第二章 位错的弹性性质(面缺陷)
2.4 位错的弹性性质
2.4 位错的弹性性质位错的弹性性质是位错理论的核心与基础。
它考虑的是位错在晶体中引起的畸变的分布及其能量变化。
处理位错的弹性性质有若干种方法，主要的有：连续介质方法、点阵离散方法等。
从理论发展和取得的效果来看，连续介质模型发展得比较成熟。
我们仅介绍位错连续介质模型考虑问题的方法和计算结果，详细的数学推导不作介绍，有兴趣的同学可进一步阅读教学参考书。
一、位错的连续介质模型早在1907年，伏特拉(Volterra)等在研究弹性体形变时，提出了连续介质模型。
位错理论提出来后，人们借用它来处理位错的长程弹性性质问题。
1.位错的连续介质模型基本思想将位错分为位错心和位错心以外两部分。
在位错中心附近，因为畸变严重，要直接考虑晶体结构和原子间的相互作用。
问题变得非常复杂，因而，在处理位错的能量分布时，将这一部分忽略。
在远离位错中心的区域，畸变较小，可视作弹性变形区，简化为连续介质。
用线性弹性理论处理。
即位错畸变能可以通过弹性应力场和应变的形式表达出来。
对此，我们仅作一般性的了解。
2.应力与应变的表示方法(1)应力分量如图1所示。
物体中任意一点可以抽象为一个小立方体，其应力状态可用9个应力分量描述。
它们是：图1 物体中一受力单元的应力分析σxx σxy σxzσyx σyy σyzσzx σzy σzz其中，角标的第一个符号表示应力作用面的外法线方向，第二个下标符号表示该应力的指向。
如σxy表示作用在与yoz坐标面平行的小平面上，而指向y方向的力，显而易见，它表示的是切应力分量。
同样的分析可以知道:σxx，σyy，σzz3个分量表示正应力分量，而其余6个分量全部是切应力分量。
平衡状态时，为了保持受力物体的刚性，作用力分量中只有6个是独立的，它们是：σxx，σyy，σzz，σxy，σxz和σyz，而σxy =σyx，σxz =σzx，σyz =σzy。
同样在柱面坐标系中，也有6个独立的应力分量：σrr，σθθ，σzz，σrθ，σrz，σθz。
ch2位错-2.5位错的动力学性质详解
➢ The dislocation segment responds to the force by bowing out. If the force is large enough, the critical configuration of a semicircle may be reached. This requires a maximum shear stress of tmax = Gb/R
2021/2/6 30
➢ If the shear stress is higher than Gb/R, the radius of curvature is too small to stop further bowing out. The dislocation is unstable and the following process now proceeds automatically and quickly.
Ch2 位错
2.1 位错理论的产生 2.2 位错的几何性质 2.3 位错的弹性性质 2.4 位错与晶体缺陷的相互作用 2.5 位错的动力学性质 2.6 实际晶体中的位错
2021/2/6 1
2.1 位错理论的产生
一、晶体的塑性变形方式 二、单晶体的塑性变形 三、多晶体的塑性变形 四、晶体的理论切变强度 五、位错理论的产生 六、位错的基本知识
8
（二）位错的均匀形核
➢ 设在某一驱动力F作用下形成半径为R的位错圈: 形成能＝位错圈自身的能量－驱动力所作的功
2021/2/6 9
