关于开平方及开立方的手动算法
开方的运算法则公式
开方的运算法则公式开方运算在数学中可是个挺重要的家伙呢！咱们先来说说啥是开方。
开方啊，简单说就是求一个数的平方根或者立方根等等。
比如说，4 的平方根是多少？咱们都知道是±2，因为2 的平方是4，-2 的平方也是 4 嘛。
这就是开方运算的一个小例子。
那开方的运算法则公式都有啥呢？咱们一个一个来看。
先说平方根的运算法则。
对于正数 a，它的平方根记作±√a。
这里要注意啦，如果 a 是正数，那就有两个平方根，一正一负；要是 a 等于 0 呢，那平方根就只有 0 啦；可要是 a 是负数，那就没有实数平方根了哦。
再来说说立方根。
正数 a 的立方根记作³√a。
不管 a 是正数、负数还是 0 ，都只有一个立方根。
比如 8 的立方根是 2，因为 2 的立方是 8；-8 的立方根就是 -2 咯。
开方运算还有一些公式，像√(ab) = √a × √b（a≥0，b≥0）。
这个公式啥意思呢？给您举个例子，比如说要算√12，咱们可以把 12 拆成4×3，那√12 就等于√4×√3，也就是2√3。
还有√(a/b) = √a / √b（a≥0，b＞0）。
比如说√(18/2) ，就等于√18 / √2 ，算出来是 3。
我记得之前教过一个学生，叫小明。
这孩子啊，刚开始学开方的时候，那叫一个迷糊。
给他讲平方根和立方根的区别，他总是搞混。
有一次做作业，题目是求9 的平方根，他居然给我写了个3 就交上来了。
我把他叫到办公室，耐心地给他又讲了一遍：“小明啊，你想想，哪个数的平方是 9 呀？”他眨眨眼睛，想了一会儿说：“3 啊。
”我笑着摇摇头说：“还有 -3 呢，所以 9 的平方根是 ±3 ，记住啦！”从那以后，小明可认真了，每次遇到开方的题目都会多想一想。
在实际应用中，开方运算也特别有用。
比如说，您要计算一个正方形的边长，知道了面积，就得通过开方来求边长。
再比如，建筑工人在计算一些材料的尺寸时，也会用到开方运算。
如何用笔算开平方
如何用笔算开平方开平方是计算一个数的平方根。
在没有计算器或电子设备的情况下，可以使用传统的笔算方法来计算一个数的平方根。
以下是详细的步骤说明：第一步：了解基本概念在开始笔算开平方之前，有几个基本的概念需要理解。
首先，「平方根」表示为一个数的平方是另一个数。
例如，2的平方根是4，因为2²=4、另一个重要的概念是「差值」，即一个数与其平方之间的差异。
第二步：确定整数的范围首先，确定整数范围，即可能的结果落在哪个整数之间。
例如，如果要计算16的平方根，可以明确地知道结果将落在4和5之间。
第三步：估计答案根据整数范围，估计答案的整数部分。
这个估计应该足够接近实际结果，以节省后续的精确计算步骤。
回到先前的例子中，我们可以估计16的平方根是4第四步：进行近似计算接下来，进行近似计算以确定答案的小数部分。
这一步需要以计算的角度进行逐步计算，并在每一步中根据估计结果调整答案。
可用的近似算法包括牛顿法和二分法。
牛顿法是一种通过逐步逼近解的方法。
1.选择一个开始点作为初始猜测，这个点越靠近结果，猜测越准确。
2.将初始猜测带入方程，并找到函数曲线上的切线。
3.找到该切线与x轴的交点，并将该交点作为新的猜测，以便逼近真正的解。
4.重复步骤2和3，直到得到逼近的解足够接近实际结果。
使用二分法时，将原始数值y分成若干个子区间(x1,x2,x3,...)。
然后，根据子区间的结果来确定答案的小数部分，直到找到一个足够接近实际结果的解。
在每个子区间中，估计可能的值，并根据这些估计调整结果，以逐步逼近实际结果。
重复这个近似计算过程，直到得到一个足够准确的答案。
第五步：检验结果最后，验证近似结果的准确性。
将近似结果的平方与原始数字进行比较，确认结果是否足够接近实际值。
如果结果不准确，可以调整最后的近似计算，并再次进行验证，直到得到满意的答案。
需要注意的是，这种笔算开平方的方法是相对较复杂和耗时的，因此在实际情况下，使用计算器或电子设备可以更快速地得到准确的答案。
开平方的计算
在中学阶段，涉及开平方的计算，一是查数学用表，一是利用计算器。
而在解题时用的最多的是利用分解质因数来解决。
如化简√1024，因为1024=2^10,所以。
√1024=2^5=32；又如√1256=√（2^3*157）＝2*√(2*157）＝2√314.如果想用笔算求算术平方根，在初二代数中讲完平方根后，有一个附录，讲得很详细。
以下的介绍不知能否讲清楚：比如求√37625.(如图）①将37625从个位起，向左每两位分一节：3,76,25②找一个最大的数，使它的平方不大于第一节的数字，本题中得1(1的平方为1,而2的平方为4,大于3,所以得1）.把1写在竖式中3的上方。
③将刚才所得的1平方写在竖式中3的下方,并相减，然后将76移写在本行（如图）④将前面所得的1乘20,再加一个数a,写在竖式的左方（如图），并同时把a 写在竖式的上方对准6。
而这个所谓的a，是需要试验的，使它与（20+a）的积最大且不超过276.本题中所得的a为9⑤用9乘29,再用276减去，所得的差写在下方⑥继续反复运用步骤④和⑤。
如果后面的数字不足，则补两个0,继续运算。
如果最后的余数是0,则该数的算术平方根是有理数；如果被开方数是小数，小数部分在分节的时候是从十分位起，每两位小数分一节。
（附图中的虚线方框为制图时所产生，又竖式中最后的余数应是2779）手算开平方和开立方的方法2011-01-14 17:58手算开平方和开立方的方法1)开平方Extracting Square Root写出被开方数，从小数点起向左和向右每隔两位分段，并在段的上方打点作记号。
左边加一竖线，右边加一个左括号。
从左段起求最大平方数，将方根写在括号右边，同时也写在竖线左边。
然后在第一段下边写平方数，减去此平方数。
