电路 含有耦合电感的电路

–M12
*
M13 L3 M23 *
M13
L3 *
M23
+M12
L1–M12 +M23 –M13
L2–M12–M23 +M13 L3+M12–M23 –M13
–M12 +M23 L1 L2

M13 L3
–M12 –M23
+M12 –M23
4. 电路如图，已知 L1=4 H， L2=3 H， M=2 H， =2 rad/s ，

I1
j M

I2
+
*

U1
j L1
+
*
j L2

U2
_
_
U 1 jωL1 I1 jωMI2 U 2 jωMI1 jωL2 I2

I1
+
*
j L1

U1
+
_
j
M

I
2_

I2
*
+
j L2

+
U2
_
j
M

I1
_
小结: 1.互感原理 2. 同名端 √ 3. 互感电压 √ 4. 耦合系数 5. 用受控源表示的互感电压
U jMI1 (R2 jL2 )I2
ZM
Z2
I1

Z2 ZM
Z1Z2

Z
2 M
U
,
I2

Z1 ZM
Z1Z2

Z
2 M
U
解方程得:
I

I1

I2

Z1 Z2 2ZM
Z1Z2

Z
2 M
U
3. 去耦等效电路
1 I
同侧联接
I1
M
I2
L1 *
* L2
§10. 2 含有耦合电感电路的计算
• 1.直接列写方程 具有耦合电感的电路与一般电路相比，列写方程 时，必须考虑其互感电压，并注意其极性。
• 2.受控源替代法 可用受控源替代互感电压，这与直接列写方程的 效果相同。这种方法实际上是将互感电压明确地 画到电路中去。
• 3.去耦法（互感消去法） 根据电路结构和互感的相互作用形式，画出互感 电路的去耦等效电路，再按常规电路求解。

L2
di2 dt

M
di1 dt
同理, 有
u1
u11
u12

d 11
dt

d 12
dt

L1
di1 dt
M
di2 dt
如果取 u1, i1为关联参考方向, u11, u12与u1同方向; u2, i2为关联参考方向, u22, u21与u2同方向,
则有
u1
u11 u12

L1
1. 串联电路
顺接:
1 I
U U 1 U 2 ,
M
R1 * L1
R2 * L2
2
U 1
U 2
U
又
U 1 R1I jL1I jMI U 2 R2 I jL2 I jMI
所以
U [( R1 R2 ) j (L1 L2 2M )]I
I1

Z2 ZM
Z1Z2

Z
2 M
U
,
I2

Z1 ZM
Z1Z2

Z
2 M
U
I

I1

I2

Z1 Z2 2ZM
Z1Z2

Z
2 M
U
1 I
M
+
* I1
I 2
U
L1
L2
*
R1 R2
2 异侧并联
U (R j L1 )I1 j M I2
Z1
ZM
I

R1

U S jL1

R2

60 12 j10

60 15.6239.8

0.384 39.8
A
U OC jM I R2 I (6 j5) 0.384 39.8 30 V
M
R1 L1
L2
Ia
R2
Ib
I
+
U
_
di1 dt

( M di2 ) dt

L1
di1 dt

M
di2 dt
即
u1

L1
di1 dt

M
di2 dt
u2

L2
di2 dt

M
di1 dt
当互感电压的“+”极性端与施感电流的进端互为同名端时,
上式中M前取“+”号, 反之取“-”号.
例1
M * L1 i1
* L2 i2
u2 u22 u21
互增强, 即互感起到 “增助”作用, 这两个 端
子叫做同名端, 可用, 等符号标记.
怎样标记:
1 i1
1'
i2 2
2'
例:
–
i1 *
1 1' 2
i2 * 2'
电路模型:
i1 1
M
i2 2
+*
*+
u1 _
L1
L2 _u2
1'
2'
3. 互感电压
N1
N2
i1变化

21变化


变化
§10. 1 互感
自感和自感电压 N

i +u
iL
u
i N i 变化 磁通变化磁链变化
在线圈两端产生感应电压u，
u d
dt
对于线性电感 =Li ，L称为自感系数
则 u L di dt
1.互感原理
N1 11
N2
11 11 N111
21
i1
去耦等效电路:
I R L1 + L2 2M
1
2
“容性” 效 应
2. 并联电路
1 I
M
+
* I1 * I2
U
L1
L2
R1 R2
U (R j L1 )I1 j M I2
Z1
ZM
U jMI1 (R2 jL2 )I2
ZM
Z2
解方程得:
2 同侧并联
(R2 jL2 jL3 R3) Ib (R3 jL3) Ia jM 23Ia jM 23Ib jM12Ia jM 23Ib jM31Ia US 2
此题可先作出去耦等效电路，再列方程(一对一对消):
M12
L1
L2

*
–M12
L1

L2
U 13 j (L2 M )I2 j M I (4)
根据(3), (4)式, 作出去耦等效电路
异侧联接
1 I
I1
M
*
I2
L1
L2
*
2
3
I1
L1M
1 I
M
I2
L2 M
2
3
1 I
I1
M
I2
L1 *
* L2
2
3
1 I
I1
M
*
I2
L1
L2
*
2
3
I1
L1 M
1 I
M
1'
I2
L2 M
2
3
例:
I
+
U
–
1M
* I1 I2
L1
* L2
R1 R2 0
I 1 M 1'
+
I1
U
L1+M
_
R1 0
I2
L2+M R2
异侧并联去耦等效电路
计算举例：
1. 列写下图电路的方程。
M
I1 R1 L1
L2 R2 I2
+
U S1
_
支路电流法：

