矩形波导中传播模式的研究

矩形波导中传播模式的研究矩形介质光波导作为波导光学系统最基本的单元之一，是研究光电器件以及波导传播技术等课题的核心内容。

为研究矩形介质波导中的传播模式，本文将从平板介质波导入手，运用电磁场基本理论，结合边界条件求解麦克斯韦方程组，得到光场传播模式的表达式，模的传播常数以及截止条件等相关参数。

再以此为基础，分别以马卡蒂里理论、库玛尔理论以及有效折射率法在不同电磁波模式下分析比较矩形介质波导，并结合MMI耦合器分析单模和多模中的模场分布。

最后使用Matlab绘制传播曲线并且基于BPM算法对不同条件的矩形波导进行模拟，分析并比较其传播模式。

1.1 引言随着为微纳加工工艺技术的不断提高，晶体管的特征尺寸越来越小，单片集成的晶体管数目越来越多，由此带来的金属互联问题、漏电流问题以及散热问题难以解决。

紧靠减小晶体管尺寸、提高工作频率的手段提高处理器性能的方式已遇到瓶颈[1]。

光具有高传播速度、高宽带、并行性等本征的特质，使得光非常适用于海量数据传输处理等领域，研究并开发以此为核心的新型信息处理技术已成为普遍共识。

而随着光通讯正在朝着高速率大容量的方向发展，在SOI材料上制备光波导是技术发展的必然趋势。

在此背景下，研究矩形光波导中的传播模式是尤为重要的[2]。

本课题中的矩形波导是指由半导体材料制成的，具有矩形的波导芯层以及包围着芯层但折射率更低的包层结构，可以使光限制在芯层内传播的器件。

本课题主要分析矩形光波导中存在的传播模式以及各种模式的传播特性。

在第二章中，首先对平板波导理论进行推导，分析了平板波导中单模和多模条件。

第三章中运用第二章中的关于平板波导的相关知识，分别在马卡蒂里理论、库玛尔理论以及有效折射率法下对矩形波导进行计算。

前两者给出了不同区域内的两种光场分布重点讨论在有效折射率法矩形波导中可以存在的模式同波导横向长度和材料的折射率之间的关系以及不同模式下的场分布，并结合MMI（多模干涉）耦合器对单模和多模的模场分布进行具体分析。

为了验证理论的正确性，我们拟基于BPM 算法对上述各种情况进行模拟绘图。

第二章 平板波导2.1平板波导介绍2.1.1平板波导的结构平面光波导是制作集成光学器件和半导体激光器的关键器件。

一般来说，矩形光波导是由矩形芯层和包围着芯层且折射率更低的包层组成的，因此三维分析对于考察矩形波导的传输特性是十分必要的。

然而严格的三维分析通常需要大量数值计算而且不能直观的解决问题。

因此本文首先对二维平板波导进行分析，在得到对光波导的基本理解后，以此为基础对三维矩形波导进行近似分析。

平板波导是许多半导体光电子器件与集成光学的工作基础，异质结半导体激光器和发光二极管的工作原理即是利用异质结形成的光波导效应将光场限制在有源区并延输出方向传播。

如图（2.1）所示为Ga 1−x Al x AS/GaAs 双异质结激光器作为对称平板波导示意图[3]。

xzGaAs 有源区P-Al x Ga 1−x AsN-Al x Ga 1−x Asn 1n 0 n 0 X=0x=-d/2x=d/2图2.1 Ga 1−x Al x AS/GaAs 双异质结激光器示意图2.1.2电磁场理论光波在介质中的传播可以用麦克斯韦方程组的微分形式表示∇×E=−∂B∂t(2.1a)∇×H=J+∂D∂t(2.1b)∇∙B=0(2.1c)∇∙D=ρ(2.1d)其中E、D、B、H、J、ρ分别代表电场强度、电位移矢量、磁感应强度、磁场强度、电流密度和电荷密度。

