 与 B 发生，而 C 不发生； (3) A , B, C 中恰有一个发生；
ABC ABC ABC ABC
(4) A , B, C 中至少有两个发生；
AB BC AC
(5) A , B, C 中至多有两个发生；
ABCA不BC发生；
(6) A , B, C 中不多于一个发生.
AB BC AC
或ABC ABC ABC ABC
３. 小结
(1) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
(4) 事件 A 与 B 积事件（交） 事件 A B { x x A 且 x B}称为事件
A 与事件 B 的积事件. A和B同时发生 A B发生 积事件也可记作 A B 或 AB.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” ，Ａ ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．
AA B
B
Ω
B A
B
A AB Ω
(7) 事件 A 的对立事件
设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作
A.
实例 “骰子出现1点”
“骰对子立不出现1点”
图示 A 与 B 的对立.
A
若 A 与 B对立,则有
A B 且 AB .
B A Ω
对立事件与互斥事件的区别 A、B 互斥(互不相容) A、B 对立（互逆）
(5) 事件 A 与 B 互不相容 (互斥)
概率论与数理统计第五节 条件概率.ppt5(最新版)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
对求和中的每一 项用乘法公式
代入数据计算便可得结果， 我们这里略去计算。
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
例题选讲 例题1 设在10个同一类型的元件中有7个一等品, 从这些元件中不放回地连续取3次,每次取一个元件, 7 ( ) 求: 1) 3次取得一等品的概率 24 119 2) 3次中至少一次取得一等品的概率 （ ）
120
例题2 设P( A) 0.5, P( B) 0.4, P( A | B) 0.6 求P( AB), P( A | A B)的值
解 设Ai 第i次取出黑球，i 1, 2,...n, 则所 求的概率为P ( A1... An1 An1 1... An ) p
则 p P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( An1 | A1 An1 1 ) *P( An1 1 | A1 An ) P( An | A1 An1 An1 1 An-1 )
B
AB A
S
2 定义
P( AB) 设A,B是两个事件且P(A)>0,称 P( B A) P( A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
条件概率也符合概率的公理化定义中的三个条件：
1) 非负性 对于每一事件B,有P(B|A)>=0;
2) 规范性 对于必然事件S,有P(S|A)=1;
3) 可列可加性 :
也可以直接按条件概率的含义来求 P(B A) ：
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
对求和中的每一 项用乘法公式
代入数据计算便可得结果， 我们这里略去计算。
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
例题选讲 例题1 设在10个同一类型的元件中有7个一等品, 从这些元件中不放回地连续取3次,每次取一个元件, 7 ( ) 求: 1) 3次取得一等品的概率 24 119 2) 3次中至少一次取得一等品的概率 （ ）
120
例题2 设P( A) 0.5, P( B) 0.4, P( A | B) 0.6 求P( AB), P( A | A B)的值
解 设Ai 第i次取出黑球，i 1, 2,...n, 则所 求的概率为P ( A1... An1 An1 1... An ) p
则 p P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( An1 | A1 An1 1 ) *P( An1 1 | A1 An ) P( An | A1 An1 An1 1 An-1 )
B
AB A
S
2 定义
P( AB) 设A,B是两个事件且P(A)>0,称 P( B A) P( A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
条件概率也符合概率的公理化定义中的三个条件：
1) 非负性 对于每一事件B,有P(B|A)>=0;
2) 规范性 对于必然事件S,有P(S|A)=1;
3) 可列可加性 :
也可以直接按条件概率的含义来求 P(B A) ：
概率论与数理统计应用案例分析(徐小平主编)PPT模板
第3章连பைடு நூலகம்型随机 变量
3.1连续型随机变量理论简介 3.2应用案例分析
第3章连续 型随机变量
3.1连续型随机变量理论简 介
0 1 3.1.1连续型随机变量及其概率密度 函数
02
3.1.2连续型随机变量的分布函 数
03
3.1.3连续型随机变量函数的分 布
0 4 3.1.4二维连续型随机变量及其概率 密度
题
第1章事件及其概率
1.2应用案例分析
01 1.2.13 猜卡片数字
问题
02 1.2.14 鱼塘中鱼数
03 1.2.四桥形系统的
量的估计
可靠性问题
04 1.2.16 产品检验
05 1.2.17 小概率事件
part one
03 第 2 章 离 散 型 随 机 变 量