➢ 假设,在无能量涨落时，晶体中要能自发萌生位 错圈，则有τc≈μ/10 ，这是一个很高的值， 接近晶体的理论强度;
➢ 实际屈服应力τ≈μ/1000，取ε=2b，则 Rc≈500b，临界形核功Uc≈650μb3,典型金属大 约是3KeV。而热涨落的能量大约是1/40eV，故 屈服应力下均匀形核显然是不可能的；
第二章 缺陷与位错
螺型位错的形成及其几何特征 如图2-8 (螺位错形 .spl演示） 。 演示） 如图 螺位错形 演示
图2-8 螺位错形成示意图
EF就是线缺陷 螺型位错。割开面 就是线缺陷--螺型位错 割开面ABCD就是滑移面， 就是滑移面， 就是线缺陷 螺型位错。 就是滑移面 滑移矢量为d，其方向为-z轴 平行。 周围的原 滑移矢量为 ，其方向为 轴，与EF平行。EF周围的原 平行 子面形成以EF为轴线的螺卷面 为轴线的螺卷面。 子面形成以 为轴线的螺卷面。
图2-4 电子显微镜下观察到的位错线
二、位错的基本类型 从位错的几何结构来看，可将它们分为两种基本类型， 从位错的几何结构来看，可将它们分为两种基本类型， 即刃型位错和螺型位错。 即刃型位错和螺型位错。 从滑移角度看， 从滑移角度看，位错是滑移面上已滑移和未滑移部分 的交界。 的交界。
刃型位错的形成及其几何特征 示意了晶体中形成刃型位错的过程。 ） 图2-5示意了晶体中形成刃型位错的过程。 (a.spl） 示意了晶体中形成刃型位错的过程
图2-6 刃型位错包含半原子面
刃型位错的几何特征： 刃型位错的几何特征： (1) 有多余半原子面。 有多余半原子面。 习惯上， 习惯上，把多余半原子面在滑移面以上的位错称为正 刃型位错，用符号“ 表示，反之为负刃型位错， 刃型位错，用符号“┻”表示，反之为负刃型位错，用 表示。 “┳”表示。 刃型位错周围的点阵畸变关于半原子面左右对称。 刃型位错周围的点阵畸变关于半原子面左右对称。
所谓局部滑移就是原子面间的滑移不是整体进行， 所谓局部滑移就是原子面间的滑移不是整体进行 ， 而是发生在滑移面的局部区域， 而是发生在滑移面的局部区域， 其他区域的原子仍然保 持滑移面上下相对位置的不变。 持滑移面上下相对位置的不变。
位错弹性性质
b ds 2 T sin d 2
ds rd
sin d 22
T Gb 2 ( 弯曲位错 2Βιβλιοθήκη Gb 2r0 .5)
位错弹性性质
5.位错的应力场及与其他缺陷的交互作用
位错的应力场 刃位错上面的原子处于压应力状态，为压应力场; 刃位
错下面的原子处于张应力状态，为张应力场;垂直于位错 线的任一截面上应力分量均相同。
的现象，柯氏气团的形成对位错有钉扎作用，是固溶强化 的原因之一。
位错与空位的交互作用 导致位错攀。高温下十分重要 位错弹性性质
位错与位错的交互作用
f=τb ，f=σb （刃位错）。
同号相互排斥，异号相互吸引。(达到能量最低状态。)
位错弹性性质
§3.2 .4 位错的生成与增殖
一、位错的生成
晶体中的位错来源主要可有以下几种。 （一）晶体生长过程中产生位错。其主要来源有：
位错弹性性质
弗兰克不全位错
弗兰克不全位错的形成：在完整晶
与抽出型层错联系的不全位错通常称负弗兰克不全位错；
体中局部抽出或插入一层原子所形 成。（只能攀移，不能滑移。）
而与插入型层错相联系的不全位错称为正弗兰克不全位错； 弗兰克位错属纯刃型位错。
位错弹性性质
图 正弗兰克不全位错的形成
位错弹性性质
图 负弗兰克不全位错的形成
位错弹性性质
（2）刃位错的应力场
图 刃位错周围的应力场
位错弹性性质