写出减的结果，并将被开数第二段移下来，两者合并作为新被除数。
此时竖线左边第二行（对齐新被除数）写出刚刚得的根乘2后再乘10的积作为新的除数（预留出个位的空白），将它去试除新被除数，所得的商填到除数的个位空白处，最终一起去除被除数，此时落实的商写在括号后已得根的后面。
开平方的简便计算方法
开平方的简便计算方法
开平方的简便方法如下：
第一步，把被开平方数的整数部分，从个位数起向左，每隔两位数划为一段，分开几段，代表所求的平方根是几根数。
第二步，按照左边第一段里面的数字，求得平方根最高位上的数。
第三步，从第一段的数，减去最高位上数的平方，在它们的差的右边，写上第二段数组成的第一个余数。
第四步，把求得的最高位数乘以二十，去试着除第一个余数，所得的最大整数就是试商。
第五步，用商的最高位数的二十倍加上这个试商，再乘以试商，假设所得的乘积和余数的关系是小于或是等于，试商就是平方根的第二位数；假设所得的乘积比余数大，那么把试商减小之后再试一次。
第六步，用一样的方法，继续求平方根其他各位上的数。
算完即为开平方结束。
开平方运算也就是开平方之后所得的数的平方，也就是原数，可以说，开平方是平方的逆运算。
开平方术也就是开平方立运算，最早出现于《九章算术》中的章节中。
[教学]手算开平方详解
![[教学]手算开平方详解](https://img.taocdn.com/s3/m/23ce7902551810a6f42486ad.png)
[教学]手算开平方详解手算开平方以?6为例。
稍加估算就知道 0<?6-2<1/2三边平方得0< 10-4?6<1/4，此时10/4 >?6 > 10/4 -1/4/4，即2.5>?5>2.5-1/4/4再平方，0<196-80?6<1/16，此时196/80 >?6 >196/80 -1/16/80即2.45?2 >2.449218……每平方一次，小数点后的精确位数就乘2(灰色字是准确的数位)，这是相当好的，可是你将要面对恐怖的天文数字。
另一种优化的方法: 佩尔方程与渐近分数结合上面的方法虽然简单，可是数字大，而且算出来的不是渐近分数，如果用渐近分数能把计算过程中的数字减少一点。
以?5为例，考虑佩尔方程x^2-5y^2=1的所有正整数解(x,y)，x/y都是?5的渐近分数。
假设其中一组解是(x,y)，再设x'-?5y'=(x-?5y)n，同样地x'/y'也是?5的渐近分数。
上面两条结论的证明在此略去。
根据上面结论，而且不难找到9^2-5*4^2=1，于是(9-4?5)^2=161-72?5，?5约等于161/72=2.236111(161-72?5)^2=51841-23184?5, ?5约等于51841/23184=2.2360679779158 从连分数的性质可以估算出误差小于分母的平方的倒数。
如上面的51841/23184，误差小于1/231842=1.8605×10^-9但是这种方法的缺点是要解出佩尔方程。
其实解佩尔方程x^2-dy^2=1不需要狂试数，把?d化成连分数。
把二次根式展成连分数是挺容易的，在这里我不再作展开啦，有兴趣的话可以到网上找找看。
泰勒公式,跟牛顿二项式差不多,考虑函数x^(1/2),这里略。
迭代法假设我们已经有一个较好的初值x,x??n,设修正值为a,即(x+a)??n,x?+a?+2ax?n,忽略很小的a?，即x?+2ax?n，从而a?(n-x?)/(2x)，x+a?(n+x?)/(2x)把(n+x?)/(2x)的值从新代替x，将得到更好的精确值，下面证明0?|( (n+x?)/(2x) )?-n| < |x?-n|现在如果其中一个迭代值x>?n那么(n/x +x)/2<(x?/x +x)/2 =x又(n/x +x)/2??n (基本不等式)于是迭代数列是有下界的递减数列，也就是结论了。
开平方的计算方法
开平方的计算方法
开平方的计算方法有很多，以下是一种常见的方法：
要计算一个数的平方根，可以使用数学方法或者计算器来进行计算。
下面是其中一种数学方法：
1. 确定要计算平方根的数，假设为N。
2. 找到一个近似的平方根，假设为x。
可以从1开始尝试，逐渐增加直到找到一个数，使得x^2小于或等于N。
3. 计算 x 和 N/x 的平均值，将其记为y。
（y = (x + N/x) / 2）
4. 检查 y 的平方是否接近 N，即检查 y^2 是否等于 N，或者与N 相差很小。
如果是，则 y 是近似的平方根，计算完成。
如果不是，则将 y 作为新的近似平方根，重复步骤3和4。
5. 重复步骤3和4，直到找到一个近似平方根与 N 相差很小，即可认为这个近似平方根是 N 的平方根。
需要注意的是，根据题目的要求，上述方法的各个步骤并没有标题。
手算开平方和开立方的方法
手算开平方和开立方的方法
手算开平方和开立方的方法
1) 开平方Extracting Square Root
写出被开方数，从小数点起向左和向右每隔两位分段，并在段的上方打点作记号。
左边加一竖线，右边加一个左括号。
从左段起求最大平方数，将方根写在括号右边，同时也写在竖线左边。
然后在第一段
下边写平方数，减去此平方数。
写出减的结果，并将被开数第二段移下来，两者合并作
为新被除数。
此时竖线左边第二行（对齐新被除数）写出刚刚得的根乘2后再乘10的积
作为新的除数（预留出个位的空白），将它去试除新被除数，所得的商填到除数的个位
空白处，最终一起去除被除数，此时落实的商写在括号后已得根的后面。
除数与商的积
写在被除数的下方，然后相减，继续此步骤直到所有的分段都移下，包括小数点后两位
两位彺下移。
如果除不尽，余数后面可再补两个零，继续到所需位数。
X
2) 开立方 Extracting Cube Root：
原理: 从小数点起每3位分段
参考文献：F.J.CAMM : NEWNES ENGINEER'S MANUAL。
开方最简单算法
开方最简单算法