第2章离散型随机变量
2.1离散型随机变量理论简介 2.2应用案例分析
概率论与数理统计应用 案例分析(徐小平主编)
演讲人
202x-11-11
part one
01 前
言
前言
part one
02 第 1 章 事 件 及 其 概 率
第1章事件及其概 率
1.1事件及其概率理论简介 1.2应用案例分析
第1章事件及其概率
1.1事件及其概率理论简 介
1.1.1事 件
1.1.2事 件的概率
4.1大数定律及中心极限定理理论 简介
4.1.1切比雪 夫不等式
4.1.2大数定 律
4.1.3中心极 限定理
第4章大数定律及中心极限定理
4.2应用案例分析
01 4.2.1 复杂数学等式 02 4.2.2数学中极限的
的证明
概率第一章第3讲 ppt课件
P(B|A)
2020/12/27
6 例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两 次，每次取一个，取后不放回。
(1)已知第二次取到红球，求第一次也取到红球的概率； (2)求第二次取到红球的概率； (3)求两次均取到红球的概率。
解 设A:第一次取到红球,B:第二次取到红球
(1)P( A | B) 1 (2)P(B) 21 3 2 2
P(B A) P( AB) P( A)
2020/12/27
11
例2 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两
色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的
是一只红球，试求该红球是新球的概率。
设A:从盒中随机取到一只红球。
红白
B:从盒中随机取到一只新球。 新 40 30
nA 60 nAB 40
设事件组A1, A2,…,An组成样本空间Ω的一个划分， 且设 P(Ai)>0, (i=1,2,…n),则
n
P(B)＝ P(Ai )P(B | Ai ) i 1
此公式称为全概率公式。
例4 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求他 迟到的概率。
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)...P(An|A1…An－1)
2020/12/27
14 三、全概率公式与贝叶斯公式
在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概率， 推算出未知的复杂事件的概率。
为此，常须把一个复杂事件分解为若干个互不相容 的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结 果。 完备事件组
2020/12/27
19
3、贝叶斯公式(Bayes)
2020/12/27
6 例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两 次，每次取一个，取后不放回。
(1)已知第二次取到红球，求第一次也取到红球的概率； (2)求第二次取到红球的概率； (3)求两次均取到红球的概率。
解 设A:第一次取到红球,B:第二次取到红球
(1)P( A | B) 1 (2)P(B) 21 3 2 2
P(B A) P( AB) P( A)
2020/12/27
11
例2 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两
色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的
是一只红球，试求该红球是新球的概率。
设A:从盒中随机取到一只红球。
红白
B:从盒中随机取到一只新球。 新 40 30
nA 60 nAB 40
设事件组A1, A2,…,An组成样本空间Ω的一个划分， 且设 P(Ai)>0, (i=1,2,…n),则
n
P(B)＝ P(Ai )P(B | Ai ) i 1
此公式称为全概率公式。
例4 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求他 迟到的概率。
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)...P(An|A1…An－1)
2020/12/27
14 三、全概率公式与贝叶斯公式
在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概率， 推算出未知的复杂事件的概率。
为此，常须把一个复杂事件分解为若干个互不相容 的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结 果。 完备事件组
2020/12/27
19
3、贝叶斯公式(Bayes)
随机事件PPT(共19张PPT)
（3）抽到的数字会是0吗？ 绝对不会是0
（4）抽到的数字会是1吗？
12345
可能是1，也可能不是1，事先无法确定
问题2 小伟掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分
别刻有 1 到 6 的点数. 请思考以下问题：掷一次骰子，
在骰子向上的一面上，
（1）可能出现哪些点数？ 1、2、3、4、5、6
（2）出现的点数大于0吗？
4个黑棋2个白棋
只要使两种棋子的个数相等
嘿嘿,这次 非让你死不
可!
相传古代有个王国，国王非常阴险而多疑，一位正直的大 臣得罪了国王，被叛死刑，这个国家世代沿袭着一条奇特的法 规：凡是死囚，在临刑前都要抽一次“生死签”（写着“生”
和“死”的两张纸条），犯人当众抽签，若抽到“死”签 ，则立即处死，若抽到“生”签，则当众赦免.
