空间频率与空间滤波

空间频谱与空间滤波
一， 实验背景：
阿贝成像原理认为：透镜成像过程可分为两步，第一步是通过物体衍射的光在系统的频谱面上形成空间频谱，这是衍射引起的“分频”作用；第二步是代表不同空间频率的各光束在像平面上相互叠加而形成物体的像，这是干涉引起的“合成”作用。

这两步从本质上对应着两次傅里叶变换。

如果这两次傅里叶变换完全理想，则像和物应完全一样。

如果在频谱面上设置各种空间滤波器，当去频谱中某一频率的成分，则将明显地影响图像，此即为空间滤波。

二， 实验目的：
1， 掌握光具座上光学调整技术；
2， 掌握空间滤波的基本原理，理解成像过程中“分频” 与“合成”作用。

3， 掌握方向滤波，高通滤波，低通滤波等滤波技术，观察各种滤波器产生的滤波效果，加深对光学信息处理实质的认识。

三， 实验原理：
1， 傅立叶变换
近代光学中，对光的传播和成像过程用傅立叶变换来表达，形成了傅立叶光学，可以处理一些无法用经典光学理论解决的问题。

傅立叶变换时处理振荡和波这类问题的有力工具。

对振动和波的傅立叶分析一般在时域和频域中进行，而对光的传播与成像分析是在空间和倒数空间中进行的。

不考虑时域，单色平面光波的表达式如下：
0()[()]f r Aexp i k r ϕ=⋅+ （1）
直角坐标系中，k 的方向余弦为(cos ,cos ,cos )αβγ，r 为（x ，y ，z ）
2(cos cos ,cos )k r x y z παβγλ
⋅=+ （2） 波矢量的物理意义可以理解为平面波的空间频率，在x ，y ，z 方向上三个分量分别为
222cos , cos , cos x y z f f f π
π
π
αβγλλλ=== （3）
在傅立叶光学中，将物光作为一个输入函数（物函数），研究其经过具有傅立叶变换作用的光学元件后在接收面上得到的输出函数（像函数）。

以物是平面图像为例，物函数g （x ，y ）可以表示成一系列不同空间频率的单色平面波的线性叠加，即
(,)(,)exp[2()]x y x y x y g x y G f f i xf yf df df π∞
-∞
=+⎰⎰ (4)
其中(,)x y G f f 被称为物函数的空间频谱函数。

它可以
由物函数g (x ,y )求得，其关系式为
⎰⎰∞
∞-+π-=dxdy y f x f i y x g f f G y x y x )](2exp[),(),( (5)
图1
（4）（5）式为傅立叶正变换与逆变换公式。

在实验实现上，一个完善的薄透镜是一个二维付立叶变换运算器，对于放置在物方焦面上物，在象方焦面上所成象就是物的付立叶变换，即在象方焦面上得到是物函数的频谱（如图1）。

2， 光栅（空间周期性）物函数的傅立叶变换
光栅的物函数表达
⎪⎩
⎪⎨⎧-+<<++≤≤+
=2)1(20221
)(b d n x b nd b nd x b nd x g (6) 频谱表达 )]2exp()2[exp(2)
2cos(x f i x f i G A G A x nf G A G A A n n n o o o n n n o o o π-+π+=π+=∑∑∞
(7)
其中f n =n/d ，即光栅的第n 级空间频谱， A 为垂直照射在光栅上的平面波振幅。

A o G o 是零级衍射光，方括号内第一项为正衍射级，第二项为负衍射级，在空间频谱中它们分别为零频，正频和负频。

3， 阿贝成像原理
阿贝认为在相干平行光照射下，显微镜的成像可分为两个步骤。

第一个步骤是通过物的衍射在物镜后焦面上形成一个初级干涉图；第二个步骤则为物镜后焦面上的初级干涉图复合为像（图1）。

成像的这两个步骤本质上就是两次傅里叶变换。

物的复振幅分布是g(x,y)，可以证明在物镜的频谱面（后焦面）上的复振幅分布是g(x,y)的傅里叶变换(,)x y G f f 。

所以第一个步骤起的作用就是把光场分布变为空间频率分布。

而第二个步骤则是又一次傅里叶变换将(,)x y G f f 又还原到空间分布g ’(x ’,y ’)。

物是空间不同频率的信息的集合,第一次付立叶变换是分频的过程,第二次付立叶逆变换是合频过程,形成新的不同频率的信息的集合—象.( 付立叶变换在物理上代表原函数—空间周期函数的频谱)。