开方是数学中常见的运算之一，它的意义是求一个数的平方根。
在日常生活中，我们经常需要计算开方，比如计算房间的面积、计算圆的半径等等。
那么，如何用最简单的算法来计算开方呢？
最简单的算法就是不断逼近法。
这种方法的基本思想是，从一个初始值开始，不断逼近目标值，直到达到精度要求为止。
具体来说，我们可以从一个数x开始，不断逼近它的平方根y，直到y的平方与x的差小于一个给定的精度值。
具体的算法步骤如下：
1. 选择一个初始值y0，比如可以选择x/2作为初始值。
2. 计算y0的平方y0^2。
3. 如果y0^2与x的差小于给定的精度值，那么停止计算，输出y0作为x的平方根。
4. 否则，计算y1=(y0+x/y0)/2，即将y0和x/y0的平均值作为下一个逼近值。
5. 重复步骤2-4，直到达到精度要求为止。
这种算法的优点是简单易懂，不需要复杂的数学知识，而且可以得到比较精确的结果。
缺点是计算速度较慢，需要进行多次迭代才能
得到结果。
除了不断逼近法，还有其他一些算法可以用来计算开方，比如牛顿迭代法、二分法等等。
这些算法都有各自的优缺点，可以根据具体情况选择合适的算法。
计算开方是数学中常见的运算之一，掌握一些简单的算法可以帮助我们更好地应用数学知识解决实际问题。
笔算开平方的方法
笔算开立方（转贴）：今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。
当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。
因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。
在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。
它是这么写的：在这里，我“定义”a^b=a的b次方。
(10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b)a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。
在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。
然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。
因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。
(10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a+b)]如果每次计算后都能减掉1000a^3的话，那么剩下的任务就是找到最大的整数b'，使b'[300a^2+b'(30a+b')]<=b[300a^2+b(30a+b)]。
于是，我就设计了一个版式。
下面就开始使用这个版式来检验开立方笔算法。
例如：147^3=3176523一开始，如下图所示，将3176523从个位开始3位3位分开。
（3'176'523）第一步，我们知道，1^3 < 3 < 2^3，所以，第一位应该填1。
1^3 = 1，3 - 1 = 2，余2，再拖三位，一共是2176。
接下来这一步就比较复杂了。
因为我水平有限，我现在还不能把它改造得比较好。
依照“b[300a^2+b(30a+b)]”，所以：1^2*300=300，1*30=30，如图上所写。
第二位就填4，所以上图3个空位都填4。
然后(34*4+300)*4=1744，2176-1744=432，再拖三位得432523。
笔算开方公式
笔算开方公式（竖式）今日入定冥想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）公式。
只是当时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式，并没有仔细琢磨其正确性以及严格证明。
既然今日想起，不妨钻研一下，却竟然得出了证明。
以下为完整过程，请广大数学爱好者斧正！1.手开方公式举例：上式意为65536的开平方为256。
手开方过程类似于除法计算。
为了方便表述，以下仍称类似位置的数为“被除数”、“除数”、“商”。
以65536为例，其具体计算过程如下：Step1：将被开方数(为了形象，表述成“被除数”，此例中即为65536)从个位往高位每两位一断写成6,55,35的形式，为了方便表述，以下每一个“,”称为一步。
Step2：从高位开始计算开方。
例如第一步为6，由于22=4<6<9=32，因此只能商2(这就是和除法不同的地方，“除数”和“商”的计算位必须相同)。
于是将2写在根号上方，计算开方余项。
即高位余项加一步低位，此例中，即为高位余项2和低位一步55，余项即为255。
Step3：将Step2得到的第一步开方得数2乘以20(原理在后面证明)作为第二步除数的高位。
即本步除数是4x(四十几)。
按照要求，本步的商必须是x。
因为45×5=225<255<46×6=276，所以本步商5。
Step4：按照类似方法，继续计算以后的各步。
其中，每一步的除数高位都是20×已求出的部分商。
例如第三步的除数高位就是25×20=500，所以第三步除数为50x。
本例中，506×6=3036恰好能整除，所以256就是最终计算结果。
2.字母表示和手开方公式的证明：既然要证明，必须先把公式一般化。
简言之，用字母而不是特殊值来表示计算过程和结果。
任意正整数均可表示成则正整数M开方计算得到的就是A。
根据手开方公式的思路，应该写成：不失一般性，对A进行推广。
前面A表示正整数，现在A可以表示任意实数。
笔算开平方的方法(原创资料)