刃位错的应力场的特点： 同时存在正应力分量与切应力分量，而且各应力分量的大 小与G和b成正比，与r成反比。 各应力分量都是ｘ，ｙ的函数，而与ｚ无关。这表明在平 行与位错的直线上，任一点的应力均相同。 在滑移面上，没有正应力，只有切应力，而且切应力τxy 达 到极大值。 正刃型位错的位错滑移面上侧为压应力，滑移面下侧为拉 应力。 x＝±y时，σyy，τxy均为零，说明在直角坐标的两条对角线 处，只有σxx。
位错的弹性性质
(2) 位错的应变能
位错附近的原子离开了正常的平衡位置，使点 阵发生了畸变，导致晶体的能量增加，增加的能量 称为畸变能或应变能。其包括位错中心区域的应变 能和位错应力场引起的弹性应变能。
其中位错中心区域点阵畸变很大，不能用线弹 性理论计算其弹性应变能。据估计，这部分能量大 约占总应变能的10%左右，故通常予以忽略。
0 L r0 4 r
(1) 单位长度螺型位错的弹性应变能Ws为：
Ws
W L
s
Gb2
4
ln
R r0
(2) 刃位错的弹性应变能计算较复杂，其单位长 度刃位错的弹性应变能WE为：
WE
W L
E
Gb2
4 1
ln
R r0
(3) 混合位错的弹性应变能等于螺位错的弹性能和 刃位错的弹性能之和。
r0为位错中心区域的半径，可取 r0 b 2.5108cm R为位错应力场的最大作用半径，在实际晶体中 受亚晶的限制，可取 R 104cm ，则单位长度位 错的应变能为：
3.2.3 位错的弹性性质
晶体中有位错存在时，位错线及其周围的晶格 产生严重畸变，畸变处的晶体原子偏离平衡位置， 能量增高。位错线及其周围区域产生弹性应变和应 力场。
采用弹性力学方法来分析位错线周围的应力分 布，所得结果不适于位错中心区（中心区的原子排 列特别紊乱，既不能看成连续介质，也不是小位移， 超出了弹性变形的范围，因此，虎克定律不再适 用），它只适于位错中心区以外的区域（直到无穷 远处）。
形成刃位错时没有轴向位移，只有径向位移， 因而位移是二维的（平面应变）。但刃位错应力场 比螺位错复杂，此处不加讨论。其最后结果如下：
xx
D
y 3x2 x2
y2 y2 2
晶体缺陷5-位错的弹性性质
1）单位长度位错线的应变能U为：
U＝αGb2
取值中限0.75
＝0.75×4×1010×（2.5×10-10）2
＝18.75×10－10J/m
2）严重变形金属，单位体积（cm3）内位错应变能为： U＝18.75×10－10×1011 ＝187.5J/cm3
换算成单位质量（g）铜晶体内位错的应变能为： U＝（187.5/8.9）J/g
4
ln r0
3、混合位错的弹性能
U刃
1
1
U螺
3 2 U螺
U混
Gb2
4k
ln
R r0
Gb2
其中：k=1-v/(1-vcos2θ)，0.5≤α≤1
结论
UT U el Gb 2
（1）总应变能 UT=U0+Uel
Uel∝lnR/r0
长程,
U0
1 10
UT
可忽略。
（2）UT∝b2，晶体中稳定的位错具有最小的柏氏矢
似：对圆柱体上各点产生两种切应力，即 tz t z
t z t θz
t z t θz
从这个圆柱体中取一个半径为r的薄壁圆筒展开，
便能看出在离开中心r处的切应变为
t z
t z
G
Gb
2r
b 2 r
yL
r0
z
r P tz θ t z b
t z
L
x
过P点取平面展开
t z
b
2 r
P
z
t z t z
t z
课前复习
1.什么是应力，其表达式是什么？
应力是作用在单位面积上的力 σ＝F/A
2.螺位错应力场的应力分量的极坐标表示。
0 0
第二章 位错的弹性行为.ppt
s xx t xy t xz
t yx s yy t yz
t
zx
t zy
s
zz
s rr t r t rz t r s t z t zr t z s zz
返回
• 平衡状态，有切应力互等定 律。否则六面体将发生转动。
t yx t xy t xz t zx t yz t zy t r t r t rz t zr t z t z
