平面向量奔驰定理专题

平面向量奔驰定理与三角形四心

已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，

B S ，

C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A

如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则

B

C

COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆

图1 =

OD BC DC OB +BC

BD

OC =

C B B

S S S +OB +C

B C S S S +OC

C

B A

COA BOA COD BOD COA COD BOA BOD S S S S S S S S S S S OA OD +=++=== 图2

∴ C

B A S S S OD +-=OA

∴C

B A S S S +-

OA =

C B B

S S S +OB +C

B C S S S +OC ∴0=++•••OC S OB S OA S C B A

O

A B

C

D

O

A B

C

推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则

z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆

有此定理可得三角形四心向量式

O 是ABC ∆的重心

⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OA

O 是ABC ∆的内心

⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b a

O 是ABC ∆的外心

⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OC

C OB B OA A

O 是ABC ∆的垂心

⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A

证明：如图

O

为三角形的垂心，

DB

CD

B AD CD A ==

tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :

∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆

同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan :=∆∆

∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

4.2三角形“四心”的相关向量问题

一．知识梳理： 四心的概念介绍：

(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；

(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到

角两边的距离相等；

(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

与“重心”有关的向量问题

1 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是

ABC △的( )．

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心 如图⑴.

A'

A

2已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P

满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，

，则P 的轨迹一定通过ABC △的( ).

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，

时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.

图⑴

图⑵

3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足

（λ∈（0，+∞）），则动点P 的轨迹一

定通过△ABC 的（ ）

A ．内心

B ．重心

C ．外心

D ．垂心 解：作出如图的图形AD ⊥BC ，由于sinB=

sinC=AD ， ∴

=

由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B ．

与“垂心”有关的向量问题

3 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的( )

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以

PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图

⑶.

4已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P

满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫

⎪=++ ⎪⎝⎭

，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫

⎪=+ ⎪⎝⎭， 由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫

⎪+⋅= ⎪⎝⎭

， 即

0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B

AC C

⋅⋅+

=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向

量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.

5若H 为ABC △所在平面内一点，且2

22222

HA BC HB CA HC AB

+=+=+

则点H 是ABC △的( )

A ．重点

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

图⑶

图⑷

A