用高等几何方法变换初等几何命题

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用高等几何的观点看待初等几何的问题

从高等几何的视角看待初等几何的若干问题摘要：高等几何是初等几何的延伸课程，二者有着密切的关系.它为初等几何的内容提供了理论依据，开阔了初等几何的学习视野；高等几何可为初等几何构造新的命题，丰富了初等几何的内容；高等几何为初等几何的某些问题提供了解题方法，拓展了初等几何的解题途径.因此，很有必要研究高等几何在初等几何中的运用.关键词：高等几何；初等几何；命题；理论依据；思想方法1 问题的提出1.1 高等几何与初等几何的关系《高等几何》是高等师范院校数学专业的一门重要的课程.是为学生加深对中学几何的理论和方法的理解，获得较高观点上处理中学几何问题的能力的专业选修课程.而《初等几何研究》也是高师数学系数学教育专业的一门重要课程，是为培养中学数学师资所特有的课程，是培养未来中学数学教师从事初等几何教学和研究的能力，是提高他们数学素质和几何教学水平的重要课程。

初等几何是高等几何的基础.而高等几何是初等几何的深化。

初等几何研究的问题一般比较直观、单纯，但形成的概念和积累的技巧对高等几何往往影响深远；高等几何虽然抽象、复杂，但内容和方法却常常可以在初等几何中找到其根源，所以高等几何由于引入了无穷元素，因而处理问题的手段比初等几何高明，作为数学工具也就更具有一般性.从内容上讲，高等几何点变换的观点把初等几何中的正交变换扩大到仿射变换，再扩大到射影变换，从而把几何空间的概念也由欧氏空间扩大到仿射空间，再扩大到射影空间；坐标系也由笛卡尔坐标系扩大到仿射坐标系和射影坐标系.几何学的基本元素方面，也由以点为基本元素的点几何学化为以直线为基本元素的线几何学，并且由有限元素扩大到无穷远元素，由实元素扩大到复元素.1.2高等几何的观点研究出等几何的意义法国教学家Klein曾经说过]9[：“只有在完全不是初等数学的理论体系中，才能深刻理解初等数学.”按照Klein的观点，几何学是研究在相应变换群下图形保持不变的性质和量的科学，即每一个变换群都对应着一个几何学，图形在此变换下保持不变的那些性质和量，就是相应的几何学所研究的对象.由射影变换群，仿射变换群，正交变换群所对应的几何学分别为：射影几何学，仿射几何学，欧氏几何学.又由于射影变换群⊃仿射变换群⊃正交变换群.故又有射影几何学⊃仿射几何学⊃欧氏几何学.但又由于群越大，它所保持不变的东西就越少，故从研究的内容上看有：射影几何学＜仿射几何学＜欧氏几何学.射影几何学的内容比较贫泛，而欧氏几何学的内容就十分丰厚了.了解了这种几何学之间的联系，也就扩大了学生关于几何的眼界，站得高也才能看得远，了解了欧氏几何在整个几何学中所处的地位，这就有助于我们从几何学的全局与整体上来理解和把握初等几何教材.掌握公理法，了解欧氏几何与非欧几何的关系，加深对初等几何教材的理解.几何学的思维其源于非欧几何.因为唯有从非欧几何的观点来看才得以阐明在中学研究的欧氏几何学的逻辑结构，只懂得一种欧几里德几何，就不能充分了解几何学的结构；几何学之所以能够提高到现代的观点，不过是在研究了非欧几何以后的事情.我们把罗巴切夫斯基几何和黎曼几何统称为非欧几何.这三种几何表面上看似乎是相互矛盾，相互排斥的，但它们在射影几何中得到了统一，都是射影几何的子几何学.了解了它们之间的联系，对初等几何教材的理解和把握就会加深一步.2 高等几何在初等几何中的应用欧氏几何作为仿射几何、射影几何的子几何，使我们有可能把初等几何、解析几何放到更为广阔的背景中去考虑，有助于弄清欧氏几何与其它几何的联系与区别，以便从高观点下把握和处理中学教材，将高等几何的思想应用在初等几何中，这无疑对初等几何的教学有很大的指导作用.2.1 高等几何为初等几何内容提供理论依据中学几何考虑了学生的认识规律，内容不可能面面俱到，现行中学几何教材部分仅从直观的现象中发现图形之间的内在联系，探索几何性质，问题的结论依赖于默认，而在高等几何中，这些内容和问题都可以在严密的数学系统内给出严格的论述.例如立体几何中的直观图及截面图的画法；三点定一圆问题；一点在二次曲线的内部还是外部的问题；二次曲线的切线的尺规作图问题；以及著名的“九树十行”问题等，都能在高等几何中得到彻底解决；另外，现行中学几何教材对希尔伯特公理系统中的公理或某些定理作了如下处理，但高等几何中几何基础部分对希尔伯特公理系统的论述，可以帮助我们分析、理解中学几何中的这些公理.（1）中学教材扩大了公理体系]1[。

高等几何对初等几何相关指导作用分析

高等几何对初等几何相关指导作用分析摘要高等几何是利用克莱因的变换群的观点定义的几何学，其能从更高的角度探索初等几何，对初等几何的相关证明、理论依据和命题的构造方面具有很好的指导作用。

本文分析了高等几何对初等几何相关指导作用，阐明了其之间的相互关系，并利用高等几何的思想方法对初等几何命题进行变换，通过实例从高等几何在点线结合、交比、反射变换和射影变换方面对初等几何的指导作用进行了探究，并阐述了高等几何对初等几何的作用在现代中学数学教学中的意义。

【关键词】高等几何；初等几何；变换AbstractHigher geometry is the use of the transformation of the view of klein, the definition of geometry Angle from higher primary geometry, to explore the relevant proof, elementary geometry theory and structure of proposition has very good guidance. Based on the analysis of higher geometry elementary geometric related guidance, illustrates the relationship between higher geometry, and using the method of elementary geometry proposition to transform from higher geometry, through examples in point, line, combined with reflection and projective transform, to transform the guiding role of elementary geometry.【Keyword】higher geometry；elementary geometry；transform前言初等几何是一种可测量的几何，比较直观、易懂，而高等几何较抽象、难理解. 但高等几何是初等几何的延深课程，二者之间有很深的渊源.高等几何作为一门几何课程，有着自身的特殊作用，高等几何知识与初等几何知识的沟通，为我们提供了解决初等几何的一些方法.学好高等几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，内在联系，可以认识到几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握初等几何的内涵和外延。