课堂练习 完成课本 P129 练习1、2
国王一心想处死大臣，与几个心腹密谋，想出一条毒计 ：暗中让执行官把“生死签”上都写成“死”，两死抽一，
必死无疑. 然而，在断头台前，聪明的大臣迅速抽出一张签纸塞进
嘴里，等到执行官反应过来，签纸早已吞下，大臣故作叹息 说：“我听天意，将苦果吞下，只要看剩下的签是什么字就 清楚了.”剩下的当然写着“死”字，国王怕犯众怒，只好当
谚语中蕴含着这样的思想：当具备某条件时，某结果出现的可能性非常大. 朝霞不出门，晚霞行千里 （3）出现的点数会是7吗？ （2）出现的点数大于0吗？ 然而，在断头台前，聪明的大臣迅速抽出一张签纸塞进嘴里，等到执行官反应过来，签纸早已吞下，大臣故作叹息说：“我听天意，将苦果吞下，只要看剩下的签是什么字就清楚了.
问题3 袋子中装有4个黑棋、2个白棋，这些棋子的形状、 大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别. 在看不到 棋子的条件下，随机从袋子中摸出1个棋子.
随机事件及其概率幻灯片课件
（5）从分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的 的10张号签中任取一张，得到4号签。 随机事件
随机事件及其概率-幻灯片
通过上面的学习，我们将事件主要分 为以下三类：
1.必然事件 2.不可能事件 3.随机事件
实际上，生活中有很多事件是随机事件，它们有 可能发生，也有可能不发生。那么它们是不是就毫无 规律的随意发生呢？
上的概率就是3/7; C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； D.概率就是事件发生可能性的大小。
随机事件及其概率-幻灯片
例3．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数(n)
10 20 50 100 200 500
击中靶心次数(m) 8 19 44 92 178 455
击中靶心频率
例如: ⑤抛一枚硬币,正面朝上; ⑥某人射击一次,中靶.等等.
随机事件及其概率-幻灯片
例1 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是 随机事件：
（1）嘉兴一中明年1月1日刮西北风； 随机事件
（2）当x是实数时， x 2 0;
必然事件
(3) 手电筒的电池没电，灯泡发亮； 不可能事件
（4）抛出一枚硬币，它的正面朝上。 随机事件
接近于常数0.5，在它左右摆动 随机事件及其概率-幻灯片 连接
在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率 m 总是接近于 n
某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率， 记做P(A)
问题：
1.对于一个随机事件，我们怎么得到它的概率呢？ 答：(1)基本方法是通过大量的重复试验；
(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事 件A的概率；
n
随机事件及其概率-幻灯片
概率论与数理统计-五大数定理-PPT
5
300
P
Xi 0
i 1
n
10
n
P
300
Xi
i 1
5
0
2
2 2 2 2 1 0.9544
15
德莫威尔—拉普拉斯定理
设在独立实验序列中，事件A 在各次实验中发生的概率为
p0 p 1， 随机变量 表Yn示事件A 在n 次实验中发生的次
数，则有
lim
n
P
Yn
Ai 表示“在第 i 次试验中，事件A发生”。
n
Bn Ai 而 P( Ai ) p
i 1
P(Bn )
P n Ai i1
1
P
n i 1
Ai
1 P
A1
A2 An
1 P A1 P A2 P An 1 (1 p)n
显然，当n 时，P(Bn ) 1. [注] 小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验
X1 , X 2的, 算, X术n平均值：
X n 的数学期望是：EX n
1 n
n i 1
EX i
X n 的方差为：
DX n
1 n2
n
DX i
i 1
1 n
X n n i1 X i
∴若方差一致有上界，则
DX n
1 n2
nK
K n
由此，当
n
充分大时，
随机变量
X
分散程度是很小的，
n
也就是说， X n的值较紧密地聚集在它的数学期望 EX n的附近.
