有理数的分类
有理数的分类
（1）按一定速度传播问题：
应
用
（2）平均变化率问题： （3）边的宽度问题： （4）匀变速运动问题：
a a1 x a
v0 0 v 2
1 x
2
„=总数（a 为原产值，x 为增长率）
v
匀变速时间=行驶路程÷平均速度 匀变速度=（初速度-末速度）÷匀变速时间 速度×时间=路程
添括号法则
（2） 添括号后，括号前是“—”号，括到括号里的各项都改变符号。
整式的乘法
同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
a
m
a a
n
mn
（m、n 都是正整数）
mn m a a （m、n 都是正整数）
n
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 积的乘方
y a x bx c
y ax x1x x2
x
b 2a
a 0 开口向下
对称轴左侧,y 随 x 的增大而增 大 对称轴右侧，y 随 x 的增大而减 小 函数有最大值。
是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。
2
（1）直接开方法： 一元二次方 程的解法 形如
p
2
或
mxn p
2
的形式， 可得 x
p 或 mx n p ）
4）开方
（2）配方法：1）移项（常数项移到等号右边）
2）二次项系数化成 1
3）配方（等号左右两边同加一次项系数一半的平方）
1 a b
有理数的概念及分类
有理数的概念及分类有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。
有理数，在数学其实就是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
一、有理数的基本运算有：1.加法运算减去一个数，等于加上这个数的相反数（符号不同，符号相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数）。
2.乘法运算两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
特别注意：零除以任一一个不等于零的数，都得零；零无法搞除数和分母；有理数的乘法与乘法就是互逆运算。
在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相除。
若在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。
若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。
3.乘法运算（1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
例如：（-2）的3次方= -8，（-2）的2次方=4。
（2）正数的任何次幂都就是正数，零的任何正数次幂都就是零。
比如：2的2次方=4,2的3次方=8,0的3次方=0。
（3）零的零次幂无意义。
（4）由于乘方就是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算顺利完成。
（5）任何非0数的0次方都是1。
（6）一个数的负数次方=此数正数次方的倒数。
例如：5的-2次方=1/25二、有理数的运算定律有：1.乘法运算律:（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a。
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，和维持不变，即a+b+c=a+（b+c）。
2.加法运算律：（1）减法运算律：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
即：a-b=a+（-b）。
（2）加法结合律：三个数连减至，可以先将两个减至的数相乘，然后再减至，高维持不变，即：a-b-c=a-（b+c）。
初中七年级数学有理数的分类
有理数定义及分类定义：正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
概况：有理数为整数和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
有理数性质：在数学上，有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。
0也是有理数。
有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。
有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。
不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
有理数的计算法则1）、有理数加法法则1.同号两数相加，把绝对值相加，所得值符号不变。
如-1+(-1)=-|1+1|=-2 、1.1+1.1=2.22.异号两数相加，若绝对值不等，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
若绝对值相等即互为相反数的两个数相加得0。
如-1+2=+|2-1|=1 、2+(-3)=-|3-2|=-1 、-3.2+3.2=03.一个数同0相加，仍得这个数。
3.14+0=3.14注意：注意：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数，则a＞0表明a是正数；a＜0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。
一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。
在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0。
从而确定用那一条法则。
在应用过程中，一定要牢记“先符号,后绝对值”，熟练以后就不会出错了。
多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。
有理数相关知识点
有理数1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数⇔ 0和正整数；a ＞0 ⇔ a 是正数；a ＜0 ⇔ a 是负数；a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数；a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ；(3)相反数的和为0 a+b=0 a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； (3) 0a 1a a >⇔= ； 0a 1a a<⇔-=；(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a ·b|, ba b a =. 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6. 乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；倒数是本身的数是±1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n ,当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ⇔ a=0,b=0；（4）据规律 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===100101101.01.0222底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位. 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.。
高三复习-有理数的定义和分类
有理数的定义和分类
一、有理数的定义和分类
1、定义：整数和分数统称为有理数，正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
2、分类：
$有理数\begin{cases}整数\begin{cases}正整数，如：1,2,3... \\ 0 \\ 负整数，如:-1,-2,-3... \end{cases} \\分数\begin{cases} 正分数，如: \dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, 5.3... \\ 负分数，如: -4 \dfrac{1}{2},-3.6,- \dfrac{6}{7}... \end{cases} \end{cases}$
$有理数\begin{cases} 正有理数\begin{cases} 正整数\\ 负整数\end{cases} \\ 0 \\ 负有理数\begin{cases} 负整数\\ 负分数\end{cases} \end{cases}$
二、例题
1、在0,1，-2，-3.5这四个数中，是负整数的是（）
A. 0 ㅤㅤ
B.1 ㅤㅤ
C. -2 ㅤㅤ
D. -3.5
答案：C解析：只有-2是负整数，故选C.
