第二节 插值多项式的构造

x − x1 x − x0 + y1 x0 − x1 x1 − x0
解 :f ( x ) = ln x , x 0 = 1 0 , x1 = 1 1, x = 1 0 .5
10.5 − 11 10.5 − 10 ln(10.5) ≈ P(10.5) = × 2.303 + × 2.398 = 2.350 5 10 − 11 11 − 10
几何意义:通过两点( x0 , y0 )( x1 , y1 )的直线y = P ( x)近似代替 1 曲线y = f ( x)
(2)n = 2 时抛物插值 在三个互异节点x 0 ,x1 ,x 2 ,处的函数值y 0 ,y1 ,y 2 构造二次函数 p 2 ( x ) = a0 + a1 x + a 2 x 2 求出 p 2 ( x ) = y 0 l0 ( x ) + y1l1 ( x ) + y 2 l2 ( x ) 其中 ( x − x0 )( x − x1 ) ( x − x0 )( x − x2 ) ( x − x0 )( x − x1 ) l0 ( x ) = , l1 = , l2 = ( x2 − x0 )( x2 − x1 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
解 :由 题 意 取 结 点 : x 0 = 0 .3 2 , y 0 = 0 .3 1 4 5 6 7 ; x 2 = 0 . 3 6， y 2 = 0 . 3 5 2 2 7 4。 (1) 线 性 插 值 ：
x1 = 0 . 3 4 , y 1 = 0 . 3 3 3 4 8 7；
y1 − y 0 sin 0 .3 3 6 7 ≈ L1 (0 .3 3 6 7 ) = y 0 + (0 .3 3 6 7 − x 0 ) x1 − x 0 = 0 .3 1 4 5 6 7 + 0 .0 1 8 9 2 × 0 .0 1 6 7 = 0 .3 3 0 3 6 5 0 .0 2
例 3 设f(x)=x 4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以 −1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。
解 ：记f(x)以 − 1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式为L 3(x)， 由插值余项定理有 f (4) (ξ ) f ( x ) − L3 ( x ) = ( x + 1)( x − 0)( x − 1)( x − 2) 4! = ( x + 1)( x − 0)( x − 1)( x − 2) 因而 L3 ( x ) = f ( x ) − ( x + 1)( x − 0)( x − 1)( x − 2) = 2 x3 + x 2 − 2 x
115 − 121 115 − 101 115 ≈ P (115) = ×10 + ×11 = 10.914 100 − 121 121 − 100
例2 给定函数y=lnx在两点10、11的值如下表，试用线性插值求 ln10.5的近似值，并估计截断误差。
x y 10 2.303 11 2.398
P1 ( x ) = y0
a:线 性 插 值 误 差 估 计 为 : M2 R1 ( x ) ≤ ( x − x 0 )( x − x1 ) 2! = m a x f '' ( x ) = m a x s in x ≤ 0 .5
x 0 ≤ x ≤ x1 0 .3 2 ≤ x ≤ 0 .3 .5 × 0 .0 1 6 7 × 0 .0 0 3 3 < 1 .5 × 1 0 − 5 2 b:抛 物 线 插 值 误 差 估 计 为 ： R 1 ( 0 .3 3 6 7 ) ≤
R2 ( x) ≤ 其中M 所以
3
M3 ( x − x 0 )( x − x1 )( x − x 2 ) 3! = m ax f ''' ( x ) = m ax c o s x ≤ 1
x0 ≤ x ≤ x2 0 .3 2 ≤ x ≤ 0 .3 6
R 2 (0 .3 3 6 7 ) ≤
1 × 0 .0 1 6 7 × 0 .0 0 3 3 × 0 .0 2 3 3 < 0 .2 1 5 × 1 0 − 8 6
π
π
π
π
l1 ( x ) =
− 1296
π4
1296
x( x −
π
4
)( x −
π
3
)( x −
π
2
)
l2 ( x) =
l3 ( x ) = −
π
4
x( x −
π
6
)( x −
π
4
)( x −
π
2
)
x( x − )( x − )( x − ) π 6 3 2 144 π π π l4 ( x ) = 4 x ( x − )( x − )( x − ) π 6 4 3
几 何 意 义:通过三点( x0 , y0 ),( x1 , y1 ),( x2 , y2 )的抛物线y = P2 ( x )近似 代替曲线y = f ( x ),当三点共线时,y = P2 ( x )就是一条直线。 P2 ( x )这时是一次或零次多项式.
