漫谈数学的两重性的特征

漫谈数学的两重性的特征

数学在人类社会的历史演化中发挥着巨大的作用，数学是人类思维的智慧结晶，是人类文化和文明的思想瑰宝.

美国著名数学家柯朗（Courant）在《数学是什么》中揭示了数学具有两重性的特点.他写道：“数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理和对完美境界的追求.它的基本要素是逻辑和直觉、分析和推理、一般性和特殊性.虽然不同的流派各自强调数学不同的侧面，然而，正是这些相互对立的侧面之间相互渗透和相互辨析，才构成了数学科学的生命力、实用性和崇高价值.”因此，对数学的两重性，我们应该有一个深入的了解.

一、数学是演绎的，也是归纳的

一般说来，人们认识客观世界的方式有两种，一是由认识个别的、特殊的事物，进而认识一般的事物，这种认识方法称为归纳法.一是由认识一般的事物，过渡到认识特殊、个别的事物，这种认识方法称为演绎法.认识的深化，是在归纳和演绎的交替过程中实现的.归纳把对许多事物的特殊属性的认识发展归结为对于一类事物的共同属性的认识.演绎把从归纳得出的一般结论作为依据，去研究其他个别事物的特性.因此，归纳是演绎的基础，而演绎是归纳的深化.

《几何原本》是数学发展史上的第一座理论丰碑.欧几里得（Euclid）将原有的数学知识进行梳理提炼，把理论的起点建立在人们的直觉上，找出少数最直观的原始概念和公设、公理，借助人类思维的先进逻辑推理模式，逐条推演出以后的命题，采用演绎法的体系建构了平面几何理论，从而确立了公理化思想，确立了演绎推理的范式.人们对数学演绎体系的推崇，表达了对科学理论方法的绝对信服.数学从此步入发展的坦途.

公理体系使得数学具有鲜明的学科特点，清晰的逻辑起点，明确的概念，正确的判断.是演绎推理使得数学内容条理清晰，基础敦实，结论正确，因而显示出巨大的力量.演绎可以引导归纳，当演绎推理出现阻碍时，就是向归纳提出问题，促使归纳超越模糊、零散和残缺.

然而，由逻辑演绎构筑起的理论体系制约着思维的自由，因为体系里面多是同语反复，只能环流，不能前进.这就是欧式几何理论成为长期制约非欧几何产生的藩篱的重要原因.由此看出，逻辑演绎的主要功能不是发现新的结论，而是架构基本概念、基本运算和基本命题之间的必然联系.逻辑演绎擅长的是检验这些联系之间的途径是否有效，却难以确定通往正确方向的途径，因为确定通往正确方向的途径是需要做出选择的，而这恰恰是归纳法之所长.

用公理化思想呈现出的数学理论，实际上也不是逻辑演绎的一统天下，其中的原始概念就是归纳的结果.甚至逻辑推理本身也不能说就完全是演绎的，它的发展路径是需要选择的，这只能靠归纳法来完成.如果没有归纳法的参与，演绎法将寸步难行.另外，数学中的公理是不能用演绎法证明的，它是基于数学家的观念归纳出来的.演绎法所用的形式逻辑也是不能用演绎法证明的，它是基于人类思维经验的积淀和哲学信念的选择.由此看来，演绎法的过程须臾也离不开归纳，更不要说数学里的发现和创造了.

我们在完成对一个数学问题的证明和计算之前，往往是通过归纳推理建立猜想，探究证明的途径和计算的程序，形成较为成熟的思路，而后才用演绎法把它呈现出来.归纳法通过试验、观察和联想，总能得到有别于逻辑的判断，因此，归纳法成为人们探索和发现真理的主要工具.要创造新的数学领域，就要有新的观念，开拓新的领域，创立新的方法，提出新的概念.在这些方面，演绎法都是望尘莫及的，试验、类比、观察、推广、概括、检验等归纳方法却起着不可替代的作用.坐标系的建立，集合论的发现，微积分的确立等几乎所有数学里程碑的矗立，无一不是归纳的结果.如此看来，归纳法是数学理论的助产士，它不仅不

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会影响数学的严谨性，而且还增强了人们对数学严谨性的信心，使人们对数学的无矛盾性深信不疑.

