高中数学经典解题技巧和方法(集合、常用逻辑用语)

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高中数学解题技巧方法总结(必备19篇)

高中数学解题技巧方法总结(必备19篇)

高中数学解题技巧方法总结第1篇(1)利用y=sin x和y=cos x的值域直接求.(2)把所给的三角函数式变换成y=A sin(ωx+φ)+b(或y=A cos(ωx+φ)+b)的形式求值域.(3)把sin x或cos x看作一个整体,将原函数转换成二次函数求值域.(4)利用sin x±cos x和sin x cos x的关系将原函数转换成二次函数求值域.高中数学解题技巧方法总结第2篇(1)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(5)并项法一个数列的前n项和中,可两两结合求和,称为并项法求和,形如:(-1)nf(n)类型,可考虑利用并项法求和.高中数学解题技巧方法总结第3篇先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.推断数列的通项公式解答此类问题的具体步骤:(1)分式中分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项的符号特征和绝对值特征;(5)化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;(6)对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理.高中数学解题技巧方法总结第4篇以退求进,立足特殊发散一般对于一个较一般的问题,若一时不能取得一般思路,可以采取化一般为特殊(如用特殊法解选择题),化抽象为具体,化整体为局部,化参量为常量,化较弱条件为较强条件,等等。

高中数学经典解题技巧和方法(集合常用逻辑用语)

高中数学经典解题技巧和方法(集合常用逻辑用语)

高中数学经典的解题技巧和方法(集合、常用逻辑用语)【编者按】集合跟常用逻辑用语是高中数学考试的必考内容,而且是这几年考试的热点跟增长点,无论是期中、期末还是会考、高考,都是高中数学的必考内容之一。

因此,马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法,希望能够帮助到高中的同学们,让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。

好了,下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。

首先,解答集合跟常用逻辑用语这两个方面的问题时,先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题,同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题:1.集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系。

②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。

(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。

②在具体情境中,了解全集与空集的含义。

(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。

②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。

③能使用Venn图表达集合的关系及运算。

2.常用逻辑用语(1)命题及其关系①理解命题的概念。

②了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系。

③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

(2)简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”含义。

(3)全称量词与存在量词。

①理解全称量词与存在量词的意义。

②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

好了,搞清楚了集合跟常用逻辑用语的基本内容之后,下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。

一、集合间的包含与运算关系问题考情聚焦:1.该考向涉及到集合的核心内容,所以在近几年各省市高考中出现的频率非常高,常与函数、方程、不等式、解析几何等知识交汇命题。

高考数学中的逻辑与集合解题技巧

高考数学中的逻辑与集合解题技巧

高考数学中的逻辑与集合解题技巧高考数学是重中之重,而在高考数学中,逻辑与集合题目占据了相当重要的位置。

掌握逻辑与集合解题技巧,能够帮助考生解决这一类题目,提高数学成绩。

本文将分享一些高考数学中的逻辑与集合解题技巧,希望对广大考生有所帮助。

一、逻辑解题技巧逻辑解题是高考数学中的一个重要部分,涉及了数学推理、论证等方面。

以下是一些逻辑解题技巧:1. 矢量与坐标:在解题中,尽量使用坐标和矢量的概念,能够简化问题,提高解题效率。

例如,在解二次函数的问题中,可以使用坐标系来找出函数的性质。

2. 假设法:在解题时,可以假设一些条件,然后通过推理去求解问题。

这种方法常用于解决代数题目,能够减少计算量,提高解题速度。

3. 推理与判断:解题时要善于运用推理和判断能力,根据已知条件合理推断结论。

通过分析题目中的关键信息,进行推理和判断,解决问题。

二、集合解题技巧除了逻辑解题,高考数学中还有很多集合解题的题目。

以下是一些集合解题技巧:1. 集合图像法:在解决集合问题时,可以通过画集合图像的方法来辅助解题。

通过画出集合的图像,可以更直观地理解集合的关系和性质,从而更容易进行推理和判断。

2. 集合的运算:要熟练掌握集合的交、并、差、补等运算。

通过灵活运用集合的运算法则,可以简化解题过程,提高解题效率。

3. 逻辑推理:在集合解题中,也需要运用逻辑推理能力。

通过分析集合之间的关系,进行逻辑推理,可以解决更复杂的集合问题。

三、综合运用在高考数学中,逻辑和集合两个部分经常会相互结合,出现在同一道题目中。

此时,考生需要综合运用逻辑和集合的解题技巧,加强对题目的理解和分析。

在综合运用时,可以按照以下步骤进行解题:1. 分析题目:仔细分析题目中给出的条件和要求,理清思路,确定解题方向。

2. 运用逻辑和集合知识:根据题目中的条件,灵活运用逻辑和集合的解题技巧,进行推理和论证。

3. 检查答案:解题后,要反复检查答案是否符合逻辑和集合的规则,是否满足题目的要求。

高中数学解题技巧与方法

高中数学解题技巧与方法

高中数学解题技巧与方法高中数学是一门重要的学科,对于学生来说也是相对较难的一门课程。

许多学生在面对数学题目时感到困扰,不知道如何下手。

本文将介绍一些高中数学解题的技巧和方法,帮助学生提高解题能力。

一、理清思路在解题之前,首先要理清思路。

仔细阅读题目,分析题目的要求和条件。

可以在纸上做标记或者画图来帮助理解题目。

同时,还需要在脑海中构建一个解题方案,明确解题的步骤和方法。

二、多角度思考在解题过程中,不要被固定的思维方式所限制。

尝试从不同的角度思考问题,寻找不同的解题思路。

这样可以帮助我们发现更多的解题路径,并提高解题的灵活性。

三、建立逻辑思维数学问题大多需要通过逻辑推理来解决。

因此,培养逻辑思维是解题的关键。

可以通过做逻辑思维训练题或者进行推理游戏来提高自己的逻辑思维能力。

合理运用推理能力,可以更快地找到解题的方法。

四、归纳总结解题过程中,要善于归纳总结。

将解题的方法和思路记录下来,形成笔记或者思维导图。

这样有助于巩固所学知识,也方便在以后的学习中查阅。

通过总结,我们可以更好地掌握解题的技巧和方法。

五、练习巩固只有通过大量的练习,才能真正掌握解题的技巧和方法。

可以选择一些专门的习题集或者题库进行练习。

在解题过程中,可以注意查漏补缺,弄清楚自己的知识盲点,并通过练习加以强化。

六、寻求帮助如果在解题过程中遇到困难,不要害怕寻求帮助。

可以向老师请教,或者与同学进行讨论。

他们可能提供一种不同的解题思路,帮助我们更好地理解和解决问题。

总结起来,高中数学解题需要理清思路,多角度思考,建立逻辑思维,归纳总结,通过练习巩固,并勇于寻求帮助。

掌握好这些技巧和方法,相信大家在解题过程中能够事半功倍,取得更好的成绩。

加油吧!。

高中数学必备技巧解集合问题

高中数学必备技巧解集合问题

高中数学必备技巧解集合问题在高中数学中,集合是一个非常重要的概念,涉及到很多问题的解答。

本文将介绍一些高中数学中解集合问题的必备技巧和方法。

一、集合的基本概念在解集合问题之前,我们首先来回顾一下集合的基本概念。

集合是由一些确定的元素组成的整体,元素的概念可以是数字、字母、图形、事物等等。

集合的表示通常用大写字母表示,而具体的元素则用小写字母表示。

例如,集合A={1,2,3,4},表示A是由1、2、3和4这几个元素组成的集合。

集合间的关系有三种:相等、包含和交集。

当两个集合的元素完全相同时,它们是相等的;当一个集合中的所有元素都属于另一个集合时,前者包含于后者;当两个集合中都有的元素构成的集合称为它们的交集。

这些关系是解集合问题时非常重要的基础。

二、求解集合问题的技巧1. 列举法当我们给出一个集合问题时,一种常见的解法是使用列举法。

其基本思路就是将集合中的元素逐个罗列出来,根据问题的要求进行归类、交集运算等等。

列举法在解决一些简单的集合问题时非常有效。

例如,如果有两个集合A={1,2,3}和B={3,4,5},要求求出它们的交集和并集,我们可以先将两个集合的元素列举出来,然后进行比较:交集:{3},即A和B中共有的元素;并集:{1,2,3,4,5},即A和B中所有的元素。