给定函数在100、 例1 给定函数在 、 121两点的平方根如下 两点的平方根如下 x − x0 x − x1 10,11，试用线性插值 ， P ( x) = y0 + y1 x0 − x1 x1 − x0 的平方根。 求115的平方根。 的平方根 解 x0=100, x1=121, x=115
2.2插值多项式的构造 插值多项式的构造
一：lagrange插值多项式的构造 插值多项式的构造
第 一 步 , 求 相 应 节 点 x i处 的 函 数 li ( x ) , 使 之 满 足 l i ( x i ) = 1, l i ( x j ) = 0 ， ( i ≠ j , i , j = 0 , 1, ⋯ , n )
4
2304
π
π
π
于是
sin = P4 ( ) 12 12
π
π
1 π 2 π 3 π = l0 ( ) × 0 + l1 ( ) × + l2 ( ) × + l3 ( ) × + l4 ( ) × 1 12 12 2 12 2 12 2 12
π
π
5 15 1 5 2 5 3 1 = ×0+ × − × + × − ×1 = 0.258587908 24 8 2 3 2 8 2 24
抛物线插值的精度与正弦函数表完全一样。 抛物线插值的精度与正弦函数表完全一样。
（3）相应的误差估计：
因 为 f ( x ) = s in x， 所 以 f ' ( x ) = c o s x , f '' ( x ) = − s in x , f ''' ( x ) = − c o s x 故 有
a + b max h(x) = h( ) = a ≤ x≤ b 2
(b
− a 4
)
2
所以有
M R1 ( x ) ≤ 8
(b − a )
2
例 4.1.1 已知 f ( x) = sin x 的值如表所示。
f ( x) = sin x 的值
x
sin x
0 0
π
6
1 2
π
4
2 2
π
3
3 2
π
2
1
试用四次 Lagrange 多项式计算 sin
1 1 f ( x ) = , f "( x ) = − 2 , m a x f "( ξ ) ≤ 1 / 1 0 2 = 0 .0 1 x x 1 0 ≤ ξ ≤1 1
0 .0 1 R1 (1 0 .5) ≤ (1 0 .5 − 1 0 )(1 0 .5 − 1 1) = 0 .0 0 1 2 5 2!
第 二 步 ,做 下 列 线 性 组 合 P n ( x ) = y 0 l 0 ( x ) + y 1 l1 ( x ) + ⋯ + y n l n ( x )
不难验证 Pn ( x j ) = y 0 l 0 ( x j ) + y 1 l1 ( x j ) + ⋯ + y n l n ( x j ) = y j l j ( x j ) = y j 由 Pn ( x )的 唯 一 性 可 知 Pn ( x ) = y 0 l 0 ( x ) + y 1 l1 ( x ) + ⋯ + y n l n ( x ) 就是要求的插值多项式.
f ( n +1) (ξ ) ω n +1 ( x ) ξ ∈ [ a , b ] 截 断 误 差 ：R n ( x ) = f ( x ) − Pn ( x ) = ( n + 1)! ω n +1 ( x ) = ( x − x 0 )( x − x1 ) ⋯ ( x − x n )
(1)n = 1 时线性插值 在两个互异节点x0 , x1处的函数 值y0 , y1 , 构造线性函数 p1 ( x) = a0 + a1 x 求出p1 ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) x − x0 x − x1 其中l0 ( x) = ，l1 ( x) = x0 − x1 x1 − x0
称 l i ( x ) 为 节 点 处 的 x i 插 值 基 函 数 ， 称 Pn ( x ) 为 n 次 拉 格 朗 日 插 值 多项式。
基函数的特点 1. 基函数的个数等于节点数。 2. n+1个节点的基函数是n次代数多项式。 3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯 一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。