由于E和D、H和B、J和E之间存在以下关系D(r)=εoεr⃗⃗⃗ (r)∙E(r)(2.2a)B(r)=μ0μr⃗⃗⃗ (r)∙H(r)(2.2b)J=σE(2.2c) 其中εo、μ0分别为真空中的介电常数和导磁率。

εr⃗⃗⃗ (r)、μr⃗⃗⃗ (r)分别是介质的相对张量介电常数和相对张量导磁率，σ为介质电导率。

对麦克斯韦方程组进行简化:假设介质均匀且各向同性；不考虑色散效应；近似相对导磁率μr=1,突变电磁场下电阻率为无穷大；忽略传导电流密度J f。

由此可得：∇×E=−∂B∂t =−μ0∂H∂t(2.3a)∇×H=∂D∂t =εrε0∂E∂t(2.3b)∇∙H=0(2.3c)∇∙E=0(2.3d) 求（2.3.b）的旋度并利用（2.3.a）有∇2E=μ0εrε0∂2E∂t2(2.4) 同理可得∇2H=μ0εrε0∂2H∂t2(2.5) 上式称为波动方程，其中∇2称为拉普拉斯算符，表示为：∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2(2.6)对于E，波动方程（2.6）可分解为三个独立的标量波动方程：∇2E x=μ0εrε0∂2E x∂t2(2.7a)∇2E y=μ0εrε0∂2E y∂t2(2.7b)∇2E y=μ0εrε0∂2E y∂t2(2.7c)对H 也有类似的结果，这里只讨论电场波动方程的解。

假设光波的电矢量是沿y 方向偏振沿z 方向传播的平面电磁波。

则E =E y ，E x =E z =0。

E y 以角频率ω=2πν在z 方向做周期性变化。

由于只存在z 方向的空间变化，∂/∂x=∂/∂y=0。

由式（2.7）可得到E y (z,t )=E y (z )exp (jωt) (2.8)将式（2.8）带入（2.4）可得∂2E x ∂x 2=−β2E y (2.9)其中β2=ω2μ0εr ε0 则波动方程解为：E y (z,t )=Acos(ωt −βz) (2.10)与之垂直的磁场分量H x 可由式（1.2.b ）带入（2.5）得到：H x (z,t )=(εr ε0ωA)cos(ωt −βz) (2.11)2.2平板介质波导的射线分析法2.2.1平板波导的相关参数光波导由芯层和包层（或衬底）组成，其中芯层是光被限制住的区域，而包层包围着芯层。

芯层的折射率n 1比包层的折射率n 0高，因此光波被全内反射限制在芯层。

如图（2.2）所示：2ax图2.2 平面波导的结构示意图如图（2.3），异质结面的全内反射条件由公式n 1sin (π2−ϕ)≥n 0给出，又由于角ϕ与入射角θ有如下关系sinθ=n1sin(π2−ϕ)≤√n12−n02,我们得到了全内反射的精确条件(2.12)θ≤sin−1√n12−n02≡θmax.(2.12)由于芯层和包层的折射率差一般为n1−n2=0.01，因此θmax可以近似表示为θmax≅√n12−n02.θmax表示波导可以接受的最大入射角并被称作数值孔径（NA）。

图2.3 光波导的基本结构和折射率分布n0和n1的相对折射率差定义为∆=n12−n022n12≅n1−n0n1.(2.13)∆通常表示为百分比的形式。

数值孔径NA与相对折射率差∆的关系可以表示成NA=θmax≅n1√2∆. (2.13)2.2.2 波导模式的形成我们计算出了模式限制的方式并且推算出角ϕ不能超过临界角。