浅谈高等几何对初等几何的相关指导作用

浅谈高等几何对初等几何的相关指导作用学生姓名:耿丽学号:20085031196数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师:何俊杰职称:讲师摘要:本文主要从仿射几何、射影几何、交比调和比、德萨格定理四个方面论述了高等几何对初等几何的指导作用.关键词:高等几何;初等几何;变换Discussion on the related instruction function of highergeometry’s on elementary geometryAbstract:In this paper,we mainly introduce the related instruction function of higher geometry’s on elementary geometry form the follow four aspects:affine geometry, projective geometry,cross ratio and harmonic ratio,Desargues theorem.Key Words: higher geometry,elementary geometry, transform前言初等几何是以静止的观点研究一些简单而又有规则的图形,高等几何则是以变动的观点研究变动的图形.相比较而言,它们虽然同属几何学科,但其观点层次的高低不同.高等几何是在初等几何乃至高等代数等课程的基础上研究几何问题的,它使学生在较高层面上认识几何空间的基本特征、研究方法、内在联系,确认几何学的本质,从而发展了几何空间概念,并为进一步学习近代数学创造条件.通过学习高等几何,可以居高临下地认识初等几何的内涵,高等几何不仅为初等几何提供了理论依据,更为它拓展了解题途径,丰富了研究方法.因此,高等几何对初等几何具有现实的指导作用,很有研究、探讨之必要,而且内容非常丰富,甚至是无止境的.1.更加全面地认识几何几何学的研究,有静的观点和动的观点两种,公理法建立几何学是研究几何的静的观点,变换群下对应的几何学研究几何动的观点,这两种观点是贯穿现行高等几何教材内容的两条主线.1.1 射影几何、仿射几何、欧式几何之间的联系按照Klcin的观点,几何学是研究在相应的变换群下图形保持不变的性质和量的科学.也就是说,每一种几何学都对应着一个变换群,图形在该变换群下保持不变的那些性质和量,就是这种几何的研究对象.由变换群序列,射影群⊃仿射群⊃正交群,它们所对应的几何学从研究范围而言,射影几何⊃仿射几何⊃欧式几何,从研究的内容（图形的性质）来说,根据普遍性被包含于特殊性之中,则恰有相反的关系,即射影几何⊂仿射几何⊂欧式几何.射影几何学是专门研究图形在射影变换下的不变性的一个数学分支.所谓平面上的射影变换,我们可以直观地把它理解为连续施行有限次中心投影所得到的平面到自身的一个变换.射影变换的一个特例是仿射变换,我们可以直观的把它理解为连续施行有限次平行投影所得到的变换,仿射变换下不变形的研究,构成仿射几何学,因此它是射影几何学的一章.仿射变换的一个特例是正交变换,我们可以直观地把它理解为连续施行平移和旋转或者再施行一个轴反射所得到的变换.正交变换下不变性的研究,构成欧式几何学,因此它是仿射几何学的一章.平面射影几何只研究平面图形中那些与点和直线的结合相关的性质,实际上比欧式几何学研究的内容更为基本.了解欧式几何、仿射几何、射影几何三者之间的关系,也就扩大了关于几何学的眼界.站得高,才能看得远,了解了欧式几何在几何学中所处的地位,这就有助于我们从几何学的全局与整体上来理解和把握初等几何教材.1.2 欧式几何和非欧氏几何的关系几何学的思维其源于非欧氏几何.因此唯有从非欧氏几何的观点来看才能得以阐明在中学所研究的欧式几何学的逻辑结构.只懂得一种欧几里得几何,就不能充分了解几何学的结构特点.几何学之所以能够提高到现代的观点,不过是在研究了非欧几何以后的事情.罗巴切夫斯基几何——在其中过已知直线的外任一点至少可以引两条直线与已知直线平行,和黎曼几何——在其中过已知直线的外任一点没有任何直线与已知直线平行,统称为非欧几何学.欧式几何、罗氏几何、黎氏几何这三种几何学表面上互相矛盾,互相排斥,但它们在射影几何是统一的,都是射影几何的子几何.了解它们之间的关系,对初等几何教材的理解和把握就会加深一步.用公理法研究几何学,对于培养学生的逻辑思维能力,了解几何学的发展历史,以及对几何中许多问题的透彻理解都是极为有利的.不同的公理体系可以建立不同的几何学,从而说明任何几何学和几何公理都是相对于某种公理体系而言的.例如,若将欧式几何的希尔伯特公理体系的平行公理换成罗巴切夫斯基—伯利亚公理,而保持其余公理不变,便得到了罗氏几何.历史上,从公元前320年欧几里得《几何原本》问世后,到公元1826年非欧几何诞生为止,围绕欧式第五公设的一场持续两千多年的争论,要解决的就是这样一个问题.确立了上述观点,依据公理化方法,就能对几何中的许多问题做出透彻的理解.例如,射影几何中为什么成立对偶原理而在欧式几何中却不成立？其原因是在射影几何中三组公理的对偶命题成立,而在欧式几何中,结合公理的第一条“通过任意给定的两点有一直线”的对偶命题是不成立的,如果离开了公理化体系,这个问题是很难解决的.掌握公理化还能对几何中的一些概念做出准确的解释.例如,在学习公理化之前,往往不容易区分像“两线段的大小”和“线段的长度”的概念,但学习了希尔伯特公理体系之后,便会清醒地认识到,用介于关系只能对两线段的大小进行比较而不能给出线段长度的概念,建立线段长度的概念还必须依赖连续公理.这样就将两个概念从思想上严格地区分出来,从而避免了犯混淆概念的错误.2.高等几何对初等几何的指导作用的具体实例分析由于射影几何包含初等几何,因此射影几何的性质必然是初等几何的性质,所以可以运用射影几何理论来解决初等几何问题.从而为初等几何解题方法寻求了更广泛的途径.2.1利用仿射几何变换法证明初等几何题放射几何是高等几何的重要组成部分,是连接射影几何与欧式几何的纽带,是应用高等几何只是解决初等几何问题的一条重要通道.在初等几何里,有大量的命题是研究图形的仿射性质的,即不涉及到距离、角度、面积的具体度量,而仅涉及到点线结合关系、直线的平行性、共线与平行线段之比、封闭图形面积之比以及线段重点等概念.对于这类的命题,我们可以充分地利用仿射几何的有关理论,由特殊到一般,化繁为简地加以解决,从而达到事半功倍的效果.这方面问题的解决,常常可以借助于仿射变换与仿射坐标系来实现.2.1.1 仿射变换的应用在仿射几何里,几何图形在任意仿射变换下都具有保持同素性、结合性和二直线的平行性及共线三点的单比、共线或平行二线段长度之比、二封闭图形面积之比不变的仿射不变性质和仿射不变量.因而,当我们要研究初等几何中图形的仿射性质时,可以在已知条件下做出它的一个比较容易研究的仿射对应图形,由研究图形的相关性质转而得出图形的性质.例1 （国际数学竞赛题）证明G 为ABC ∆重心的充要条件是AGB AGC S S ∆∆== BGC S ∆图1证明如图1,在正ABC ∆中,若G 是正ABC ∆的重心,则G 也为内心,即G 到三边距离,,GD GE GF 相等,故AGB AGC BGC S S S ∆∆∆==.反之若AGB AGC BGC S S S ∆∆∆==,因为=AB BC AC =,故G 到三边的距离,GD ,GE GF 相等,即G 是正ABC ∆的内心,从而G 也是重心.根据仿射性质的特点,命题对正三角形成立,所以对一般的三角形也成立.例2 求证:“正方形ABCD 的一组邻边上有,E F 两点,且//EF AC .则AEB ∆和CFB ∆面积相等“（见图2）图2证明将此命题作一仿射对应,仿射对应后的记号不变,使正方形''''A BC D 对应平行四边形ABCD ,'E 对应E ,'F 对应F .在正方形''''A BC D 中(见图2)显然有''''''A E B C E B ∆≅∆由于两个多边形面积之比为仿射不变量,所以在平行四边形ABCD 中,AEB ∆和CFB ∆面积相等.于是可得另一命题“平行四边形ABCD 的一组邻边上有,E F 两点,且//EF AC ,则AEB ∆和CFB ∆面积相等”.例 3 已知,,L M N 分别为分ABC ∆的三边,,AB BC CA 成相同比例的两个线段的三等分点,求证:ABC ∆和LMN ∆有相同的重心.图3证明经适当仿射变换将ABC ∆变成正三角形'''A BC ∆ (如图3).设正三角形'''A BC ∆的重心为'G ,''',,L M N 分别为,,L M N 在仿射变换下的象.因仿射变换保持单比不变,故可得'''LMN ∆是正三角形,且''''''G L G M G N ==, 因此'G 是'''LMN ∆的重心, 即'''A BC ∆和'''LMN ∆有相同的重心, 又仿射变换保持三角形重心不变,故ABC ∆和LMN ∆重心相同.2.1.2 仿射坐标系的应用在初等几何中,对仅涉及到图形的有关仿射性质命题的研究,还可以通过仿射坐标系这个重要工具与桥梁,运用代数的方法加以解决.相对于笛氏坐标系,仿射坐标系的坐标轴和单位长度的选取具有任意性,我们可以根据问题的具体条件而按需要适当的建立,因而用此方法处理问题,常可以避免繁琐的几何与三角问题,解题思路简单,计算非常方便.例4 从三角形一个顶点到对边三等分点作线段,过第二顶点的中线被这些分成连比::x y z ,设x y z ≥≥,求::x y z 的值.图4 解如图4所示,建立仿射坐标系,取(0,0)B ,(1,0)D ,(2,0)E ,(3,0)C ,(0,1)A . 易知31(,)22F ,直线BF 的方程为13y x =,直线AD 的方程为1y x =-+,直线AE 的方程为121y x =-+. 于是直线BF 与AD 的交点为31,44()G ,直线BF 与AE 的交点为62,55()H . 设BG GH λ=,由有向线段定比分点公式有603514λλ+=+,从而得53λ=,即53BG GH =.又设'GH HF λ=,同样由定比分点公式可得'32λ=,即32GH HF =. 所以,得::::5:3:2x y z BG GH HF ==2.2 射影几何在初等几何中的一些应用射影几何对初等几何教学的指导,不仅表现在提高数学思想与观点上,还直接表现在对初等几何图形的射影性质的研究中.由射影几何、仿射几何和欧式几何三者的关系,我们知道,欧式几何为仿射几何及射影几何的子几何,在其中可以讨论仿射几何的对象（仿射不变性质和仿射不变量）和射影对象（射影不变性质和是射影不变量）,因而可以用射影几何去指导与研究初等几何中的一些问题.例5 设三直线121212,,PP Q Q R R 交于一点S ,121212,,PP Q Q R R 分别交两直线12,OX OX 于点111,,P Q R 与222,,P Q R .求证直线12PQ 与21P Q 的交点,12Q R 与21Q R 的交点,12R P 与21R P 的交点在一条直线上,且所在直线通过O .图5图'5 证明将直线OS 投影到无穷远,这只需在直线12,OX OX 所在平面π外任取一点V ,取平面'π平行于V 与OS 所定的平面,则以V 为投影中心建立π向'π的中心投影将OS 投影到'π的无穷远直线''O S ∞∞(如图'5) 设''''''''12111222,,,,,,,X X P Q R P Q R 分别是12111222,,,,,,,X X P Q R P Q R 在中心投影下的象.在图'5中,显然直线''12P Q 与''21P Q 的交点,''12Q R 与''21Q R 的交点,''12R P 与''21R P 的交点在一条直线上,且所在的直线平行于'''111,,P Q R 所在的直线或'''222,,P Q R 所在的直线.由于中心投影保持结合性不变,所以在图5里有12PQ 与21P Q 的交点,12Q R 与21Q R 的交点,12R P 与21R P 的交点在一条直线上,且点O 也在这三点所在的直线上.例6 命题:“已知//BE CF ,BC 交,BE CF 分别于,B C ,圆与,,BE BC CF 分别相切于,,E D F ,BF 交EC 于T ,则////DT BE CF ”(见图6).图6 图'6证明此命题显然为真.因为BET FCT ∆≅∆,于是CF BECT TE =, 又因为CD CF =,BD BE =,故CD BDCT TE = 从而////DT BE CF ,即得证明.如图'6所示,ABC ∆的旁切圆切边BC 于D ,切边AB 和AC 的延长线于E 和F ,BF 交EC 于T ,作一射影变换,若各点在射影变换后的记号不变,使射影变换后ABC ∆的旁切圆为一圆,EF 变为圆的直径,A 为垂直于直径EF 的直线相对应的无穷远点.(见图6).于是可得另一命题“ABC ∆的旁切圆切边BC 于D ,切边AB 和AC 的延长线于E 和F ,设T 是直线BF 与CE 的交点,则点,,A D T 共线.”由原命题得此命题亦为真.2.3 交比、调合比在初等几何中的应用交比、调合比是射影几何的两个基本不变量,它们可用来解决许多初等几何问题,是沟通高等几何和初等几何的有效方式.利用交比、调合比可以证明初等几何中共点、共线、线段相等的问题是非常简便的,而且计算交比的方法也适用于所有的二阶曲线,这样就自然地将蝴蝶定理推广到椭圆、抛物线、双曲线上.例7 （蝴蝶定理）在图7中,过弦BC 的中点A 的任何两弦,PQ RS ,设,PS RQ 分别交BC 于,M N .求证:AM AN =.图7证明连,,,SB SC QB QC ,则(,)(,)S BP RC Q BP RC =再由直线BC 截这两组等交比的直线,则(,)(,)BM AC BA NC =由此可知BA MC BN AC BC MC BC AN⋅⋅=⋅⋅ 由已知BA AC =得MC BN MA AN= 所以MC MA BN AN MA AN--= 又因为MC MA AC BN AN BN -=-=且所以MA AN =例8 求证:“一个角的两边与这个角的内外角平分线调和共扼”.图8 图'8证明在图8中,,c d 顺次为(,)a b ∠的内外角平分线,作直线l 与d 平行,则l c ⊥.若l 交,,a b c 于,,A B T ,于是AOB ∆为等腰三角形,因此AT TB =.令l 与d 的所交的无穷远点为P ∞,则(,)1AB TP ∞=-所以(,)1ab cd =-.如图'8所示,,d c 顺次为(,)a b ∠的内外角平分线,直线l 与,,,a b c d 分别交于,,,A B T P .由于(,)(,)ab cd AB TP =又因BP PB =-所以AT PB BT AP ⋅=⋅即d O l b a A TB P d O l b a A T B cAT APBT PB=于是可得初等几何中的角平分线性质定理——在ABC ∆中,AD 平分A ∠,交边BC 于D ,则AB BDAC CD=. 例9 如图9所示,直线τ交ABC ∆的三边或其延长线于,,L M N ,且,,AM BNCL 交成一个三角形PQR ,求证:,,AQ BR CP 三直线共点.图9 图'9证明利用中心射影将,,L M N 所在的直线τ投射到无穷远直线,作图9的对应图形'9.因为'''L M N ∞∞∞，，是无穷远点,所以''''''''''''//////A B Q R B C P R C A P Q ，，故四边形''''A B C R 与''''B C A P 都是平行四边形.所以''''''P A B C A R ==,即得'A 是''P R 的中点.同理可得,'B 是''P Q 的中点,'C 是''Q R 的中点,即'''''',,AQ B R C P 是'''PQ R ∆三边上的中线,且交于一点'S ,故由中心射影同素性和接合性知,,AQ BR CP 交于一点S .例10 求证三角形的三条外角平分线和对边相交,所得三点共线.图10证明如图10,ABC ∆中,设C ∠的外角平分线交AB 于点E ,A ∠的外角平分线交BC 于点F ,B ∠的外角平分线交AC 于点G ,,,A B C ∠∠∠的内角平分线1,AA11,BB CC 相交于一点P ,AB 与11A B ,BC 与11B C ,AC 与11A C 分别交于111,,E F G .由德萨格定理可得111,,E F G 共线. 又因111,(,)1,()1,(,)1E BC B BA C A F AC G =-=-=-在完全四点形11PB CA 中,根据调和性质得11(,)1BA C E =-故111(,)(,)BA C E BA C E =即可得E 与1E 重合,同理可得F 与1F ,G 与1G 重合. 所以,,,E F G 三点共线.2.4 德萨格定理及其逆定理在初等几何中的应用例11 试证三角形的三条中线共点图11证明如图11, ,,AD BE CF 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的中线所以//,//,//EF BC DE AB DF AC设EF BC P ∞⨯=,DE AB Q ∞⨯=,DF AC R ∞⨯=在ABC ∆与DEF ∆中,对应边的交点P Q R ∞∞∞，，共线于无穷远直线,则由德萨格定理的逆定理可知,对应顶点的连线AD,BE,CF 共点.例12 对于欧式平面上的ABC ∆.设其高线分别为,,AD BE CF ,而BC EF X ⨯=,CA FD Y ⨯=,AB DE Z ⨯=,求证:,,X Y Z 三点共线.图12证明如图12直接应用德萨格定理,考虑一对对应三点形ABC ∆和DEF ∆,因为其对应顶点连线即是ABC ∆的三条高线,故共点于垂心G ,从而三对对应边的交点,,X Y Z 共线.结束语通过前面的阐述和例题可以看出,对初等几何而言,高等几何具有鲜明的指导性和应用性的特征,对数学与应用数学专业的学生及中学数学教师来说,学好高等几何,处理初等几何的能力也就相应的增强了,而且其几何思维水平也会得到进一步的提升.前面的论述也一再表明,高等几何不是没有用处的,而是对初等几何具有重要的指导作用,只要学习和应用的人有心,积极开动脑筋,就能把高等几何的知识很好地运用到初等数学教学中去,为解决复杂繁琐的集合难题服务,为提高中学教学质量服务.参考文献[1] 罗崇善.高等几何[M ].北京:高等教育出版社,1999. [2] 梅向明.高等几何[M ].北京:高等教育出版社,1983.[3] 赵宏量.几何教学探索[M ]. 重庆:西南师范大学出版社,1987． [4] 泰安师专等.高等几何[M ]．济南:山东教育出版社,1980．[5] 梅向明等. 高等几何学习指导与习题选解[M ].北京:高等教育出版社,2004． [6] 朱德祥等.高等几何[M ].北京:高等教育出版社,2009.。