2. Venn图法Venn图是一种常用的解决集合问题的图形表示方法。

它采用圆形或椭圆形表示集合,通过在图中标注对应的元素来表示集合的关系。

Venn图非常直观,能够清晰地展示出集合的交集、并集等关系。

假设有两个集合A和B,我们可以画出两个圆表示它们,并在对应的区域内标注各自的元素。

如果要求求出两个集合的交集,即A和B共有的元素,我们可以标注在两个圆的交集区域内。

同样地,如果要求求出并集,即A和B所有的元素,我们可以将两个圆都标注上。

3. 区间法在解决一些涉及到数值大小的集合问题时,可以使用区间法。

区间法将数轴划分为几个不同的部分,每个部分都代表一个集合。

高中数学常用逻辑用语的解题方法归纳

高中数学常用逻辑用语的解题方法归纳

§.常用逻辑用语一、知识导学1.逻辑联结词:“且”、“或”、 “非”分别用符号“∧”“∨”“⌝”表示.2.命题:能够判断真假的陈述句.3.简单命题:不含逻辑联结词的命题4.复合命题:由简单命题和逻辑联结词构成的命题,复合命题的基本形式:p 或q ;p 且q ;非p5.四种命题的构成:原命题:若p 则q ; 逆命题:若q 则p ;否命题:若p 则q ;逆否命题:若q 则p.6.原命题与逆否命题同真同假,是等价命题,即“若p 则q”“若q 则p ” . 7.反证法:欲证“若p 则q”,从“非q”出发,导出矛盾,从而知“若p 则非q”为假,即“若p 则q”为真 .8.充分条件与必要条件 :①pq :p 是q 的充分条件;q 是p 的必要条件; ②p q :p 是q 的充要条件 . 9.常用的全称量词:“对所有的”、“ 对任意一个”“ 对一切”“ 对每一个”“任给”等;并用符号“∀” 表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10.常用的存在量词:“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、 “有的”、“对某个”; 并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1.基本题型及其方法(1)由给定的复合命题指出它的形式及其构成;(2)给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题,并能利用真值表判断复合命题的真假;(3)给定命题,能写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并能运用四种命题的相互关系,特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意:否命题与命题的否定是不同的.(4)判断两个命题之间的充分、必要、充要关系;方法:利用定义(5)证明p 的充要条件是q ;方法:分别证明充分性和必要性(6)反证法证题的方法及步骤:反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法,是间接证法之一. 关键词 是 都是(全是) >(<) 至少有一个 至多有一个 任意 存在否定 不是 不都是(全是) ≤(≥) 一个也没有 至少有两个 存在 任意2.全称命题与特称命题的关系:全称命题p:)(,x p M x ∈∀,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∃;特称命题p:)(,x p M x ∈∃,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∀;即全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则q ”的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解:原命题可改写成:若两个三角形全等,则它们一定相似.否命题:若两个三角形不一定全等,则它们不一定相似.逆否命题:若两个三角形不一定相似,则它们不一定全等.错因:对“一定”的否定把握不准,“一定”的否定 “一定不”,在逻辑知识中求否定相当于求补集,而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较,注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解:否命题:若两个三角形不全等,则它们不相似.逆否命题:若两个三角形不相似,则它们不全等.[例2] 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式,并写出否命题.a>o 时,函数y=ax+b 的值随x 值的增加而增加.错解:原命题改为:若a>o 时,x 的值增加,则函数y=ax+b 的值也随着增加.错因:如果从字面上分析最简单的方法是将a>o 看作条件,将“随着”看作结论,而x 的值增加,y 的值也增加看作研究的对象,那么原命题改为若a>o 时,则函数y=ax+b 的值随着x 的值增加而增加,其否命题为若a ≤o 时,则函数y=ax+b 的值不随x 值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上,将x 值的增加当做条件,又不把a>o 看作前提,就变成两个条件的命题,但写否命题时又没按两个条件的规则写,所以就错了.正解:原命题改为: a>o 时,若x 的值增加,则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为: a>o 时,若x 的值不增加,则函数y=ax+b 的值也不增加.原命题也可改为:当x 的值增加时,若a>o ,,则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为: 当x 增加时,若a ≤o ,则函数y=ax+b 的值不增加.[例3] 已知h>0,设命题甲为:两个实数a 、b 满足h b a 2<-,命题乙为:两个实数a 、b 满足h a <-|1且h b <-|1,那么A .甲是乙的充分但不必要条件B .甲是乙的必要但不充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲是乙的既不充分也不必要条件错解:h b a 2<-⇔h h h b a +=<---2)1()1(⇔h a <-|1|,h b <-|1|2.全称命题与特称命题的关系:全称命题p:)(,x p M x ∈∀,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∃;特称命题p:)(,x p M x ∈∃,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∀;即全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、经典例题导讲[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则q ”的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解:原命题可改写成:若两个三角形全等,则它们一定相似.否命题:若两个三角形不一定全等,则它们不一定相似.逆否命题:若两个三角形不一定相似,则它们不一定全等.错因:对“一定”的否定把握不准,“一定”的否定 “一定不”,在逻辑知识中求否定相当于求补集,而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较,注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解:否命题:若两个三角形不全等,则它们不相似.逆否命题:若两个三角形不相似,则它们不全等.[例2] 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式,并写出否命题.a>o 时,函数y=ax+b 的值随x 值的增加而增加.错解:原命题改为:若a>o 时,x 的值增加,则函数y=ax+b 的值也随着增加.错因:如果从字面上分析最简单的方法是将a>o 看作条件,将“随着”看作结论,而x 的值增加,y 的值也增加看作研究的对象,那么原命题改为若a>o 时,则函数y=ax+b 的值随着x 的值增加而增加,其否命题为若a ≤o 时,则函数y=ax+b 的值不随x 值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上,将x 值的增加当做条件,又不把a>o 看作前提,就变成两个条件的命题,但写否命题时又没按两个条件的规则写,所以就错了.正解:原命题改为: a>o 时,若x 的值增加,则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为: a>o 时,若x 的值不增加,则函数y=ax+b 的值也不增加.原命题也可改为:当x 的值增加时,若a>o ,,则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为: 当x 增加时,若a ≤o ,则函数y=ax+b 的值不增加.[例3] 已知h>0,设命题甲为:两个实数a 、b 满足h b a 2<-,命题乙为:两个实数a 、b 满足h a <-|1且h b <-|1,那么A .甲是乙的充分但不必要条件B .甲是乙的必要但不充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲是乙的既不充分也不必要条件错解:h b a 2<-⇔h h h b a +=<---2)1()1(⇔h a <-|1|,h b <-|1|故本题应选C.错因:(1)对充分、必要、充要条件的概念分不清,无从判断,凭猜测产生错误;(2)不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.正解:因为,11⎪⎩⎪⎨⎧<-<-h b h a 所以,11⎩⎨⎧<-<-<-<-h b h h a h 两式相减得h b a h 22<-<- 故h b a 2<-即由命题甲成立推出命题乙成立,所以甲是乙的必要条件.由于⎪⎩⎪⎨⎧<-<-hb h a 22 同理也可得h b a 2<-因此,命题甲成立不能确定命题乙一定成立,所以甲不是乙的充分条件,故应选B.[例4] 已知命题甲:a+b ≠4, 命题乙:a 1≠且b 3≠,则命题甲是命题乙的 .错解:由逆否命题与原命题同真同假知,若a=1且b=3则a+b=4成立,所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.错因 :对命题的否定不正确.a 1≠且b 3≠的否定是a=1或b=3.正解:当a+b ≠4时,可选取a=1,b=5,故此时a 1≠且b 3≠不成立( a=1).同样,a 1≠,且b 3≠时,可选取a=2,b=2,a+b=4,故此时a+b=4.因此,甲是乙的既不充分也不必要条件.注:a 1≠且b 3≠为真时,必须a 1≠,b 3≠同时成立.[例5] 已知p 是r 的充分不必要条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件,那么p 是q 成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件分析:本题考查简易逻辑知识.因为p ⇒r ⇒s ⇒q 但r 成立不能推出p 成立,所以q p ⇒,但q 成立不能推出p 成立,所以选A 解:选A[例6] 已知关于x 的一元二次方程 (m∈Z)① mx 2-4x +4=0 ② x 2-4mx +4m 2-4m -5=0求方程①和②都有整数解的充要条件.解:方程①有实根的充要条件是,04416≥⨯⨯-=∆m 解得m ≤1.方程②有实根的充要条件是0)544(41622≥---=∆m m m ,解得.45-≥m ,.145Z m m ∈≤≤-∴而故m =-1或m =0或m =1. 当m =-1时,①方程无整数解.当m=0时,②无整数解;当m=1时,①②都有整数.从而①②都有整数解m =1.反之,m =1①②都有整数解.∴①②都有整数解的充要条件是m =1.[例7] 用反证法证明:若a 、b 、c R ∈,且122+-=b a x ,122+-=c b y ,122+-=a c z ,则x 、y 、z 中至少有一个不小于0证明: 假设x 、y 、z 均小于0,即:0122<+-=b a x ----① ;0122<+-=c b y ----② ;0122<+-=a c z ----③;①+②+③得0)1()1()1(222<-+-+-=++c b a z y x ,这与0)1()1()1(222≥-+-+-c b a 矛盾,则假设不成立, ∴x 、y 、z 中至少有一个不小于0[例8] 已知命题p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负根;命题q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根.若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求m 的取值范围.分析:“p 或q ”为真,则命题p 、q 至少有一个为真,“p 且q ”为假,则命题p 、q 至少有一为假,因此,两命题p 、q 应一真一假,即命题p 为真,命题q 为假或命题p 为假,命题q 为真. 解: 若方程x 2+mx +1=0有两不等的负根,则⎩⎨⎧>>-=∆0042m m 解得m >2,即命题p :m >2若方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根,则Δ=16(m -2)2-16=16(m 2-4m +3)<0解得:1<mq :1<m <3.因“p 或q ”为真,所以p 、q 至少有一为真,又“p 且q ”为假,所以命题p 、q 至少有一为假,因此,命题p 、q 应一真一假,即命题p 为真,命题q 为假或命题p 为假,命题q 为真.∴⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312312m m m m m 或或 解得:m ≥3或1<m ≤2.四、典型习题导练1.方程0122=++x mx 至少有一个负根,则( )A.10<<m 或0<mB.10<<mC.1<mD.1≤m2.“0232>+-x x ”是“1<x 或4>x ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.三个数,,a b c 不全为0的充要条件是 ( )A.,,a b c 都不是0.B.,,a b c 中至多一个是0.C.,,a b c 中只有一个是0.D.,,a b c 中至少一个不是0.4.由命题p :6是12的约数,q :6是24的约数,构成的“p 或q ”形式的命题是:_ ___,“p 且q ”形式的命题是__ _,“非p ”形式的命题是__ _.5.若,a b R ∈,试从A.0ab =B.0a b +=C.220a b +=D.0ab >E.0a b +>F.220a b +> 中,选出适合下列条件者,用代号填空:(1)使,a b 都为0的充分条件是 ;(2)使,a b 都不为0的充分条件是 ;(3)使,a b 中至少有一个为0的充要条件是 ;(4)使,a b 中至少有一个不为0的充要条件是 .6.分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假.(1)p : 梯形有一组对边平行;q :梯形有一组对边相等.(2)p : 1是方程0342=+-x x 的解;q :3是方程0342=+-x x 的解. (3)p : 不等式0122>+-x x 解集为R ;q : 不等式1222≤+-x x 解集为. 7.命题:已知a 、b 为实数,若x 2+ax +b ≤0 有非空解集,则a 2- 4b ≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.8.用反证法证明:若a 、b 、c 、d 均为小于1的正数,且x=4a(1-b),y=4b(1-c),z=4c(1-d),t=4d(1-a),则x 、y 、z 、t 四个数中,至少有一个不大于1.。