笔算开平方的方法（原创资料）这个问题可以说是老掉牙的问题，现在有科学的计算工具了，谁还用这个呢，现今的数学书籍上也基本不再提这个问题了。
但是，当你在日常生活中偶尔遇到要把某个数开平方，又没有带计算工具，用这个方法还是挺方便的。
下面简单介绍对有理数开平方的一般方法。
1.正整数开平方的方法：（1）把被开方数从右向左每隔两位用撇号分开，最后剩下一位时算作一段。
（如22146436写成22＇14＇64＇36，如2146436写成2＇14＇64＇36）；（2）从左边第一段(如22)求得算术平方根的第一位数字(如4) ；（3）从第一段减去这第一位数字的平方(如22-42=6)，再把被开方数的第二段写下来，作为第一个余数(如614)；（4）把所得的第一位数字(如4)乘以20，去除第一个余数所得的商的整数部分(如614÷(4×20)=7.675的整数部分7)作为试商（注：如果这个整数部分大于或者等于10，就改用9作试商，如果第一个余数小于第一位数字乘以20的积，则得试商0）；（5）把第一位数字的20倍加上试商的和，乘以这个试商所得值不大于第一个余数时（如（4×20+7）×7=609≤614），这个试商就是算术平方根的第二位数字（注：如果所得的积大于余数时，就要把试商减去1再试，直到积小于或者等于余数为止）；（6）用第一个余数减去第一位数字的20倍加上试商的和乘以该试商所得值的差（如614-609=5），往后用同样的方法，继续求算术平方根的其他各位数字。
例：求√ 22146436开方竖式如下4 7 0 6√ 22＇14＇64＇36168 7│ 6 14│ 6 09940 6│ 5 64 36│ 5 64 36∴√22146436=4706.2.纯小数的开平方：求纯小数的算术平方根，也可以用整数开平方的方法来计算，但在用撇号分段时要从小数点起向右每隔两位用撇号分开，如果小数点后的最后一段只有一位，就添上一个0补成两位。
开平方运算
开平方运算开平方运算编辑本段如何手动开平方介绍一种比较老的计算方法给你，先把要开的数在小数点开始每隔2位数用’分开，数位不够就补0，例如要开655。
8721的2次就把数字这么隔开6’55。
87’21’00不够的可以补0，首位是6 ，2^2＜6＜3^2，所以首位是2，把2填在6的上方，把2^2即4填在6的下方像做除法那样，用6-2^2=2，把55补下来即255，拿2（2是6上面的2）×20=40，拿255÷ 40=6.375 ≈6，（40+6）×6=276＞255，所以取5，即655。
8721的55上的数字是5，（40+5）×5=225＜255，255-225=30，把87拿下来就是3087，而前面得到655上的数字是25，拿25×20=500，3087÷500=6.174≈6，（500+6）×6=3036＜3087，所以取6，即6就是655。
8721的87上的数，.3087-3036=51，把21补下来就是5121，而现在已经得到的数是25。
.6拿256×20=5120，5121÷5120≈1，（5120+1）×1=5121，5121-5121=0，最后的数字就是1，完毕。
这个过程写出来就和算除法一样，如果你真的有心要学会手算开2次方，就拿笔把这个过程写成竖式，多拿些数练习就掌握了。
这是开2次方，至于开3次方，5次方等等过程将更复杂，所以现在会手算开方的人也就越来越少了。
不用平方根表和计算器，可不可以求出一个数的平方根呢？先一起来研究一下，怎样求，这里1156是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来进行分析．根据两数和的平方公式，可以得到1156=(30+a)^2=30^2+2×30a+a^2，所以1156－30^2=2×30a+a^2，即256=(20×3+a)a，这就是说，a是这样一个正整数，它与20×3的和，再乘以它本身，等于256．为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：根号上面的数3是平方根的十位数．将256试除以20×3，得4(如果未除尽则取整数位).由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得到1156=34^2，或√1156=34. 上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下开方的计算步骤1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的11’56），分成几段，表示所求平方根是几位数；2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（20×3除256，所得的最大整数是4，即试商是4）；5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．例如求的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．我国古代数学在开方上的成就我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．编辑本段开立方公式如何开立方设A = X^3,求X.称为开立方。
手动开平方和开立方的方法
手动开平方和开立方的方法开平方和开立方是非常常见的数学运算，主要用于求解根号及立方根问题。
下面将介绍手动开平方和开立方的方法。
1.估算：首先根据被开方数的大小，可以先大致估算出开方结果的范围。
例如，如果被开方数是个两位数，那么它的开方结果肯定在1-9之间。
2.质因数分解：然后可以对被开方数进行质因数分解，将其写成所有质因数的乘积形式。
例如，对于100的平方根，可以分解为10的平方。
质因数分解可以大大简化计算。
