5 求解线性卷积、循环卷积的课上例题
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求解线性卷积、循环卷积的课上例题
例：}1,1,1{)()(3==n R n x ，20≤≤n ；}1,2,3,4{)()4()(4=-=n R n n h ，3
0≤≤
n ，
求线性卷积)(*)()(n h n x n y =和L 点循环卷积。 线性卷积：
)(*)()(n h n x n y =∑
∞
-∞
=-=
m m n h m x )()(∑∞
-∞
=-=
m m n x m h )()(
1
y (n )={4, 7, 9, 6, 3, 1}，50≤≤n ，非零数据长度6=4+3-1 （)(n h 长度为N ，)(n x 长度为M ，y (n )长度为1-+M N ）
2）移位加权和法（以n 为变量）
∑=-=
2
1
)
()()(m m m m n h m x n y )
2()2()1()1()()0(-+-+=n h x n h x n h x ，其中}1 1, ,1{)(=m x ，20≤≤
m
y (n )={4, 7, 9, 6, 3, 1}5
0≤≤n
L 点循环卷积：)())(()()(1
n R m n h m x n y L L m L c ∑
-=-=)())(()(1
n R m n x m h L L m L ∑-=-=
1）矩阵方程法（以m 为变量）
先将x (n )、h (n )补零到L 点长；再将其中一个序列周期延拓、翻褶、取主值区间的值、循环右移构成方阵，将另一个序列写成列矩阵，二者做矩阵乘法运算。
以用x (n )构成方阵为例。方阵第一行的构成：x (0)不动，将其它值从后往前倒过来写。下面各行依次对上一行循环右移一位，共L 行。 例：求)()(3n R n x =
，)()4()(4n R n n h -=的
4点循环卷积)()()(1n h n x n y c ④=
。
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=
6987011143
2
114322143
3214123411
10
01111011
110
1)(1n y c
y c 1(n )={7, 8, 9, 6}，3
0≤≤
n
例：求)()(3n R n x =
，)()4()(4n R n n h -=的
8点循环卷积)
()()(2n h n x n y c ⑧=
。
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
0000011
143
2
1
04321000004321000004321000004321
100004322100004332100004)(2n y c ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11100
0000100
210321
432043004
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
00136974
y c 2(n )={4, 7, 9, 6, 3, 1, 0, 0}，70≤≤n
2）循环移位加权和法（以n 为变量）
)
())(()()(1
n R m n h m x n y L M m L c ∑
-=-=，其中}1 1, ,1{)(=m x ，20≤≤m ，)(m x 的长度3=M
)())2(()2()())1(()1()())(()0()(n R n h x n R n h x n R n h x n y
L c -+-+=
y c 1(n
)={7, 8, 9, 6}y c 2(n )={4, 7, 9, 6, 3, 1, 0, 0}70≤≤n
可见，8点循环卷积与线性卷积非零数据区间的值完全对应相等，因为L 点循环卷积是线性卷积以L 为周期进行周期延拓的结果，当1-+≥M N L 时（N 、M 分别为)(n h 、)(n x 的长度）周期延拓无混叠，此时可用计算L 点循环卷积的方法求出线性卷积（本题用6点循环卷积即可求出线性卷积）。
已知线性卷积，也可对线性卷积以L 为周期延拓后取主值区间的值，从而得到L 点循环卷积。
y c 1(n )={7, 8, 9, 6}3
0≤≤
n