2、指出下列各数中的正数、负数、整数和分数:
$-17，+6，-1，-0.81，3，0，\dfrac{2}{3}，2\dfrac{3}{5}，0.8，-8.75$
解析：
正数：$+6，3，\dfrac{2}{3}，2 \dfrac{3}{5}，0.8；$负数：$-17，-1，-0.81，-8.75；$整数：$+6，-1，3，0;$分数：$-0.81，\dfrac{2}{3}，2\dfrac{3}{5}，0.8，-8.75.$。
初中七年级数学有理数定义及分类
有理数定义及分类定义：正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
概况：有理数为整数和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.有理数的计算法则1）、有理数加法法则1.同号两数相加，把绝对值相加，所得值符号不变。
如-1+(-1)=-|1+1|=-2 、1.1+1.1=2.22.异号两数相加，若绝对值不等，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
若绝对值相等即互为相反数的两个数相加得0。
如-1+2=+|2-1|=1 、2+(-3)=-|3-2|=-1 、-3.2+3.2=03.一个数同0相加，仍得这个数。
3.14+0=3.14注意：一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。
在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0。
从而确定用那一条法则。
在应用过程中，一定要牢记“先符号,后绝对值”，熟练以后就不会出错了。
多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。
2）、有理数减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数。
两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数做加数。
一不变：被减数不变。
可以表示成：a－b=a+（－b）。
3）、有理数乘法法则1.两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。
2.任何数同0相乘，都得0。
3.乘积为1的两个有理数互为倒数。
4.几个不是0的数相乘，负因数得个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
5.几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。
【数学知识点】有理数的概念和分类
【数学知识点】有理数的概念和分类整数可以看作分母为1的分数。
正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
有理数的小数部分有限或为循环。
不是有理数的实数遂称为无理数。
有理数为整数和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。
有理数集是整数集的扩张。
在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。
有理数的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数，当a大于b或b小于a，记作a>b或b<a。
任何两个不相等的有理数都可以比较大小。
有理数有两种分类，分别是正有理数，包括正整数和正分数；负有理数，包括负整数和负分数合。
1、正有理数指的是数学术语，除了负数、0、无理数的数字，正有理数能精确地表示为两个整数之比。
2、负有理数就是小于零并能用小数表示的数。
如-3.123，-1...。
3、有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。
注意：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数，则a＞0表明a 是正数；a＜0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
有理数的46个知识点总结
有理数的46个知识点总结一、有理数的概念。
1. 有理数的定义。
- 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
例如，5是正整数属于有理数，-3是负整数属于有理数，(1)/(2)是分数属于有理数。
2. 有理数的分类。
- 按定义分类：有理数可分为整数和分数。
