正弦余弦函数的性质定义值域

正弦函数、余弦函数的性质 ——定义域与值域

目的：要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域，尤其能灵活运用有界性

求函数的最值和值域。 过程：

一、复习：正弦和余弦函数图象的作法

二、研究性质：

1．定义域：y=sinx, y=cosx 的定义域为R

2．值域：

1︒引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|≤1, |cosx|≤1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论

∴y=sinx, y=cosx 的值域为[-1，1] 2︒对于y=sinx 当且仅当x=2k π+

2

π

k ∈Z 时 y max =1 当且仅当时x=2k π-2

π

k ∈Z 时 y min =-1 对于y=cosx 当且仅当x=2k π k ∈Z 时 y max =1

当且仅当x=2k π+π k ∈Z 时 y min =-1

3．观察R 上的y=sinx,和y=cosx 的图象可知 当2k π0 当(2k-1)π

(k ∈Z)时 y=cosx>0 当2k π+

2π

3π

(k ∈Z)时 y=cosx<0 三、例题：

1) 直接写出下列函数的定义域、值域： 1︒ y=

x

sin 11

+ 2︒ y=x cos 2- 解：1︒当x ≠2k π-2π k ∈Z 时函数有意义，值域:[,2

1

+∞] 2 ︒x ∈[2k π+

2π, 2k π+2

3π

] (k ∈Z)时有意义, 值域[0, 2

]

2)求下列函数的最值：

y o 1 -1 2

π2

3π2π-

π

π2y o 1 -

1 2

π2

3π2

π-

π

π

2

1︒ y=sin(3x+

4π)-1 2︒ y=sin 2x-4sinx+5 3︒ y=x x cos 3cos 3+- 解：1︒ 当3x+4

π=2k π+

2π即 x=12

32ππ+k (k ∈Z)时y max =0 当3x+4

π

=2k π-2π即x=4

32ππ-k (k ∈Z)时y min =-2 2︒ y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k π-2

π

k ∈Z 时y max =10 当x=2k π-2

π

k ∈Z 时y min = 2 3︒ y=-1+

x

cos 31

+ 当x=2k π+π k ∈Z 时 y max =2

当x=2k π k ∈Z 时 y min =

2

1

3、函数y=ksinx+b 的最大值为2, 最小值为-4，求k,b 的值。 解：当k>0时 ⎩

⎨

⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=+13

42

b k b k b k 当k<0时 ⎩

⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=+-13

42b k b k b k （矛盾舍去） ∴k=3 b=-1

4、求下列函数的定义域： 1︒ y=x

x 2cos 21cos 3-- 2︒ y=lg(2sinx+1)+

1

cos 2-x 3︒

y=)cos(sin x

解：1︒ ∵3cosx-1-2cos 2x ≥0 ∴2

1

≤cosx ≤1

∴定义域为：[2k π-3π, 2k π+3

π

] (k ∈Z) 2︒ )(32326726221cos 21sin Z k k x k k x k x x ∈⎪⎩⎪⎨⎧+

≤≤-+<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧

≥->π

πππππππ )(3

26

2Z k k x k ∈+

≤<-

⇒π

ππ

π ∴定义域为：)](3

2,62(Z k k k ∈+-

π

ππ

π

3︒ ∵cos(sinx)≥0 ∴ 2k π-

2π≤x ≤2k π+2

π

(k ∈Z) ∵-1≤sinx ≤1 ∴x ∈R 1cos ≤y ≤1 四、小结：

正弦、余弦函数的定义域、值域

五、作业： P57-58习题4．8 2、9