3.按位提取：将被开方数按位进行分组，并且从左往右每次提取两位数。
对于每一位，从1开始尝试，找到一个数x，使得x*x小于等于当前提取的数。
这个x就是该位的结果。
4.除法法：类似于手算除法的步骤，从高位往低位依次计算。
对于每一位，先将之前已经得到的结果乘以2，再在该位后面补上一个数字，使得这个数与之前的结果乘以2之后的数的乘积不大于当前被开方数的余数，然后将这个数记录下来，并且用它减去之前的乘积，得到新的余数。
不断重复这个步骤，直到所有位数都计算完毕。
5.迭代法：使用迭代法可以逐步逼近开方结果。
首先猜一个近似值，然后用被开方数除以这个猜测值得到一个新的近似值。
迭代多次后，就可以得到一个更接近开方结果的值。
手动开立方的方法:1.近似法：可以先利用近似法找到一个与被开立方数近似的数。
比如，找到一个整数x，使得x的立方小于等于被开立方数。
然后逐步增加x，直到x的立方大于被开立方数，这样就得到了一个近似值。
2.不断逼近法：可以利用不断逼近法逐步逼近开立方结果。
类似于开平方的迭代法，首先猜一个近似值，然后用被开立方数除以这个猜测值的平方，得到一个新的猜测值。
不断迭代计算，直到收敛到一个满足条件的值。
3.牛顿法：牛顿法也是一种常用的开立方方法。
它基于函数求根的思想，通过不断迭代逼近函数的根。
具体步骤是，首先猜一个近似值，然后根据牛顿法公式：x=x-f(x)/f'(x)，来更新猜测值，直到满足收敛条件。
平方根与立方根的计算
平方根与立方根的计算在数学中，平方根和立方根是常见的数学运算。
平方根指的是一个数的平方根，即找到一个数使得它的平方等于给定的数。
立方根则是一个数的立方等于给定的数。
在数学中，我们常用符号√ 表示平方根，用符号³√ 表示立方根。
计算平方根和立方根的方法有很多种，下面将介绍几种常用的计算方法。
一、平方根的计算1. 通过公式计算平方根的计算可以通过以下公式来实现：若给定的数为 x ，则其平方根 y 可以通过求解方程 y² = x 来获得。
对于正实数 x ，可以使用牛顿迭代法或二分法来逼近方程的解。
2. 借助计算器计算在现代科技的进步下，我们可以直接使用计算器来计算平方根。
大多数计算器都内置了平方根计算功能，只需输入待计算的数值，按下相应的运算键即可得到平方根的结果。
3. 利用近似方法计算对于平方根的近似计算，可以使用牛顿迭代法或二分法。
这些方法可以通过多次逼近来得到一个足够接近实际值的结果。
二、立方根的计算1. 通过公式计算立方根的计算可以通过以下公式实现：若给定的数为 x ，则其立方根 y 可以通过求解方程 y³ = x 来获得。
对于正实数 x ，可以使用牛顿迭代法或二分法来逼近方程的解。
2. 借助计算器计算类似于平方根的计算，现代计算器也常常内置了立方根的计算功能。
只需输入待计算的数值，按下相应的运算键即可得到立方根的结果。
3. 利用近似方法计算与计算平方根类似，立方根的近似计算也可以使用牛顿迭代法或二分法来实现。
通过多次逼近，我们可以得到一个足够接近实际值的结果。
综上所述，平方根和立方根的计算可以通过多种方法来实现。
无论使用公式、计算器还是近似方法，我们都能够得到所需的结果。
计算器的出现使我们计算平方根和立方根变得更加简便快捷，而数学中的方法则为我们提供了一种深入了解计算过程的途径。
无论是在日常生活还是学术研究中，平方根和立方根的计算都是十分重要的基本运算，它们深刻影响了数学和科学的发展与应用。
开方
for(j=i,k=1;j<number+i;j++,k++)
{
c[j]=(a[k]*b[i]+flag)%10;
flag=(a[k]*b[i]+flag)/10;
if(a[i]==b[j])
System.out.print(a[i]);
else
jingque=false;
System.out.print("精确到"+(a[0]-i-1)+"位\n");
}
}
class hanshucheng
———————————————
4 3｜0 4｜6 7｜2 1
3 6
————————
}
}
一、开平方的手动算法
此方法是在高一学万有引力和航天时，因需要大量开平方运算又不能用计算器，而被逼无奈研发的。
开平方的整个过程分为以下几步：
（一）分位
分位，意即将一个较长的被开方数分成几段。具体法则是：
1、分位的方向是从低位到高位；
{
int flag=0,i;
for(i=a[0];i>=1;i--)
{
d[i+1]=(flag*10+a[i])/2;
flag=(flag*10+a[i])%2;
}
if(flag!=0)
hanshucopy.copy(b,d);
hanshucheng.cheng(b,b,s);
j=s[0];
// for(i=0;i<=s[0];i++)
关于开平方及开立方的手动算法
关于开平方及开立方的手动算法开平方和开立方是数学中的两个重要概念，它们可以帮助我们快速计算一个数的平方根和立方根。
手动计算开平方和开立方的方法有多种，下面将介绍其中的几种常见方法。
首先，我们来考虑开平方的手动计算方法。
假设我们要计算一个正数a的平方根，即要找到一个数x，使得x^2=a。
下面是一种基于二分法的手动计算平方根的方法：1.首先，选择一个较小的正数x0作为初始近似解，可以选择1或者a/22.使用下面的二分法迭代计算新的近似解，直到达到所需精度：-计算当前近似解x的平方，记为f(x)；-如果f(x)=a，则找到了平方根，计算结束；-如果f(x)>a，那么平方根肯定在x的左侧，令x1=(x0+x)/2，并将x1作为新的近似解；-如果f(x)<a，那么平方根肯定在x的右侧，令x1=(x+x0)/2，并将x1作为新的近似解。
3.重复步骤2，直到达到所需精度为止。
可以选择一个精度要求，例如小数点后固定几位，或者判断两次迭代的结果差值是否满足要求。