P200 (6)
26 6!
e2
0.012
此概率很小，据小概率事件的实际不可能性原理，
∴不能相信该工厂的次品率不大于0.01。
300
P
Xi 0
i 1
n
10
n
P
300
Xi
i 1
5
0
2
2 2 2 2 1 0.9544
15
德莫威尔—拉普拉斯定理
设在独立实验序列中，事件A 在各次实验中发生的概率为
p0 p 1， 随机变量 表Yn示事件A 在n 次实验中发生的次
数，则有
lim
n
P
Yn
Ai 表示“在第 i 次试验中，事件A发生”。
n
Bn Ai 而 P( Ai ) p
i 1
P(Bn )
P n Ai i1
1
P
n i 1
Ai
1 P
A1
A2 An
1 P A1 P A2 P An 1 (1 p)n
显然，当n 时，P(Bn ) 1. [注] 小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验
X1 , X 2的, 算, X术n平均值：
X n 的数学期望是：EX n
1 n
n i 1
EX i
X n 的方差为：
DX n
1 n2
n
DX i
i 1
1 n
X n n i1 X i
∴若方差一致有上界，则
DX n
1 n2
nK
K n
由此，当
n
充分大时，
随机变量
X
分散程度是很小的，
n
也就是说， X n的值较紧密地聚集在它的数学期望 EX n的附近.
P200 (6)
26 6!
e2
0.012
此概率很小，据小概率事件的实际不可能性原理，
∴不能相信该工厂的次品率不大于0.01。
概率论第一章例题.ppt
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回 地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率. 解 设 A { 前 2 次摸到黑球, 第 3 次摸到红球} 第3次摸到红球 4种 1次摸到黑球 6种 第2
第3 2 1次摸球
10种
6 6 4 故 P ( A) 103
“但你是幸运的．因为你找到了我，我已经看过 九个病人了，他们都死于此病.” 医生的说法对吗?
练习 已知 P ( A) 12 , P ( B) 13 , P (C ) 15 , P ( AB) 110, P ( AC) 115,
P ( BC) 1 20, P ( ABC) 130,
以 ( i , j ) 表示第一次、第二次分 别取到第 i 号、第 j 号产品, 则试验的样本空间为 {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4) ,, (4,1), (4,2), (4,3)},
A {(1,2), (1,3), (1,4), ( 2,1), ( 2,3), ( 2,4), ( 3,1), ( 3,2), ( 3,4)}, AB {(1,2), (1,3), ( 2,1), ( 2,3), ( 3,1), ( 3,2)},
纸的订户中, 订阅 A 报的有 45%, 订阅 B 报的有 35%, 同时订阅 2 种报纸 A, B 的有10%, 求只订一 种报纸的概率 . 记事件 A {订阅A报},
解
B {订阅B报}, 则 {只订一种报} AB BA ,
P ( A) P ( AB) P ( B) P ( AB)
又这两件事是互不相容的, 由概率加法公式及性质 3, P ( A AB ) P ( B AB ) 有
概率统计PPT课件
、条件概率
条件概率的概念 在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
第1页/共54页
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？
i 1
i 1
应用乘法公式
第21页/共54页
称 P(Ai)为先验概率，它是由以往的经验 得到的， Ai是事件B的原因 事件 B视为结果。
例1 甲乙两个口袋中各有3只白球,2只黑球,从甲袋 中任取一球放入乙袋中,求再从乙袋中取出一球 为白球的概率.
第22页/共54页
解 设B表示“最后从乙袋中取出一球为白球”事件
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未 抽到，计算得：
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
第15页/共54页
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、 第2个人都没有抽到. 因此
P( A3) P( A1A2 A3) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2)
第13页/共54页
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5.
则 A表i 示“第i个人未抽到入场券”
显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
也就是说， 第1个人抽到入场券的概率是1/5.
第14页/共54页
由于 A2 A1A2
由乘法公式
P( A2) P( A1)P( A2 | A1)
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
后抽比先抽的确实吃亏吗？
条件概率的概念 在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
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例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？
i 1
i 1
应用乘法公式
第21页/共54页
称 P(Ai)为先验概率，它是由以往的经验 得到的， Ai是事件B的原因 事件 B视为结果。
例1 甲乙两个口袋中各有3只白球,2只黑球,从甲袋 中任取一球放入乙袋中,求再从乙袋中取出一球 为白球的概率.
第22页/共54页
解 设B表示“最后从乙袋中取出一球为白球”事件
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未 抽到，计算得：
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
第15页/共54页
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、 第2个人都没有抽到. 因此
P( A3) P( A1A2 A3) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2)
第13页/共54页
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5.
则 A表i 示“第i个人未抽到入场券”
显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
也就是说， 第1个人抽到入场券的概率是1/5.