第二章 位错的弹性行为
位错的弹性交互作用 与材料强度的关系
返回
章目录:
2.1 位错的应力场与应变能 2.2 位错的受力与交互作用 2.3 位错的运动与增殖 2.4 实际晶体中的位错
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2.1 位错的应力场与应变能
一、应力场
1、应力分量 • 弹性体受力后，其内部各点
处的应力状态不同。为了研 究物体内应力随位置的变化 规律，首先取坐标定位。
x
★ 显然两根平行的同号螺位 错将排斥。异号位错将吸 引，最后消失。
返回
s xx t xy 0 t yx s yy 0
2、平行刃位错间的作用力（只考虑滑移力） 0 0 s zz
• 刃位错应力场中,有σxx 、σyy 、 σzz，它们只能引起第二根位错 发生攀移，不考虑。
• 还有τxy和τyx两个切应力分量，
• 虎克定律是联系应力与应变的桥梁
s E t Gr
y
b
tyx
yx
b a
t
yx
Gb a
a
x
z
返回
2、螺位错的应力场
• 在位错中心区域应变很大，不能用虎克定律讨论，只有在较远处 才能用其作近似讨论。
• 取各向同性的空心圆柱体，圆柱中线选为z轴，沿xz平面切开后,
2.位错的弹性应力场
滑移面（y=0）只有切应 力；
多余半原子面处（x=0） 只有正应力
y>0处为压应力
y<0处为拉应力
Y=x，y=-x处，纯拉压状 态
刃位错的等应力曲线
单位G/400（1-ν）
混合位错的应力场
由其中的螺位错与刃位错的应力应变场叠加得 到
1 r
3.位错的应变能
因何而生： 畸变。 又称自能 E=Ec+Ee
忽略较小的错排能Ec，E=Ee
表示为；W/L——单位长度位错线的能量
如何求解： 1.找出区域内应变能的体积密度函数并积分 2.通过形成一个位错所做的功确定
直螺型位错的应变能 应变能密度函数积分法
W L
=
G4bπ2 ln
rR0
直刃型位错的应变能
外力做功形成位错法
W L
=
Gb2 4π(1-ν)
螺型位错的模型
螺位错应力应变场分布
εxx =εyy =εzz
x2
y +
y2
εyz
=
b 4π
x2
x +
y2
σxx =σyy =σzz =σyx = 0
σxz
=
-
Gb 2π
x2
y +
y2
σyz
=
Gb 2π
x2
x +
y2
没有正应力和正应变，只有切应力和切应变
柱坐标下：
1.3 位错的弹性性质
弹性性质包含的内容
应力应变场 弹性应变能 位错的线张力 位错间作用力 位错与其它缺陷的作用
研究弹性性质的意义 弹性性质影响材料的性能
学习用建模的方法来研究 弹性性质
位错的弹性性质
z
而相应的切应力便为
b 2r
z z G z
Gb 2r
G称为剪切模量，其余应力分量均为0。
rr zz r r rz zr 0
若用直角坐标表示
螺型位错的应力场具有以下特点：
（1）只有切应力分量，正应力分量全为零，这表明螺位错 不引起晶体的膨胀和收缩。
第二个下标代表应力方向。
例如
xy
表示作用在x面上沿y轴方向的应力（所谓x 面就是外法线沿x轴方向的平面。
x x , y y 和 z z 三个正应力通常简写为 x , y 和 z
从以上讨论可知，要确定一点的应力状态，需要给出通 过该点的3个正交平面上的9个应力分量。
x , x y , x z , பைடு நூலகம் y , y x , y z , z , z x , z y
体表面的外法线方向相反，则此力为压力，它所产生的应力就 是压应力。拉应力和压应力都和作用面垂直，统称为正应力。 如果作用力平行于作用面，则此力称为剪力（切力），单 位面积上的剪力就称为剪应力，它力图改变物体的形状，而不