用高等几何的方法证明中学几何题分解

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目：用高等几何的方法证明中学几何题院（系）理学院专业数学与应用数学年级2007级姓名赵润生学号07031334 指导教师姜秀英职称副教授2011年6月8日目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第一章高等几何对中学几何的指导作用 (3)1.1 几何学的对象和分类 (3)1.2 对坐标系的认识 (4)1.3 关于直线和二次曲线理论 (5)第二章高等几何的一些基本理论 (8)2.1 平行射影 (8)2.2 仿射象和中心射影 (9)2.3 透视保持交比不变 (10)2.4 调和共轭 (11)第三章用高等几何的方法证明中学几何题 (14)3.1 利用平行射影证明中学几何题 (14)3.2 利用特殊仿射象证明中学几何题 (15)3.3 利用中心射影，将直线投射到无穷远处 (17)3.4 利用透视保持交比对中学几何题进行证明 (18)3.5 利用调和共轭证明线段相等和角相等 (19)参考文献 (21)后记 (22)摘要中学的几何证明题千变万化，精彩纷纭，有不少题目难于找到证明思路，高等几何为我们提供了解决中学几何证明题的一些方法，不仅能帮助教师思考问题，而且能启发我们获得初等证法，其证明过程还可以帮助我们发现新的中学几何命题，为中学生课外活动丰富了材料。