归纳是演绎的基础，演绎是归纳的升华.归纳与演绎是人类认识世界的两个基本方法，他们相互影响，相互补充，相得益彰.

中国古代的数学不可谓不发达，但是却只是停留在归纳的层次上，没有出现像欧几里得《几何原本》那样严密逻辑演绎的著作.历史告诉我们，没有逻辑演绎是可以有数学的，没有归纳法就一定不会有数学.但是没有逻辑演绎不会有成熟的数学.中国古代的数学没有形成理论系统，就是因为中国没有逻辑演绎的传统.在数学发展的历史上，应该说归纳法是居于主导地位的，演绎则居于主体地位，它们共同组成了数学腾飞的双翼.

中学数学作为数学的基础，当然兼具归纳和演绎的特征，我们在数学教学中既要培养学生演绎思维的缜密，又要培养学生观察、归纳、类比、联想、推广、猜想、实验等合情推理的思维习惯，在教证明之前，先教好猜想.在数学教材中，对知识的呈现形式大多都采用演绎的方式.我们的教师在做教学设计时，要根据学生的认知特点，大多情况下，都有必要将数学知识的呈现形式改造成归纳的方式，以利于激发学生的学习兴趣和创新能力.数学教学的功夫要用在研究归纳法的教学上，当然，这样做绝不能以淡化演绎法的教学做交换.

二、数学的真理性和数学基础中的裂缝

数学作为一门逻辑严密的科学，虽然都认为它是数学家心智自由的创造物，但是还没有任何一位严肃的自然科学家提出，数学的真理性必须经过实践的检验后，才能应用于其他科学领域.这不仅仅是因为数学植根于客观世界，深刻揭示了客观世界的必然规律，极大地推动了科学技术的进步.还因为数学理论是建立在逻辑的基础之上，根据逻辑规则进行演绎推理，形成了抽象的形式.逻辑是人类公认的对客观世界进行思维的正确方法和理论，数学中所反映的抽象结构、秩序和变化，是客观世界里最基本的概念和最本质的关系.所以，数学的本质具备了客观性和真理性.

但是，数学自身并没有孤芳自赏，数学从来不忌讳自身的瑕疵.二十世纪初，巍然屹立的数学大厦的基础陆续发现了裂缝，最著名的就是罗素（Russell）悖论.于是，数学家们开始关注和审视数学基础的问题.

罗素悖论被通俗地称为理发师悖论.某个城市里有一位理发师，他为且仅为城市里所有不给自己刮脸的人刮脸.那么，他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸.如果他给自己刮脸呢，他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸.

罗素悖论所涉及的只是集合论中最基本的概念和关系，简洁明了，却使集合论产生了悖论，这极大地震动了数学界.

这时，希尔伯特经过思考，提出了一个元数学方案，希望能构造一个有关自然数的有限公理系统，从若干公理出发，用逻辑演绎的方法，经过有限步骤将系统形式化，以克服悖论给数学带来的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法真理性的怀疑，继而建立起实数和分析的协调性方案，最后构建整个形式主义的数学体系.

这样就要求，数学理论系统要满足独立性，还要满足完备性和协调性.独立性是指系统里的公理之间不能互相推出；完备性是指在系统里，一个命题一定是可以证明或者证伪的；协调性是指系统里不能存在矛盾.

希尔伯特的想法鼓舞了奥地利数学家哥德尔（Gdel）.哥德尔开始完全是沿着希尔伯特制定的方案路线，首先考虑建立自然数公理系统的协调性，然后再建立实数公理系统的协调性.然而，哥德尔得到的结论完全出乎意料.他在1931年1月发表的论文，向世人宣告了两个令人惊奇的定理，一举粉碎了希尔伯特的美丽构想，证明了自然数公理系统的协调性不能用有限步骤证明.