2019年河北省普通高等学校对口招生考试数学试卷及答案

2017年河北省普通高等学校对口招生考试数 学说明：一、本试卷共6页，包括三道大题37道小题，共120分。

其中第一道大题（15个小题）为选择题二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。

不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。

三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案。

四、考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。

在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1.设集合{|||2}A x x =<，集合{2,0,1}B =-，则AB =（ ）A ．{|02}x x ≤<B ．{|22}x x -<<C ．{|22}x x -≤<D ．{|21}x x -≤< 2.设a b >，c d <，则（ ）A ．22ac bc > B ．a c b d +<+ C ．ln()ln()a c b d -<- D ．a d b c +>+ 3.“AB B =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.设奇函数()f x 在[1,4]上为增函数，且最大值为6，那么()f x 在[4,1]--上为（ ） A ．增函数，且最小值为6- B ．增函数，且最大值为6 C ．减函数，且最小值为6- D ．减函数，且最大值为65.在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 6.已知向量(2,)a x =-，(,1)b y =-，(4,2)c =-，，且a b ⊥，b ∥c ，则（ ）A ．4,2x y ==-B ．4,2x y ==C ．4,2x y =-=-D ．4,2x y =-=7.设α为第三象限角，则点(cos ,tan )P αα在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8.设{}n a 为等差数列，3a ，14a 是方程2230x x --=的两个根，则前16项的和16S 为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．209.若函数2log a y x =在(0,)+∞内为增函数，且函数4xa y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(2,4)C ．(0,4)D ．(4,)+∞10.设函数()f x 是一次函数，3(1)2(2)2f f -=，2(1)(0)2f f -+=-，则()f x 等于（ ）A ．86x -+B ．86x -C ． 86x +D ．86x -- 11.直线21y x =+与圆22240x y x y +-+=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交且过圆心C ．相离D ．相交且不过圆心 12.设方程224kx y +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞ 13.二项式2017(34)x -的展开式中，各项系数的和为（ ）A ．1-B ．1C ．20172D ．2017714.从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的3个花盆中，不同的种植方法有（ ）A ．81种B ．64种C ．24种D ．4种15.设直线1l ∥平面α，直线2l ⊥平面α，则下列说法正确的是（ ）A ．1l ∥2lB ．12l l ⊥C ．12l l ⊥且异面D ．12l l ⊥且相交二、填空题（本大题有15个小题，每小题２分，共30分。

）16.已知函数1,(,0]()2,(0,)xx x f x x -⎧+∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩，则[]{}(1)ff f -= .17.已知函数3log (2)y x =++的定义域是 .18.计算：002201712log cos 43πC +++= . 19.如果不等式20x ax b ++<的解集为(1,4)，则3log ()b a -= .20.已知1cos 2α=，sin β=，(0,)2πα∈，3(,2)2ππβ∈，则sin()αβ+= .21.在等比数列{}n a 中，如果2182a a =，那么13519a a a a = .22.已知向量(1,2)a =，1(1,)2b =-，则32a b -= .23.已知sin()πα+=，且32ππα<<，则α= . 24.已知(2,3)A ，(4,1)B -，则线段AB 的垂直平分线的方程为 . 25.若221()()ππkx -+=，则k 的最小值为 .26.已知抛物线顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，点(2,)A k 在抛物线上，且点A 到焦点的距离为5，则该抛物线的方程为 . 27.设函数21()5x f x a-=+，若(2)13f =，则(1)f -= .28.将等腰直角三角形ABC 沿斜边AB 上的高CD 折成直二面角后，边CA 与CB 的夹角为 . 29.取一个正方形及其外接圆，在圆内随机取一点，该点取自正方形内的概率为 . 30.已知二面角l αβ--的度数为70︒，点M 是二面角l αβ--内的一点，过M 作MA α⊥于A ，MB β⊥于B ，则AMB ∠= （填度数）.三、解答题（本大题共7个小题，共45分。