本文从高等几何对中学几何的指导作用的探讨入手，把高等几何的理论应用到中学几何证明题中，通过具体实例论述了用高等几何的方法来解决中学几何证明题的问题。

关键词:平行射影；调和共轭；仿射象；中心射影；ABSTRACTMiddle school geometry proof topic protean, nobody has many topics wonderful find proof ideas, difficult to higher geometry offers us solve middle school geometry questions of some methods, proved not only can help the teacher of thinking, and can inspire us obtain elementary proofs its proof process can also help us find new middle school geometry proposition, for high school students extra-curricular activities enriched material. This article from the higher geometry to middle school geometry guidance to let the discussion of higher geometry theory applied to middle school geometry proof questions with concrete examples discussed higher geometry method to solve the problem of middle school geometry proof.Key words:Parallel projective; Harmonic conjugate; Affine like; Center projective;第一章高等几何对中学几何的指导作用1.1 几何学的对象和分类什么是几何学？它研究的对象是什么？这在中学教科书中虽然没有明确的定义，但初中平面几何开卷家告述读者，几何学要研究图形的“形状、大小和位置关系”虽然在中学几何中，已知图形的形状、大小是不变的，位置关系也是确定的。

高等几何讲义第1章

则其表达式为： y
Mox：
x/ y/
x
y
(1.4)
j
M
Oi
x
M/
➢§1 变换与变换群
➢ 例5．平行射影二平面
、 / 交于直线，向量
M
与二平面都不平行．对于
上任意点M，过M作平行
DB
于的直线，交 /于M/，
则将 M 映成 M/ 的点对应
CE
称为平面到平面 / 的
平行射影，
向量为投射方向．
•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养。
•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高观点，加深理解，举一反三。
➢主要内容
欧氏几何仿射几何射影几何
第一章：欧氏平面及仿射平面上的变换，仿
射坐标及仿射坐标变换
本
重点讨论共点性与共线性
教材基
M T M/ T (M)，
并称 M/ 为 M 在 T 之下的象，
M 为 M/ 在 T 之下的原象．
§1 变换与变换群
➢ T(S)：集合 S 的全体元素在T之下的象的集合． ➢ 满射： T( S ) S /； ➢ 单射： S 的不同元素的象元素也不同； ➢ 双射：既是单射又是满射的映射． ➢ 术语约定：两个集合之间的双射称为对应；将集合
到自身的双射称为变换．
➢几种常见变换
➢ 例1．恒等变换若变换T，将S上每一元素变到自身，即
M T T (M) M ， M S，
❖则称为恒等变换(或单位变换)，记为 I．
§1 变换与变换群
➢ 例2．平移变换将平面上的点 M 按定向量方向 a 移
动到点
M/，使得
M

高等几何)

文献综述前言高等几何是高师院校数学与应用数学专业的一门重要基础课程，它在整个高师数学与应用数学专业课程体系中居于基础地位，对初等几何的教学与研究有着重要的指导作用。高等几何的主要内容包括仿射几何、射影几何和几何基础，近几年来，关于高等几何对初等几何的指导作用的研究一直是几何学教学研究方面的一个热点，并且已经取得了不少成果。本文从仿射几何和射影几何的一些理论与方法出发，探讨它们在初等几何中的应用。主题从目前搜集到的资料来看，关于高等几何知识在初等几何解题中的应用的研究主要有如下观点：廖小勇在《高等几何在初等几何中的一些应用》中提到关于仿射几何在初等几何中的一些应用。仿射几何是高等几何的重要组成部分，是联结射影几何与欧氏几何的纽带，是应用高等几何知识解决初等几何问题的一条重要通道。在初等几何里，有大量的命题是研究图形的仿射性质的，即并不涉及到距离、角度、面积的具体度量，而仅涉及到点线结合关系、直线的平行性、共线与平行线段之比、封闭图形面积之比以及线段中点等概念。对于这类命题，我们可以充分地运用仿射几何的有关理论，由特殊到一般、化繁为简地加以解决，从而达到事半功倍的效果。这方面问题的解决，常常可以借助于仿射变换与仿射坐标系来实现。俞冬梅在《论高等几何在平面几何中的应用》中说，高等几何是初等几何的延伸，它为初等几何提供了理论依据，拓展了初等几何的解题途径，丰富了初等几何的研究方法，开阔了初等几何的学习视野。并提出了仿射变换在初等几何中的应用。作为联结射影几何和欧氏几何的纽带的仿射几何，在初等几何中有着广泛的应用，是应用高等几何知识解决初等几何问题的一条重要通道。在初等几何中有大量的命题是研究图形的仿射性质，即并不涉及到距离、角度、面积的具体度量。而仅涉及到点线结合关系、直线的平行性、共线或平行线段之比、两封闭图形面积之比以及中点等概念。对于这类命题，可以运用仿射的有关性质，借助于仿射变换与仿射坐标系，由特殊到一般，化繁为简地加以解决，从而达到事半功倍的效果。杜家安、刘林安在《高等几何的群论观点对初等几何的指导作用》中对高等几何的群论观点对初等几何的指导作用做出了总结。通过高等几何的群论观点，能够在更高层面上认识几何空间的基本特性、研究方法以及内在联系，确认几何学的本质。从而，更深入地认识和掌握初等几何，并指导初等几何的教学与研究，居高临下地认识初等几何的内涵与外延。同时进一步感受到高等几何不仅在提高观点面具有独特作用，而且在论证方法、思考问题等方面具有独特的巧妙、灵活等特点。萨学思在《浅谈高等几何对初等几何教学的指导作用》中就高等几何对初等几何教学的指导作用谈了一些看法。首先要提高观点，加深对初等几何教材的理解。其次要拓广途径，丰富初等几何的研究方法，由于正交群、相似群是射影群的子群，射影几何中的定理完全适用于初等几何，所以可运用射影几何理论来解决初等几何问题，从而为初等几何解题方法寻求出更广泛的途径。然后要增强能力，开阔对初等几何的视野，射影几何的命题具有很强的概括性和一般性，利用射影几何的理论可以统一初等几何的某一类问题，构造相关的初等几何命题，提高推广问题的能力，开阔对初等几何的视野。最后，多层次思维，注意对初等几何教材的探索，以高等几何的理论指导初等几何教学，除上述之外，还要引导学生进行多层次思维，对许多与初等几何相关联的问题进行研究和探索。陈胜全、郑秀琴在《浅谈高等几何在初等几何中的应用》中对如何用高等几何的方法解决中学几何，特别是初等几何中的一些问题进行了初步探讨。仿射变换的应用方面，利用平行射影证明几何题——平行射影是最简单的仿射变换，利用两条直线间的平行射影将图形中不共线的点和线段投射成共线的点和线段，可使一些命题的证明简化。此外，高巧琴、雏志江在《高等几何在初等几何高等几何为初等几何的某些问题提供了简捷的解题方法和高等几何可把初等几何的某些内容拓广与延深的问题做出了详细解释。陈以哲在《高等几何知识在初等几何解题中的应用》中通过高、初等对比解题的方法，用高观点分析，可以看出问题的本质及它们所反映的一般规律，可以开阔视野，提高对初等几何中一些问题的认识。结论高等几何的原理和方法在初等几何中应用非常广泛,应用高等几何原理去解决初等几何问题,非常简捷、方便,体现了高等几何对初等几何教学的指导作用和意义,我们可以结合平时的教学实际,随时随地地着意积累这方面的素材,用以丰富和指导我们的教学。同时,由解决初等几何问题也可以导出许多高等几何的性质和命题,从而加深对高等几何理论的认识和理解。参考文献 [1]俞冬梅.论高等几何在平面几何中的应用[J].现代商贸工业, 2009,(13):192-193. [2]廖小勇.高等几何在初等几何中的一些应用[J].黔南民族师范学院学报，2006，：24-26. （6） [3]高巧琴,雏志江.高等几何在初等几何中的作用[J].雁北师范学院学报,2004,20(2):53-55. [4]张晓林.完全四点(线)形的调和性在初等几何中的应用[J].高师理科学刊,2003,23(3):7-9. [5]蔡银英.初等几何命题的射影证法与初等证法[J].重庆教育学院学报,2003,16(3):10-12. [6] 杜家安 , 刘林安 . 高等几何的群论观点对初等几何的指导作用 [J]. 安阳师范学院学报,2001(5):53-62. [7]刘德金，张全信.试论高等几何对初等几何的指导作用[J].德州师专学报，1997,13(4）:7-12. [8]陈以哲.高等几何知识在初等几何解题中的应用.黑龙江教育学院学报,1995(1):105-114. [9]曾彩云.关于高等几何对中学几何指导意义的研究[J].陕西教育学院学报,1995,11(2):63-67. [10]萨学思.浅谈高等几何对初等几何教学的指导作用[J].西北师范大学学报(自然科学版)， 1990,30(1). [11]席振伟.高等几何对中学几何教学的指导[J].曲阜师范大学学报,1987(2). [12]梅向明,刘增贤.高等几何(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2000. [13]朱德祥.高等几何[M].北京:高等教育出版社,1983.