高中数学集合题型及解题方法

高中数学集合题型及解题方法

高中数学集合题型及解题方法摘要:1.集合概念与基本运算2.集合间的逻辑关系3.集合题型分类及解题方法4.高考集合题型解析5.解题技巧与策略正文:一、集合概念与基本运算集合是数学中的基本概念,它由一些元素组成。

集合间的运算主要包括并集、交集、补集和全集等。

熟练掌握集合的基本概念和运算对于解决集合题型至关重要。

二、集合间的逻辑关系集合间的逻辑关系包括子集、超集、真子集、真超集等。

理解这些逻辑关系有助于我们更好地把握集合间的包含关系,为解题打下基础。

三、集合题型分类及解题方法1.集合基本运算题:求解集合间的并集、交集、补集等运算,可以通过列举法、描述法等方法求解。

2.集合逻辑关系题:判断集合间的包含关系、相等关系等,可以利用真子集、真超集等概念进行判断。

3.集合与函数题:集合与函数的关系,如函数的定义域、值域等问题,可以通过对函数的性质进行分析求解。

4.集合与数列题:集合与数列的关系,如求数列的通项公式、求和公式等问题,可以通过集合运算解决。

5.集合与不等式题:集合与不等式的关系,如解集合不等式、求解不等式组等问题,可以通过集合的基本运算解决。

四、高考集合题型解析高考中的集合题型主要涉及集合的基本运算、逻辑关系、与函数、数列、不等式的结合等问题。

解题时要注意审题,把握题目中的关键信息,运用恰当的解题方法。

五、解题技巧与策略1.审题要细,抓住关键信息。

2.善于利用集合的基本性质和运算规律。

3.灵活运用逻辑关系判断方法。

4.分类讨论,化简集合运算过程。

5.结合其他数学知识点,如函数、数列、不等式等,综合分析问题。

通过以上分析和方法,相信大家对高中数学集合题型及解题方法有了更深入的了解。

专题02 常用逻辑用语(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

专题02 常用逻辑用语(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇

【考点预测】一、充分条件、必要条件、充要条件1高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题02常用逻辑用语.定义如果命题“若p ,则q ”为真(记作p q ⇒),则p 是q 的充分条件;同时q 是p 的必要条件.2.从逻辑推理关系上看(1)若p q ⇒且q p ,则p 是q 的充分不必要条件;(2)若p q 且q p ⇒,则p 是q 的必要不充分条件;(3)若p q ⇒且q p ⇒,则p 是q 的的充要条件(也说p 和q 等价);(4)若p q 且q p ,则p 不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件.对充分和必要条件的理解和判断,要搞清楚其定义的实质:p q ⇒,则p 是q 的充分条件,同时q 是p 的必要条件.所谓“充分”是指只要p 成立,q 就成立;所谓“必要”是指要使得p 成立,必须要q 成立(即如果q 不成立,则p 肯定不成立).二.全称量词与存在童词(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M 中的任意一个x ,有()p x 成立”可用符号简记为“,()x M p x ∀∈”,读作“对任意x 属于M ,有()p x 成立”.(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的一个0x ,使0()p x 成立”可用符号简记为“00,()x M P x ∃∈”,读作“存在M 中元素0x ,使0()p x 成立”(存在量词命题也叫存在性命题).三.含有一个量词的命题的否定(1)全称量词命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ⌝为0x M ∃∈,0()p x ⌝.(2)存在量词命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ⌝为,()x M p x ∀∈⌝.注:全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.【方法技巧与总结】1.从集合与集合之间的关系上看设{}{}|(),|()A x p x B x q x ==.(1)若A B ⊆,则p 是q 的充分条件(p q ⇒),q 是p 的必要条件;若A B ,则p 是q 的充分不必要条件,q 是p 的必要不充分条件,即p q ⇒且q p ;注:关于数集间的充分必要条件满足:“小⇒大”.(2)若B A ⊆,则p 是q 的必要条件,q 是p 的充分条件;(3)若A B =,则p 与q 互为充要条件.2.常见的一些词语和它的否定词如下表原词语等于)(=大于)(>小于)(<是都是任意(所有)至多有一个至多有一个否定词语不等于)(≠小于等于)(≤大于等于)(≥不是不都是某个至少有两个一个都没有(1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M 中的每一个元素x 证明其成立,要判断全称量词命题为假命题,只要能举出集合M 中的一个0x ,使得其不成立即可,这就是通常所说的举一个反例.(2)要判断一个存在量词命题为真命题,只要在限定集合M 中能找到一个0x 使之成立即可,否则这个存在量词命题就是假命题.【题型归纳目录】题型一:充分条件与必要条件的判断题型二:根据充分必要条件求参数的取值范围题型三:全称量词命题与存在量词命题的真假题型四:全称量词命题与存在量词命题的否定题型五:根据命题的真假求参数的取值范围【典例例题】题型一:充分条件与必要条件的判断例1.(2022·河北·模拟预测)“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件例2.(2022·重庆·三模)已知0a >且1a ≠,“函数()x f x a =为增函数”是“函数()1a g x x -=在()0,∞+上单调递增”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件例3.(2022·湖北·模拟预测)在等比数列{}n a 中,已知20200a >,则“20212024a a >”是“20222023a a >”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件例4.(2022·山东·德州市教育科学研究院二模)已知m ,n 是两条不重合的直线,α是一个平面,n ⊂α,则“m α⊥”是“m n ⊥”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件例5.(2022·四川·宜宾市教科所三模(理))已知两条直线m ,n 和平面α,则m n ⊥的一个充分条件是()A .m α⊥且n α⊥B .m α∥且n ⊂αC .m α⊥且n ⊂αD .m α∥且n α∥(多选题)例6.(2022·山东临沂·二模)已知a ,b ∈R ,则使“1a b +>”成立的一个必要不充分条件是()A .221a b +>B .||||1a b +>C .221a b +>D .4110b a b++>【方法技巧与总结】1.要明确推出的含义,是p 成立q 一定成立才能叫推出而不是有可能成立.2.充分必要条件在面对集合问题时,一定是小集合推出大集合,而大集合推不出小集合.3.充分必要条件考察范围广,失分率高,一定要注意各个知识面的培养.题型二:根据充分必要条件求参数的取值范围例7.(2022·湖南怀化·一模)已知,a R ∈,且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件,则a 的取值范围是___________.例8.(2022·浙江·高三专题练习)若2()4x a -<成立的一个充分不必要条件是1102x+≤-,则实数a 的取值范围为()A .(,4]-∞B .[1,4]C .(1,4)D .(1,4]例9.(2022·山西晋中·二模(理))已知条件p :11x -<<,q :x m >,若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是()A .[)1,-+∞B .(),1-∞-C .()1,0-D .(],1-∞-例10.(2022·河南平顶山·高三期末(文))若1102x+≤-是()24x a -<成立的一个充分不必要条件,则实数a 的取值范围为()A .(],4 -B .[]1,4C .()1,4D .(]1,4例11.(2022·全国·高三专题练习(文))若关于x 的不等式1x a -<成立的充分条件是04x <<,则实数a 的取值范围是()A .(-∞,1]B .(-∞,1)C .(3,+∞)D .[3,+∞)例12.(2022·湖南怀化·一模)已知,a R ∈,且“x a >”是“22x x >”的充分不必要条件,则a 的取值范围是___________.例13.(2022·重庆·高三阶段练习)若不等式x a <的一个充分条件为20x -<<,则实数a 的取值范围是___________.例14.(2022·全国·高三专题练习(文))已知集合233|1,,224A y y x x x ⎧⎫⎡⎤==-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭,{}2|1B x x m =+≥.若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件,则实数m 的取值范围为________.例15.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x A ,关于x 的不等式2()(21)0x m x m --+≤的解集为B .(1)当m =2时,求()A B R ;(2)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件,求实数m 的取值范围.例16.(2022·天津·汉沽一中高三阶段练习)不等式5212xx ->+的解集是A ,关于x 的不等式22450x mx m --≤的解集是B .(1)若1m =,求A B ;(2)若A B B ⋃=,求实数m 的取值范围.(3)设:p 实数x 满足22430x ax a -+<,其中>0a ,命题:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩.若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.例17.(2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习(理))已知条件{}22:4410p A x x ax a =-+-≤∣,条件{}2:20q B xx x =--≤∣.U =R .(1)若1a =,求()U A B ⋂ .(2)若q 是p 的必要不充分条件,求a 的取值范围.【方法技巧与总结】1.集合中推出一定是小集合推大集合,注意包含关系.2.在充分必要条件求解参数取值范围时,要注意端点是否能取到问题,容易出错.题型三:全称量词命题与存在量词命题的真假例18.(2022·黑龙江齐齐哈尔·三模(理))已知01b a <<<,下列四个命题:①(0,)∀∈+∞x ,x x a b >,②(0,1)x ∀∈,log log a b x x >,③(0,1)x ∃∈,a b x x >,④(0,)x b ∃∈,log x a a x >.其中是真命题的有()A .①③B .②④C .①②D .③④例19.(2022·江西·二模(理))已知命题1p :存在00x >,使得0044+≤x x ,命题2p :对任意的x ∈R ,都有tan 2x =22tan 1tan xx-,命题3p :存在0x ∈R ,使得003sin 4cos 6+=x x ,其中正确命题的个数是()A .0B .1C .2D .3例20.(2022·河南·新乡县高中模拟预测(理))已知函数()f x 和()g x 的定义域均为[],a b ,记()f x 的最大值为1M ,()g x 的最大值为2M ,则使得“12M M >”成立的充要条件为()A .[]1,x a b ∀∈,[]2,x a b ∀∈,()()12f x g x >B .[]1,x a b ∀∈,[]2,x a b ∃∈,()()12f x g x >C .[]1,x a b ∃∈,[]2,x a b ∀∈,()()12f x g x >D .[],x a b ∀∈,()()f xg x >例21.(2022·浙江·高三专题练习)下列命题中,真命题为()A .存在0x R ∈,使得00x e ≤B .直线a b ⊥,a ⊂平面α,平面b αβ= ,则平面αβ⊥C .224sin (,)sin y x x k k Z xπ=+≠∈最小值为4D .1a >,1b >是1ab >成立的充分不必要条件(多选题)例22.(2022·全国·高三专题练习)下列命题中的真命题是()A .∀x ∈R ,2x -1>0B .∀x ∈N *,(x -1)2>0C .∃x ∈R ,lg x <1D .∃x ∈R ,tan x =2例23.(2022·全国·高三专题练习)下列命题中正确的是_____(写出正确命题的序号)(1)[]0,x a b ∃∈,使()()00f x g x >,只需()()max min f x g x >;(2)[],x a b ∀∈,()()f x g x >恒成立,只需()()min 0f x g x ->⎡⎤⎣⎦;(3)[]1,x a b ∀∈,[]2,x c d ∈,()()12f x g x >成立,只需()()min max f x g x >;(4)[]1,x a b ∃∈,[]2,x c d ∈,()()12f x g x >,只需()()min min f x g x >.【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思,又要通过数学结论.2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单,注意细节即可.题型四:全称量词命题与存在量词命题的否定例24.(2022·四川成都·三模(理))命题“x ∀∈R ,e 20x +>”的否定是().A .0x ∃∈R ,0e 20x +≤B .x ∀∈R ,e 20x +≤C .0x ∃∈R ,0e 20x +>D .0x ∀∈R ,0e 20x +<例25.