教案-《等比数列的前n项和公式》

高二数学组集体备课教案（第七周10月17日）

课题：2.5等比数列的前n 项和(两个课时)

教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；掌握等比数列

的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题；

（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一

般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想；

（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思

维品质；

教学重点：（1）等比数列的前n 项和公式；

（2）等比数列的前n 项和公式的应用；

教学难点：等比数列的前n 项和公式的推导；

教学方法：问题探索法及启发式讲授法

教 具：多媒体

教学过程：

一、复习提问

回顾等比数列定义，通项公式

（1）等比数列定义：q a a n n =-1（2n ≥，)0≠q

（2）等比数列通项公式：)

0,(111≠=-q a q a a n n （3）等差数列前n 项和公式的推导方法：倒序相加法。

二、问题引入：

阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算

引出课题:等比数列的前n 项和。

三、问题探讨：

问题：如何求等比数列{}n a 的前n 项和公式

=n S 123n a a a a ++++

22111111--=+++++n n a a q a q a q a q

23636412222S =+++++

倒序相加法。

等差数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321 根据等差数列的定义1+-=n n a a d

[]1111()(2)（n-1)=+++++++n S a a d a d a d （1）

[]()(2)-（n-1)=+-+-++n n n n n S a a d a d a d （2） （1）+（2）得：12()=+n n S n a a 1()2

+=

n n n a a S 探究：等比数列的前n 项和公式是否能用倒序相加法推导？

=n S 123n a a a a ++++ 22111111--=+++++n n a a q a q a q a q 221--=+++++n n n n n n n n a a a a S a q q q q 学生讨论分析，得出等比数列的前n 项和公式不能用倒序相加法推导。

回顾：等差数列前n 项和公式的推导方法本质。

构造相同项，化繁为简。

探究：等比数列前n 项和公式是否能用这种思想推导？

根据等比数列的定义：1)（++=∈n n

a q n N a 变形：1+=n n a q a

具体：12=a q a 23=a q a 34=a q a …… 学生分组讨论推导等比数列的前n 项和公式，学生不难发现：

由于等比数列中的每一项乘以公比q 都等于其后一项。

所以将这一特点应用在前n 项和上。

由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

22111111n n n S a a q a q a q a q --=+++

++ （1） 23111111-=

+++++n n n qS a q a q a q a q a q （2） 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

11(1)(2)(1)n n q S a a q ∴--=-得：

当q=1时，1na S n =

当1≠q 时，q

q a S n n --=1)1(1 学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。

由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：

当1≠q 时， 11-=-n n a a q S q

四.知识整合:

1．等比数列的前n 项和公式：

当q=1时，1na S n =

当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 11-=-n a a q q

2．公式特征：

⑴等比数列求和时，应考虑1q = 与1q ≠ 两种情况。

⑵当1q ≠时，等比数列前n 项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。

⑶等比数列通项公式结合前n 项和公式涉及五个量，1,

,,,n n a q n a S ， 五个量中“知三求二”（方程思想）。

3．等比数列前n 项和公式推导方法：错位相减法。

五、例题精讲：

例1．运用公式解决国王赏麦故事中的难题。

变式练习：⑴求等比数列1,2,4,8…的前多少项和是63.

⑵求等比数列1,2,4,8…第4项到第7项的和.

例2．画一个边长为2cm 的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，

依次类推⑴若一共画了7个正方形，求第7个正方形的面积？

⑵若已知所画正方形的面积和为

314

，求一共画了几个正方形，及所画的最后一个正方形的面积。 解：由题意得：每个正方形的面积构成等比数列，且114

2

a q == （1）7n = 671116a a q ∴=⋅= （2）()11111n n n n a a q a q S q =⎧=⎪-⎨=⎪-⎩⇒11421412311412

-⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎨-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎪⎪-⎪⎩n n n a ⇒514=⎧⎪⎨=⎪⎩n n a 答：（1）第七个正方形的面积是2116

cm 。 （2）一共测了5个正方形，所画的最后一个正方形的面积是214

cm 。 巩固练习：⑴已知等比数列{}n a 中，11=-a ，2=-q ,求6S 。

⑵已知等比数列{}n a 中，11=a ，3=q ,40=n S ，求n ，n a 。

六、课堂小结：

1、等比数列的前n 项和公式：

当q=1时，1na S n =

当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 11-=-n a a q q

2、等比数列的前n 项和推导方法：错位相减法。

3、数学思想：类比，分类讨论，方程的数学思想。

七、课后作业：

基础题：课本P61 习题2.5 A 组1，2

提高题：求和（21(1)(2)(2)-++++++n n a a a

探究与发现：查阅网络，思考等比数列前n 项和公式还有无其它推导方法？