Desargues定理及其应用

保山师专学报2004,23(2):16～20CN53-1128/G4ISSN1008-6587 J o ur nal of Ba os ha n Te ac he rs′Colle g e收稿日期:2003-10-25Desar g ues定理及其应用邢妍李祥(保山师范高等专科学校,云南保山678000)摘要:Desar g ues定理是高等几何的重要定理,它同时也是从一维射影几何进入二维射影几何的一座重要桥梁;高等几何的许多定理都以它为依据,推出一系列射影几何命题。

它也是平面(二维)射影几何的重要基础之一。

Desar g ues定理蕴含丰富的数学思想方法,对具体问题的处理方法具有独特性,灵活性,同时对解决中学几何中的有关命题提供了一种新的模式及有关背景知识。

关键词:Desar g ues定理;常见的特殊情况;应用中图分类号:O18文献标识码:A文章编号:1008-6587(2004)02-016-05Theorem of Desar g ues and Its A pp l yX in g Y an Li x ian g(Baoshan T eachers’C olle g e,Baoshan Y unnan678000)Abstract:Desar g ues is an im p ortant theorem in H i g her G eom etr y,a brid g e from One-dim ensional Pro2 j ective G eom etr y to T w o-dim ensional Pro j ective G eom etr y.Based on it,amn y theorems of H i g her Pro j ective G eom etr y have inferred a series of p ro j ective g eom etr y p ro p ositions,Also it is one of the m ost im p ortant basos of P lane(tw o-dim ension)G eom etr y.flecible in solvin g the s p ecific p roblems as w ell as p rovidin g a new m odel and related back g round know led g e to the relevant p ro p ositions of the m iddle-school G eom etr y.K e y w ords:Desar g ues theorem;T he comm on s p ecial cases;A pp l y高等几何不仅是对初等几何理论的提高,同时也是对初等几何的延伸与拓广。

如何利用高等几何知识解决初等几何问题

几何问题的理论基础,对于初等几何的教学与应用
有着非常重要的理论引领作用,利用它往往可以非
常容易地解决一些初等几何的方法难于解决的问
题.例如初等几何中求面积的问题用它来解决就
会很便捷,所以作为中学数学教师与时俱进地掌握
一下这种思想和方法也是很有必要的.
′F′
D′．
SΔA′E′D′
则 SΔA′E′D′ ＝SΔC′F′D′ ,即＝
１．
SΔC′F′D′
由于面积比是仿射不变量,
SΔA′E′D′
所以在 ▱ABCD 中,
＝１,即 SΔAEB ＝
SΔC′F′D′
SΔCFD ．
从以上的三个例子我们不难看出,高等几何虽
然是大学中数学与应用数学专业的课程,但它却是
知识是不是可以用来解决初等几何的一些问题,而
识与初高中已学过知识间的内在联系,认识到在学
且已经取得了一些好的经验.
习现有的几何知识之外还有着更为广阔、更为神奇
高等几何与初等几何之间有着十分密切的联
的几何世界,以此来激发学生们的学习热情,还能
系.在高等几何背景下可以映射出很多初等几何
促使学生进一步加深对于初等几何理论与实际应
题.研究这些问题可以帮助我们将高等几何的理
用等多方面的探究意识.
三、高等几何在解决初等几何问题中的初步应
论在初等几何中进行合理而巧妙的应用,从而使人
们不仅在学习高等几何的过程中学会用更高深的
理论去认识初等几何,还能够用更新、更好的方法

高等几何思想方法在初等几何中的应用

例 1 ΔABC ，点 D 为 BC 边上的中点，连结 AD ，在 AD 上任取一点 P ，连结 BP ，CP ，延长 BP ，CP 分别交 AC ，AB 于 E ，F ，求证 EF//BC .
收稿日期：2018-04-20 作者简介：吴华玥，女，吉林敦化人，吉林师范大学数学学院在读硕士研究生（吉林四平 136000）.
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2018 年
学报（自然科学）
第4期
故 A′1 A′ ，B′1 B′ ，C′1C′ 交点为 K′ . 例 3 平行四边形 ABCD ，点 E ，F 分别是
AB ， BC 边上的点，有 EF//AC . 求证： SΔAED = SΔCDF .
图 1 三角形变换成正三角形
证明如图 1 所示，将 ΔABC 经一仿射变换
到 B′C′ 的距离相等，于是 E′ F′//B′C′ ，因为平行
性为仿射不变性，故在 ΔABC 中 EF//BC .
上面通过仿射变换将任意一个三角形变成
正三角形，通过运用高等几何的方法来解决初等
几何问题，能让我们从另一角度解决初等几何问
题，从而使解题思路更加清晰，解题步骤更加简
便，可见高等几何的思想方法对初等几何的指导
方便.
例 4 在 ΔABC 的 BC 边上取 D,E 两点，
将 BC 三等分，连结 AD,AE ，取 AC 中点 F ，
13通过对高等几何的学习使我们找到高等几何与初等几何的联系并能领悟到高等几何在初等几何中的应用从而更加深入地了解高等几何与初等几何的内在联系可以从另一高度来看待初等几何的内容使我们对初等几何中一些定理的生成有了新的理解有利于更好地教学
2018 年第4期
教学方法探索
学报（自然科学）

高等几何在初等几何证明中的应用

高等几何在初等几何证明中的应用
几何，作为数学中最重要的一个分支，不仅在学校中占据着基础教育中重要的
地位，在日常生活中也有广泛的应用。

初等几何和高等几何是几何学的两个主要领域，其中高等几何提出了一系列的优良思想观念和抽象的数学理论，从而开辟了几何学的新方向。

实践证明，高等几何在初等几何证明中有着重要的作用。

现代几何思想通过把
几何定义量化，使得几何证明提升到了更抽象的高度。

比如在凸多边形中，用高等几何的思想证明了正方形的概念，以此作为基本原理，四边形的性质以及角等号的证明，可以以更抽象的思想定义，大大减少了有关的计算量。

此外，高等几何中定义的空间曲线性质及空间证明，在几何证明中有着很强的应用性。

此外，高等几何的数学思想在处理日常生活中的问题时也发挥着重要作用。

比
如在绘制优化路径时，可以用到高等几何中定义的空间几何体性质，综合考虑高度、角度、曲率等因素，快速估算出最优解，提高效率；再如求解军事战略地图中的军营分配，则可以用到几何的证明方法，从而实现最优解的位置分配等等，使得几何越发大放异彩。

可见，高等几何在初等几何证明中有着重要的作用，它通过一系列抽象和细致
的思考，为几何证明带来了很大的改善。

也正是由于高等几何，加入了实用性和数学系统性，这个美丽的学科才得以发展和完善。

高等几何在初等几何中的一些应用

高等几何在初等几何中的一些应用数学是初高等教育中必不可少的重要组成部分，几何学作为数学的基本分支之一，是数学教育中的重点内容。

为了平衡初等几何和高等几何之间的教育，实现初等几何向高等几何的有效过渡，深入探讨初等几何和高等几何之间的关系是非常必要的。

下文笔者将从几何学的基本概念出发，对高等几何在几何学中的重要地位进行阐述，随后详细介绍初等几何和高等几何的关系。

一、几何学的基本概念几何学是研究空间关系的数学分支，包括平面几何、立体几何、黎曼几何等多种类型，在初等几何学习中，主要涉及一些平面几何和简单立体几何的学习；高等几何中会包含大部分的立体几何以及黎曼几何等的学习。