(2022·云南昆明·模拟预测(文))已知命题p :*N n ∀∈,22n n +≥,则p ⌝为()A .*N n ∀∉,22n n +<B .*N n ∀∈,22n n +<C .*0N n ∃∉,2002n n +<D .*0N n ∃∈,2002n n +<例26.(2022·江西赣州·二模(文))已知命题p :x ∀∈R ,sin cos x x +≥p ⌝为()A .x ∀∈R ,sin cos x x +<B .x ∃∉R ,sin cos x x +<C .x ∀∉R ,sin cos x x +<D .x ∃∈R ,sin cos x x +<例27.(2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测)命题“()00,x ∃∈+∞,00ln 1x x ≥-”的否定是()A .()00,x ∃∈+∞,00ln 1x x <-B .()00,x ∃∉+∞,00ln 1x x ≥-C .()0,x ∀∈+∞,ln 1x x <-D .()0,x ∀∉+∞,ln 1x x ≥-例28.(2022·山东潍坊·二模)十七世纪,数学家费马提出猜想:“对任意正整数2n >,关于x ,y ,z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”,经历三百多年,1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明,使它终成费马大定理,则费马大定理的否定为()A .对任意正整数n ,关于x ,y ,z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解B .对任意正整数2n >,关于x ,y ,z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解C .存在正整数2n ≤,关于x ,y ,z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解D .存在正整数2n >,关于x ,y ,z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解例29.(2022·全国·高三专题练习(文))已知命题p :存在一个无理数,它的平方是有理数,则p ⌝为()A .任意一个无理数,它的平方不是有理数B .存在一个无理数,它的平方不是有理数C .任意一个无理数,它的平方是有理数D .存在一个无理数,它的平方是无理数例30.(2022·山西晋中·模拟预测(理))命题p :0x ∀≥,222e 3x x -+≤,则¬p 为___________.【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换,结论变否定.1.全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否,而不是半否.题型五:根据命题的真假求参数的取值范围例31.(2022·山东青岛·一模)若命题“R x ∀∈,210ax +≥”为真命题,则实数a 的取值范围为()A .0a >B .0a ≥C .0a ≤D .1a ≤例32.(2022·浙江·高三专题练习)若命题“存在R x ∈,使220x x m ++≤”是假命题,则实数m 的取值范围是()A .(],1-∞B .(),1-∞C .()1,+∞D .[)1,+∞例33.(2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测)若命题“[]1,4x ∀∈时,2x m >”是假命题,则m 的取值范围()A .16m ≥B .m 1≥C .16m <D .1m <例34.(2022·黑龙江齐齐哈尔·二模(文))若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题,则实数x 的取值范围为()A .[]1,4-B .50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦ D .[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦例35.(2022·全国·高三专题练习)若“[,34x ππ∀∈-,tan x m ≥”是真命题,则实数m 的最大值为___________.例36.(2022·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数()h x 满足'2()()0h x h x +>且21(1)e h =,其中2x1()e h x >的解集为A .函数21()1x x f x x -+=-,()()1xg x a a =>,若1x A ∀∈,2x A ∃∈使得()()12f x g x =,则实数a 的取值范围是___________.例37.(2022·湖北·荆门市龙泉中学二模)若命题“0,,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦0tan x m >”是假命题,则实数m 的取值范围是__________.例38.(2022·全国·高三专题练习)若“[]01,1x ∃∈-,020x a +->”为假命题,则实数a 的最小值为______.例39.(2022·全国·高三专题练习)在①x ∃∈R ,2220x ax a ++-=,②a ∃∈R ,使得区间()2,4A =,(),3B a a =满足A B =∅ 这两个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.已知命题p :[]1,2x ∀∈,20x a -≥,命题q :______,p ,q 都是真命题,求实数a 的取值范围.例40.(2022·全国·高三专题练习)若f (x )=x 2-2x ,g (x )=ax +2(a >0),∀x 1∈[-1,2],∃x 0∈[-1,2],使g (x 1)=f (x 0),求实数a 的取值范围.【方法技巧与总结】1.在解决求参数的取值范围问题上,可以先令两个命题都为真命题,如果哪个是假命题,去求真命题的补级即可.2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难,要注重端点出点是否可以取到.【过关测试】一、单选题1.(2022·河北·模拟预测)已知2:10p x ax -+=无解,()2:()4q f x a x =-为增函数,则p 是q 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.(2022·北京房山·二模)已知,αβ是两个不同的平面,直线l α⊄,且αβ⊥,那么“//l α”是“l β⊥”的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3.(2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习)若1z ,2z 为复数,则“12z z -是纯虚数”是“1z ,2z 互为共轭复数”的()A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件4.(2022·全国·高三专题练习)命题“12x ∀≤≤,220x a -≤”是真命题的一个必要不充分条件是()A .1a ≥B .3a ≥C .2a ≥D .4a ≤5.(2022·全国·高三专题练习)已知下列四个命题:正确的是()1p :00x ∃>,使得00ln 1x x >-;2p :R x ∀∈,都有210x x -+>;3p :00x ∃>,使得001ln1x x >-+;4p :()0,x ∀∈+∞,使得121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭.A .2p ,4pB .1p ,4pC .2p ,3pD .1p ,3p 6.(2022·重庆南开中学模拟预测)命题“2x ∀≥,24x ≥”的否定为()A .02x ∃≥,204x <B .2x ∀≥,24x <C .02x ∃<,204x <D .2x ∀<,24x <7.(2022·江西景德镇·模拟预测(理))已知命题:函数32()(21)(0,0)f x x ax m a x m a m =++--->>,且关于x 的不等式|()|f x m <的解集恰为(0,1),则该命题成立的必要非充分条件为()A .m a ≥B .m a ≤C .2m a ≥D .2m a ≤8.(2022·全国·高三专题练习)定义{|,}A B x x A x B -=∈∉,设A 、B 、C 是某集合的三个子集,且满足()()A B B A C -⋃-⊆,则()()A C B B C ⊆-⋃-是A B C =∅ 的()A .充要条件B .充分非必要条件C .必要非充分条件D .既非充分也非必要条件二、多选题9.(2022·广东茂名·模拟预测)下列四个命题中为真命题的是()A .“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件B .设,A B 是两个集合,则“A B A = ”是“A B ⊆”的充要条件C .“0,0x x e ∀>>”的否定是“0,0x x e ∃≤≤”D .8名同学的数学竞赛成绩分别为:80,68,90,70,88,96,89,98,则该数学成绩的15%分位数为70(注:一般地,一组数据的第P 百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有%P 的数据小于或者等于这个值,且至少有()100%P -的数据大于或者等于这个值.)10.(2022·全国·高三专题练习)设0a >,0b >,且a b ,则“2a b +>”的一个必要条件可以是()A .332a b +>B .222a b +>C .1ab >D .112a b+>11.(2022·辽宁实验中学模拟预测)已知x ,y 均为正实数,则下列各式可成为“x y <”的充要条件是()A .11x y>B .sin sin x y x y ->-C .cos cos x y x y -<-D .22e e x y x y -<-12.(2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习)下列命题正确的是()A .“关于x 的不等式20mx x m ++>在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是14m >B .设,x y ∈R ,则“2x 且2y ”是“224x y + ”的必要不充分条件C .“1a >”是“11a<”的充分不必要条件D .命题“[]0,1,0x x a ∃∈+ ”是假命题的实数a 的取值范围为{0}aa >∣三、填空题13.(2022·河南·南阳中学高三阶段练习(文))若命题“20001,30x x ax a ∃>-++<”是假命题,则a 的取值范围是_______.14.(2022·浙江·高三学业考试)已知函数2()23=-+f x x x ,2()log g x x m =+,若对[]12,4x ∀∈,[]28,16x ∃∈,使得12()()f x g x ≥,则实数m 的取值范围为______.15.(2022·全国·模拟预测(理))已知函数()()2221f x x ax a a =-+-∈R ,则“方程()0f x =在区间(),0 -和()1,+∞上各有一个解”的一个充分不必要条件是a =______.(写出满足条件的一个值即可)16.(2022·全国·高三专题练习)已知():ln p f x x a x =-在[)2+∞,上单调递增,:q a m <.若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围为____________.四、解答题17.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()f x =的定义域为集合A ,函数()g x =B ,(1)当0a =时,求A B ;(2)设命题:p x A ∈,命题:q x B ∈,p q 是的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.18.(2022·全国·高三专题练习)已知集合11122x A x ⎧⎫-=-<⎨⎬⎩⎭,{}227100B x x ax a =-+<,a ∈R .(1)当0a >时,x A ∈是x B ∈的充分条件,求实数a 的取值范围;(2)若R B A ⊆ ,求实数a 的取值范围.19.(2022·全国·高三专题练习)已知p :22114x y m m+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆,q :2,10x R x mx ∃∈-+<,(1)若p 是真命题,求m 的取值范围;(2)若p ,q 都是真命题,求m 的取值范围.20.(2022·全国·高三专题练习)设:24p x ≤<,q :实数x 满足()222300x ax a a --<>.(1)若1a =,且,p q 都为真命题,求x 的取值范围;(2)若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.21.(2022·全国·高三专题练习)已知集合{}2,1x A y y x ==≤,{}21,R B x a x a a =+≤≤-∈.求:(1)若A B =∅ ,求实数a 的取值范围.(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围22.(2022·全国·高三专题练习)已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增,函数()2g x x k =-.(1)求m 的值;(2)当[1,2)x ∈时,记(),()f x g x 的值域分别为集合A ,B ,设:,:p x A q x B ∈∈,若p 是q 成立的必要条件,求实数k 的取值范围.(3)设2()()1F x f x kx k =-+-,且|()|F x 在[0,1]上单调递增,求实数k 的取值范围.。