但即使ϕ角比临界值小，也并不是任意角度的光线都可以在波导中传播。

通过电磁波分析可知每一个模式都和一个分立的传播角度相关。

下面我们假设以倾斜角ϕ沿着z方向传播的一平面波，如图（2.4）所示[4]，平面波的相位波前与光束方向垂直。

芯层中光的波长以及波数分别为λ/n1 和kn1(k=2π/λ)，其中λ是真空中的光波长。

Z方向和x方向（横向）的传播常数表示为β=kn1cosϕ.(2.14)κ=kn1sinϕ.(2.15)S图2.4 波导中的光线和等相面折射率为r =A r A I=n 1sinϕ+j √n 12cos 2ϕ−n 02n 1sinϕ−j √n 1cos 2ϕ−n 0(2.16)图2.5 平板波导异质界面的全反射若我们将复折射率r 表示成r =exp (−jΦ)，相移Φ的大小为 Φ=−2tan −1√n 12cos 2ϕ−n 02n 1sinϕ=−2tan −1√2∆sin 2ϕ−1 (2.17)其中用到了（2.13）的结论，上面提到的全反射中的相移被称作古斯-亨森相移[5]。

下面考虑图（2.5）中同属一个平面波的两束光的情况[6]。

PQ 段光线从P 点传播到Q 点过程中没有发生反射，而RS 段光线在从R 传播到Q 的过程中经过了两次反射(分别在顶部和底部的异质结界面)。

考虑到P 点、R 点处于同一波前，Q 点、S 点处于同一波前，PQ 和RS 的光程差（包括两次全反射引起的古斯-亨森相移）应该相等或者相差2π的整数倍。

由于QR 两点的距离为2a/tanϕ−2atanφ,PQ 两点的距离应表示为l 1=(2asinϕ−2atanϕ)cosϕ=2a (1sinϕ−2sinϕ). (2.18)同样的，RS 两点的距离可表示为l 2=2asinϕ. (2.19)由PQ 和RS 的光程匹配条件可得(kn 1l 2+2Φ)−kn 1l 1=2mπ (2.20) 其中m 为常数。

将（2.17）至（2.19）带入（2.20）可得传播角的条件为tan (kn 1asinϕ−mπ2)=√2∆sin 2ϕ−1. (2.21)由上式可以看到，光的传播角是分立的且由波导的结构(包层半径a ，折射率n 1，折射率差∆)以及光源的波长λ（波数为k =2π/λ）决定。

满足式（2.21）中的光场称为模式，当m=0时传播角度最小，该模式称为基模。

另一方面，角度越大，存在的模式越多（m ≥1）。

（a ） 基模（m=0）（b ） 高阶模（m=1）图2.6 （a ）基模的模式形式 （b ）高阶模的模式形式图(2.6)表示的是基模以及高阶模的形式，其中实线代表正波阵面，虚线代表负波阵面。

当两个极性相同的波阵面相遇时，该点的电场振幅最大。

相反的，当正负波阵面相遇在异质结面时，该点的振幅由于互相抵消而接近于零。

因此在x方向场的贡献是一个驻波而在z方向波长为λp=(λ/n1)/cosφ=2π/β周期性变化的波。

由于n1sinϕ=sinθ≤√n12−n02（2.12）给出的sinφ≤√2∆。

我们给出参数ξ=sinϕ√2∆(2.22)归一化为1，则（2.21）中的相位匹配条件可重写为kn1a√2∆=cos−1ξ+mπ/2ξ(2.23)方程的左边被称作归一化频率，其表达式为ν=kn1a√2∆(2.24) 方程（2.23）描述了ν和ξ的关系，被称作传播方程。

如图（2.7）所示，对于每一个模式数m，曲线η=cos−1ξ+mπ2ξ与直线η=ν的交点给出了其参数ξm，其传播系数βm可由公式（2.14）（2.22）得到。

由图（2.7）可看出只有当ν<νc=π/2时，才会只有基模存在。

换句话说，高阶模被截止了。

因此该频率称作截止频率。

将截止频率改写成波长形式有λc=2πνcan1√2∆(2.25)λc称作截止波长。

图2.7 平板波导的u-w关系曲线2.3平板介质波导的波分析方法[6]2.3.1基本方程的推导为了分析平板介质波导，我们将介电常数ε=ε0n2与磁导率μ=μ0带入麦克斯韦方程中得到∇×Ẽ=−μ0ðH̃ðt(2.26.a)∇×H̃=ε0n2ðẼðt(2.26.b)其中n为折射率。