整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数，如0.25（有限小数），0.3̇（无限循环小数）。
- 按正负性分类：有理数可分为正有理数、0、负有理数。
正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。
3. 有理数与无理数的区别。
- 无理数是无限不循环小数，如π、√(2)等，而有理数是整数或分数。
有理数可以表示为两个整数之比，无理数则不能。
二、有理数的数轴表示。
4. 数轴的定义。
- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
原点表示0，原点右边表示正数，原点左边表示负数。
5. 有理数在数轴上的表示。
- 每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
例如，3在原点右边3个单位长度处， -2在原点左边2个单位长度处。
6. 数轴上点的移动规律。
- 向右移动为加，向左移动为减。
如点A表示2，向右移动3个单位长度后表示2 + 3=5；向左移动4个单位长度后表示2-4 = - 2。
三、相反数。
7. 相反数的定义。
- 绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数。
例如，3和 - 3互为相反数，0的相反数是0。
8. 相反数的性质。
- 互为相反数的两个数相加为0，即a+(-a)=0。
如5+( - 5)=0。
- 在数轴上，互为相反数的两个数位于原点两侧，且到原点的距离相等。
四、绝对值。
9. 绝对值的定义。
- 一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
例如，|3| = 3，| - 2|=2，|0| = 0。
10. 绝对值的性质。
- | a|≥slant0，即绝对值是非负的。
- 若| a|=| b|，则a = b或a=-b。
有理数知识点
有理数知识点一、关键信息项1、有理数的定义：整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
2、有理数的分类：按定义分类：分为整数和分数。
按性质分类：分为正有理数、0、负有理数。
3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
4、相反数：绝对值相等，符号相反的两个数。
5、绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离。
6、有理数的大小比较：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。
两个负数，绝对值大的反而小。
7、有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同 0 相加，仍得这个数。
8、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
9、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同 0 相乘，都得 0。
10、有理数的除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
11、乘方：求 n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方。
12、科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 a×10^n 的形式（其中a 大于或等于 1 且小于 10，n 是正整数）。
二、详细内容11 有理数的定义有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。
整数可以看作是分母为 1 的分数。
例如，5 可以表示为 5/1，－3 可以表示为－3/1。
分数则是形如 m/n（m、n 为整数，且 n 不等于 0）的数，例如1/2、－3/4 等。
111 有理数与无理数的区别无理数是不能表示为两个整数之比的数，例如圆周率π、根号2 等。
有理数和无理数共同构成了实数集合。
12 有理数的分类121 按定义分类整数：包括正整数、0、负整数。
正整数如 1、2、3 等；负整数如－1、－2、－3 等。
分数：包括正分数和负分数。
有理数与无理数分类
有理数与无理数分类数学中的数可以分为有理数和无理数两类。
有理数是可以表示为两个整数的比例形式的数，而无理数则是不可用有限或无限循环小数形式表示的数。
有理数和无理数在数学中有着不同的性质和特点。
本文将对有理数和无理数进行分类和讨论。
一、有理数的分类有理数可以分为整数和分数两种。
1. 整数整数包括正整数、负整数和零。
