应用随机过程论文

基于马尔科夫链的

大学生电脑市场占有率预测研究

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【摘要】

本文通过对马尔可夫过程理论中用于分析随机过程方法的研究,提出了将转移概率矩阵法应用于企业产品的市场占有率分析当中,认为该理论的无后效性和稳定性特点能够帮助企业在纵向和横向资讯不够充分的情况下克服预测的误差和决策的盲目性,并以大学生电脑市场为例，给出了均衡状态下的市场占有率模型,以期通过不同方案的模拟分析,帮助企业优化决策.

关键字：马尔可夫链;转移概率;矩阵;市场占有率;

一、问题概述

随着现代科技的迅速发展，笔记本电脑的使用早已经相当普遍了。而大学生无疑也是笔记本更换最可能的群体之一，本文中，通过对现有大学生的调查问卷得出大学生的现有笔记本的各品牌的市场占有率，并统计大家的更换意向，得出状态转移矩阵，从而运用上文中所介绍的马尔科夫链的计算和预测方法，得出我们的统计和预测结果。

调查统计：联想，戴尔，惠普，华硕，索尼，宏碁，苹果七个品牌电脑现在的市场占有率。并预测该不同笔记本电脑品牌在未来的市场占有情况。

二、问题分析

现代社会，马尔科夫链越来越多被应用于经济活动中。通过对市场现象的大量观察, 人们发现同类品的市场占有率分布是一个随时间不断变化的随机过程, 并且当期市场占有率与前一期的市场占有率有关, 而与再远期的关联却甚是微小。对市场占有率的这一定性认识, 及其与马尔可夫性的吻合, 启发了市场研究者们, 于是广泛地将马尔可夫理论应用于市场占有率的分析和预测中。

马尔可夫过程主要用于对企业产品的市场占有率的预测。我们知道，事物的发

展状态总是随着时间的推移而不断变化的，对于有些事物的发展，我们需要综合考察其过去与现在的状态，才能预测未来。在这种思维方式指导下，市场预测中的许多预测方法，如长期趋势变动预测法、移动平均法、指数平滑法、季节变动预测法等等都需要掌握一定时期内预测目标过去及现在的数据资料，再利用数学模型对未来进行预测。

而马尔可夫预测法却认为，只要当事物的现在状态为已知时，人们就可以预测将来的状态而不需要知道事物的过去状态，即人们只要掌握企业产品目前在市场上的占有份额，就可以预测将来该企业产品的市场占有率。概括起来，若把需要掌握过去和现在资料进行预测的方法称非马尔可夫过程，则非马尔可夫预测方法的特点是：回顾过去，立足现在，展望未来；而马尔可夫预测法的特点是：立足现在，展望未来，也即所谓的“无后效性”。

三、模型假设

1、本研究所得的数据可以正确的反应情况。

2、本问题中概率转移矩阵具有稳定性。

四、符号说明

五、模型的建立与求解

5.1模型建立

根据有关数据统计，依据随机变量市场占有率数据S 0，对[]+∞,0进行适当划分，计算得转移概率P ij ，通过P ij =P(X 1 = j | X 0 = i),可以得到P=()E j i Pij ∈,,，然后计算P (m)=(P

m ij

)(,i,j E

∈)。由此可构建市场占有率预测模型，即m 阶的马

尔柯夫链

{}0≥n I

m

：的转移矩阵： P m )

( = m

N N N N N N p p p p p p p p p ⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

2

12222111211

=

p

m

（1—1）

得到m 阶的转移概率，就可以得到m 个周期后的市场占有率的转移矩阵。

预测未来市场的占有率。假设初始市场占有率为 ),,,()

0()0(2)0(1)0(N

P P P S =，则有m 个周期之后的市场占有率为P S P S S m m m ⋅=⋅=-)1()0()( 即得

m

n n n n n n n

m m m p p p p p p p p p p p p P S P S S ⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛===-

2

1

2222111211

)

0()0(2)0(1)0()1()(),,(（1—2） 如果按公式（1-2）继续逐步求市场占有率，会发现，当m 大到一定的程度，

S (m ) 将不会有多少改变，即有稳定的市场占有率，设其稳定值为：

),,,(21n p p p S =，且满足121=+++n p p p ．

如果市场的顾客流动趋向长期稳定下去，则经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态，即顾客的流动，不会影响市场的占有率，而且这种占有率与初始分布无关．按照实际意义，我们可以近似的看待最终的市场占有率，得出计算式：

⎪⎩⎪⎨⎧==∑=n

i k

P SP

S 0

1 （1—3） 一般N 个状态后的稳定市场占有率（稳态概率）),,(21N p p p S =可通过解方程组

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=∑=1),,(),,(1

2

1

22221112112121n

k k nn n n n n n n p p p p p p p p p p p p p p p p

（1—4） 求得最终稳态时的市场占有率P ，而（1—4）的前N 个方程中只有N-1个是独立的，可任意删去一个．

5.2模型建立

第一步、进行当前市场数据统计 (1)目前的市场占有情况．

经过数据的整理，筛选，统计，得出联想等不同品牌各占市场份额为联想34％，戴尔17％，惠普14％，华硕13％，索尼 7％，宏碁 6％ 苹果3% 其他6% 所以=)0(S （0.34，0.17,0.14,0.13.0.07,0.06,0.03,0.06） 为目前市场的占有分布或称初始分布． (2)查清使用对象的流动情况．

例如，现在使用联想品牌的人数为34，这34 人中未来下期的购买意向变动情况分别为 50%将继续购买联想，12%选择戴尔，10%选择惠普 8%选择华硕 7%选择索尼 4%选择宏基 3%选择苹果6%选择其他。

得到转移矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20.0,08.0,09.0,08.0,12.0,14.0,09.0,22.006.0,40.005.0,06.0,08.009.0,11.0,15.006.0,03.05.0,04.0,07.008.0,10.0,12.007.005.0,04.045.0,08.0,08.0,10.013.007.004.0,05.0,07.0,35.010.0,12.0,20.006.005.0,06.0,08.009.0,43.0,08.0,15.007.005.0,04.0,08.0,08.0,10.0,45.013.006.0,03.0,04.0,07.008.0,10.0,12.05.0，，，，，，，

，，

，，，，，，，P 第二步、计算转移矩阵

由P 我们可以计算任意的k 步转移矩阵，如三步转移矩阵：