高中数学-集合与常用逻辑用语

高中数学-集合与常用逻辑用语

q⇒p
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/ p
p是q的必要不充分条件 p⇒/ q且q⇒p
p是q的既不充分也不必要 p⇒/ q且q⇒/ p 条件
集合法: A={x|p(x)}, B={x|q(x)} A⊆B A⊇B A=B A⫋B A⫌B A⊈B且A⊉B
考点二 全称量词与存在量词
3.含有量词的命题的否定 含有量词的命题的否定必须否定命题所含的量词,对于隐含量词的命题要结 合命题的含义显现量 词,再进行否定.
题型方法
充分条件与必要条件的判断及应用
1.充分、必要条件的判断方法
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p是否成立进行判断. (2)集合法:根据p,q成立与对应的集合间的关系进行判断.
x 1
是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 [0,1/2]
.
1.全称量词与存在量词
名称 全称量词
存在量词
常见量词
符号
所有、一切、任意、全部、 ∀ 每 一个等存在来自个、至少一个、有些 ∃ 、 某些等
2.全称量词命题与存在量词命题
全称量词命题一般形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,符号表示:∀x∈M,p(x). 存在量词命题一般形式:存在M中一个x,使p(x)成立,符号表示:∃x∈M,p(x).
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2019北京文,6,5分)设函数f(x)=cos x+bsin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶
函数”的 ( C )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(3)(2020山东省实验中学期中)设命题p: 2x 1 <0,命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p

高中数学知识点总结(第一章 集合与常用逻辑用语)

高中数学知识点总结(第一章 集合与常用逻辑用语)

第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1.集合的有关概念(1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性.元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中. (2)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (3)元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图:N *或N +表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.2.集合间的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ⊆B (或B ⊇A ).(2)真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ,A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等:如果A ⊆B ,并且B ⊆A ,则A =B .两集合相等:A =B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ,A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性.(4)空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作∅.∅∈{∅},∅⊆{∅},0∉∅,0∉{∅},0∈{0},∅⊆{0}.3.集合间的基本运算(1)交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.(2)并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.(3)补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁U A,即∁U A={x|x∈U,且x∉A}.求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”,集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素,剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质:A⊆A,∅⊆A,A∩B⊆A,A∩B⊆B.(2)交集的性质:A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.(3)并集的性质:A∪B=B∪A,A∪B⊇A,A∪B⊇B,A∪A=A,A∪∅=∅∪A=A.(4)补集的性质:A∪∁U A=U,A∩∁U A=∅,∁U(∁U A)=A,∁A A=∅,∁A∅=A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集,其中有2n-1个真子集,2n-1个非空子集.(6)等价关系:A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1.命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题,要么是假命题,不能模棱两可.2.四种命题及其相互关系3.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件;①A是B的充分不必要条件是指:A⇒B且B A;②A的充分不必要条件是B是指:B⇒A且A B,在解题中要弄清它们的区别,以免出现错误.(2)如果q⇒p,则p是q的必要条件;(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件.充要关系与集合的子集之间的关系设A={x|p(x)},B={x|q(x)},①若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.②若A B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.③若A=B,则p是q的充要条件.二、常用结论1.四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题,否命题等价于逆命题,所以在命题不易证明时,往往找等价命题进行证明.2.等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件,等价于非q是非p的充分不必要条件.其他情况以此类推.第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词.①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p且q”,记作p∧q;②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p或q”,记作p∨q;③对命题p的结论进行否定,得到复合命题“非p”,记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足,“且”在集合中的解释为“交集”;“或”的数学含义是至少满足一个条件,“或”在集合中的解释为“并集”;“非”的含义是否定,“非p”只否定p的结论,“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论,而否命题既否定其条件,也否定其结论.(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的,即一真一假,而否命题与原命题的真假无必然联系.(2)命题真值表:命题真假的判断口诀p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与非p→真假相反.2.全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4.全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假.(2)p∨q假⇔p,q均假⇔(非p)∧(非q)真.(3)p∧q真⇔p,q均真⇔(非p)∨(非q)假.(4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真.。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语题型总结及解题方法

