2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)9：直线与圆

2012高考真题分类汇编：直线与圆
1.【2012高考真题重庆理3】任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是
（1） 相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
【答案】C
【解析】直线1+=kx y 恒过定点)1,0(，定点到圆心的距离21<=d ，即定点在圆内部，
所以直线1+=kx y 与圆相交但直线不过圆心，选C.
2.【2012高考真题浙江理3】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行 的
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当1=a 时，直线1l ：02=+y x ，直线2l ：042=++y x ，则1l //2l ；若1l //2l ，
则有012)1(=⨯-+a a ，即022=-+a a ，解之得，2-=a 或1=a ，所以不能得到1=a 。

故选A.
4.【2012高考真题陕西理4】已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则（ ）
A.l 与C 相交
B. l 与C 相切
C.l 与C 相离
D. 以上三个选项均有可能
【答案】A.
【解析】圆的方程可化为4)2(22=+-y x ，易知圆心为)0,2(半径为2，圆心到点P 的距离为1，所以点P 在圆内.所以直线与圆相交.故选A.
5.【2012高考真题天津理8】设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是
（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞
（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞
【答案】D
【解析】圆心为)1,1(，半径为 1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足
1)1()1(|
2)1()1|22=+++-+++n m n m （，即2)2(1n m mn n m +≤=++，设z n m =+，即014
12≥--z z ，解得,222-≤z 或,222+≥z
6.【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，
若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】43。

【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离
【解析】∵圆C 的方程可化为：()2241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。

∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有
公共点；
∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤。

∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-
，
2≤，解得403k ≤≤。

∴k 的最大值是
43。

7.【2012高考真题全国卷理21】（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．
） 已知抛物线C ：y=(x+1)2与圆M ：（x-1）2+(12
y -)2=r2(r ＞0)有一个公共点，且在A 处两曲线的切线为同一直线l.
（Ⅰ）求r ；
（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离.
【答案】
8.【2012高考真题湖南理21】（本小题满分13分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于
点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值.
【答案】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得
23x +=，
易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以
5x =+.
化简得曲线1C 的方程为220y x =.
解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.
（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆 2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是
3.=
整理得 2200721890.k y k y ++-= ①
设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故
001218.724y y k k +=-
=- ②
由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩
得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以
01121
20(4).y k y y k +⋅=
④ 同理可得 0234220(4).y k y y k +⋅=
⑤
于是由②，④，⑤三式得
010*******
400(4)(4)y k y k y y y y k k ++= 201201212
4004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦
= 22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.
所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.
【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.。