这个方法的思路是根据以下性质：如果一个数x的平方大于a，那么x的平方根肯定小于x；反之，如果一个数x的平方小于a，那么x的平方根肯定大于x。
因此，通过不断调整近似解的大小，可以逐渐逼近真正的平方根。
接下来，我们来考虑开立方的手动计算方法。
假设我们要计算一个正数a的立方根，即要找到一个数x，使得x^3=a。
下面是一种基于牛顿迭代法的手动计算立方根的方法：1.首先，选择一个较小的正数x0作为初始近似解，可以选择1或者a/22.使用下面的牛顿迭代法计算新的近似解，直到达到所需精度：-计算当前近似解x的立方，记为f(x)；-计算函数f(x)的导数f'(x)；-根据牛顿迭代法的公式，计算新的近似解x1=x-(f(x)/f'(x))；-将x1作为新的近似解。
3.重复步骤2，直到达到所需精度为止。
同样可以选择一个精度要求，例如小数点后固定几位，或者判断两次迭代的结果差值是否满足要求。
关于开平方开立方的手动算法
关于开平方开立方的手动算法开平方和开立方是数学中的两个重要概念，它们在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍关于开平方和开立方的手动算法。
一、开平方的手动算法：开平方是指求一个数的平方根。
手动算法可以分为近似算法和精确算法两种。
1.近似算法：近似算法是指通过一系列计算逐渐逼近目标结果。
其中最常用的近似算法是牛顿-拉弗森迭代法。
该算法的基本思想是通过不断迭代来逼近目标值。
假设要求一个数x的平方根，我们可以假设一个初始值y作为近似根，然后通过以下迭代公式逐渐逼近目标结果：y=(y+x/y)/2按照这个公式进行迭代，直到y的变化足够小，即可得到近似的平方根。
举个例子：求根号2的近似值，假设初始值y=1，根据迭代公式计算：y=(1+2/1)/2=1.5y=(1.5+2/1.5)/2=1.4167y=(1.4167+2/1.4167)/2=1.4142最终得到的值1.4142就是根号2的近似值。
2.精确算法：精确算法是指通过数学公式或者算法直接计算得到目标结果。
最常用的精确算法是二分法和牛顿迭代法。
a. 二分法：对于给定的数x，我们可以通过二分法来求其平方根。
假设左边界为0，右边界为x，中间值为mid，根据中值定理，我们可以得到mid的平方与x的大小关系。
如果mid的平方小于x，则将左边界移动到mid，如果mid的平方大于x，则将右边界移动到mid。
不断重复这个过程，直到左右边界足够接近，即可得到精确的平方根。
b.牛顿迭代法：牛顿迭代法同样可以用来计算平方根。
假设要求一个数x的平方根，假设初始值y=1，然后通过以下迭代公式逐渐逼近目标结果：y=0.5*(y+x/y)按照这个公式进行迭代，直到y的变化足够小，即可得到精确的平方根。
以上就是开平方的手动算法，无论是近似算法还是精确算法，都可以用来计算一个数的平方根。
二、开立方的手动算法：开立方是指求一个数的立方根。
手动算法同样可以分为近似算法和精确算法两种。
1.近似算法：近似算法可以通过类似的迭代方法来逼近目标结果。
关于开平方及开立方的手动算法
关于开平方及开立方的手动算法关于开平方及开立方的手动算法序言计算器已经被取缔了，然而题目的计算量仍然存在，尤其是那些该死的开平方和开立方的运算，真是世风日下，人心不古，时代变了，我无话可说……然而，我们不能坐以待毙，万一正规考试中出题人真得很阴险地让你开平方或者开立方，在没有计算器的情况下不就挂掉了吗？为了负隅顽抗到底，我费劲八力的研发出了开方的手动算法，仅供列位参考。
一、开平方的手动算法此方法是在高一学万有引力和航天时，因需要大量开平方运算又不能用计算器，而被逼无奈研发的。
开平方的整个过程分为以下几步：（一）分位分位，意即将一个较长的被开方数分成几段。
具体法则是：1、分位的方向是从低位到高位；2、每两个数字为一段；3、分到最后，最高位上可以不满两个数字，但不能没有数字。
如：43046721分位后是43｜04｜67｜2112321分位后是1｜23｜21其中，每段中间的竖线在熟练了以后可不必写。
分位以后，其实就能看出开方后的结果是几位数了，如43046721分位后是四段，那么开方结果就是四位数。
（二）开方开方的运算过程其实与做除法很类似，都有一个相乘以后再相减的过程。
这里以43046721为例。
分位后是43｜04｜67｜21运算时从高位到低位，先看前两位43，由于62最接近43而不超过43，因而商（这里找不到合适的字眼，因而沿用除法时的字眼）6，然后做减法（如下图）：6———————————————4 3｜0 4｜6 7｜2 13 6————————7 0 4这里一次落两位，与除法不同。
下面的过程是整个算法中最复杂的部分，称为造数，之所以用这个词是因为算出最后要减掉的数的过程较为麻烦。
首先，将已商数6乘以2：6×2=12这里的12不是真正的12，实际上是120，个位上的0之所以空出来是为了写下一个要商的数。
我们不妨假设下一个要商的数为A，我们下面要考虑的问题就是：从0-9中找一个A，使得：12A×A最接近但不超过上面余下的数704。
平方根与立方根运算
平方根与立方根运算平方根和立方根是数学运算中常见的概念，用于求一个数的平方根和立方根。
在计算平方根和立方根时，我们需要使用根号符号来表示。
1. 平方根运算平方根是指一个数的二次方根，用以表示一个数的平方根是多少。
假设有一个数x，它的平方根记为√x，其中√表示开平方根的运算符号。
平方根可以通过不同的方法进行计算。
其中，最常用的方法是使用手算或者计算器。
举个例子来说明平方根的计算方法。
假设我们要计算数字16的平方根，可以采用以下步骤：1）写出根号符号√。
2）写出要计算的数16。
3）将根号符号放在16的前面，即√16。
4）当计算器或者手算时，我们可以得到结果，即√16=4。
计算平方根的结果可以是一个实数或者是一个无理数。
