固体物理习题课

习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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考虑到晶体中存在有许多不同频率、不同模式的格波，因此总 的均方位移应对所有不同格波进行求和。又由于各振动模式间 是相互独立的，因此有：
当N足够大时，振动频率趋于连续，求和可以用积分代替
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将德拜模型的频率分布函数及最大频率代入得：
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补充题一、证明在由两种不同质量M,m(M>m)的原子所组成的 一维复式格子中，如果波矢q取边界值 （a为相邻原子 间距），则在声学支上质量为m的轻原子全部保持不动；在光 学支上质量为M的重原子保持不动。 解：如图所示 令 为近邻原子间 的恢复力常数 则运动方程可表为：
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可以得到：
于是得到频谱关系：
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（3）在长波情况下，横向晶格振动的色散关系为：
相应的频率分布函数为：
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则：
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3.6 计算一维单原子链的频率分布函数()
设单原子链长度 波矢取值 每个波矢的宽度
解（1）以 表示位于l列m行（l,m）的原子在垂直所在平面方向 离开平衡位置的位移，仅考虑近邻原子的作用有：
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令试探解为：
得到：
（2）在平面内的原子位移为矢量，表为： 所受的力为：
则有：
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令试探解为：
式中m为原子的质量。 解：格波总能量为：
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求和遍及链上所有原子。总能量对时间的平均值为：
将
代入
得到
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每个原子对时间的平均能量为：
根据一维单原子链的色散关系：
可以得到：
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3.2 讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其 2N个格波解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应 解：质量为M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。 质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。 牛顿运动方程
—— N 个 原 胞 ， 有 2N个独立的方程
对
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两边微分得到
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将dq 和
代入
得到
V 1 1/ 2 f ( ) 2 3 / 2 ( 0 ) 4 A
时
0
f () 0
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为虚数，有
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方法 2 振动模式密度函数
已知三维色散关系
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设试探解：
将试探解代入方程得到：
由线性齐次方程组有非零解的条件得到：
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当：
代入原方程组得到：
光学支： 声学支：
光学支：B=0 声学支：A=0
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当：
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补充题二、设有一纵波：
沿着一维单原子链传播，原子间距为a，最近邻忽作用的恢复 力常数为 试证明：每个原子对时间平均的总能量为：
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代入
频率分布函数
( )
2N
1


2 0
2
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3.7 设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有： 证明：频率分布函数
三维晶格振动的态密度
V 2 4q dq dq间隔内的状态数 n(q) 3 (2 )
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——
—— 两种色散关系
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—— 两种色散关系
—— 色散关系图
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补充例题五、设有由相同原子组成的二维正方格子点阵，原子 的质量为M，晶格常数为a，近邻原子的恢复力常数为 。 （1）假定原子只作垂直表面的横向振动，求横向晶格振动的色 散关系； （2）假定原子只在表面内振动，求其晶格振动的色散关系； （3）在长波情况下，求出横向晶格振动的频率分布函数。
解：在德拜模型下，晶体中的晶格振动被看成弹性波，假定某 支弹性波的方程为：
则由该支格波引起的对时间的均方位移为：
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假定晶体的体积为V，密度为D，则相应这支格波的平均动能 为：
（1）由于绝对零度下相应于频率为
相应于频率为
的零点能为：
的那支格波引起的原子均方位移为：
红色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……
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—— 第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程
—— 体系N个原胞，有2N个独立的方程 —— 方程的解
令
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—— A、B有非零的解，系数行列式满足
—— 对于q空间的等频率面，波矢q为常数
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因为对于光学波，在
处振动频率具有最大值
V 1 1/ 2 ( ) 频率分布函数 f ( ) 4 2 A3/ 2 0 0
0 0
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补充例题三：求一维复式格子晶格振动的总动量
解： 由
可以得到晶格振动的总动量
由：
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当 当 对于长光学支：
对于长声学支：
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补充例题四、利用德拜模型估算： （1）在绝对零度下晶体中原子的均方位移； （2）在非零温度下原子均方位移和温度的关系；
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方程
的解
代回到运动方程
A、B有 非零解
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两种不同的格波的色散关系
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq] } 2 mM (m M )
2 1 2
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq] } 2 mM (m M )
状态密度
dq间隔内的状态数
对应q，取值相同， d间隔内的状态数目
Na ( )d 2 dq 2
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d间隔内的状态数目
一维单原子链色散关系 令
两边微分得到
Na ( )d 2 dq 2 4 2 2 aq sin ( ) m 2
—— 与一维单原子晶格格波的色散关系一致
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3.3质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的 力常数交错等于 和 ，并且最近邻的间距 处格波的频率值
1) 求出色散关系和分析计算 2) 大致画出色散关系图
解： 绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……
（2）非零温度下相应于某频率的格波的平均能量应为格波能 量和该温度下该格波的平均声子数之积，即：
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则相应该格波的平均动能为：
则在该温度下相应于该频率的原子均方位移为：
于是对应该温度下的原子均方位移为：
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2 1 2
—— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波。总 的格波数目为2N
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4 aq cos m 2 4 aq sin m 2
—— 两种色散关系如图所示
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长波极限情况下