几何学在日常生活中有重要的应用，比如建筑的结构设计、空间分配与计算等，学习几何学可以为中学生未来的工作生活打下良好的基础。

二、高等几何在几何学中的重要地位高等几何的解法是基于克莱因提出来的想法深入理解的，即是以变换群的理论为中心，基于一些定理，再对平面内的几何知识进行解释，通过对于欧式几何，解析几何，空间几何，代数几何等几何的综合，解决所需的几何实际问题。

在几何学的历史上，高等几何有重要的总结前人的作用，代表了最高的几何地位。

三、高等几何与初等几何的关系高等几何是是一种通过观察来解决几何问题的方法，这种解决问题的几何方式不仅仅抽象而且很难以理解，但是对于复杂的几何模型，这种高等几何的方式往往很有用处，然而对比于高等几何而言，初等几何是一种直观的几何方式，能够很快速的测量出简单的数学模型，得到最优的解决方式。

(一)包含和被包含的关系在几何的历史上，初等几何是基于欧式几何发展而来的。

欧式几何的定义是在正交变换下，图形的形状和性质都保持不变的内容。

由于正交变换群是相似变换的一种，仿射变换群射影变换群的一种类型，在数学上可以表示为，欧式几何包含于相似度几何，相似度几何包含于仿射几何，仿射几何包含于射影几何。

欧式几何的内容思路可以分为射影性质、射影不变量、仿射性质、仿射不变量、相似性质、相似不变量、磨量性质、度量不变量等等，也就是说在内容上，欧式几何包含相似度几何，相似度几何包含仿射几何，仿射几何包含射影几何。

关于高等几何方法解决初等几何问题的研究数学系毕业论文

1 关于高等几何方法解决初等几何问题的研究摘要及关键词（Abstract and Keyword ）摘要高等几何是利用克莱因的变换群的观点定义几何学，在此观点下把欧氏几何看成是射影几何的子几何，它对初等几何具有指导作用。

本文阐明了高等几何和初等几何的关系，等几何的关系，并利用高等几何的思想方法，并利用高等几何的思想方法，并利用高等几何的思想方法，将已知初等几何命题进行变换，将已知初等几何命题进行变换，将已知初等几何命题进行变换，以实例以实例说明高等几何的点线结合命题对初等几何的问题的研究。

关键词高等几何；初等几何；几何命题；变换Reserch the higher geometry method solution primarygeometry questionAbstract High wait several is make use of wrence r.Of the standpoint definition of the transformations geometry, see surname in Europe several under this standpoint project image several of the son is several, it is several to elementary grade have a function of instruction.This text clarified high wait the relation of several and elementary grade several, and make use of high wait several of thought method, will have already known the elementary grade is several set question to carry on transformation, with solid the example explain is high to wait several of order line to combine to set question several to the elementary grade of the research of problem.Keyword higher geometry ；elementary geometry ；geometry proposition ；counterchange 目录引言 (1)第一章高等几何与初等几何的关系 (1)第一章1.1几何学 (1)1.2高等几何与初等几何的密切关系 (1)第二章高等几何方法变换初等几何命题 (2)第二章2.1利用仿射变换 (2)2.2利用射影变换 (3)2.3利用交比 (4)第三章高等几何的点线接合命题对初等几何的指导作用 (4)第三章结论 (6)参考文献 (7)致谢 (7)前言初等几何是一种可测量的几何，比较直观、易懂，而高等几何较抽象、难理解初等几何是一种可测量的几何，比较直观、易懂，而高等几何较抽象、难理解. . . 但高等几何但高等几何是初等几何的延深课程，二者之间有很深的渊源是初等几何的延深课程，二者之间有很深的渊源..高等几何作为一门几何课程，有着自身的特殊作用，高等几何知识与初等几何知识的沟通，为我们提供了解决初等几何的一些方法学好高等几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，内在联系，可以认识到几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握初等几何的内涵和外延。

高考数学几何题如何灵活运用几何知识解决复杂的几何问题

高考数学几何题如何灵活运用几何知识解决复杂的几何问题几何题一直是高考数学中的重点和难点之一。

解决复杂的几何问题需要我们灵活运用几何知识和技巧。

下面将从几何运算、相似三角形、向量法等几个方面介绍如何灵活运用几何知识解决复杂的几何问题。

一、几何运算几何运算是解决几何问题的基础，包括直线的相交、垂直、平行关系，角的大小关系等。

在解决几何题时，我们要善于利用几何运算的方法。

比如在求角平分线问题中，可以运用角的垂直平分线性质，将问题转化为相交角的问题。

再如在求圆的切线问题中，可以利用切线与半径的垂直关系，求出切线的斜率，从而确定切线的方程。

二、相似三角形相似三角形是解决几何问题时常用的一个重要方法。

相似三角形具有对应角相等、对应边成比例的性质。

利用相似三角形的性质，可以快速求解几何问题。

例如，在求解等腰三角形面积问题中，可以利用等腰三角形的底角相等的性质，将等腰三角形分成两个相似的直角三角形，再利用相似三角形的边长比例关系，求解出等腰三角形的面积。

三、向量法向量法是解决几何问题的一种较为简便的方法。

在解几何题时，可以根据题目特点将几何图形用向量表示，通过向量的性质来求解问题。

特别是在解决平面几何的坐标问题时，向量法尤为重要。

例如，在平面上求解中垂线问题时，可以利用向量法求出两条直线的法向量，判断它们是否相互垂直。

综上所述，解决复杂的几何问题需要我们灵活运用几何知识和技巧。

通过几何运算、相似三角形和向量法等方法，能够更加高效地解决各种几何问题。

在备战高考数学几何题时，我们应该培养对几何知识的理解和应用能力，多做几何题目，加深对几何知识的理解和掌握。

只有不断积累和提高，才能在高考中灵活运用几何知识，解决复杂的几何问题，取得好成绩。

高考数学几何题如何灵活运用几何知识解决复杂的几何问题一直是备战高考的重点，希望各位同学能够认真学习几何知识，灵活运用几何知识，取得优异的成绩！。

利用变换解决几何极值问题

ＱＯＩＡ．若ＰＣＯ与ＱＯ的交点０位于矩形ＰＱＭＮ
若（）８不满足，则有两种可能的情况．
（）６甲一＞
ｊ
．
内，交点０即为所求．证明０正是［ＯＱ的斐则容易］Ｐ
２即ｂ，马点．图３（）
图１
：
（）５
（＋干ｄ．以６）
（）６
但根据ｘｂ易知２＜ａｂ所以（） ≤Ｊ ≤ａｘ＋．￣６中只能取负号（否则２＞＋）ｘａｂ，
即（）５中只能取正号，有，于是
由上讨论可见
ｏ＋ＱＰ √ ６＋ｎ】＝（＋ — ：，ＰＯ二Ｑ＝【一）（）＋ √口６２）（ — ：＋
！！
：
ｃｏｓ
：
ｌ７ｆ－
２
２
ＱＯ
ｐｎ＂ｏＳａｌ
ｓｉｃｎｔ
２ｉｃｓｎ０ｓ
ｓ “ Ｉｎ
若存在Ｘ使（ｌＯ则上式给出ｘ＝），
Ｙ— ｌ（ｌ＝２ａ＋ｂ）一２（２１）
其中ｙ＝（１，１）（）ｌｙｘ）由（２和２解得
问题１平面上已给直线Ｊ在Ｊ同侧有两定点，的
Ｐ和Ｑ，试求平面上到ＰＱ及的距离之和为最小的，
点０” ｔ。
Ｍ
ＲＮ
（甲）
２
Ｍ
６Ｎ、
（）乙
分析
若０已找到，０到Ｊ令的距离Ｏ＝，０Ｒｘ过