第14页/共54页
由于 A2 A1A2
由乘法公式
P( A2) P( A1)P( A2 | A1)
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
后抽比先抽的确实吃亏吗？
概率论第2章ppt课件
(5) P{恰好2.5分钟}
.
11
第2章 随机变量及其分布
解：
习题19
(1) P{至多3分钟} P { X 3 } F X (3 ) 1 e 0 .4 3 0 .69 (2) P{至少4分钟}
P { X 4 } 1 P { X 4 } 1 F X ( 4 ) e 0 .4 4 0 .20
同理 P{X2}5219 P{X3}4217
36 36
36 36
P{X4}3215 P{X5}2213
36 36
36 36
P{X 6} 1 36
.
3
第2章 随机变量及其分布
习题8
8. 甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6和0.7。今各投三次。求(1)两人投中次数 相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.
.
9
第2章 随机变量及其分布
习题16
16. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为0.0001. 在某天的该时间段内有1000量汽车通过。问出事故的车辆 数不小于2的概率是多少？(利用泊松定理计算)
解：令在该段时间内发生事故的车辆数目为X, 根据题意知：
0
20
22 4
令 y x2
AI1A1 4
I b3/2
.
15
第2章 随机变量及其分布
习题22(2)
22(2) 研究了英格兰在1875年~1951年期间，在矿山
发生导致不少于10人死亡的事故的频繁程度，得知
相继两次事故之间的时间T(日)服从指数分布，其
概率密度为
fT
(t)
1
et
241
, /241
(1) 解：从8杯酒中随机地挑选4杯，共有
概率论与数理统计课件完整版.ppt
k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
类似地,
事件
SAK
为可列B 个事件A1,
A2,
...的积事件.
k 1
(2)A B
A B
(3)A B
S
9
4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
A - B A AB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
s
A B
(4)A B
10
5.事件的互不相容(互斥): 若A B ,则称A与B是互不相容的,或互斥的,即
A与B不能同时发生.
B
A B
A
11
6. 对立事件(逆事件)：
若A B S且A B ，则称A与B互为逆事件，也称
P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
25
2.概率的性质：
性质1. P() 0.
性质2. 若 A1, A2, , An是两两互不相容的事件, 则 P(A1 A2 An)
P(A1) P(A2) P(An). (有限可加性)
性质3. 若A B,则有 P(B A) P(B) P(A);
2. 频率的基本性质：
(1) 0 f（n A） 1；（非负性）
(2) fn(S) 1;
（规范性）
（3）若A1，A2， , Ak两两互不相容,则
fn ( A1 A2 Ak ) fn ( A1 ) fn ( A2 ) fn ( Ak ).(有限可加性）
3. 频率的特性: 波动性和稳定性.
概率论习题课PPT课件
(x )2
x
2
f ( x)dx
1
2
(x )2
f ( x)dx
DX
2
2 2
第3页/共65页
P{|
X
|
}
2 2
DX
2
(1)
式(1)表明当DX很小时，概率P{|X-EX|≥} 更小。 这就是说在上述条件下，随机变量X落入EX的邻域 之外的可能性很小，也即落入EX的邻域内可能性 很大。由此说明X的取值比较集中，也即离散程度较 小，这正是方差的意义所在。
均值X 也会“接近”它的期望值，即
X
1 n
n i 1
Xi
P
(n )
这就为寻找随机变量的期望值提供了一条实际 可行的途径。
第12页/共65页
三、典型例题
例2 设随机变量 X1, X2,, Xn ,相互独立,
Xn na 0 na
具有如下分布律： P
1 2n2
1
1 n2
1 2n2
问是否满足契比雪夫定理?