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语题型总结及解题方法

(每日一练)高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语题型总结及解题方法单选题1、已知集合A={−1,1,2,4},B={x||x−1|≤1},则A∩B=()A.{−1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{−1,4}答案:B分析:方法一:求出集合B后可求A∩B.[方法一]:直接法因为B={x|0≤x≤2},故A∩B={1,2},故选:B.[方法二]:【最优解】代入排除法x=−1代入集合B={x||x−1|≤1},可得2≤1,不满足,排除A、D;x=4代入集合B={x||x−1|≤1},可得3≤1,不满足,排除C.故选:B.【整体点评】方法一:直接解不等式,利用交集运算求出,是通性通法;方法二:根据选择题特征,利用特殊值代入验证,是该题的最优解.2、已知集合A={x|−1<x<1},B={x|0≤x≤2},则A∪B=()A.{x|−1<x<2}B.{x|−1<x≤2}C.{x|0≤x<1}D.{x|0≤x≤2}答案:B分析:结合题意利用并集的定义计算即可.由题意可得:A∪B={x|−1<x≤2}.故选:B.3、已知p:0<x<2,q:−1<x<3,则p是q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件答案:A分析:根据充分和必要条件的定义即可求解.由p:0<x<2,可得出q:−1<x<3,由q:−1<x<3,得不出p:0<x<2,所以p是q的充分而不必要条件,故选:A.4、已知U=R,M={x|x≤2},N={x|−1≤x≤1},则M∩∁U N=()A.{x|x<−1或1<x≤2}B.{x|1<x≤2}C.{x|x≤−1或1≤x≤2}D.{x|1≤x≤2}答案:A分析:先求∁U N,再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1},所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选:A.5、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b,a∈P,b∈P},若M⊆P,则M中的运算“⊕”是()A.加法B.除法C.乘法D.减法答案:C分析:用特殊值,根据四则运算检验.若a=3,b=1,则a+b=4∉P,a−b=2∉P,ba =13∉P,因此排除ABD.故选:C.6、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z},则A的子集个数为()A.3B.4C.7D.8答案:D分析:先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解:A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1},则A的子集个数为23=8个,故选:D.7、设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3},集合A={−1,0,1,2},B={−3,0,2,3},则A∩(∁U B)=()A.{−3,3}B.{0,2}C.{−1,1}D.{−3,−2,−1,1,3}答案:C分析:首先进行补集运算,然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知:∁U B={−2,−1,1},则A∩(∁U B)={−1,1}.故选:C.小提示:本题主要考查补集运算,交集运算,属于基础题.8、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z},N={x|x=n2−13,n∈Z},P={x|x=p2+16,p∈Z},则集合M,N,P的关系为()A.M=N=P B.M⊆N=PC.M⊆N⊈P D.M⊆N,N∩P=∅答案:B分析:对集合M,N,P中的元素通项进行通分,注意3n-2与3p+1都是表示同一类数,6m-5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集,即可得到结果.对于集合M={x|x=m-56,m∈Z},x=m-56=6m-56=6(m-1)+16,对于集合N={x|x=n2-13,n∈Z},x=n2-13=3n-26=3(n-1)+16,对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z},x=p2+16=3p+16,由于集合M,N,P中元素的分母一样,只需要比较其分子即可,且m,n,p∈Z,注意到3(n-1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1,6(m-1)+1表示的数是6的倍数加1,所以6(m-1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集,所以M∈N=P.故选:B.9、集合A={x|x<−1或x≥3},B={x|ax+1≤0}若B⊆A,则实数a的取值范围是()A.[−13,1)B.[−13,1]C.(−∞,−1)∪[0,+∞)D.[−13,0)∪(0,1)答案:A分析:根据B⊆A,分B=∅和B≠∅两种情况讨论,建立不等关系即可求实数a的取值范围.解:∵B⊆A,∴①当B=∅时,即ax+1⩽0无解,此时a=0,满足题意.②当B≠∅时,即ax+1⩽0有解,当a>0时,可得x⩽−1a,要使B⊆A,则需要{a>0−1a<−1,解得0<a<1.当a<0时,可得x⩾−1a,要使B⊆A,则需要{a<0−1a⩾3,解得−13⩽a<0,综上,实数a的取值范围是[−13,1).故选:A.小提示:易错点点睛:研究集合间的关系,不要忽略讨论集合是否为∅.10、某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%答案:C分析:记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游泳”为事件B,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B,然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+ P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游泳”为事件B,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B,则P(A)=0.6,P(B)=0.82,P(A+B)=0.96,所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选:C.小提示:本题考查了积事件的概率公式,属于基础题.多选题11、对任意A,B⊆R,记A⊕B={x|x∈A∪B,x∉A∩B},并称A⊕B为集合A,B的对称差.例如,若A={1,2,3},B={2,3,4},则A⊕B={1,4},下列命题中,为真命题的是()A.若A,B⊆R且A⊕B=B,则A=∅B.若A,B⊆R且A⊕B=∅,则A=BC.若A,B⊆R且A⊕B⊆A,则A⊆BD.存在A,B⊆R,使得A⊕B=∁R A⊕∁R BE.存在A,B⊆R,使得A⊕B≠B⊕A答案:ABD解析:根据新定义判断.根据定义A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)],A.若A⊕B=B,则∁R A∩B=B,A∩∁R B=∅,∁R A∩B=B⇒B⊆∁R A,A∩∁R B=∅⇒A⊆B,∴A=∅,A正确;B.若A⊕B=∅,则∁R A∩B=∅,A∩∁R B=∅,A∩B=A=B,B正确;C. 若A⊕B⊆A,则∁R A∩B=∅,A∩∁R B⊆A,则B⊆A,C错;D.A=B时,A⊕B=∅,(∁R A)⊕(∁R B)=∅=A⊕B,D正确;E.由定义,A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]=B⊕A,E错.故选:ABD.小提示:本题考查新定义,解题关键是新定义的理解,把新定义转化为集合的交并补运算.12、(多选)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的是()<0B.所有的正方形都是矩形A.∃x∈R,x2−x+14C.∃x∈R,x2+2x+2=0D.至少有一个实数x,使x3+1=0答案:AC分析:AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题,所以该选项符合题意;B. 原命题为全称量词命题,其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意;D. 原命题的否定不是真命题,所以该选项不符合题意.A.原命题的否定为:∀x∈R,x2−x+14≥0,是全称量词命题;因为x2−x+14=(x−12)2≥0,所以原命题的否定为真命题,所以该选项符合题意;B. 原命题为全称量词命题,其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意;C. 原命题为存在量词命题,所以其否定为全称量词命题,对于方程x2+2x+2=0,Δ=22−8=−4<0,所以x2+2x+2>0,所以原命题为假命题,即其否定为真命题,所以该选项符合题意;.D. 原命题的否定为:对于任意实数x,都有x3+1≠0,如x=−1时,x3+1=0,所以原命题的否定不是真命题,所以该选项不符合题意.故选:AC13、(多选题)下列各组中M,P表示不同集合的是()A.M={3,-1},P={(3,-1)}B.M={(3,1)},P={(1,3)}C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R}D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}答案:ABD分析:选项A中,M和P的代表元素不同,是不同的集合;选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M≠P;选项C中,解出集合M和P.选项D中,M和P的代表元素不同,是不同的集合.选项A中,M是由3,-1两个元素构成的集合,而集合P是由点(3,-1)构成的集合;选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M≠P;选项C中,M={y|y=x2+1,x∈R}=[1,+∞),P={x|x=t2+1,t∈R}=[1,+∞),故M=P;选项D中,M是二次函数y=x2-1,x∈R的所有因变量组成的集合,而集合P是二次函数y=x2-1,x∈R图象上所有点组成的集合.故选ABD.14、某校举办运动会,高一的两个班共有120名同学,已知参加跑步、拔河、篮球比赛的人数分别为58,38,52,同时参加跑步和拔河比赛的人数为18,同时参加拔河和篮球比赛的人数为16,同时参加跑步、拔河、篮球三项比赛的人数为12,三项比赛都不参加的人数为20,则()A.同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B.只参加跑步比赛的人数为26C.只参加拔河比赛的人数为16D.只参加篮球比赛的人数为22答案:BCD分析:设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x,由Venn图可得集合的元素个数关系.设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x,由Venn图可得,58+38+52−18−16−x+12=120−20,得x= 26,则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26,只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12=16,只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选:BCD.15、已知集合A={x|ax=1},B={0,1,2},若A⊆B,则实数a可以为()A.12B.1C.0D.以上选项都不对答案:ABC解析:由子集定义得A=∅或A={1}或A={2},从而1a 不存在,1a=1,1a=2,由此能求出实数a.解:∵集合A={x|ax=1},B={0,1,2},A⊆B,∴A=∅或A={1}或A={2},∴1 a 不存在,1a=1,1a=2,解得a=1,或a=1,或a=12.故选:ABC.小提示:本题主要考查集合的包含关系,属于基础题.16、已知全集为U,A,B是U的非空子集且A⊆∁U B,则下列关系一定正确的是()A.∃x∈U,x∉A且x∈B B.∀x∈A,x∉BC.∀x∈U,x∈A或x∈B D.∃x∈U,x∈A且x∈B答案:AB分析:根据给定条件画出韦恩图,再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.全集为U,A,B是U的非空子集且A⊆∁U B,则A,B,U的关系用韦恩图表示如图,观察图形知,∃x∈U,x∉A且x∈B,A正确;因A∩B=∅,必有∀x∈A,x∉B,B正确;若A∁U B,则(∁U A)∩(∁U B)≠∅,此时∃x∈U,x∈[(∁U A)∩(∁U B)],即x∉A且x∉B,C不正确;因A∩B=∅,则不存在x∈U满足x∈A且x∈B,D不正确.故选:AB17、下列各题中,p是q的充要条件的有()A.p:四边形是正方形;q:四边形的对角线互相垂直且平分B.p:两个三角形相似;q:两个三角形三边成比例C.p:xy>0;q:x>0,y>0D.p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根;q:a+b+c=0(a≠0)答案:BD分析:根据充要条件的定义对各选项逐一进行分析讨论并判定作答.对于A,四边形是正方形则四边形的对角线互相垂直且平分成立,但四边形的对角线互相垂直且平分四边形可能是菱形,即p不是q的充要条件,A不是;对于B,两个三角形相似与两个三角形三边成比例能互相推出,即p是q的充要条件,B是;对于C,xy>0不能推出x>0,y>0,可能x<0,y<0,即p不是q的充要条件,C不是;对于D,x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,可得a+b+c=0,反之,当a +b +c =0时,把c =-a -b 代入方程ax 2+bx +c =0得ax 2+bx -a -b =0,即(ax +a +b )(x -1)=0,显然x =1是方程的一个根,即p 是q 的充要条件,D 是.故选:BD18、已知集合A ={x ∣1<x <2},B ={x ∣2a −3<x <a −2},下列命题正确的是A .不存在实数a 使得A =B B .存在实数a 使得A ⊆BC .当a =4时,A ⊆BD .当0⩽a ⩽4时,B ⊆AE .存在实数a 使得B ⊆A答案:AE分析:利用集合相等判断A 选项错误,由A ⊆B 建立不等式组,根据是否有解判断B 选项;a =4时求出B ,判断是否A ⊆B 可得C 错误,分B 为空集,非空集两种情况讨论可判断D 选项,由D 选项判断过程可知E 选项正确.A 选项由相等集合的概念可得{2a −3=1a −2=2 解得a =2且a =4,得此方程组无解, 故不存在实数a 使得集合A=B ,因此A 正确;B 选项由A ⊆B ,得{2a −3≤1a −2≥2 即{a ≤2a ≥4,此不等式组无解,因此B 错误; C 选项当a =4时,得B ={x ∣5<x <2}为空集,不满足A ⊆B ,因此C 错误;D 选项当2a −3≥a −2,即a ≥1时,B =∅⊆A ,符合B ⊆A ;当a <1时,要使B ⊆A ,需满足{2a −3≥1a −2≤2解得2≤a ≤4,不满足a <1,故这样的实数a 不存在,则当0≤a ≤4时B ⊆A 不正确,因此D 错误; E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B ⊆A ,因此E 正确.综上AE 选项正确.故选:AE.小提示:本题主要考查了集合相等,子集的概念,考查了推理运算能力,属于中档题.19、命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥1B.a≥4C.a≥−2D.a=4答案:BD分析:求出给定命题为真命题的a的取值集合,再确定A,B,C,D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解.命题“∃x∈[1,2],x2≤a"等价于a≥1,即命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题所对集合为[1,+∞),所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于[1,+∞),显然只有[4,+∞)[1,+∞),{4}[1,+∞),所以选项AC不符合要求,选项BD正确.故选:BD20、中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:“今有物,不知其数,三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二问:物几何?”现有如下表示:已知A={x|x=3n+2,n∈N+},B={x|x=5n+3,n∈N+},C={x|x=7n+2,n∈N+},若x∈A∩B∩C,则下列选项中符合题意的整数x为()A.8B.128C.37D.23答案:BD分析:根据给定条件对各选项逐一分析计算即可判断作答.对于A,因8=7×1+1,则8∉C,选项A错误;对于B,128=3×42+2,即128∈A;又128=5×25+3,即128∈B;而128=7×18+2,即128∈C,因此,128∈A∩B∩C,选项B正确;对于C,因37=3×12+1,则37∉A,选项C错误;对于D,23=3×7+2,即23∈A;又23=5×4+3,即23∈B;而23=7×3+2,即23∈C,因此,23∈A∩B∩C,选项D正确.故选:BD填空题21、若∀x∈R,2x2−mx+3≥0恒成立,则实数m的取值范围为________.答案:[−2√6,2√6].分析:根据命题∀x∈R,2x2−mx+3≥0恒成立,结合二次函数的图象与性质,即可求解. 由题意,命题∀x∈R,2x2−mx+3≥0恒成立,可得Δ=m2−24≤0,解得−2√6≤m≤2√6,即实数m的取值范围为[−2√6,2√6].所以答案是:[−2√6,2√6].22、已知集合A=(1,3),B=(2,+∞),则A∩B=______.答案:(2,3)分析:利用交集定义直接求解.解:∵集合A=(1,3),B=(2,+∞),∴A∩B=(2,3).所以答案是:(2,3).23、集合A={x|(x−1)(x2+ax+4)=0,x∈R}中所有元素之和为3,则实数a=________.答案:−4分析:由(x−1)(x2+ax+4)=0得x1+x2+x3=1−a,即可求解参数.由(x−1)(x2+ax+4)=0得x−1=0或x2+ax+4=0所以x1=1∈A,x2+ax+4=0,当Δ=a2−16=0时,x=2是方程x2+ax+4=0的根,解得a=−4,当Δ>0时,若方程x2+ax+4=0的一根为1,则a=−5,方程的另一根为4,不合题意;若1不是方程x2+ax+4=0的根,则方程两根x2+x3=−a=2,此时a=−2不满足Δ>0,舍去. 所以答案是:−4.。