正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，而零既不是正整数也不是负整数。
2. 分数分数由分子和分母组成，分子是整数，而分母是正整数。
分数可以表示为两个整数的比值。
分数又可以分为真分数和假分数。
- 真分数：分子小于分母的分数。
例如，1/2、3/4都是真分数。
- 假分数：分子大于或等于分母的分数。
例如，5/4、7/4都是假分数。
二、无理数的分类无理数包括无限不循环小数和无限循环小数两种。
1. 无限不循环小数无限不循环小数是无理数的一种形式，不能表示为两个整数的比例形式。
无限不循环小数的小数部分是无限长度的，且没有循环模式。
例如，圆周率π和自然对数的底数e都是无限不循环小数。
2. 无限循环小数无限循环小数是无理数的另一种形式，同样不能表示为两个整数的比例形式。
无限循环小数的小数部分是有限长度的，且有一个或多个循环模式。
例如，1/3和22/7都是无限循环小数。
三、有理数与无理数的性质比较有理数和无理数在数学运算、大小比较和表示形式等方面有着不同的性质。
1. 数学运算：有理数之间的四则运算（加法、减法、乘法、除法）仍然是有理数，两个有理数之间的运算结果也是有理数。
例如，1/2 + 3/4 = 5/4，结果是一个有理数。
而无理数与有理数之间的运算结果通常是无理数。
例如，√2 + 1/2是一个无理数。
2. 大小比较：有理数之间可以通过大小关系进行比较。
例如，2/3 < 4/5，即2/3小于4/5。
而无理数之间的大小比较相对复杂，需要借助数学方法进行推导。
一般来说，无理数之间无法直接通过大小关系进行比较。
有理数及其运算知识点
有理数及其运算知识点一、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数比的数，形式为a/b，其中a和b是整数，且b不为零。
有理数集合包括所有整数、分数和它们的负数。
二、有理数的分类1. 整数：包括正整数、零和负整数，如1, 0, -2等。
2. 分数：分子和分母都是整数的比值，如3/4, -5/2等。
3. 混合数：包含整数部分和分数部分的数，如1 3/4。
三、有理数的性质1. 封闭性：有理数集合在加法、减法、乘法和除法（除数不为零）运算下是封闭的。
2. 有序性：任何两个有理数都可以比较大小。
3. 加法和乘法的交换律、结合律：有理数的加法和乘法满足交换律和结合律。
4. 加法和减法的逆元：任何有理数a都有加法逆元（-a），使得a + (-a) = 0；任何非零有理数a都有减法逆元（-a/a = -1）。
四、有理数的运算规则1. 加法：a. 同号相加，取相同的符号，并将绝对值相加。
b. 异号相加，取绝对值较大的数的符号，并将绝对值相减。
c. 任何数与零相加，结果为原数。
2. 减法：a. 减去一个数等于加上它的相反数。
b. a - b = a + (-b)。
3. 乘法：a. 同号得正，异号得负，并将绝对值相乘。
b. 任何数与零相乘，结果为零。
c. 乘法满足交换律和结合律。
4. 除法：a. 除以一个非零数等于乘以它的倒数。
b. a / b = a * (1/b)。
c. 除数不能为零。
5. 混合运算：a. 在混合运算中，先进行乘除运算，再进行加减运算。
b. 同级运算应按照从左到右的顺序进行。
五、有理数的运算律1. 加法交换律：a + b = b + a2. 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)3. 乘法交换律：a * b = b * a4. 乘法结合律：(a * b) * c = a * (b * c)5. 分配律：a * (b + c) = a * b + a * c六、有理数的比较1. 正数大于零，零大于所有负数。
有理数的分类
练习
2，下列说法正确的是 （ D ） A.非负有理数就是正有理数 B. 0仅表示没有，是有理数 C.正整数和负整数统称为整数 D.整数和分数统称为有理数
例3，最小的正整数是______，最大的负整数 1 是_____,所有大于-4的负整数有_________， -1,-2,-3 -1 不大于3的非负整数有____________。 0,1,2,3
（4） 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数 相等 ( （5） 互为相反数的两个数的绝对值相等 (
) )
1．比较下列各组数的大小： (1)－1和－5 (2)－ 和－2．7
练习一:
1.绝对值等于6的数有 绝对值是0的数是 0 。 2.比较大小：│－5│ │-0.05│ │-3│ │－8│ 0； 1；
3、下列说法正确的是（ D ） A：任何一个数的相反数都与这个数 本身不同. B：除零以外的数都有它的相反数， 零没有相反数. C：数轴上原点两旁的两个点所表示 的数互为相反数. D：任何一个数都有相反数.