改变体积。
在一般情形下，作用力和作用面即不垂直，也不平行，此 时它所引起的应力就可以分为正应力和剪应力 。
物体中任意一点的应力状态均可用九个应力分量描述，图分
别用直角坐标和圆柱坐标说明这九个应力分量的表达方式。
(a)直角坐标； (b)圆柱坐标的正应力及切应力表示办法 物体中一点(图中放大为六面体)的应力分量
下面我们讨论应力的标注方 法及其意义。
表示正应力， 表示剪应力。
不同面和方向的应力下标区别， 第一个下标代表应力的作用面，
的大小与G和b成正比，与r成反比，即随着与位错距离的
位错理论3-位错的弹性性质
31
Line tension of dislocation
位错的线张力：
因为位错的总应变能与位错线的长度成 正比； 所以为了降低系统的能量，必须有位错 线由曲变直，由长变短的自发倾向。
该倾向视为：一个张力沿位错线作用 位错线张力T定义：使位错线增长一 定长度dl所做的功W，即：
3 s E Ee 2
e e
所以，刃位错的弹性应变能比螺位错大50%
24
Strain energy of mixed dislocation
混合位错：
因为： b b b b cosq b sin q m e s
所以
2 2 2 2 Gb sin q R Gb cos q R m s e Ee Ee Ee ln ln 4 (1 ) r0 4 r0
20
Strain energy of screw dislocation 单位长度的螺位错的应变能Eess：
Gb R E ln 4 r0
S e
2
21
Strain energy of edge dislocation 刃位错Eee：
位错在滑移面上 （x方向）只有切 应力分量sqr 且q＝0
对于位错，除了位错中心严重畸变区外， 均适用于上述模型。
2.位错的弹性理论
➢单元体运动时：
xx
x
yx
y
zx
z
X
2ux t 2
xy
x
yy
y
zy
z
Y
2uy t 2
xz
x
yz
y
zz
z
Z
2uz t 2
4. 应变与位移的关系
xx
ux x
,yy
uy y
,zz
uz z
xy
1 (ux 2 y
uy x
)
1 2 xy
xz
1 (ux 2 z
uz x
)
1 2 xz
zz
2.2 位错的应力应变场
1.螺位错的应力应变场 （1）模型建立
错排模型：
不方便数学处理， 不采用
螺型位错的模型——连续介质模型
假设晶体是各向同性的均匀连续弹性介质，位错处 在无限大的连续介质中
优点：模型简单
缺点：中心区不适用
应力应变场求解的一般思路
(1) 确定位移 ux,u y,uz
(2) 由位移确定
xx yx zx 0
x y z
考虑应力-应变-位移关系
xy yy zy 0
x y z
xz yz zz 0
x y z
➢ 用位移分量表示的平衡方程
2ux
1 1 2v
x
0
2uy
1 1 2v
y
0
2uz
1 1 2v
z
0
其中：
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
,
xx
yy
r x2 y2
2.P-N位错的能量
W =We+Wm
晶体结构缺陷 (二)位错的分类和伯格斯矢量
知识点055. 晶体的塑性变形变形前变形后滑移ττ单晶试棒在拉伸作用下的变化晶体结构不同，面心立方晶体的12个滑移系统滑移系统数量不同。
滑移面和滑移方向往往是中原子最密排的晶面和晶向，因为最密排面的间距最大，阻力最小，密排方向上平移距离也最小，因此最容易滑移。
晶面间的滑移是滑移面上所有原子整体协同移动的结果（刚性滑动模型）。