要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）31.（5分）已知集合2{|520}A x kx x =++=，若A ≠∅，且N k ∈，求k 的所有值组成的集合.32.（7分）某物业管理公司有75套公寓对外出租，经市场调查发现，每套公寓租价为2500元时，可以全部租出. 租价每上涨100元，就会少租出一套公寓，问每套公寓租价为多少元时，租金总收入最大？最大收入为多少元？33.（6分）记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22S =，36S =-. 求： （1）数列{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n a 的前10项的和10S . 34.（6分）已知函数23sin 2y x x =+，R x ∈. 求：（1）函数的值域；（2）函数的最小正周期；（3）函数取得最大值时x 的集合.35.（6分）为加强精准扶贫工作，某地市委计划从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人. 问：（1）甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？（2）甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？ （3）甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？36.（7分）如图已知90CDP PAB ∠=∠=︒， AB ∥CD . （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若二面角P DC A --为60︒，4PD =，7PB =， 求PB 与面ABCD 所成的角的正弦值.37.（8分）已知椭圆2214x y m+=与抛物线24y x =有共同的焦点2F ， 过椭圆的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线，与椭圆相交于M 、N 两点. 求： （1）直线MN 的方程和椭圆的方程； （2）△OMN 的面积.2017河北省普通高考学校对口招生考试 数学试题参考答案P一、选择题1、C2、D3、C4、A5、B6、D7、B8、C9、B 10、D 11、A 12、B 13、A 14、C 15、B 二、填空题16、12 17、(2,1)(3,)--+∞ 18、12- 19、2 2021、32 22、 23、76π24、210x y --= 25、2- 26、212y x = 27、418 28、60︒ （或3π） 29、2π30、110︒三、解答题31、解：（1）当0k =时，2{|520}{}5A x x =+==-≠∅（2）当0k ≠时，欲使A ≠∅，须使方程2520kx x ++=有两个相等的实根或两个不等的实根，即2580k ∆=-≥，解得258k ≤. 又N k ∈，且0k ≠，故1k =，2，3.综上所述，k 的取值集合为{0,1,2,3}. 32、解法一：设每套公寓租价为x 元，总收入为y 元. 则依题意得2500(75)100x y x -=-21100100x x =-+ 21(5000)250000100x =--+显然当5000x =时y 最大，y 的最大值为250000.答：当每套公寓租价为5000元时收入最大，最大收入为250000元. 解法二：设每套公寓租价为x 元，总收入为y 元. 则依题意得2500(75)100x y x -=-21100100x x =-+当1005000122()100b x a =-=-=⨯-时，y 最大，22max4100250000144()100ac b y a --===⨯-答：当每套公寓租价为5000元时收入最大，最大收入为250000元.解法三：设每套公寓租价上涨了x 个100元，则每套租价为(2500100)x +元，共租出(75)x -套. 依题意得，租金总收入为(2500100)(75)y x x =+- 2100500187500x x =-++ 2100(25)250000x =--+.当25x =时，y 最大，最大值为250000.答：当每套公寓租价为5000元时收入最大，最大收入为250000元.33、解：（1）设{}n a 的公比为q ，由条件得21231(1)2(1)6S a q S a q q =+=⎧⎨=++=-⎩ 解之得122q a =-⎧⎨=-⎩.故该数列的通项公式为1112(2)(2)n n nn a a q --==--=-.（2）前10项的和为1010110(1)2[1(2)]682(1)1(2)a q S q ----===---.34、解：23sin 2y x x =+13(cos 22)22x x =+cos 2cos sin 2)66ππx x =+)6πx =+（1）函数的值域为[-. （2）函数的最小正周期为22ππT ==. （3）当22()62πππZ x k k +=+∈时，即()6ππZ x k k =+∈时，函数取得最大值， 此时x 的取值集合为,6ππZ x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭35、解：（1）甲、乙必须去，但丙不去的选派方案的种数为 2454240C P = （2）甲去，乙、丙不去的选派方案的种数为 3454240C P = （3）甲、乙、丙都不去的选派方案的种数为 4454240C P =36、（1）证明：∵90CDP PAB ∠=∠=︒ ∴CD PD ⊥，AB PA ⊥. 又∵CD ∥AB ，∴CD PA ⊥. ∴CD ⊥平面PAD .而CD ⊆平面ABCD ∴平面PAD ⊥平面ABCD . （2）解：由（1）知：CD ⊥平面PAD ∴CD AD ⊥，CD PD ⊥. ∴PDA ∠是二面角P CD A --的平面角，即60PDA ∠=︒. 在平面PAD 内作PE AD ⊥于E ，因平面PAD ⊥平面ABCD ∴PE ⊥平面ABCD .连结BE ，PBE ∠即为PB 与平面ABCD 所成的角.在直角三角形PED 中，sin 60PE PD =︒4==在直角三角形PBE 中，7PB =，sin PE PBE PB ∠==37、解：（1）依题意得抛物线24y x =的焦点为2(1,0)F ，所以椭圆的左焦点为1(1,0)F -，直线MN 的斜率tan14πk ==，故直线MN 的方程为1y x =+，即10x y -+=. 由题意知椭圆焦点在x 轴，且1c =，所以413m =-=，因此椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知直线MN 的方程为10x y -+=，点(0,0)O 到直线MN 的距离为2d ==设M 、N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y由221143y x x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得，114737x y ⎧--=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，224737x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩247MN ==，∴1124227OMN S MN d ∆=⋅=⨯=解法二：由（1）知直线MN 的方程为10x y -+=，点(0,0)O 到直线MN 的距离为d ==设M 、N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y由221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得27880x x +-=，由韦达定理得1287x x +=-，1287x x ⋅=-因此22212121288288()()4()4()7749x x x x x x -=+-⋅=---= 故由弦长公式可得247MN ===∴1124227OMN S MN d ∆=⋅=⨯=解法三：设M 、N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y由221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得，114737x y ⎧--=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，224737x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩所以1211||27OMN S y y ∆=⨯⨯-=.1F 2F。