高等几何观点下的初等几何

φF'B'C'FDA CBA'D'E E'高等几何观点下的初等几何姜羽高等几何知识与初等几何知识的沟通,为我们提供了解决初等几何的一些方法,对初等几何教学,对于教师思考和解决问题,有具体的指导意义.利用高等几何的观点和思想方法,将已知初等几何命题进行变换,获得相关的其他初等几何命题,具有重要的意义.本文通过初等几何和高等几何解决问题的方法进行对比,从仿射几何和射影几何的理论和方法出发,探讨它们在初等几何中的若干应用.1 仿射变换在初等几何中的应用1.1 仿影变换为初等几何的有关内容提供了理论依据仿射变换即平行投影变换,保持图形的结合性、平行性、单比、封闭图形面积比不变,直线仍变为直线,圆锥曲线仍变为圆锥曲线,而且圆锥曲线的中心、直径和共轭直径等,也保持不变.因此,对于不涉及线段、角和图形面积定量研究的几何问题中,可以对图形进行仿射变换,将其变到易于讨论的情况,发现其某些非度量性质,使问题获得解决或发现解题思路.通常所说的平移、旋转、对称和相似变换,都是仿射变换的特例. 1.2 仿射变换为初等几何的某些问题提供了简捷的解题方法我们知道,平面几何中的特殊图形：圆、正三角形、菱形经过仿射变换作用后,分别变成一般图形：椭圆、三角形、平行四边形.反之,仿射变换就可以将一般图形变成它们对应的特殊图形.由于特殊图形具有较多性质,所以原命题会变得容易证明. 例1 已知平行四边形ABCD （如图1-1左）的边AB ,CD 上各有一点E ,F 且EF AC //,试证明AED ∆与CDF ∆的面积相等.图1-1 证法1（初等几何方法）EF AC //,∴BE BFAE CF =. 即 B E C F A E B ⋅=⋅.而 CF CD CF AB ⋅=⋅CF AE CF EB =⋅+⋅CF AE AE BF =⋅+⋅AE BC =⋅ AE AD =⋅.∴ 1s i n 2AED S DAE AE AD ∆=∠⋅⋅ 1sin 2FCD CF CD =∠⋅⋅ CDF S ∆=.证法2（仿射变换方法）设已知的平行四边形ABCD 由一个正方形A B C D ''''（如图1-1右）经过仿射变换ϕ得到,且E '对应E ,F '对应F ,,E F ''点分别在边A B '',B C ''上, E F A B ''//''.由于在正方形ABCD 中,A E D C D F ∆'''≅∆''',即两三角形的面积之比为11:,则根据仿射理论“仿射变换保持两封闭图形面积之比不变”,可知上述图形的仿射对应图形AED ∆与CDF ∆的面积之比也为11:,从而得证AED ∆与CDF ∆的面积相等.在仿射几何中,图形在适当的仿射变换下都具有平行两线段长度之比、两封闭图形面积之比不变性质,抓住这一点,不但能使命题证明变得简捷,而且还能推断出这些性质在原图形中也成立,从而能构造出其他相关命题.例2 设P 是ABC ∆内任意一点,直线AP 、BP 、CP 交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F （如图1-2）,则（1）++=1PD PE PF AD BE CF ；（2）++=2AP BP CPAD BE CF.图1-2证法1（初等几何方法）（1）如图1-2,分别过P 、A 作BC 的垂线,垂足分别为P '、A '.则有1212PBC BCBC PP S PP PDS AA AD BC AA ∆∆A ⋅''==='⋅'. 同理 P C A ABC PE S BE S ∆∆=;PABABCPF S CF S ∆∆=. 故G H P'A'ABCPD EF1PBC PCA PABABCPD PE PF S S S AD BE CF S ∆∆∆∆++++==. （2）因为==1PD AD AP APAD AD AD--,等等,所以由（1）式立即可得（2）式. 证法2（仿射变换方法）（1）如图1-2,分别沿AB 和AC 方向作平行投影P G →、P H →.由仿射变换保简单比不变得：==PD DG DHAD BD CD. ∴ =PD GHAD BC. 又=PE HC BE BC ;=PF GB CF BC, ∴++=++=1PD PE PF GH HC GB AD BE CF BC BC BC. （2）同证法1（2）.关于证法2,当然也可转化为初等几何方法,即作,PG AB PH AC ////.但这真正体现出了高等几何的仿射变换即平行投影变换的观点,只是运用高等几何观点更能透彻看出问题本质.例3 设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,（如图1-3）求与斜率为K 的弦共轭的直径方程.图1-3证法1（初等几何方法）设弦AB 的直线方程为y kx m =+,点11A(x ,kx m)+,22B(x ,kx m)+,33C(x ,y ). 则有yxxyC'A'B'OABC O1232x x x +=,12123()22kx m kx m k x x y m ++++==+. 故所求直径方程为33122()y my x k x x x x ==++. 将椭圆方程与弦方程联立方程组,可求得1222222a kmx x k a b-+=+.代入上述直径方程得220b x a ky +=.证法2（仿射变换方法）设弦AB 的直线方程为y kx m =+,则经仿射变换有b x x a y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩,即a x x b y y ⎧='⎪⎨⎪='⎩,将椭圆方程变为222x y b '+'=,将弦方程变为ay kx m b'='+.而弦的共轭直径在圆中是与此弦垂直的,其方程显然是by x ak '=-',此方程经上述仿射变换还原到椭圆中去即为所给弦的共轭直径方程b by x ak a=-⋅,即220b x a ky +=.变换思想是一类主要的数学思想.应用变换的方法去解题可使问题得到简化,从而在在解题中取得较好的效果.仿射变换就是几何变换中的一类重要变换.从上述讨论中可以得出应用仿射变换解题的步骤可概括如下：①判断求解的问题是否能利用仿射不变性质,仿射不变量求解,一般涉及到点共直线、直线共点、线段比、面积比等一类问题皆可应用仿射变换解题；②选择合适的仿射变换,找出所给图形的合适的仿射图形;③在仿射图形中求证,写出具体的仿射变换及解题过程.2 用射影观点研究初等几何问题2.1 笛沙格定理的应用 2.1.1 笛沙格定理简介定义1 平面内不共线的三点与每两点的连线所组成的图形叫做三点形.平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性.笛沙格定理：如果两个三点形对应顶点连线交于一点,则对应边的交点在同一直线上.笛沙格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在同一直线上,则对应顶点的连线交于一点.GOEDABCFP ∞Q ∞R ∞OEDABCF定义2 若两个三点形的对应顶点的连线共点,且对应边的交点共线,则两三点形构成透视关系.对应顶点连线的交点叫做透视中心,对应边交点所在的直线叫做透视轴.2.1.2 笛沙格定理应用举例例4 证明：三角形的三条中线共点.图2-1 图2-2证法1（初等几何方法）如图2-1,设ABC ∆三边的中线分别为AD 、BE 、CF ,且AD 、CF 相交于点O ,那么证明BE 为边AC 上的中线即可证明此结论. 延长OE 到点G ,使OG OB =.点O 是BG 的中点, 点D 是BC 的中点, OD ∴是BGC ∆的一条中位线. AD CG ∴//.又点O 是BG 的中点,点F 是AB 的中点,∴0F 是BGA ∆的一条中位线. ∴CF AG //.AD CG //,CF AG //,∴四边形AOCG 是平行四边形. ∴AC 、OG 互相平分.∴AE CE =,即BE 为边AC 上的中线. 命题得证.证法2（笛沙格定理逆定理）如图2-2,设ABC ∆三边的中点分别为D 、E 、F ,则由三角形中位线定理可知,EF BC //、DE AB //、DF AC //,也就是说,EF 和BC 交于Q ∞,DE 和AB 交于R ∞,DF 和AC 交于P ∞.利用笛沙格定理的逆定理,考虑三点形ABC 和三点形DEF ,它们的对应边的交点Q ∞、R ∞、P ∞共无穷远直线,所以对应顶点的连线AD 、BE 、CF 共点O . 笛沙格定理是射影几何的理论基础,它的应用很广,许多定理以它为依据,对解决中学几何的共点线、共线点问题颇为简洁有效.D'LCDA MNBP ∞L CDA MNB2.2 交比的应用2.2.1 交比的有关概念和性质（1）共线四点的交比的初等表示：在欧式平面上,设1234,,,P P P P 是共线的相异四点,则132412342314(,)P P P P P P P P P P P P ⋅=⋅,其中i j P P 表示i P 到j P 得有向距离(,1,2,3,4)i j =.若1234(,)1P P P P =-,则称1234,,,P P P P 依此次序构成调和点组,并称此交比为调和比.推论设12,,P P P 为共线的通常点,P ∞为此直线上的无穷远点,则112122(,)()P PP P PP P P P P P∞==, 即为共线三点的简单比.而且P 为线段12P P 的中点12(,)1P P PP ∞⇔=-.（2）共点四直线交比的初等表示：在欧式平面上,设1234,,,p p p p 是共点的相异四直线,则132412342314sin()sin()(,)sin()sin()p p p p p p p p p p p p =,其中()i j p p 表示由i p 到j p 的有向角(,1,2,3,4)i j =.2.2.2 在初等几何中的应用举例例5 四边形两组对边延长后分别相交,且交点的连线与四边形的一条对角线平行,求证：另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段.图2-3 图2-4证法1（初等几何方法）设四边形ABCD 中AB 与CD 交于M ,AD 与BC 交于N 且BD MN //（如图2-3）,求证：AC 平分MN .过B 作BD MD '//,连接DD ',下证四边形BCDD '是平行四边形. BD MD '//∴ AB AD AM AC'=3'32'21'1QPM OABCDEF1'435262'1QPF'M OAB C DEF又 BD MN //∴AB ADAM AN = ∴AD ADAC AN'= 故DD BN '//∴四边形BC DD ''是平行四边形,利用平行四边形的性质知AC 平分BD ,且BD MN //,故AC 的延长线交MN 于L 平分线段MN .证法2（利用调和比）如图2-4,四边形ABCD 中AB 与CD 交于M ,AD 与BC 交于N .若AC 与MN 交于L ,则由完全四点形的调和性质知(,)1MN LP ∞=-,再由上述推论知L 必为MN 的中点.交比是射影几何的基本不变量,而调和比是最重要的一种交比,在射影几何的研究中具有十分重要的作用.运用交比的有关概念和性质来解决初等几何中的一些问题,不仅降低了解决问题的难度,证明思路清晰,过程简洁,而且拓宽了我们的视野,有助于我们站在新的高度上深入地理解初等几何的知识.例6（蝴蝶定理）如图2-5所示,设AB 是O 的弦,M 是AB 的中点,过M 任作二弦CD ,EF ,记P ,Q 为AB 依次与CF ,ED 的交点.求证PM MQ =.图2-5 图2-6证法1 （用初等几何的方法）圆是以直径所在直线为对称轴的轴对称图形,那么如图2-5所示可作MF 关于OM 的对称线段MF ',连接F Q ',F D ',则FF OM '⊥,AB OM ⊥,由此可知AB FF //',所以1561∠=∠=∠=∠'.又45∠=∠（四边形DFF E '内接于圆）且511∠=∠=∠',故41∠=∠',则四点D ,F ',M 和Q 共圆.所以,23∠'=∠. 因 23∠=∠,则 22∠=∠'.又 MF MF =',11∠=∠',则PFM QF M ∆≅∆',故PM MQ =. 证法2（利用交比来证明）如图2-6,连接CA ,CB ,EA ,EB ,以C 为顶点的线束被直线AB 所截,则有(,)(,)CA CD CF CB AM PB =.同样,以E 为顶点的线束被直线AB 所截,有(,)(,)EA ED EF EB AQ MB =,由同弧所对的圆周角相等,从而有11∠=∠',22∠=∠',33∠=∠',而sin sin sin 1sin 3(,)sin sin sin (123)sin 2sin 1sin 3(,).sin (123)sin 2ACF BCD CA CD CF CB ACB DCF EA ED EF EB ∠∠∠'∠'==∠∠∠'+'+'∠'∠∠==∠++∠ 故(,)(,)AM PB AQ MB =. 即AP MB AM QBAB MP AB QM⋅⋅=⋅⋅. 又M 为AB 的中点,从而AM MB =,把,AP AM MP QB QM MB =+=+代入上式得：11AM MBMP QM+=+, 故AM MB =,从而PM MQ =.在上述证法中,射影几何的方法简单,它只需计算一下交比,不但简捷,而且计算交比的方法适用于所有二阶曲线,这样就自热地将蝴蝶推广到椭圆,双曲线和抛物线上,不过这时二阶曲线中弦的中点却不能用垂足代替.不论是圆或一般的二阶曲线,倘若M 不是弦AB 的中点,可令,,,AM a MB b PM p MQ q ====,则有1111p q a b-=-. 此式,通常称它为坎迪定理.3 总结研究高等几何的思考方法及解题技巧,对于正确把握初等几何的解题实质和发展脉络都大有好处.作为合格的中学数学教师,要教好中学数学,不能只懂中学数学,而要“站得更高,看得更远” ,应拓宽视野,拓广思路,这样才能更好地把握中学数学的内容.而关于坎迪定理在圆锥曲线中的推广应用,限于篇幅,此处不赘述.参考文献[1]周兴和,高等几何.北京:科学出版社,2007[2]李恩凤.高等几何与初等几何的关系.青年师专学报(自然科学),2001.3.53-55[3]高巧琴,雒志江.高等几何在初等几何中的作用.雁北师范学院学报,2004.4.53-55[4]秦进.用高等几何方法变换初等几何命题.遵义师范学院学报,2005.2.66-68[5]廖小勇.高等几何在初等几何中的一些应用.黔南民族师范学院学报,2006.9.24-26[6]张莹.高等几何在初等几何中的应用.济南大学学报,1992.2.81-83[7]胡炳生,吴俊,王佩瑾,孙国权,现代数学观点下的中学数学.北京:高等教育出版社,2005。