4、如果数轴上的两点A、B所表示的 数互为相反数，点A在原点的左侧， 并且A、B之间的距离为10，那么点B 所表示的数是（ 5 ）
练习一:
1.绝对值等于6的数有 绝对值是0的数是 0 。 2.比较大小：│－5│ │-0.05│ │-3│ │－8│ 0； 1；
-6 和 +6
3. 判断（对的打“√”，错的打“×”） ：
（1）一个有理数的绝对值一定是正数。 （2）－1.4<0，则│－1.4│<0。 （3） │－32︱的相反数是32 ( ( ( ) ) )
______ 0
负有理数 ______
正整数 ______
正分数 ______
有理数的概念和分类
有理数的概念和分类一、有理数的概念和分类1、有理数（1）有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。
整数和分数统称为有理数。
（2）有理数的分类① 按整数和分数的关系，有理数分为整数和分数。
其中整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数。
② 按正数、0和负数的关系，有理数分为正有理数、0、负有理数。
其中正有理数分为正整数、正分数；负有理数分为负整数、负分数。
2、数轴（1）数轴的定义在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，$\cdots\cdots$；从原点向左，用类似方法依次表示$-1$，$-2$，$-3$，$\cdots\cdots$（分数和小数也可以用数轴表示）。
（2）数轴上的点和有理数一般地，设$a$是一个正数，则数轴上表示数$a$的点在原点的右边，与原点的距离是$a$个单位长度；表示数$-a$的点在原点的左边，与原点的距离是$a$个单位长度。
3、相反数（1）相反数像2和$-2$，5和$-5$这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
一般地，$a$和$-a$互为相反数，特别地，0的相反数是0。
这里，$a$表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。
（2）几何意义互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数。
（3）相反数的性质任何一个数都有相反数，而且只有一个。
正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0。
4、绝对值（1）绝对值的定义一般地，数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫做数$a$的绝对值，记作$|a|$。
实数、有理数、无理数的分类
第 1 页 共 3 页 实数、有理数、无理数的分类
实数可以分成两类：有理数和无理数。
实数也可以按照符号正负分成三类：正实数、负实数、0.
一、常见的有理数类型
（一）有理数的分类法“1”：按有理数的类型来分。
常见的有理数类型有如下几种。
1.整数：所有的整数都是有理数。
2.小数：小数里的有限小数、无限循环小数都是有理数。
3.分数：因为所有的分数不是与一个有限小数等价，就是与一个无限循环小数等价。
即，分数化成小数的结果不是一个有限小数，就是一个无限循环小数。
而这两种类型的小数都是有理数，所以，所有的分数都是有理数。
【注】本文中的“分数”指的都是分子、分母（分母不为0）都是整数的分数。
值得注意的是，在所有根式中，如果根式开方后的结果能化为上面几种常见
有理数的形式中的一种的话，那么这个根式代表的实数也是有理数。
如：因为2=
，4=-
和都是有理数。
（二）有理数的分类法“2”：按符号正负来分。
把“有理数的分类法一”里面的有理数按正负来分的话，有理数又能分为三类：正有理数、负有理数和0.
二、常见的无理数类型
（一）无理数的分类法一、常见的无理数类型有如下几种。
1.无限不循环小数：如圆周率π、自然对数的底数e 等。
2.根式中开方开不尽的数：如2的平方根、5的立方根、7的四次方根等。