无理数是指不能被有理数表示的数，比如根号2。
2. 立方根运算立方根是指一个数的三次方根，用以表示一个数的立方根是多少。
假设有一个数x，它的立方根记为³√x，其中³√表示开立方根的运算符号。
与平方根一样，立方根的计算也可以通过手算或者计算器完成。
举个例子来说明立方根的计算方法。
假设我们要计算数字27的立方根，可以采用以下步骤：1）写出立方根的符号³√。
2）写出要计算的数27。
3）将立方根符号放在27的前面，即³√27。
4）通过计算器或者手算得到结果，即³√27=3。
类似于平方根，立方根的结果也可以是一个实数或者无理数。
3. 平方根和立方根的运算性质平方根和立方根的运算满足以下性质：（1）平方根和立方根的运算结果是唯一的。
对于任何一个数x，它的平方根和立方根是确定的。
（2）平方根和立方根的运算结果都可以是实数或无理数。
实数是有理数和无理数的统称，它们都可以表示为分数的形式或者不能表示为分数的形式。
（3）平方根和立方根的运算可逆。
即对于任何一个数x，可以通过平方或立方运算得到它的平方根或立方根。
4. 应用举例平方根和立方根的运算在数学和实际生活中有着广泛的应用。
开平方的运算法则
开平方的运算法则
1、整数开平方步骤：
（1）将被开方数从右向左每隔2位用撇号分开；（2）从左边第一段求得算数平方根的第一位数字；（3）从第一段减去这个第一位数字的平方，再把被开方数的第二段写下来，作为第一个余数；（4）把所得的第一位数字乘以20，去除第一个余数，所得的商的整数部分作为试商（如果这个整数部分大于或等于10，就改用9左试商，如果第一个余数小于第一位数字乘以20的积，则得试商0）；（5）把第一位数字的20倍加上试商的和，乘以这个试商，如果所得的积大于余数时，就要把试商减1再试，直到积小于或等于余数为止，这个试商就是算数平方根的第二位数字；（6）用同样方法继续求算数平方根的其他各位数字。
2、小数部分开平方法：求小数平方根，也可以用整数开平方的一般方法来计算，但是在用撇号分段的时候有所不同，分段时要从小数点向右每隔2段用撇号分开，如果小数点后的最后一段只有一位，就填上一个0补成2位，然后用整数部分开平方的步骤计算。
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关于开平方及开立方的手动算法关于开平方及开立方的手动算法序言计算器已经被取缔了，然而题目的计算量仍然存在，尤其是那些该死的开平方和开立方的运算，真是世风日下，人心不古，时代变了，我无话可说……然而，我们不能坐以待毙，万一正规考试中出题人真得很阴险地让你开平方或者开立方，在没有计算器的情况下不就挂掉了吗？为了负隅顽抗到底，我费劲八力的研发出了开方的手动算法，仅供列位参考。
一、开平方的手动算法此方法是在高一学万有引力和航天时，因需要大量开平方运算又不能用计算器，而被逼无奈研发的。
开平方的整个过程分为以下几步：（一）分位分位，意即将一个较长的被开方数分成几段。
具体法则是：1、分位的方向是从低位到高位；2、每两个数字为一段；3、分到最后，最高位上可以不满两个数字，但不能没有数字。
如：43046721分位后是43｜04｜67｜2112321分位后是1｜23｜21其中，每段中间的竖线在熟练了以后可不必写。
分位以后，其实就能看出开方后的结果是几位数了，如43046721分位后是四段，那么开方结果就是四位数。
（二）开方开方的运算过程其实与做除法很类似，都有一个相乘以后再相减的过程。
这里以43046721为例。
分位后是43｜04｜67｜21运算时从高位到低位，先看前两位43，由于62最接近43而不超过43，因而商（这里找不到合适的字眼，因而沿用除法时的字眼）6，然后做减法（如下图）：6———————————————4 3｜0 4｜6 7｜2 13 6————————7 0 4这里一次落两位，与除法不同。
下面的过程是整个算法中最复杂的部分，称为造数，之所以用这个词是因为算出最后要减掉的数的过程较为麻烦。
首先，将已商数6乘以2：6×2=12这里的12不是真正的12，实际上是120，个位上的0之所以空出来是为了写下一个要商的数。
我们不妨假设下一个要商的数为A，我们下面要考虑的问题就是：从0-9中找一个A，使得：12A×A最接近但不超过上面余下的数704。
注意，A在这里代表一个数位，若A=6，那么12A 的含义不是12×6，而是126。
以上过程与除法中的试商的过程很类似。
经验证，125×5=625符合要求，因此下一个要商的数就是5。
（如下图）往下依此类推：65×2———1301306× 6————7836656×2———131213121× 1————13121所以，43046721的算术平方根为6561从开方的过程中我们可以看出，越到后面，计算量越大，因此，凭我们的计算量，再算一些开不尽的数时，如7的算术平方根，其精确程度是非常有限的。
以上就是开平方的一般方法，请列位指教。
二、开立方的手动算法此方法是昨天刚刚研发成功的，为了应付在由体积求分子半径时产生的开立方的运算。
开立方的方法与开平方的方法很类似，但要复杂很多，如果不能熟练掌握，倒不如按大脸猫说的方法：凑！当然，熟练掌握以后，比凑的方法是快多了。
开立方的过程分以下几步：（一）分位与开平方基本一致，只有一点：这次是每三位为一段（二）开方这里以41063625为例第一个要商的数的确定与开平方是类似，只是变成了要找一个数的立方（如下图）：3——————————————4 1｜0 6 3｜6 2 52 7————————1 4 0 6 3一次落三位！下面的造数过程是最麻烦的，流程如下：1、将已商数乘以3。