高中数学集合解题技巧

高中数学集合解题技巧

高中数学集合解题技巧数学集合是高中数学中的一个重要概念,涉及到许多解题技巧。

本文将通过具体的题目举例,分析和说明数学集合解题的技巧,帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。

一、集合的基本概念在解题过程中,首先需要掌握集合的基本概念。

集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。

常用的表示集合的方法有列举法和描述法。

例如,考虑以下题目:已知集合A={1, 2, 3, 4},集合B={3, 4, 5, 6},求A∪B和A∩B。

解题思路:A∪B表示A和B的并集,即包含A和B中所有元素的集合。

根据题目给出的集合A和B,我们可以将它们的元素列举出来,然后去除重复的元素,得到A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}。

A∩B表示A和B的交集,即同时属于A和B的元素组成的集合。

根据题目给出的集合A和B,我们可以找出它们共有的元素,即A∩B={3, 4}。

通过这个例子,我们可以看到集合的基本概念在解题过程中起到了关键的作用。

二、集合的运算在解题过程中,还需要掌握集合的运算方法。

常见的集合运算有并集、交集、差集和补集。

例如,考虑以下题目:已知集合A={1, 2, 3, 4},集合B={3, 4, 5, 6},求A-B和B-A。

解题思路:A-B表示A和B的差集,即属于A但不属于B的元素组成的集合。

根据题目给出的集合A和B,我们可以找出A中不属于B的元素,即A-B={1, 2}。

B-A表示B和A的差集,即属于B但不属于A的元素组成的集合。

根据题目给出的集合A和B,我们可以找出B中不属于A的元素,即B-A={5, 6}。

通过这个例子,我们可以看到集合的运算在解题过程中能够帮助我们找出符合条件的元素。

三、集合的关系在解题过程中,还需要掌握集合的关系。

常见的集合关系有包含关系、相等关系和不相交关系。

例如,考虑以下题目:已知集合A={1, 2, 3, 4},集合B={3, 4, 5, 6},判断A是否包含B。

解题思路:A包含B表示B的所有元素都属于A。

高中数学常考题型答题技巧与方法超全整合版

高中数学常考题型答题技巧与方法超全整合版

高中数学常考题型答题技巧与方法超全整合版高中数学常考题型答题技巧与方法1、解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题,基本思路是:把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。

具体转化方法有:①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段讨论法:适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法:适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法:适用于有明显几何意义的情况。

2、因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。

因式分解的一般步骤是:提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法3、配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法,它是数学中的重要方法和技巧。

配方法的主要根据有:4、换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。

换元法解方程的一般步骤是:设元→换元→解元→还元5、待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。

适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。

其解题步骤是:①设②列③解④写6、复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧:左边化零,右边变形。

①因式分解型:(-----)(----)=0两种情况为或型②配成平方型:(----)2+(----)2=0两种情况为且型7、数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组8、化简二次根式基本思路是:把√m化成完全平方式。

即:9、观察法10、代数式求值方法有:(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法(和积代入法)注意:当求值的代数式是字母的“对称式”时,通常可以化为字母“和与积”的形式,从而用“和积代入法”求值。

11、解含参方程方程中除过未知数以外,含有的其它字母叫参数,这种方程叫含参方程。

解含参方程一般要用‘分类讨论法’,其原则是:(1)按照类型求解(2)根据需要讨论(3)分类写出结论12、恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。

高中数学知识点集 合与逻辑用语知识点

高中数学知识点集 合与逻辑用语知识点

高中数学知识点集合与逻辑用语知识点高中数学知识点:集合与逻辑用语知识点在高中数学的学习中,集合与逻辑用语是非常基础且重要的部分。

它们不仅是数学知识体系的基石,也为后续更复杂的数学内容的学习提供了必要的工具和思维方式。

一、集合(一)集合的概念集合是把一些确定的、不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。

构成集合的每个对象叫做集合的元素。

比如,一个班级里的所有同学就可以构成一个集合,每个同学就是这个集合的元素。

(二)集合的表示方法1、列举法把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法。

例如,由 1,2,3 这三个数字组成的集合,可以表示为{1,2,3}。

2、描述法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

例如,所有大于 2 的实数组成的集合,可以表示为{x | x > 2,x∈R}。

(三)集合间的关系1、子集如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,就说集合 A是集合 B 的子集,记作 A⊆B。

比如集合 A ={1,2},集合 B ={1,2,3},那么 A 就是 B 的子集。

2、真子集如果集合 A 是集合 B 的子集,并且 B 中至少有一个元素不属于 A,就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A⊂B。

比如集合 A ={1,2},集合 B ={1,2,3},A 就是 B 的真子集。

3、相等如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同,就说集合 A 和集合 B 相等,记作 A = B。

(四)集合的运算1、交集由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫做集合 A与集合 B 的交集,记作A∩B。

例如,集合 A ={1,2,3},集合 B={2,3,4},那么A∩B ={2,3}。

2、并集由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,叫做集合 A 与集合 B 的并集,记作 A∪B。