3
j7.5 8.0868.2
（b）去耦等效：
M
R1 L1
L2
R2
R1 L1 M L2 M M
R2
Zi j(L2 M ) [R1 j(L1 M )](R2 jM ) R1 j(L1 M ) R2 jM
j5 6 j5 3 j7.5 2
互感的性质 ① 对于线性电感 M12=M21=M ② 互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互
位置和周围的介质磁导率有关。
4. 耦合系数 反映两个耦合线圈紧疏程度的物理量
def
k
21 12 11 22
又：Y11= N1F11 ,Y22 = N2F22 |Y21|= N2|F21| , |Y12|= N2|F12|
2. 已知: L1 L2 10 , M 5 , R1 R2 6 , U S 6V , 求端口的戴维南等效电路。
M
I R1 L1
L2
Zi
+
U S
_
– U1 + + R2 U 2 –
+
U oc
+
U oc
_
_
求开路短压 U OC : U OC U1 U 2 jM I R2 I
去耦等效电路:
I R 1
L1 + L2+2M 2
M
反接:
I R1 1
L1 *
R2 * L2
2
U 1
U 2
U
U U 1 U 2 ,
又
U 1 R1I jL1I jMI U 2 R2 I jL2 I jMI
所以
U [( R1 R2 ) j (L1 L2 2M )]I
讨论:
(1) 含互感电路写方程时，首先要写全，不遗漏互感电压 其次要注意互感电压前的正负号。这一点尤为重要。
(2) 利用去耦等效电路，包括用受控源(CCVS)表示互感， 对电路进行预处理，使之转化为无耦合电路写方程。 在写结点方程时必须如此。
(3) 将本例中L1,L2之间的互感改在L1和L3之间，方程会发 生什么变化？
21 21 N 2 21
i1
i2
互感磁通， i1 施感电流
1
1' 2
2'
22 22 N 222
二线圈通过磁场相 互联系 磁耦合
同理 i2
12 12 N112
二线圈均有电流，则 1= 11 12
互感磁通， i2 施感电流
2= 22 21
3.
+
U S1
_
M12
R1 L1
L2 R2

*
Ia
M31 L3 M23 *
Ib
R3
+
U S 2
_
回路法：
(R1 jL1 jL3 R3) Ia (R3 jL3) Ib jM31Ia jM31Ib jM12Ib jM31Ia jM 23Ib US1
L3 回路1
R3 I3
回路2
+
U S 2
_
I3 I1 I2
R1I1 jL1I1 jL3 I3 R3 I3 jMI2 U S1 R2 I2 jL2 I2 jL3 I3 R3 I3 jMI1 U S 2
M
I1 R1 L1
L2 R2 I2
+
U S1
_
Ia
L3
Ib
R3 I3
+
U S 2
_
回路电流法：(1) 不考虑互感 (2) 考虑互感 (3) 合并同类项
(R1 jL1 R3 jL3 )Ia (R3 jL3 )Ib jMIb U S1 (R3 jL3 )Ia (R2 jL2 R3 jL3 )Ib jMIa U S 2
21
11
21 在第二个线圈两端感
应一个电压, 称为互感
电压
i1
i2
1

u12
* +
1'
2
u21
* +2'
u11
u22
u1
u2
u21

d 21
dt

M
di1 dt
如果选取互感电压的 “+”极性端与施感电 流的进端互为同名端
线圈2的端电压u2
u2
u22
u21

d 22
dt

d 21
dt
二线圈周围空间是各向 同性的线性磁介质时
11=L1i1 ，21=M21i1 22=L2i2 ， 12=M12i2
可以证明，M12=M21=M， 称为二线圈的互感
1= L1i1 Mi2
2. 同名端
2= L2i2 Mi1
概念: i1, i2 分别从二 线圈的两个端子流进, 它们 产生的磁通是相
I1
L1 M
1 I
M
1'
I2
L2 M
2
3
U 12 j L1I1 j M I2 (1)
2
3
U 13 j L2 I2 j M I1 (2)
将 I2 I I1 , I1 I I2 分别代入 (1),(2)式, 得
U 12 j (L1 M )I1 j M I (3)
S
求内阻：Zi
Zi U S / I
（a）列回源自文库电流方程
( R1 R2 jL1 ) Ia R2 Ib jM Ib 0
( R2 jL2 ) Ib R2 Ia jM Ia U S
I

Ib

3
U S j7.5
,
Zi

U S I
u2 u22 u21
L2
di2 dt
M di1 dt
L1 * i1
M
* L2 i2
u2 u22 u21
u2

u22

u21

L2
di2 dt

M
di1 dt
例2
i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
u1

L1
di1 dt

M
di2 dt
u2

L2
di2 dt

M
di1 dt
i1 M i2
+* u_1 L1
+
L2 *
_u2
u1

L1
di1 dt

M
di2 dt
u2

L2
di2 dt

M
di1 dt
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
时域形式

I1
j M

I2
+
*

U1
j L1
+
*
j L2

U2
_
_
U 1 jωL1 I1 jωMI2 U 2 jωMI1 jωL2 I2
代入 Y11 = L1 i1 Y22 = L2 i2 所以
21 M i1 12 M i2
k 21 12 1
11 22
def
k
M
L1 L2
全耦合: F11= F21 ,F22 =F12 k = 1
5. 用受控源表示的互感电压
可以用电流控制电压源CCVS表示互感电压的作用，如下 图所示耦合电感电路：