第26页/共65页
定对理于7相（互李独雅立普但诺不夫同L分iap布un的ov随定机理变）量设和随的机分变布量的X1，
X极2，限…问，题X,n 有，李…雅相普互诺独夫立中，心且极限定理。
n
EX i
i , DXi
2 i
0,
(i 1,2,)，记Bn2
2 i
i 1
若存在 >0，使得
1
Bn2
n
E | Xi i |2 0
在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中出现的概率
为p，Yn为n次试验中事件A出现的次数，则对任意的x，
有
lim P Yn np x 1
概率论与数理统计 张天德版 第一章 课件 例题
三 全概率公式和贝叶斯公式
引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球， 现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取2球，求从乙盒取出2 个红球的概率． 影响从乙盒中取2个红球概率的关键因素是什么？ 解 设A1＝从甲盒取出２个红球; A2 ＝从甲盒取出２个白球; A3＝从甲盒取出1个白球1个红球 ；B=从乙盒取出２个红球; 则 A1, A2, A3 两两互斥，且A1∪A2∪A3 ＝S, 所以 B=SB＝(A1∪A2∪A3)B＝ A1B∪ A2B∪A3B, P(B)=P(A1B∪A2B∪A3B)=P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B) = P(A1 )P(B| A1)＋P(A2)P(B| A2)＋P(A3)P(B|A3)
ta t ra r . r t 3a r t 2a r t a r t
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下 时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次 落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第 三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而 未打破的概率. 解 以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
入场 券 5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取. “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
后抽比先抽的确实吃亏吗？
“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”
到底谁说的对呢？让我们用概率 论的知识来计算一下,每个人抽到“ 入场券”的概率到底有多大?
1 1 C 22 C 32 C 32 0 C 3 C 2 C 22 3 2 2 2 2 2 2 . C5 C7 C5 C7 C5 C 7 70
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7
解 记 Hi {抽到地区考生的报名表 }, i 1, 2, 3;
Aj {第 j 次抽到报名表是男生的}, j 1,2,
则有
P(Hi
)
1 3
(i
1,2,3);
P(
A1
H1
)
7; 10
P(
A1
H2
)
8; 15
P( A1
H3)
20 . 25
(1)由全概率公式知
3
p P( A1 ) P(Hi )P( A1 Hi ) i 1
2, 5,相应的概率依次为 1 , 3 , 5 , 7 ,试求概率 a 2a 4a 8a
P{ X 2 X 0}.
[思路] 首先根据概率分布的性质求出常数
a的
值, 然后确定概率分布律的具体形式,最后再计
算解 利用概率分布律的性质 pi 1,
条件概率.
i
14
有
1
i
pi
1 a
3 2a
5 4a
7 8a
C {系统正常工作}. 从而由全概率公式知
P(C) P(B5 )P(C B5 ) P(B5 )P(C B5 ). 而 P(C B5 ) P[(B1 B2 ) (B3 B4 )]
[1 (1 p1 )(1 p2 )][1 (1 p3 )(1 p4 )],
12
P(C B5 ) 个地区的各10名、15名和25名考 生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和
5 份, 随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出 两份.
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p;
(2)已知后抽到的一份表是男生表,求先抽到 的一份是女生表的概率 p.
[思路] 由于抽到的表与来自哪个地区有关,故 此 题要用全概率公式来讨论.
三、典型例题
例1 一个工人生产了3个零件,以事件 Ai 表示他 生产的第 i 个零件是合格品 (i 1,2,3) , 试用 Ai (i 1,2,3) 表示下列事件:
(1) 只有第一个零件是合格品 (B1 ); (2) 三个零件中只有一个零件是合格品 (B2 ); (3) 第一个是合格品,但后两个零件中至少有一 个次品(B3 );
4
解 由题意知 P( A) 0.7, P(Bi A) 0.6, ( i 1,2)
由于 P( AB) 0, 因为 A 表示目标不在射程之内, 因此由全概率公式,有
P(B) P( AB) P( AB) P( AB) P( A)P(B A)
P( A)P(B1 B2 A), 由题意知 B1 与 B2 相互独立,
5
从而 P(B1B2 A) P(B1 A)P(B2 A) 0.6 0.6 0.36.
由加法公式得
P(B1 B2 A) P(B1 A) P(B2 A) P(B1B2 A) 0.6 0.6 0.36 0.84.
故 P(B) P( A) P(B1 B2 A) 0.7 0.84 0.588.
1 3
3 10
7 15
5 25
29 . 90
8
(2)
q
P( A1
A2 )
P( A1A2 ) , P( A2 )
由全概率公式得
P( A1A2 )
3 i 1
P(Hi )P( A1 A2
Hi )
1 3
3 i 1
P( A1 A2
Hi ),
又因为
P( A1 A2
H1)
3 10
7 9
7, 30
P( A1 A2
C B AB.