【注】一般来说，两个有理数的和、差、积、商仍是有理数。
两个无理数的和、差、积、商既可能是有理数，也可能是无理数。
（1）两个无理数的和、差、积、商为有理数：（2-e ）+e 、e-e
、e/e 。
有理数的特征及分类
有理数的特征及分类
有理数是数学中的一类数字，可以表达为两个整数的比值。
在有理数的定义中，我们可以观察到以下特征和分类。
特征
1. 有理数可以用分数表示，其中分母不为零。
2. 有理数包括整数和分数两部分，可以写成整数形式或者带分数形式。
3. 有理数可以是正数、零或者负数。
4. 有理数的绝对值是非负数。
分类
整数
整数是没有小数部分的有理数。
可以用正数或负数的整数来表示。
例如：-3、0和5都是整数。
分数
分数是有理数的一种表示形式，它包括一个分子和一个分母，分子表示数量的一部分，分母表示分割的份数。
分母不能为零。
例如：3/4、-1/2和7/8都是分数。
正数和负数
有理数可以是正数或负数，用正号(+)或负号(-)表示。
正数大于零，负数小于零。
例如：2是正数，-5是负数。
零
零是一个特殊的有理数，既不是正数也不是负数。
用0表示。
有理数的特征和分类，描述了它们的基本性质和形式。
通过理解有理数的定义，可以更好地应用于数学问题和实际应用中。
有理数的分类
图象经过一、二、三象限 增大而增大
图象经过一、二、四象限
y随x的 增大而减小
b 0
图象经过一、三、四象限
b 0
图象经过二、三、四象限
y k x
双曲线的两支分别位于 第一、三象限
y随x的 增大而减小
双曲线的两支分别位于 第二、四象限
y随x的 增大而增大
解析式
顶点坐标
对称轴
性质
x y a x2 y a 2
正 比 例 函 形如 y = k x （k 是常数，k 0）的函数，叫正比例函数，K 叫做比例系数
数
一次函数 形如 y = k x + b （k、b 是常数，k 0）的函数，叫做一次函数。
( ) 反 比 例 函
数
形如 y = k y = kx x
（ 为常数， ≠0 ）的函数称为反比例函
2
匀变速时间=行驶路程÷平均速度
匀变速度=（初速度-末速度）÷匀变速时间
速度×时间=路程
二次根式
定义
形如 a a 0 的式子叫做二次根式。“ ”称为二次根号。
性质
1、
a 2 aa 0
2、
a2
a
aa aa
0 0
3、 3 a a
最简二次根 式 加减
加法 有 理 数 减法 的 运 法 则 乘法
除法
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，
并用较大的的绝对值减去较小的绝对值。 3、互为相反数的两个数相加得 0。 4、一个数同 0 相加，仍得这个数。 减去一个数，等于加上这个数的相反数
n n
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& 等& & －3.14等）、无限循环小数（如 3.14等）、无限循环小数 无限循环小数（ ） 0 . 3 , − 1 . 4 7都是 分数； 无限不循环小数（ 分数；但无限不循环小数（如 等π 不是分数； ）不是分数；
3，无限不循环小数不是有理数；(无理数) 无限不循环小数不是有理数 无理数) 不是有理数；
122.5,
182.5,
＋75,
305,
18,
－7.5,
＋10.
1.在以上各数中,哪些是在小学里学过的数?它们可以分为哪几类? 1.在以上各数中,哪些是在小学里学过的数?它们可以分为哪几类? 在以上各数中 2.在小学里学过的数中,有没有哪类数在上面没有出现?请举例说明. 2.在小学里学过的数中,有没有哪类数在上面没有出现?请举例说明. 在小学里学过的数中 3.用计算器计算下列各分数的值,说明所有分数都可以化作什么数? 3.用计算器计算下列各分数的值,说明所有分数都可以化作什么数? 用计算器计算下列各分数的值
2 7
}； }； }； }； }； }； }； }； }； }； }； }；
注意： 这种可以先化简成整数的数是整数不是分数； 注意：1，像 这种可以先化简成整数的数是整数不是分数； 非负整数集合包括正整数和0 也称为自然数集合. 2，非负整数集合包括正整数和0，也称为自然数集合.
