高考数学培优专题14

【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略：构造差函数()()()h x f x g x =-．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．具体做法如下：首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而求出参数的取值范围，也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．证明()()f x g x <，(),x a b ∈时，可以构造函数()()()F x f x g x =-，如果()0F x '<，则()F x 在(),a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知，当(),x a b ∈时，有()0F x <，即证明()()f x g x <．【典例指引】例1．已知函数()()2112ln 2f x a x a ax x =--+，()'f x 为其导函数. (1) 设()()1g x f x x=+，求函数()g x 的单调区间； (2) 若0a >，设()()11,A x f x ，()()22,B x f x 为函数()f x 图象上不同的两点，且满足()()121f x f x +=，设线段AB 中点的横坐标为0,x 证明：01ax >. 【思路引导】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，()'0f x >得增区间，()'0f x <得减区间即可；（2）问题转化为证明()()2221*f x f x a ⎛⎫->-⎪⎝⎭令()()21F x f x f x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()222112ln 22ln 2a x a ax a x a ax a x xa⎛⎫=----+-- ⎪⎝⎭-，根据函数单调性证明即可.(2) 法一：120121212x x ax x x a a+>⇔>⇔>- ()222121'0a f x a a x x x ⎛⎫=+-=-≥ ⎪⎝⎭，故()f x 在定义域()0,+∞上单调递增.只需证： ()122f x f x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，即证()2221f x f x a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭(*) 注意到()()12111,,2f x f x f a ⎛⎫+== ⎪⎝⎭ 不妨设1210x x a <<<. 令()()()22221112ln 22ln 2F x f x f x a x a ax a x a ax a a x xa⎛⎫⎛⎫=-+-=----+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，则()()()()322222241122'0222ax a a a F x x x ax ax x ax -=--+=-≤--- 1x a ∀≥，从而()F x 在1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单减， 故()210F x F a ⎛⎫<=⎪⎝⎭， 即得(*)式. 法二：(2) ()222121'0a f x a a x x x ⎛⎫=+-=-≥ ⎪⎝⎭故()f x 在定义域()0,+∞上单调递增.注意到1'0f a ⎛⎫=⎪⎝⎭且11.2f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭故()10g x g a ⎛⎫≥=⎪⎝⎭，且等号仅在1a 处取到. 所以()h x 与()f x 图象关系如下：取()()()()3142,h x f x h x f x ==，则显然有1324,x x x x >>, 从而1234x x x x +>+， 另外由三次函数()h x 的中心对称性可知342x x a +=，则有 122x x a+>. 点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及不等式证明问题.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.例2．已知定义域为()1,+∞的函数()ln f x a x x =+存在两个零点． （1）求实数a 的取值范围； （2）若()()()0f m f n f x m n-=-'，求证：02m nx +>． 【思路引导】 （1）分离参数得ln x a x -=，借助函数()1ln x x x x ϕ=>，的图象进行求解；（2）由于()1af x x'=+，则()f x '在区间()1,+∞上单调递增，()02m n f f x +⎛⎫-⎪'⎭'⎝()ln ln 2a m n a m n m n -=-+- 21ln 1m a m n m n n n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=--⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，故只需证明21ln 01m a m n m m n n n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥->-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦即可．由题知(),1,m n ∈+∞且m n ≠，不妨设1m n <<，则()0,1mt n =∈，构造()()21ln 1t g t t t -=-+，只需证明()0g t >即可，利用导数的知识可求解．又()()()()0ln ln 1f m f n a m n f x m nm n--==-'+-，∴21ln 01m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭->+，又0,0a e m n <-<-<，∴ 21ln 01m a m n m m n n n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥->-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，即()002m n f f x +⎛⎫-⎪'⎭'> ⎝， ∴()02m n f f x +⎛⎫>⎪'⎭'⎝，∵()1af x x'=+在区间()1,+∞上单调递增， ∴02m nx +>，得证． 点评：解答时注意以下两点：（1）涉及已知函数零点的个数求参数的问题，可通过分析所给函数的特点采用分离参数的方法利用数形结合求解．（2）比较大小时，可通过构造函数，利用函数的单调性和函数值的大小关系处理，在解题中多次构造函数处理问题． 例3．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，证明：且．【思路引导】（1）求导，令和，求得函数单调区间（2）构造函数令，求导后分类讨论，利用单调性证明．点评：关于含参量恒成立问题有两种方法，分离含参量和带参量计算，本题构造新函数，带有参量一起求导，判定新函数的单调性，求得最大值时恒小于或等于零，即可证得结论．【同步训练】1．设函数f（x）=lnx+ax2+x+1．