利用高等几何知识解初等几何题例谈

利用高等几何知识解初等几何题例谈作者：李欢赵临龙来源：《山东工业技术》2019年第11期摘要：利用射影几何的不变性和不变量关系，讨论几何中的2个问题：将任意三角形变换为等腰三角形，证明线段的相等，并且给出推广结论。

关键词：射影几何；不变性；不变量；任意三角形；等腰三角形；线段相等；推广结论DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2019.11.191在高等几何中，经过适当的仿射变换，任意一个三角形（平行四边形、梯形、椭圆）可变为正三角形（长方形、等腰梯形、圓），那么对具有关仿射性质的一些命题，将命题中的一般图形可用仿射变换变为特珠图形，如果所给命题在特殊图形中成立，则根据仍射变换不变性和不变量关系：保持同素性、结合性、共线性、共点性，以及单比、封闭图形的面积之比等，即可推命题在原图形中成立。

1 举例例1：中心射影将一任意三角形射影成等腰三角形。

方法一：如图1，设△ABC 为平面π内的一任意三角形，过BC边任作一平面π’与π不同，在π’内作BC的垂直平分线m，在m上任取一点A'（不在BC上），连AA'，在直线AA'上取定点O，则以O为射心，OA为射线的中心射影必将△ABC射影为平面π’上的等腰三角形A'BC。

方法二：如图2，设F、G，H、A分别是梯形DEBC下底、上底的中点，对角线交点、两腰所在直线交点，T为仿射变换，将梯形DEBC→等腰梯形D’E’B’C’，F→F'为B'C'中点，G→G'为D'E'中点。

因为仿射单比不变：（BEH）=（B’E’H’），（DCH）=（D’C’H’），（BDA）=（B’A’D’），（CEA）=（C’E’A’），且仿射共线性不变：FHGA共线，所以F’H’G’A’共线，即将任意三角形仿射为等腰三角形。

由此得到结论。

命题1：任意梯形一对对边的2个中点与四边形另一对对边延长线的交点，以及对角线的交点，其4点共线。

初中数学平面几何中的命题变更学法指导

初中数学平面几何中的命题变更新课程标准的的实施，给我们的课堂学习的模式带来变革，对我们的课堂学习提出了新的要求。

在学习平面几何的过程中，我们应在老师的指导下，自己去尝试设计问题、解决问题。

在课本知识的基础之上通过一系列的变换进行命题的变更。

一. 用类比的方法进行命题的变更一个命题在某种情境中成立，我们可以通过类比的办法去想一想在另一个类似的情境中是否成立，从而完成了命题的变更。

原命题：如图1，已知点M 为正方形ABCD 的边AB 所在直线上任意一点（点A 、B 除外），MN DM ⊥，且与∠ABC 的邻补角的平分线交于N 。

求证：DM=MN 。

对于命题“M 为正方形ABCD 的边AB 所在直线上任意一点”，我们可以通过类比，想象如果把“正方形ABCD ”换成“正三角形ABC ”，结论成立不成立呢？当然其他条件也要作适当的调整。

图1命题：如图2，已知点M 为正三角形ABC 的边BC 所在直线上任意一点（点B 、C 除外），MN 与AM 所成的角为60︒，且与∠ACB 的邻补角的平分线交于N 。

求证：AM=MN 。

这个命题成立。

图2二. 用运动的观点进行命题的变更有些命题，它的图形是由一些图形组合起来的或是一个比较特殊的图形，我们可以抓住某一点或几个部分之间，通过运动的观点变化为一个新的图形，从而探索命题在新的图形中可以得到什么新的命题，达到命题变更的目的。

原命题：已知：如图3，从平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，C ，D 向形外的任意直线l 作垂线AA BB CC DD ''''，，，，垂足分别为A B C ',',',D '，探讨：AA BB CC DD ''','，，有何数量关系？结论：AA CC BB DD ''''+=+。

图3如果把原命题中的直线l 向上平移到图4，图5的位置时，那么原命题中的结论是否发生变化呢？图4的结论为：CC AA BB DD ''''-=+；图5的结论为：|''||''|CC AA BB DD -=-。