2：下列说法正确的是 （ D） A.非负有理数就是正有理数 A.非负有理数就是正有理数 0仅表示没有 仅表示没有， B. 0仅表示没有，是有理数 C.正整数和负整数统称为整数 C.正整数和负整数统称为整数 D.整数和分数统称为有理数 D.整数和分数统称为有理数
1 3 8 4.由前面的结论,小学里学的数可以分为哪几类? 4.= _____, 4 =小学里学的数可以分为哪几类? 由前面的结论 _____, 5 = _____, 2 由前面的结论, 2 5 2 5.引入负数后 整数除了小学学的整数外，还包含其它的整数吗？ 引入负数后， = _____ . 5.= _____, ，= _____, 引入负数后 整数除了小学学的整数外，还包含其它的整数吗？ 3 6 7
分数除了小学学的分数外，还包含其它的分数吗？ 分数除了小学学的分数外，还包含其它的分数吗？
正整数: 正整数: ＋10，18，29，＋ ， ，305，1，2，3，… ，＋75， 110， ， ， ，＋ ， ， ， ， 零: ０ ，－2 ， 负整数: 负整数: －52， －67, －1，－2，…
5 3 17 … , 正分数: 正分数: 1.1, 12.91, 12.96, 182.5, , 3 , 2 4 3 3 5 17 负分数: 负分数:－7.5, − , − 3.25, − 3 , − 5.35, − , … 4 2 3
人教版
《数学》 七年级 上册 数学》
课题： 课题：1.2.1 有理数 设计： 设计：李国华 单位： 单位：阳原二中
复习与回顾： 复习与回顾： 上一节课我们讲了些什么内容？ 上一节课我们讲了些什么内容？ 1，正数和负数。 正数和负数。 2，0既不是正数，也不是负数。 既不是正数，也不是负数。 3，正数与负数通常用来表示具有相反意义的量。 正数与负数通常用来表示具有相反意义的量。 4，“0”所表示的意思。 所表示的意思。 5，在生产中，通常用正负数来表示允许误差； 在生产中，通常用正负数来表示允许误差；
⑦ ⑧ ③
1 , 2
1.5, 5 ,
2
①
有理数的分类： 有理数的分类：
正整数 整数 有理数 分数 负分数 注意：我们把有限小数， 注意：我们把有限小数，无限循环小数和百分数都看 作分数，但不是所有的小数都是分数。（圆周率 π 作分数，但不是所有的小数都是分数。（圆周率 。（ 是一个无限不循环小数，它就不能化成分数） 是一个无限不循环小数，它就不能化成分数） 0 负整数 正分数
1
2
3
4
5
110,
12.91,
12.96,
0,
－52
1.1,
122.5,
182.5,
＋75,
305,
18,
－7.5,
＋10.
110 －52 12.91 12.96 1. 1 122.5 182.5 305 +75
18
0 －7.5 +10
110,
12.91,
12.96,
0,
－52
1.1,
同桌 探究
正数
②一把测量用的刻度尺上可以读出哪几类有理 数？ 正数、分数、零 正数、分数、 ③一支测量气温用的温度计，可以从上面读出 一支测量气温用的温度计， 哪几类有理数？ 哪几类有理数？
正数、 正数、零、负数
1：把下列各数填在相应的集合中： 把下列各数填在相应的集合中： 1 & , 22 − 3 ,+ ,0 ,4 ,π ,+ 2 . 12 ,− 0 . 65 ,+ 300 %, − 0 . 6 2 7
温故知新： 温故知新：
1，如果自行车车条的长度比标准长度长2mm，记作+2mm，那么比 如果自行车车条的长度比标准长度长2mm 记作+2mm 2mm， +2mm，
-1.5mm 标准长度短1.5mm 应记为________ 标准长度短1.5mm，应记为________。 1.5mm，
2,粮食每袋标准重量是50千克，先测得甲、 2,粮食每袋标准重量是50千克，先测得甲、乙、丙三袋粮食重量 粮食每袋标准重量是50千克 如下：52千克 49千克 49.8千克 如果超重部分用正数表示， 千克， 千克， 千克， 如下：52千克，49千克，49.8千克，如果超重部分用正数表示， 请用正数和负数记录甲、 丙三袋粮食的超重数和不足数； 请用正数和负数记录甲、乙、丙三袋粮食的超重数和不足数； 3，国际乒联在正式比赛中采用打球，对大球的直径有严格的 国际乒联在正式比赛中采用打球， 标准，现有5个乒乓球，测量它们的直径， 标准，现有5个乒乓球，测量它们的直径，超过标准的毫米数 记为正数，不足的记为负数，测量结果如下： 记为正数，不足的记为负数，测量结果如下： A.B.D.A.-0.1mm B.-0.2mm C.+0.25mm D.-0.05mm E.+0.15mm 你认为应该选哪一个乒乓球用于比赛呢？为什么？ 你认为应该选哪一个乒乓球用于比赛呢？为什么？