（I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）当a=0时，证明xe x≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．【思路引导】（1）求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点；（2）当a=0时构造函数F（x）=xe x﹣f（x）=xe x﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），只要证明F（x）≥=0即可．（Ⅱ）证明：当a=0时，f（x）=lnx+x+1令F（x）=xe x﹣f（x）=xe x﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），则F′（x）=•（xe x﹣1），令G（x）=xe x﹣1，则G′（x）=（x+1）e x＞0，（x＞0），∴函数G（x）在（0，+∞）递增，又G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，∴存在唯一c∈（0，1）使得G（c）=0，且F（x）在（0，c）上单调递减，在（c，+∞）上单调递增，故F（x）≥F（c）=c•e c﹣lnc﹣c﹣1，由G（c）=0，得c•e c﹣1=0，得lnc+c=0，∴F（c）=0，∴F（x）≥F（c）=0，从而证得xe x≥f（x）．点评：在本题（Ⅱ）的解答中，为了求F（x）的最小值，通过求导得到F′（x）=•（xe x﹣1），不容易判断F（x）的单调性，故构造G（x）=xe x﹣1，采用二次求导的方法，在求G（x）零点的过程中遇到了零点不可求的问题，此类问题的解法是利用G （x ）的单调性和零点存在定理，判断零点所在的范围，然后理通过整体代换的方法求函数F （x ）的最值，这是解决函数综合问题中常用的一种方法． 2．已知函数()ln 1x xf x x =+与()()1g x a x =-． （1）若曲线()y f x =与直线()y g x =恰好相切于点()1,0P ，求实数a 的值； （2）当[)1,x ∈+∞时， ()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证： ()()*214ln 21.41ni in n N i =+≤∈-∑ 【思路引导】（1）根据导数几何意义得()1f a '=,即得实数a 的值；（2）利用分参法将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题2ln 1x x a x ≥-（x>1）最大值,再利用导数研究函数()2ln 1x xh x x =-单调性：单调递减，最后根据洛必达法则求最大值，即得实数a 的取值范围(3)先根据和的关系转化为对应项的关系：2214ln 2141n nn n +≤--，再利用；（2）的结论()21ln 12x x x ≤-，令2121n x n +=-，则代入放缩得证（3）不妨设()ln 21n S n =+为{}n a 前n 项和，则21ln 21n n a n +=- 要证原不等式，只需证2214ln 2141n nn n +≤-- 而由（2）知：当12a =时恒有()()f x g x ≤ 即()21ln 12x x x ≤-当且仅当1x =时取等号 取21121n x n +=>-，则22121121ln 12121221n n n n n n ⎡⎤+++⎛⎫≤-⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎢⎥⎣⎦即()2212118ln 2121221n n n n n n ++≤---即()221421ln 212121n n n n n n +-≤⋅-+- 即2214ln2141n nn n +≤--成立，从而原不等式获证．点评：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 3．已知函数()()1ln ,1a x f x x a R x -=-∈+．(1)若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在()0,+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； (3)设,m n 为正实数，且m n >，求证： ln ln 2m n m nm n -+<-．【思路引导】（1）求出导数，由题意可得()'30f =代入可得83a =，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程；（2）由函数()f x 在()0,+∞上为增函数，可得()'0f x ≥恒成立，既有()22210x a x +-+≥，当0x >时，122a x x -≤+，求得右边函数的最小值，即可得到a 范围；（3）运用分析法证明，要证ln ln 2m n m nm n -+<-，只需证112ln m m n n m n -+<，即证21ln 01m m n m n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭->+，设()()21ln 1x h x x x -=-+，求出导数判断单调性，运用单调递增，即可得证．时，()g x 有最小值2，22 2. 2.a a -≤≤所以所以所以a 的取值范围是(],2.-∞ （3）要证，只需证，即证21ln .1m m n m n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+只需证21ln 0.1m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭->+设()()21ln 1x h x x x -=-+，由（2）知()h x 在()1,+∞上是单调函数，又1mn>， 所以()10m h h n ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即21ln 01m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭->+成立，所以ln ln 2m n m n m n -+<-． 点评：本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性、证明不等式，属于难题．求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P ()()00,x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程()()00•y y f x x x '-=-． 4．已知函数，（为常数，其中是自然对数的底数）（1）讨论函数的单调性 （2）证明：当且时，函数的图象恒在的图象上方．【思路引导】函数的图象恒在的图象上方．点评：本题考查函数导数的综合应用问题，考查数学转化思想方法与分类讨论思想思想方法，是中档题；利用导数求解函数单调性的一般步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．5．已知函数()x e f x x=.（1）求曲线()y f x =在点22,2e P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程；（2）证明：()()2ln f x x x >-． 