理论计算与实际结果相差三个数量级！纯铁的理论临界切应力约3000MPa，实际屈服强度1-10MPa位错模型孪生[112]1a[112] 0)知识点056. 位错及分类定义：分类：刃位错、螺位错混合位错有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）刃位错刃位错形成：晶体在大于屈服值的切应力 作用下，以ABCD面为滑移面发生滑移。
EF 是晶体已滑移部分和未滑移部分的交线，称为位错线。
刃位错垂直刃位错螺位错螺位错形成：晶体在大于屈服值的切应力 作用下，以ABCD面为滑移面发生滑移。
EF 是晶体已滑移部分和未滑移部分的交线，称为位错线。
螺位错平行螺位错混合位错混合位错随堂练习：答：知识点057. 伯格斯矢量定义：性质：确定伯格斯矢量的步骤有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）刃位错伯格斯矢量的确定螺位错伯格斯矢量的确定伯氏矢量的性质伯氏矢量的性质伯氏矢量的性质伯氏矢量的性质随堂练习：答：。
位错基本理论
直到1950年后，电子显微镜实 验技术的发展，才证实了位错 的存在及其运动。
TEM下观察到不锈钢316L (00Cr17Ni14Mo2) 的位错线与位错缠结
26
位错类型： 位错：实质上是原子的一种特殊组态，熟悉其结构特点是掌
左螺型位错。
螺型位错特点
36
1）无额外半原子面，原子错排是呈轴对称的。
2）螺位错线与滑移矢量平行，故一定是直线，且位错线的 移动方向与晶体滑移方向互相垂直。
3）纯螺位错滑移面不唯一的。凡包含螺型位错线的平面都 可为其滑移面，故有无穷个，但滑移通常在原子密排面上， 故也有限。
晶体是不完整的，而有缺陷的。 滑移也不是刚性的，而是从晶体中局部薄弱地区(即缺陷处)
开始，而逐步进行的。
待变形晶体
弹性变形
出现位错
晶体的逐步滑移
位错迁移
晶体形状改变，但未断 裂并仍保留原始晶体结
构
25
1934年，泰勒（G.I.Taylor）、波朗依（M.Polanyi）和奥罗万 （E.Orowan）几乎同时从晶体学角度提出位错概念。
人们最早提出对位错的设想，是在对晶体强度作了一系列的 理论计算，发现在众多实验中，晶体的实际强度远低于其理 论强度，因而无法用理想晶体的模型来解释，在此基础上才 提出来的。
21
塑性变形：是提高金属强度和制造金属制品的重要手段。 早在位错被认识前，对晶体塑性变形的宏观规律已作了广泛
的研究。发现：塑性变形的主要方式是滑移，即在切应力作 用下，晶体相邻部分彼此产生相对滑动。
结等过程都与空位的存在和运动有着密切的联系。 （4）过饱和点缺陷（如淬火空位、辐照缺陷）还提高了金
《材料科学基础》课件3.2.4位错的弹性性质
fy
b2
Gb1b2 y(3x 2 y 2 ) 2π(1 ) (x 2 y 2 )32
b2
Gb1b2 y(3x 2 y 2 ) 2π(1 ) (x 2 y 2 )2
2
1
4
3
2
1
4
平行刃位错和螺位错间的交互作用 因为平行的刃位错和螺位错的应力场没有重叠的分量，所
以，它们间的交互作用为零。
ES
Gb 2
4
ln
R r0
(2) 刃型位错应变能
单位长度刃型位错应变能
Ee
Gb2
4 (1
v)
ln
R r0
（3）混合位错的应变能
设混合位错的柏氏矢量b与位错线交角为θ，则：
be b sin, bs b cos
EM Ee ES
Gb2 sin2 lnR Gb2 cos2 lnR
4(1r) r0
a) 位错的应力场 位错线附近的原子偏离了正常位置，引起点阵畸变，从而产 生应力场。 （1）位错中心部，原子排列特别紊乱，超出弹性变形范围 （2）中心区外，应力场用各向同性连续介质弹性理论来处理。 （3）分析位错应力场时，常设想把中心区挖去，而在中心区以 外的区域采用弹性连续介质模型导出应力场公式。 假设：1.完全服从虎克定律，即不存在塑性变形；