…
正整数集合 ０ 零 负整数集合
3 1.1, 12.91, 182.5, 3 , 4
…
3 5 − , − 3.25, − 3 , －7.5, 4 2…
负分数集合
5
探究有理数的分类( 探究有理数的分类(一)
由刚才的演示可知: 1.有理数可分为哪两类数? 2.整数可分为哪几类? 3.分数可分为哪几类? 整数 负整数 零 正整数 正整数 零 负整数 分数 整数 有理数 有理数 分数 正分数 负分数 正分数 负分数
在男子110米栏 在男子110米栏 110 决赛中， 决赛中，中国选手 刘翔以12.91 12.91秒的成 刘翔以12.91秒的成 绩夺得金牌, 绩夺得金牌,这个成 绩打破了12.96 12.96的奥 绩打破了12.96的奥 运会纪录, 运会纪录,平了世界 纪录, 纪录,实现了中国男 子田径金牌0的突破. 子田径金牌0的突破. 0
正分数集合
负整数集合
正整数集合 负分数集合 以上四个集合能组成有理数集合吗？ 以上四个集合能组成有理数集合吗？
1
2
3
4
5
练一练 依据生活情境回答问题： 依据生活情境回答问题： 当夜空中繁星密布时，小贝贝在数星星， ①当夜空中繁星密布时，小贝贝在数星星，他 所用到的数属于什么数？ 所用到的数属于什么数？
在女子柔道 52公斤级的冠 －52 －52公斤级的冠 军争夺战中, 军争夺战中,中国 选手冼东妹仅用 1.1分钟,就为中 1.1分钟, 1.1分钟 国柔道队夺得首 枚金牌. 枚金牌.
女力士唐功红在女子 +75公斤级举重比赛中 公斤级举重比赛中, +75公斤级举重比赛中,不 负众望,以抓举122.5公斤, 122.5公斤 负众望,以抓举122.5公斤, 挺举182.5公斤,总成绩305 182.5公斤 挺举182.5公斤,总成绩305 公斤夺得第18枚金牌, 18枚金牌 公斤夺得第18枚金牌,与获 18 银牌的韩国选手相比, 银牌的韩国选手相比,她的 抓举重量－7.5公斤 公斤, 抓举重量－7.5公斤,挺举 重量+10公斤. +10公斤 重量+10公斤.
-1 3：最小的正整数是______，最大的负整数是_____, 最小的正整数是______ 最大的负整数是_____, ______， 1 -1,-2,-3 1,-2,所有大于- 的负整数有_________ 不大于3 _________， 所有大于-4的负整数有_________，不大于3的非负整 0,1,2,3 数有____________ ____________。 数有____________。
1
2
3
4
5
依据有理数的分类 示意图, 示意图,在右图的卡 片上填上下列数的 名称. 名称.你发现有理数 的分类示意图与这 棵树枝干的形状有 哪些联系吗? 哪些联系吗?
正整数 零 负整数 正分数 负分数 整数 分数 有理数
-6 6 5 ２ １ 4
② ④
３
⑤
-2 -3 -1 0
⑥
-5
-4
1 − , 5 2 − , −1.5, 2 3.25, −
1.在左图的有理数中, 1.在左图的有理数中, 在左图的有理数中 正整数有:________; 正整数有:________; 负分数有:__________________; 负分数有:__________________; 整数有:__________________; 整数有:__________________; 分数有:__________________ 分数有:__________________ . 2.丹丹在做第1题时, 2.丹丹在做第1题时,发现了新的分类 丹丹在做第 方法,她认为: +”的数分为一类 的数分为一类, 方法,她认为:带“+”的数分为一类,带 的数分为一类, “-”的数分为一类,数的前面没有符 号的作为一类. 号的作为一类.你认为她的分类方法对 若不对, 吗?若不对,你发现什么新的分类方法 吗?