如果这两次傅氏变换完全是理想的，信息在变换过程中没有损失，则像和物完全相似。

但由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度较大的高次成分（高频信息）不能进入物 镜而被丢弃了。

所以物所包含的超过一定空间频率的成分就不能包含在像上。

如果高频信息没有到达像平面，则无论显微镜有多大的放大倍数，也不能在像平面上分辨这些细节。

这是显微镜分辨率受到限制的根本原因。

图 2
g(x,y) (,)x y G f f g ’(x ’,y ’)
4，光学滤波与 调制
在光学信息处理中，依据傅立叶逆变换公式，通过改变频谱函数，就可改变象函数。

在频谱面上人为地放置一些滤波器，以该变频谱面所需位置上的光振幅或位相，便可得到所需要的象函数。

这个改变频谱函数的过程就是空间滤波。

最简单的滤波器就是一些特殊形状的光阑(如图三)。

图3 常见的振幅型空间滤波器
四，实验仪器：
He-Ne激光器，扩束镜C，准直镜Lo，网格输入物，傅里叶变换透镜L1和L2,孔屏，白屏，干板架，网格，低频光栅（25线/mm），各种常见的滤波器等。

五，实验步骤：
1，按4f系统傅里叶变换光路依次加入光学元件，排好光路，在L1的前焦面放金属丝网格，在白屏上就呈现网格的傅里叶频谱。

取下面的白屏，在面上就看到网格的像。

2，将4f系统光路改变成单透镜系统光路，观察频谱及所成的像。

3，单透镜系统光路中，将给出的几种形式的简单的滤波器，分别在频谱面上进行滤波，并详细记下实验现象。

六，实验现象及分析：
1，4f系统傅里叶变换光路中：Lo准直透镜的焦距是300mm，两个傅里叶变换透镜的焦距都是300mm。

在准直镜和第一个傅里叶透镜之间放上金属丝网格，构成矩形光栅。

再在两个傅里叶变换透镜中间的地方放上白屏，可以看到清晰地十字衍射图样。

该图像时矩形衍射光栅的空间频谱。

其中最中心的亮斑是零级衍射，所有光斑中空间频率低的靠中心，空间频率高的靠边缘。

若为光波波长，f为透镜焦距，Xf，Yf为后焦面（即频谱面）上任一点的位置坐标，
则（Xf，Yf）点对应的空间频率分别为Xf/f, Yf/ f.
有很多空间频谱是因为原来的物函数是一个矩形波，而矩形波通过傅里叶展开，会得到无穷多频率的正选函数的叠加。

高频光相当于高频近似，所以越到高频，光越弱。

将白屏在两透镜之间来回移动，发现图像依旧为十字方格，但是很模糊，只有在透镜焦距处很清楚。

这是因为对于第一个傅里叶变换透镜，经过金属网格丝后的衍射光，相当于一束束不同角度的平行入射光，射到透镜上时，聚焦在透镜后300mm处的频谱面上，所以在焦距上像是最清楚的。

将白屏移到第二个透镜后的像面上，得到的是金属网格的像。

2，在频谱面上设置各种滤波器：
（a）加上低通滤波器后，通低频，得到的像是一个处在圆心的亮斑。

（b）加上高通滤波器后，通高频，得到的像是一个中心为暗斑的亮环，光强被分布在了高频部分。

（c）加上十字方向滤波器后，通十字方向的空间频率，得到的图像是一个模糊的十字。

转换十字的方向，会在与傅里叶分析得到的空间频率垂直的方向上，得不到图像。

3，4f系统傅里叶变换光路的缺点是频谱位置不可调，缺乏灵活性。

在单透镜系统傅里叶变换光路上，不安排准直镜，所以照明光束是一束发散光束。

由书中所给公式，设计使物面与L的距离为s=590mm，扩束镜与透镜的距离为p=700mm，频谱面与透镜的距离为570mm。

在频谱面上放上白屏，观察到的图像，加上各种滤波器的影响，都和4f系统傅里叶变换光路里的现象一样。

但是该光路的有点在于，调节透镜与扩束镜的距离及p，从而调节频谱面和像面的位置，并调节物像比例。

为了使像不至过小，透镜不应离扩束镜太近。

七，参考文献：
《专业物理实验：光学部分》（华中科技大学物理学院）
《OPTICS》（Hecht）。