定量计算2个位错间交互作用力的简单方法：把其中一个位错 （A）的应力场看作是另一位错（B）的“外加应力场”，这应力 场对B位错的作用力就是A位错对B位错的作用力。
两个平行螺位错间的交互作用
➢ S1和S2是2个平行z轴的螺位错，它们的柏氏矢量分别为b1和b2， S1位错在z轴， S2位错处在(r,θ)处。
如果作用力平行于作用面，则此力为剪力（切力），单位 面积上的切力被称为切应力。它力图改变物体的形状，而不 改变体积。
第二章 位错的弹性性质A0318
t
t
Fd
t
Fd
t
若在外正应力 的作用下，对刃型位错来说，会在垂直 于滑移面的方向运动，即发生攀移，也称为攀移力(climb force) Fy。 Fy = - b
Fy 的方向与位错线攀移方向一致 为拉应力时，Fy向下
Fy
公式推导
外力τ使长为l的位错移动了ds， τ作功dw1
dw1 (t l ds)b
位错间的作用力
通过彼此的应力场实现：
1）两平行螺位错的交互作用
由于应力场中只有切应力分量，所以只受到径向作用力fr：
fr
t1b2
Gb1b2
2 r
排斥
吸引
2）两平行刃位错的交互作用
在位错e1的应力场中存在切应 力和正应力，分别导致e2沿x方 向滑移和沿y方向攀移
沿x方向的切应力分量（滑移）：
dW
1 2
z
z
dV
dV 2r dr L
z
Gb
2r
z
b
2r
dW 1 Gb b 2r dr L 2 2r 2r
Gb 2 dr L
4r
3 作用在位错上的力 force on a dislocation
在外切应力 t 的作用下，位错的移动可以理解为有一个垂直于位错线 的力 Fd 作用于位错线上。Fd = t b
结果：
应变：y
b
2r
— —仅轴向有应变
应力： z
z
Gz
Gb
2r
rr zz r r ry yr 0
2 章 位错的弹性理论
正负号：正面正方向为正，负面负方向为正。 正面负方向为负，负面正方向为负。
由于位错产生的畸变往往具有
轴对称性，有时采用圆柱坐标 系更为方便，如图2.2所示 。 某一点M的直角坐标可用圆柱 坐标表示为： x=rcosθ, y=rsinθ, z=z
反之，圆柱坐标也可用直角坐
图2.2 直角坐标和圆柱坐标 的关系
长度拉长（△l>0）的同时要变细（△d<0），
所以前边加负号，以使ν 为正值。
3. 平衡微分方程
为研究物体的平衡问题，取一小的平行六面微
分体进行研究，其受力情况见图2.5。其六个面 垂直于各轴，棱边的长度分别为dx，dy，dz。
作用在前后两面上的 应力相差是 xx dx ， x 其余类推。 作用在微分六面体上 的体积力为： Xdxdydz，Ydxdydz， Zdxdydz。
5. 应力与应变的关系
设弹性体为均匀各向同性，当σ < σ e时，符合
胡克(Hooke)定律： 用σ 表示ε ： xx 1 xx yy zz
yy
E 1 yy xx zz E 1 zz xx yy E 1 xy 2 1 xz 2 1 yz 2
1. 弹性体(Elastic Solid)及弹性连续介质 去掉外力后恢复原状的物体称为弹性体。 弹性连续介质是对晶体作了简化假设之后提出的模型， 用它可以推导出位错的应力场及有关弹性参量函数。 这个模型对晶体作了如下假设： 1）完全服从胡克定律，即不存在塑性变形； 2）是各向同性的； 3）为连续介质，不存在结构间隙。 显然，这样的假设是不符合晶体实际情况的。因为晶 体的质点不是连续分布的；晶体中也不存在完全没有 塑性变形的情况；至于各向异性更是晶体的一个特征。 但是对晶体作这样的简化之后，推导出的弹性力学函 数，除了对位错中心存在严重畸变的区域不适用外， 对大部分存在弹性变形的点阵区域都是合适的。
