(新)高中数学函数解题技巧与方法

专题1 函数(理科)

一、考点回顾

1.理解函数的概念，了解映射的概念.

2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数.

4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.

5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.

6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

二、经典例题剖析

考点一：函数的性质与图象

函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．

复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：

1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．

2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．

3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．

这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．

函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．

对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．

函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。

因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。

1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．

2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．

以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．

例1设a ＞0，求函数)ln()(a x x x f +-=

(x ∈(0，＋∞))的单调区间．

分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式()0f x '≥(递增)及()0f x '<(递减)。 解：)0(1

21)(>+-

=

'x a

x x

x f ． 当a ＞0，x ＞0时

f '(x )＞0⇔x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0， f '(x )＜0⇔x 2＋(2a －4)x ＋a 2＜0． (ⅰ)当a ＞ 1时，对所有x ＞ 0，有 x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0，

即f '(x )＞0，此时f (x )在(0，＋∞)内单调递增． (ⅱ)当a ＝1时，对x ≠1，有 x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0，

即f '(x )＞0，此时f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递增． 又知函数f (x )在x ＝1处连续，因此，函数f (x )在(0，＋∞)内单调递增． (ⅲ)当0＜a ＜1时，令f '(x )＞0，即 x 2＋(2a －4)x ＋a 2＞0，

解得a a x ---<122，或a a x -+->122．

因此，函数f (x )在区间），a a ---1220(内单调递增，在区间），∞+-+-a a 122(内也单调递

增．

令f '(x )＜0，即x 2＋(2a －4)x ＋a 2 ＜ 0， 解得 ：a a x a a -+-<<---122122．

因此，函数f (x )在区间），a a a a -+----122122(内单调递减．

点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力． 例 2 已知0>a ，函数),0(,1)(+∞∈-=

x x ax x f 。设a

x 2

01<<，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为l 。

(Ⅰ)求l 的方程；

(Ⅱ)设l 与x 轴交点为)0,(2x 。证明： ① a

x 1

02≤<； ② 若a x 11<

，则a

x x 121<< (Ⅰ)分析：欲求切线l 的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 的一阶导数值。 解：求)(x f 的导数：2'

1

)(x

x f -

=，由此得切线l 的方程： )(1

)1(

1211x x x

x ax y --=--。 (Ⅱ)分析：①要求2x 的变化范围，则须找到使2x 产生变化的原因，显然，2x 变化的根本原因可归结为1x 的变化，因此，找到2x 与1x 的等量关系式，就成；② 欲比较2x 与1x 的大小关系，判断它们的差的符号即可。

证：依题意，切线方程中令y ＝0，

a

x ax x x ax x x 2

0)2()1(1111112<

<-=+-=，其中. ① 由a a x a x x ax x x a x 1)1(,0),2(,2021221121+--=>-=<

<及有 a x a x a x 1

1,10212==≤∴时，当且仅当〈.

②a

x x ax x x ax a x 1

)2(1

12111211<>-=<<，且由①，，因此，时，当 a

x x 1

21<<所以。

点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。