【思路引导】（1）由导数几何意义得切线斜率为()2f '，再根据点斜式且切线方程，（2）构造函数()()()2ln g x f x x x =--，求导函数零点可得1x =，列表分析可得1x =为最小值，而()120g e =->，所以得证令()0g x '=得1x =所以()()0,1,0x g x ∈'<； ()()1,,0x g x '∈+∞> 所以()()min 120g x g e ==-> 所以当()()()0,,2ln x f x x x ∈+∞>-点评：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．6．设函数()()2ln 1f x x b x =++，其中0b ≠．（1）当1b =时，求曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当*n N ∈，且2n ≥时证明不等式： 33311111111ln 111232321n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++>- ⎪⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【思路引导】（Ⅰ）代入1b =时，求得()f x '，求得切线的斜率，即可求解切线的方程；（Ⅱ）求得()f x '的表达式，分12b ≥和10<2b <和0b <三种情况分类讨论，即可求解函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）先由=1b -时,证得()32ln 1x x x ++＞，再取1x n =得32111ln 1n nn ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＞，进而可证明上述不等式．（Ⅲ）证明：当b=-1时, ()()2f x x ln x 1=-+，令()()()332h x x f x x x ln x 1=-=-++，则()()233x x 1h x x 1++'=+在[)0,∞+上恒正， 所以， ()h x 在[)0,∞+上单调递增，当[)0,∞+时，恒有()()h x h 00=＞， 即当[)0,∞+时， ()()3232x x ln x 10,ln x 1x x -++++＞即＞，对任意正整数n ，取1x n =得32111ln 1n nn ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＞， 所以， 333111111ln 11123n 23n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦= 333111111ln 1ln 1ln 123n 23n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 333111111ln 1ln 1ln 12233n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⋅⋅⋅+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()22211111123n 2334n n 1++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+＞＞ =11111111++=2334n n 12n 1⋅⋅⋅+++－－－－点评：本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到导数的几何意义求解在某点的切线方程的求解、利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间，不等关系的证明等知识点的综合考查，试题有一定的难度，属于中档试题，其中解得中对导数的合理分类讨论和根据题设合理变换和换元是解答的难点． 7．设函数()ln 1af x x x =+-， ()0a > (1)当130a =时，求函数()f x 的单调区间； (2)当12a ≥，()1,x ∈+∞时，求证：ln 11ax x +>-． 【思路引导】（1）本问考查利用导数求函数的单调性，首先确定函数的定义域为()()0,11,⋃+∞，对()f x 求导数()f x '，解()0f x '>得增区间，解()0f x '<得减区间；（2）本问考查利有导数证明不等式，当12a ≥时，只需证： ()1ln ln 1121a x x x x +≥+>--，即转化为证明()()21ln 121x x x -+>-当1x >时成立，构造函数()()()()21ln 2111g x x x x x =---+>，转化为证明()0g x >在1x >时恒成立即可，转化为求函数()g x 的最小值问题．点评：利用导数证明不等式的方法：证明()()f x g x <， (),x a b ∈时，可以构造函数()()()F x f x g x =-，如果()0F x '<，则()F x 在(),a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知，当(),x a b ∈时，有()0F x <，即证明()()f x g x <．利用导数解决不等式恒成立问题的策略：首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而求出参数的取值范围，也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．8．已知函数()21e 2x f x a x x =--（R a ∈）． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直，求a 的值； （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：当1x >时， 1e ln xx x x>-． 【思路引导】（Ⅰ）求导函数，利用函数()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直，可得切线的斜率，从而可求a 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知()e 1xf x a x ='--，若函数()f x 有两个极值点，则()e 10xf x a x --'==，即1e xx a +=有两个不同的根，且1e x x a +-的值在根的左、右两侧符号相反．令()1e xx h x +=，讨论其性质即可得到a 的取值范围；（Ⅲ）令()1e ln xg x x x x =-+（1x >），则()10g =， ()2e 1e ln 1x xg x x x x=+--'． 令()()h x g x ='，讨论()h x 的性质可得以1x >时， ()0g x >，即1x >时， 1e ln xx x x>-．（Ⅲ）证明：令()1e ln xg x x x x =-+（1x >），则()10g =， ()2e 1e ln 1x xg x x x x=+--'． 令()()h x g x ='，则()e e ln x xh x x x =+' 23e e 2x x x x x-++， 因为1x >，所以e ln 0xx >， e 0xx >， ()2e 10x x x ->， 320x >， 所以()0h x '>，即()()h x g x ='在1x >时单调递增，又()1e 20g ='->，所以1x >时， ()0g x '>，即函数()g x 在1x >时单调递增．所以1x >时， ()0g x >，即1x >时， 1e ln xx x x>-．。