3
例3 假设目标出现在射程之内的概率为0.7,这时 射击命中目标的概率为0.6, 试求两次独立射击至 少有一次命中目标的概率.
[思路] 引进事件 A {目标进入射程}; Bi {第i次射击命中目标}, i 1,2.
故所求概率为事件B B1 B2的概率,由于目标 不在射程之内是不可能命中目标的, 因此 , 可利 用全概率公式来求解.
10
例5 桥式电路系统由5个元件组成(如图所示),设元 件Ai的可靠性为 pi (i 1,2, ,5),求此系统的可靠性.
A1
A3
A5
A2
A4
[思路] 为了求系统的可靠性,分两种情况讨论:
(1) 当 A5 工作正常时,相当于 A1, A2 并联,与 A3 , A4 并联电路再串联而得.
11
(2) 当 A5 失效时,相当于 A1, A3 串联再与 A2 , A4 串联电路进行并联而得. 解 记 Bi {元件Ai正常工作}, i 1,2, ,5,
37 , 8a
故 a 37 , 8
因此 X 的分布律为
X 2 0 2
5
8 12 10 7
P
37 37 37 37
15
从而
P{ X 2 X 0} P{ X 2, X 0} P{ X 0}
H2
)
7 15
8 14
8, 30
P(
A1 A2
H3
)
5 25
20 24
5 30
.
9
所以 而
P(
A1
A2
)
1 3
7 30
8 30
5 30
2 9
,
3
P( A2 ) P(Hi )P( A2 Hi ) i 1
1 3
3 i 1
P( A2
Hi
)
1 3
7 10
8 15
20 25
61 90
,
所以 q P( A1A2 ) 2 61 20 . P( A2 ) 9 90 61
2
例2 设随机事件 A, B,C 满足 C AB, C AB. 证明: AC C B AB. 证明 由于 C AB, 故 C A B,
从而 C B ( A B)B AB,
CAB C B AB C B, ACB C AB AB, 故 AC AC(B B) ACB AC B
1
(4) 三个零件中最多只有两个合格品 (B4 ); (5) 三个零件都是次品(B5 ). 解 (1) B1 A1 A2 A3;
(2) B2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3;
(3) B3 A1( A2 A3 ); (4) B4 A1 A2 A3 , 或 B4 A1 A2 A3; (5) B5 A1 A2 A3 , 或 B5 A1 A2 A3 . 说明 一个事件往往有多个等价的表达方式.
所以
1 (1 p1 p3 )(1 p2 p4 ),
P(C ) p5[1 (1 p1 )(1 p2 )][1 (1 p3 )(1 p4 )]
(1 p5 )[1 (1 p1 p3 )(1 p2 p4 )].
13
三、典型例题
例1 已知离散型随机变量 X 的可能取值为 2,0,
解 记 Hi {抽到地区考生的报名表 }, i 1, 2, 3;
Aj {第 j 次抽到报名表是男生的}, j 1,2,
则有
P(Hi
)
1 3
(i
1,2,3);
P(
A1
H1
)
7; 10
P(
A1
H2
)
8; 15
P( A1
H3)
20 . 25
(1)由全概率公式知
3
p P( A1 ) P(Hi )P( A1 Hi ) i 1
2, 5,相应的概率依次为 1 , 3 , 5 , 7 ,试求概率 a 2a 4a 8a
P{ X 2 X 0}.
[思路] 首先根据概率分布的性质求出常数
a的
值, 然后确定概率分布律的具体形式,最后再计
算解 利用概率分布律的性质 pi 1,
条件概率.
i
14
有
1
i
pi
1 a
3 2a
5 4a
7 8a
C {系统正常工作}. 从而由全概率公式知
P(C) P(B5 )P(C B5 ) P(B5 )P(C B5 ). 而 P(C B5 ) P[(B1 B2 ) (B3 B4 )]
[1 (1 p1 )(1 p2 )][1 (1 p3 )(1 p4 )],
12
P(C B5 ) 个地区的各10名、15名和25名考 生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和
5 份, 随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出 两份.
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率 p;
(2)已知后抽到的一份表是男生表,求先抽到 的一份是女生表的概率 p.
[思路] 由于抽到的表与来自哪个地区有关,故 此 题要用全概率公式来讨论.