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第三节面缺陷Planar defects
晶界孪晶界相界大角度晶界小角度晶界
外表面
内表面
外表面：指固体材料与气体或液体的分界面。
它与摩擦、
吸附、腐蚀、催化、光学、微电子等密切相关。
内界面：分为晶粒界面、亚晶界、孪晶界、层错、相界面等
一、外表面Surface
特点：外表面上的原子部分被其它原子包围，即相邻原子数比晶体内部少；表面成分与体内不一；表面层原子键与晶体内部不相等，能量高；表层点阵畸变等。
表面能：晶体表面单位面积自由能的增加，可理解为晶体表面产生单位面积新表面所作的功
γ = dW/ds
表面能与表面原子排列致密度相关，原子密排的表面具有最小的表面能；
表面能与表面曲率相关，曲率大则表面能大；
表面能对晶体生长、新相形成有重要作用。
二、晶界和亚晶界
grain boundary and sub-grain boundary
晶界Grain boundary：在多晶粒物质中，属于同一固相但位向不同的晶粒之间的界面称为晶界。
是只有几个原子间距宽度，从一个晶粒向另外一个晶粒过渡的，且具有一定程度原子错配的区域。
晶粒平均直径：0.015-0.25mm
亚晶粒Sub-grain：一个晶粒中若干个位向稍有差异的晶粒；平均直径：0.001mm
亚晶界Sub-grain boundary：相邻亚晶粒之间的界面
晶界分类(根据相邻晶粒位相差)
小角度晶界：
（Low-angle grain boundary）
相邻晶粒的位相差小于10º
亚晶界一般为2º左右。
大角度晶界：（High-angle grain boundary）相邻晶粒的位相差大于10º大角度晶界小角度晶界
相邻晶粒各转θ/2
同号刃位错垂直排列相互垂直的两组刃位错垂直排列
两组螺位错构成
§θ<10°
§由位错构成
§位错密度↑——位向差↑——晶格畸变↑——晶界能↑位错密度——决定位向差与晶界能
注：
位错类型与排列方式——决定小角晶界的类型
Ni3(Al－Ti)中的倾斜晶界——旋转10°
——10°以上，一般在30°～40°重合点阵模型
↓
重合点阵+台阶模型
↓
重合点阵+台阶+小角晶界模型
重合位置点阵模型Coincidence site lattice model
当两个相邻晶粒的位相差为某一值时，若设想两晶粒的点阵彼此通过晶界向对方延伸，则其中一些原子将出现有规律的相互重合。
由这些原子重合位置所组成的比原来晶体点阵大的新点阵，称为重合位置点阵。
1/5重合位置点阵
晶界上重合位置越多，即晶界上越多的原子为两个晶粒所共有，则原子排列的畸变程度就越小，晶界能也相应越低。
Ni3(Al－Ti)中的倾斜晶界——旋转16.25°，重合25重位晶界
Ni3(Al－Ti)中的倾斜晶界——旋转36.87°，重合5重位晶界
Si3N4陶瓷的晶界
1）孪晶界
两晶粒沿公共晶面形成镜面对称关系
2）相界
相邻两相之间的界面
316L不锈钢中的退火孪晶
3）分类
点阵完全重合——共格
共格界面有弹性畸变的共格界面
点阵基本重合 点阵完全不重合
——非共格——部分共格+位错
——半共格
Fe3Al不全位错反相边界像
Fe3Al不全位错反相边界像（局部放大）
晶界缺陷多能量高结构复杂畸变能
1）2）
阻碍位错运动畸变应力场σb ↑ 细晶强化3）缺陷多、原子活性大晶界扩散速度高
能量高、结构复杂易满足固态相变条件相变
首发地
4）微量元素、杂质富集原子活性大化学稳定性差容易受腐蚀
缺陷多5）
6）晶界特点
晶界与亚晶界有什么异同？
请总结小角度晶界的位错组态。
孪晶界与相界有哪些异同点？
晶界有什么特点？。