人教版数学六年级下册体积的等积变形

人教版数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》

“等积变形”教学预案

永川区望城路小学何开莲

教材分析

数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》是整个小学阶段最后一个“几何与图形”的内容。包括圆柱圆锥的认识、圆柱的表面积、圆柱的体积和圆锥体积。圆柱、圆锥是人们在生产、生活中经常遇到的几何形体。教学这一部分内容，有利于发展学生的空间观念，为进一步应用几何知识解决实际问题打下基础。几何知识一向是小学生学习的难点。特别是圆柱的表面积、圆柱圆锥体积的应用问题更是让学生忘而却步。造成这种现象的原因除了计算复杂繁琐外，就是学生对立体图形的空间思维能力差。不能根据文字叙述想象立体图形的样子，找不到解题的关键。

我的思考

本次教研主题是“提高立体图形空间思维能力”。围绕这个主题，我确定从“等积变形”思想方法来落实。“等积变形”是小学阶段要渗透落实的重要思想方法之一。生活中大量存在其身影。在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的“等积变形”。

围绕“等积变形”，我设计“面积变形”和“体积变形（重点）”两个内容。“面积变形”是为了使计算简便。“体积变形”设计为稍复杂的体积变形：不规

则物体体积计算（看图计算）和未完全浸没（解决问题）。利用“化曲为直”、“动画重现”“割补剪拼”、“移花接木”“数形结合”等方式，让学生体会转化思想在数学中的广泛应用，提高学生的立体图形空间观念。

教学目标

1.优化圆柱体表面积计算公式，能够解决稍复杂的体积的“等积变形”问题。

2.在不同情境中，找准“形变”与“体积不变”的关系，在变化中找不变的量，抓住解决问题的关键，从而正确解决实际问题。

3.发展空间观念，提高学生立体图形空间思维能力。体会转化的思想价值。

教学重、难点

重点：运用多种方法通过“等积变形”解决实际问题。

难点：在不同题目情境中，找准不变的量，抓住“等积”这一解题关键。

教学预案

（一）剪拼变形，化繁为简巧计算（面积的等积变形——优化公式）

1.优化公式

(师：之前大家都反映，圆柱体的表面积计算太难，容易出错。希望能有个方法能使计算更加简便。同学们也下去想办法了。想到办法了吗？谁上台来说一说？)

*课前已经布置学生通过摆学具和画图的方法，化曲为直，将圆柱模型剪拼转化成近似长方形。并观察思考：近似长方形的长相当于什么？近似长

方形的宽相当于什么？优化出一种表面积计算公式。

学生上台展示汇报。 圆柱 3个面 面积 S 表=2πrh+2πr ²

=2πr(r+h ）

（乘法分配律的逆应用） (化曲为直）

圆柱 2个面 面积

S 表=2πrh+πr ²

=πr(r+2h ）

2.分组训练。求表面积（3个面和2个面）：

分组用原公式和优化公式进行计算。体会新公式更简单、省时。

（二）等积变通，移花接木巧变形（体积的等积变形1——看图算体积）

(圆柱的表面积通过“等积变形”简化了计算。等积变形在体积计算中

运用更加广泛。)

a=πr 2h

r b

1.切割“等积变形”

如图：求斜柱体的体积

图1 图2 图1：生观察想象，用切割法，将斜柱体体积转化为圆柱体体积。提示：从哪切？怎么切。独立完成，集体订正。

2.补足“变形”（拓展）

图2：生观察，想象怎么求体积。提示：从哪儿切？怎么切？如果不切，怎么解决？对比两种方法，切和补足，哪种更容易计算出体积？优化补足“变形”计算体积更简便。

(通过刚才的练习，我们知道解决“等积变形”题型中，首先找准“等量”或者“不变量”，例如圆柱侧面积=转化后的近似长方形面积、原来的体积=现在的体积，再去看“等量”或“不变量”原来的形状，通过剪拼、切割、想补等方法观察、分析、操作、想象转化后的形状。将未知转化成已知。) （三）拓展变式，异中求同巧联系（体积等积变形2——问题解决）

1.完全浸没问题——变化中抓“等量”

一个底面半径5cm，高10厘米的圆柱形玻璃容器，把一块完全浸入水中的石块从容器中取出后，水面下降了4厘米。石块的体积是多少？

出示题目，读题。思考：这是一道什么类型的题？你认为解题的关键是？板书：完全浸没问题等量 V石=V降水

生独立解答。指名回答，集体评议。

（提问：在这道题目里还有一个高10厘米。为什么不用这个数据？对！这就要求大家在解题时，火眼金睛，排除干扰项，找到对应的有用项参与计算。）

2.不完全浸没题——变化中抓“不变量”

一个底面半径5cm，高10cm的圆柱形玻璃容器，装有251.2毫升的水，现将一根底面半径是3cm,高15cm的圆柱铁棒垂直放入容器，铁棒底面与容器底面

接触（水没有溢出），这时水深多少cm？

（大家看看这道题，跟刚才那道题最大的不同是什么？）

小组讨论：（1）题目中的体积没有变，只是的形状发生了变化。由形变成了形。（2）要求水深，就是求形的高。（3）列式解答：

集体交流。

（反问：在解题时，你为什么不用上一题的思路——用浸没部分的体积等于变化水的体积去算？）

小结：在不完全浸没问题是，如果再去找等量，没有办法计算出水深。板书：不完全浸没不变量

（四）小结

（今天，我们学会用“等积变形”简化圆柱表面积计算，算出不规则物体体积。生活还有很多问题比如：铺路、锻造、重塑、改变容器形状、求饮料体积，会用到等积变形。

解决这样的问题，需要注意什么？

数学学习讲究一个“巧”字，不论你采用“等积变形”还是“等周长变形”，只要找到“巧”的方法，就不仅易懂，还会更节时、高效！）

数学题是千变万化的，解决问题的方法也很多虽然不能做尽每一道题，试遍所有方法。但可以通过各部剪拼、等积变形，观察、思考、想象，在变化中抓住不变量（等量），以寻找更直接有效的方法。

板书：

等积变形

（变中不变）

S表=2πrh+2πr²

=2πr(r+h）剪拼S柱=S长（对应）完全浸没等量V石=V 降水S长=ab 切割V原=V现不完全浸没不变量

S表=2πrh+πr²想补