三、典型例题
例1 一个工人生产了3个零件,以事件 Ai 表示他 生产的第 i 个零件是合格品 (i 1,2,3) , 试用 Ai (i 1,2,3) 表示下列事件:
(1) 只有第一个零件是合格品 (B1 ); (2) 三个零件中只有一个零件是合格品 (B2 ); (3) 第一个是合格品,但后两个零件中至少有一 个次品(B3 );
4
解 由题意知 P( A) 0.7, P(Bi A) 0.6, ( i 1,2)
由于 P( AB) 0, 因为 A 表示目标不在射程之内, 因此由全概率公式,有
P(B) P( AB) P( AB) P( AB) P( A)P(B A)
P( A)P(B1 B2 A), 由题意知 B1 与 B2 相互独立,
5
从而 P(B1B2 A) P(B1 A)P(B2 A) 0.6 0.6 0.36.
由加法公式得
P(B1 B2 A) P(B1 A) P(B2 A) P(B1B2 A) 0.6 0.6 0.36 0.84.
故 P(B) P( A) P(B1 B2 A) 0.7 0.84 0.588.
1 3
3 10
7 15
5 25
29 . 90
8
(2)
q
P( A1
A2 )
P( A1A2 ) , P( A2 )
由全概率公式得
P( A1A2 )
3 i 1
P(Hi )P( A1 A2
Hi )
1 3
3 i 1
P( A1 A2
Hi ),
又因为
P( A1 A2
H1)
3 10
7 9
7, 30
P( A1 A2
C B AB.
3
例3 假设目标出现在射程之内的概率为0.7,这时 射击命中目标的概率为0.6, 试求两次独立射击至 少有一次命中目标的概率.
[思路] 引进事件 A {目标进入射程}; Bi {第i次射击命中目标}, i 1,2.
故所求概率为事件B B1 B2的概率,由于目标 不在射程之内是不可能命中目标的, 因此 , 可利 用全概率公式来求解.
10
例5 桥式电路系统由5个元件组成(如图所示),设元 件Ai的可靠性为 pi (i 1,2, ,5),求此系统的可靠性.
A1
A3
A5
A2
A4
[思路] 为了求系统的可靠性,分两种情况讨论:
(1) 当 A5 工作正常时,相当于 A1, A2 并联,与 A3 , A4 并联电路再串联而得.
11
(2) 当 A5 失效时,相当于 A1, A3 串联再与 A2 , A4 串联电路进行并联而得. 解 记 Bi {元件Ai正常工作}, i 1,2, ,5,
37 , 8a
故 a 37 , 8
因此 X 的分布律为
X 2 0 2
5
8 12 10 7
P
37 37 37 37
15
从而
P{ X 2 X 0} P{ X 2, X 0} P{ X 0}
H2
)
7 15
8 14
8, 30
P(
A1 A2
H3
)
5 25
20 24
5 30
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9
所以 而
P(
A1
A2
)
1 3
7 30
8 30
5 30
2 9
,
3
P( A2 ) P(Hi )P( A2 Hi ) i 1
1 3
3 i 1
P( A2
Hi
)
1 3
7 10
8 15
20 25
61 90
,
所以 q P( A1A2 ) 2 61 20 . P( A2 ) 9 90 61
2
例2 设随机事件 A, B,C 满足 C AB, C AB. 证明: AC C B AB. 证明 由于 C AB, 故 C A B,
从而 C B ( A B)B AB,
CAB C B AB C B, ACB C AB AB, 故 AC AC(B B) ACB AC B
1
(4) 三个零件中最多只有两个合格品 (B4 ); (5) 三个零件都是次品(B5 ). 解 (1) B1 A1 A2 A3;
(2) B2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3;
(3) B3 A1( A2 A3 ); (4) B4 A1 A2 A3 , 或 B4 A1 A2 A3; (5) B5 A1 A2 A3 , 或 B5 A1 A2 A3 . 说明 一个事件往往有多个等价的表达方式.
所以
1 (1 p1 p3 )(1 p2 p4 ),
P(C ) p5[1 (1 p1 )(1 p2 )][1 (1 p3 )(1 p4 )]
(1 p5 )[1 (1 p1 p3 )(1 p2 p4 )].
13
三、典型例题
例1 已知离散型随机变量 X 的可能取值为 2,0,