3×3=92、将要商的数乘以3后，向后错一位加在第1步算出的数上：4×3=129+ 12———1023、将第2步得出的数乘以已商数：102×3=3064、将要商的数平方以后，向后错一位加在第3步算出的数上42=16306+ 16————30765、将第4步中算出的数乘以要商的数，使它最接近又不超过余下来的数：3076×4=1230412304就是我们要造的数，将这个数代回原来的开方式减掉就可以了。
3 4——————————————4 1｜0 6 3｜6 2 52 7————————1 4 0 6 31 2 3 0 4—————————————1 7 5 9 62 5有人肯定会问，你怎么知道要商的数就是4？的确，我一开始也不知道，确定要商的数的过程实际上就是类似开平方中的试商的过程，但这个过程比开平方是要繁琐得多。
当做完造数过程的第1步以后，得出了9这个数，由于不知道应该商几，所以，我们可以先假设商0，那么依据第2步，90×3=270。
270错位加一个数，等于扩大了10倍还多，由于我们假设商0，由第3步，270变成了2700。
这是我们就要看一看2700乘以一个什么数最接近且不超过14063，这个数可能（这里说“可能”的原因从下文可以看到）就是我们要商的数。
乍一看5非常合适，但你要考虑到我们在假设商0时少加了多少东西，所以商5可能就超了。
经验告诉我们，4和5都有可能，此时我们可先取5为要商的数，然后进行1-5各步，结果发现的数已经超过了14063，因此4就是我们要商的数。
注：这个试商的过程在熟练了以后是一眼就能看出来的。
下面的步骤可依此类推：34×3————102+ 15 （3×5）————1035× 34————41403105————35190+ 25 52————351925× 5————1759625这里的5是怎么商出来的不用我再说一遍了吧？整个流程相当繁琐，丢其中任何一步都可能导致前功尽弃，因此必须要求计算准确。
熟练了以后，速度是可以保证的。
我曾经把手动开方法和凑数法比较过，前者比后者至少快一倍。
另外，值得注意的是：如果已知结果是整数，那么结果最后一位的确定可不必用以上方式，直接根据立方数末位的特异性就可确定，但前提是对1-9的立方表非常熟悉。
1-5的立方表同志们应该都很熟悉，以下几个是不常用的：63=216 73=343 83=512 93=729结语：这两种方法可用来准确地进行开平方及开立方的运算，只要有耐心，想算几位就算几位。
但开立方的过程实在是很复杂，很可能还存在优化方案，但由于时间紧迫，我没有再考虑其他的方法。
同志们谁要是有兴趣，可以使这优化这两个算法，我的方法仅供参考。
最后声明一下版权：这两个算法可能不是我首先研发的，但是是独立研发的，具有自主知识产权。
如有雷同，打击盗版，人人有责！Copyright@W.C.Entertainment ALL RIGHTS RESERVED.2008-3-14如何手动开平方不用平方根表和计算器，可不可以求出一个数的平方根呢？先一起来研究一下，怎样求，这里1156是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来进行分析．根据两数和的平方公式，可以得到1156=(30+a)^2＝30^2＋2×30a＋a^2，所以1156－30^2＝2×30a＋a^2，即256=(20×3+a)a，这就是说， a是这样一个正整数，它与20×3的和，再乘以它本身，等于256．为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：根号上面的数3是平方根的十位数．将 256试除以20×3，得4(如果未除尽则取整数位).由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得到 1156＝34^2，或√1156=34. 上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：开方的计算步骤1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的11’56），分成几段，表示所求平方根是几位数；2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（20×3除256，所得的最大整数是 4，即试商是4）；5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．例如求的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．我国古代数学在开方上的成就我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．编辑本段开立方公式如何开立方设A = X^3,求X.称为开立方。
开立方有一个标准的公式：X(n+1)=Xn+(A/Xn^2-Xn)1/3 (n，n+1是下角标）例如，A=5，,即求5介于1的3次方;至2的3次方;之间（1的3次方=1，2的3次方=8）初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。
例如我们取X0 = 1.9按照公式：第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。
即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。
即取2位数值,，即1.7。
第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。
取3位数，比前面多取一位数。
第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。
即5=1.7099^3;当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。