次函数与分段函数

第六讲：分段函数与二次函数

第一部分：分段函数

6． 设函数g (x )＝x 2

－2(x ∈R )，f (x )＝

⎩

⎪⎨

⎪⎧

g ?x ?＋x ＋4，x

答案 [－9

4

，0]∪(2，＋∞)

1．(2014·山西四校联考)定义在

R

上的函数

f (x )满足f (x )＝

⎩

⎪⎨⎪⎧log 2（8－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x ＞0，则f (3)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－3

2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝

( )

3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1

，x ＜1，x 1

3，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范

围是________．(－∞，8]

4．(2014·上海卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧（x －a ）2

，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范

围为( )

A ．[－1，2]

B ．[－1，0]

C ．[1，2]

D ．[0，2]

5.(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，

3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则

实数a 的取值范围是________.(1，2]

6．(2014·浙江卷)设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2

＋x ，x ＜0，

－x 2，x ≥0.若

f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是

________．(－∞，2]

7.(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，

2x ，x ≥1，则满足

f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是

( )

B.[0，1]

D.[1，＋∞)

8.【2015高考北京，理14】设函数()(

)()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪

=⎨--⎪⎩‚‚‚≥

①若1a =，则()f x 的最小值为

；1

②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是

．

1

12

a ≤<或2a ≥. 9．函数⎩

⎨⎧>≤+=)0(,log )

0(,1)(2x x x x x f ，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数是 .7.

10．已知函数22

2

(1)

(0)()4(3)

(0)

x k a x f x x x a x ⎧+-≥=⎨-+-<⎩，其中R a ∈. 若对任意的非零实数1x ，

存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则k 的取值范围为 A ．0k ≤ B ．8k ≥ C ．08k ≤≤ D ．0k ≤或8k ≥

11．已知函数f (x )＝mx 2

＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数

m

的取值范围是________.(－∞，1] 第二部分：二次函数

1．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2

＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．

解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2

－4(a －1)＝9a 2

－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892

＋8

9

＞0恒成立，

即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．

f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－1

5

或a ≥1.

检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2

＋x .令f (x )＝0，即x 2

＋x ＝0，得x ＝0或

x ＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.

(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2

－135x －65＝0，

解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－1

5

.

综上所述，a 的取值范围是⎝

⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞)． 2．已知f (x )＝x 2

＋(a 2

－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．则有f (1)＜0，(－2，1)

7． 设函数f (x )＝3ax 2

－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )．

(1)设a >c >0.若f (x )>c 2

－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围； (2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点为什么

解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2

－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝

a ＋c

3a

，由条件a >c >0，

得2a >a ＋c ，故a ＋c 3a <2a 3a ＝2

3

<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛

物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数．

若f (x )>c 2

－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，则f (x )min ＝f (1)>c 2

－2c ＋a ，即a －c >c 2

－2c ＋a ，

得c 2

－c <0，所以0

(2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，

则c <0，或a 0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0.

因为二次函数f (x )＝3ax 2

－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝

a ＋c

3a

. 而f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋c 3a ＝－a 2＋c 2

－ac 3a <0， 所以函数f (x )在区间⎝

⎛

⎭⎪⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1)

内有两个零点．

3．若关于x 的方程22x

＋2x

a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． 解 法一 (换元法)设t ＝2x (t >0)，则原方程可变为t 2

＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根．令f (t )＝t 2

＋at ＋a ＋1.

①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪

⎧Δ＝a 2

－4（a ＋1）≥0，t 1＋t 2＝－a >0，t 1·t 2＝a ＋1>0，

解得－1

②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；③当a ＝－1时，t ＝1，x ＝0符合题意．