中点问题六大模型0

4. 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC
至点F，使 CF＝1 BC ，若AB＝10，则EF的长是（ A ）
2
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
第4题图
微专题 中点问题六大模型 模型三 等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想 “三线合一”性质
模型分析
微专题 中点问题六大模型
微专题 中点问题六大模型 模型一 出现多个中点或平行＋中点(中点在平行线上)时，常考虑构
造三角形中位线
模型分析
在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定 理：DE∥BC且DE＝ 1 BC，△ADE∽△ABC，解决线段之间的相等或比例关系及
2 平行问题.
微专题 中点问题六大模型
个三角形)
微专题 中点问题六大模型
针对演练 7. 在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝16，则S△DEF ＝( A ) A. 2 B. 8 C. 4 D. 1
第7题图
微专题 中点问题六大模型 模型五 遇到三角形一边上的中点(中线或与中点有关的线段)，考 虑倍长中线法构造全等三角形
如图，等腰三角形中有底边上的中点时，常作边的中线，利用等腰三角形底边 中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，解 决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题. 针对演练 5. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是 BC的中点，若BD＝16，则EF的长为 8 .
第8题图
微专题 中点问题六大模型
9. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长 BE交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE.
第9题图
微专题 中点问题六大模型
(证法一)证明：如解图①，延长AD到点G，使DG＝ AD，连接BG. ∵BD＝CD，∠BDG＝∠CDA，AD＝GD， ∴△ADC≌△GDB(SAS)． ∴AC＝GB，∠G＝∠EAF， 又∵AF＝EF， ∴∠EAF＝∠AEF， ∵∠AEF＝∠BED， ∴∠G＝∠BED. ∴BE＝BG， ∴BE＝AC.
针对训练 1. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8， MN＝3，则AC的长是( B ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
第1题图
微专题 中点问题六大模型
2. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 5 ，BC＝3，点D，E分别是AB，
微专题 中点问题六大模型
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(10年5考，常在规律探索题和类比、拓展探究题中涉及考查)
中点问题常用性质及常见辅助线作法
1、多个中点或平行＋中点 联想 构造中位线； 2、直角＋斜边中点 联想 直角三角形斜边中线； 3、等腰＋底边中点 联想 等腰三角形“三线合一”； 4. 三角形面积＋中点 联想 被中线分割成的两个小三角形面积相等； 5. 中线或与中点有关的线段 联想 倍长中线构造全等； 6. 平面直角坐标系中两点＋中点 联想 中点坐标公式
∴AC＝BE.
第9题解图②
微专题 中点问题六大模型 模型六 平面直角坐标系中的中点坐标
模型分析
如图，在平面直角坐标系中，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点M为线段AB的
中点，则点M的坐标为（x1
2
x2
,y1
2
y2）
.
微专题 中点问题六大模型
针对演练
10. 点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标(0，4)，那么线段AB的中点C的坐标为( C )
第9题解图①
微专题 中点问题六大模型
(证法二)证明：如解图②，延长ED
到点G，使得DG＝DE，连接CG.
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD.
∵∠BDE＝∠CDG，
∴△BED≌△CGD(SAS)．
∴∠G＝∠BED，BE＝CG.
∵AF＝EF，
∴∠FAE＝∠AEF＝∠BEG.
∴∠G＝∠EAF.
∴AC＝GC.
第5题图
微专题 中点问题六大模型
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则
12
MN的长为 5 .
第6题图
微专题 中点问题六大模型 模型四 中线等分三角形面积
模型分析
AD是△ABC的中线，则S△ABD＝S△ACD＝
1 2
S△ABC.(△ABD与△ACD是等底同高的两
2 到两个等腰三角形：△ACD和△BCD，可简记为“直角＋中点，等腰必出现”.
微专题 中点问题六大模型
针对训练
3. 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，且CD＝5，则
△ABC的中位线EF的长是( C )
A. 4 B. 5 C. 5 D. 12
2
5
第பைடு நூலகம்题图
微专题 中点问题六大模型
A. (－1，－2) B. (1，－2)
C. (－1，2)
D. (1，2)
11. 设线段CD的中点为点N，其坐标为(3，2)，若端点C的坐标为(7，3)，则端点D
的坐标为( A )
A. (－1，1)
B. (－2，4)
C. (－2，1)
D. (－1，4)
AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ 1 BC，连接DF，EF，则EF的长为 2
14 .
第2题图
微专题 中点问题六大模型 模型二 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线
模型分析
在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半，即得到CD＝AD＝BD＝ 1 AB，而且可以得
模型分析
如图，当遇见中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，证明 线段间的数量关系，该类型经常会与中位线定理一起综合应用.
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针对演练 8. 如图，已知AB＝24，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD＝10，BC＝20.若 点E是CD的中点，则AE的长是 13 .