例如,集合 A ={1,2,3},集合 B ={2,3,4},那么 A∪B ={1,2,3,4}。

高中数学集合题解题方法

高中数学集合题解题方法

高中数学集合题解题方法在高中数学中,集合是一个重要的概念,也是解题的基础。

掌握集合的性质和运算法则,对于解决各种数学问题至关重要。

本文将介绍高中数学集合题的解题方法,并通过具体的例题进行说明,帮助读者更好地理解和掌握。

一、集合的基本概念在解集合题之前,我们首先需要了解集合的基本概念。

集合是由一些确定的元素组成的整体,元素可以是数字、字母、符号等。

常用的表示集合的方法有列举法和描述法。

例如,集合A={1,2,3,4}可以用列举法表示,集合B={x|x是自然数,0<x<5}可以用描述法表示。

二、集合的运算法则在解集合题时,我们经常需要用到集合的运算法则,包括并集、交集、差集和补集。

并集表示两个集合中所有元素的总和,交集表示两个集合中共有的元素,差集表示一个集合中有而另一个集合中没有的元素,补集表示一个集合中不属于另一个集合的元素。

下面通过一个例题来说明集合的运算法则的应用:例题:已知集合A={1,2,3,4,5},集合B={3,4,5,6,7},求集合A和集合B的并集、交集、差集和补集。

解析:首先,我们可以通过列举法将集合A和集合B的元素写出来:集合A={1,2,3,4,5}集合B={3,4,5,6,7}并集:A∪B={1,2,3,4,5,6,7}交集:A∩B={3,4,5}差集:A-B={1,2}补集:A'={6,7}通过这个例题,我们可以看到集合的运算法则在解题过程中起到了关键的作用。

掌握这些运算法则,可以帮助我们更好地理解和解决集合题。

三、集合题的考点和解题技巧在高中数学中,集合题的考点主要包括集合的运算法则、集合的性质和集合的应用等方面。

在解集合题时,我们可以根据题目的要求,灵活运用这些知识点,采取不同的解题方法。

下面通过一个例题来说明集合题的考点和解题技巧的应用:例题:已知集合A={1,2,3,4,5},集合B={3,4,5,6,7},求满足条件A∩B的元素个数大于3的集合。

部编版高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语解题技巧总结

部编版高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语解题技巧总结

(名师选题)部编版高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语解题技巧总结单选题1、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.6答案:C分析:采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意,A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8,且x,y∈N∗,由x+y=8≥2x,得x≤4,所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),故A∩B中元素的个数为4.故选:C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算,考查学生对交集定义的理解,是一道容易题.2、已知集合M={x∣x2+x=0},则()A.{0}∈M B.∅∈M C.−1∉M D.−1∈M答案:D分析:先求得集合M,再根据元素与集合的关系,集合与集合的关系可得选项.因为集合M={x∣x2+x=0}={0,−1},所以−1∈M,故选:D.3、某班45名学生参加“3·12”植树节活动,每位学生都参加除草、植树两项劳动.依据劳动表现,评定为“优秀”、“合格”2个等级,结果如下表:A.5B.10C.15D.20分析:用集合A表示除草优秀的学生,B表示植树优秀的学生,全班学生用全集U表示,则∁U A表示除草合格的学生,则∁U B表示植树合格的学生,作出Venn图,易得它们的关系,从而得出结论.用集合A表示除草优秀的学生,B表示植树优秀的学生,全班学生用全集U表示,则∁U A表示除草合格的学生,则∁U B表示植树合格的学生,作出Venn图,如图,设两个项目都优秀的人数为x,两个项目都是合格的人数为y,由图可得20−x+x+30−x+y=45,x=y+5,因为y max=10,所以x max=10+5=15.故选:C.小提示:关键点点睛:本题考查集合的应用,解题关键是用集合A,B表示优秀学生,全体学生用全集表示,用Venn图表示集合的关系后,易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系,从而得出最大值.4、设集合A={2,a2−a+2,1−a},若4∈A,则a的值为().A.−1,2B.−3C.−1,−3,2D.−3,2答案:D分析:由集合中元素确定性得到:a=−1,a=2或a=−3,通过检验,排除掉a=−1.由集合中元素的确定性知a2−a+2=4或1−a=4.当a2−a+2=4时,a=−1或a=2;当1−a=4时,a=−3.当a=−1时,A={2,4,2}不满足集合中元素的互异性,故a=−1舍去;当a=2时,A={2,4,−1}满足集合中元素的互异性,故a=2满足要求;当a=−3时,A={2,14,4}满足集合中元素的互异性,故a=−3满足要求.综上,a=2或a=−3.5、已知a、b、c、d∈R,则“max{a,b}+max{c,d}>0”是“max{a+c,b+d}>0”的()注:max{p,q}表示p、q之间的较大者.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:B分析:利用特殊值法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.充分性:取a=d=1,b=c=−1,则max{a,b}+max{c,d}=max{1,−1}+max{−1,1}=1+1>0成立,但max{a+c,b+d}=max{0,0}=0,充分性不成立;必要性:设max{a+c,b+d}=a+c,则max{a,b}≥a,max{c,d}≥c,从而可得max{a,b}+max{c,d}≥a+c>0,必要性成立.因此,“max{a,b}+max{c,d}>0”是“max{a+c,b+d}>0”的必要不充分条件.故选:B.小提示:方法点睛:判断充分条件和必要条件,一般有以下几种方法:(1)定义法;(2)集合法;(3)转化法.6、命题“∃x>1,x2≥1”的否定是()A.∃x≤1,x2≥1B.∃x≤1,x2<1C.∀x≤1,x2≥1D.∀x>1,x2<1答案:D分析:根据含有一个量词的命题的否定,可直接得出结果.命题“∃x>1,x2≥1”的否定是“∀x>1,x2<1”,故选:D.7、已知集合S={x∈N|x≤√5},T={x∈R|x2=a2},且S∩T={1},则S∪T=()A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}答案:C分析:先根据题意求出集合T,然后根据并集的概念即可求出结果.S={x∈N|x≤√5}={0,1,2},而S∩T={1},所以1∈T,则a2=1,所以T={x∈R|x2=a2}={−1,1},则S∪T={−1,0,1,2}故选:C.8、已知p:√x−1>2,q:m−x<0,若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是()A.m<3B.m>3C.m<5D.m>5答案:C分析:先求得命题p、q中x的范围,根据p是q的充分不必要条件,即可得答案.命题p:因为√x−1>2,所以x−1>4,解得x>5,命题q:x>m,因为p是q的充分不必要条件,所以m<5.故选:C多选题9、设M、N是两个非空集合,定义M⊗N={(a,b)|a∈M,b∈N}.若P={0,1,2},Q={﹣1,1,2},则P⊗Q 中元素的个数不可能是()A.9B.8C.7D.6答案:BCD分析:根据定义,直接写出P⊗Q中元素的个数.解:因为P={0,1,2},Q={﹣1,1,2},所以a有3种选法,b有3种取法,可得P⊗Q中元素为(0,−1),(0,1),(0,2),(1,−1),(1,1),(1,2),(2,−1),(2,1),(2,2).所以P⊗Q中元素的个数是9(个).故选:BCD.10、若“∃x0∈(0,2),使得2x02−λx0+1<0成立”是假命题,则实数λ可能的值是()A.1B.2√2C.3D.3√2答案:AB解析:由题意可知,命题“∀x∈(0,2),2x2−λx+1≥0成立”,利用参变量分离法结合基本不等式可求得λ的取值范围,由此可得结果.由题意可知,命题“∀x∈(0,2),2x2−λx+1≥0成立”,所以,λx≤2x2+1,可得λ≤2x+1x,当x∈(0,2)时,由基本不等式可得2x+1x ≥2√2x⋅1x=2√2,当且仅当x=√22时,等号成立,所以,λ≤2√2.故选:AB.小提示:名师点评利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解:(1)∀x∈D,m≤f(x)⇔m≤f(x)min;(2)∀x∈D,m≥f(x)⇔m≥f(x)max;(3)∃x∈D,m≤f(x)⇔m≤f(x)max;(4)∃x∈D,m≥f(x)⇔m≥f(x)min.11、如图所示,阴影部分表示的集合是()A.(∁U B)∩A B.(∁U A)∩BC.∁U(A∩B)D.A∩∁U(A∩B)答案:AD分析:由图可得,阴影部分表示的集合包含于A,且包含于B的补集,从而得解.由图可知,阴影部分表示的集合包含于A,且包含于B的补集,且包含于∁U(A∩B),∴阴影部分表示的集合为:(∁U B)∩A或A∩∁U(A∩B),故选:AD.填空题12、已知[x]表示不超过x的最大整数.例如[2.1]=2,[−1.3]=−2,[0]=0,若A={y∣y=x−[x]},B= {y∣0≤y≤m},y∈A是y∈B的充分不必要条件,则m的取值范围是______.答案:[1,+∞)分析:由题可得A={y∣y=x−[x]}=[0,1),然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求. ∵[x]表示不超过x的最大整数,∴[x]≤x,0≤x−[x]<1,即A={y∣y=x−[x]}=[0,1),又y∈A是y∈B的充分不必要条件,B={y∣0≤y≤m},∴A⊊B,故m≥1,即m的取值范围是[1,+∞).所以答案是:[1,+∞).13、用符号“∈”或“∉”填空:(1)设集合B是小于√11的所有实数的集合,则2√3______B,1+√2______B;(2)设集合D是由满足方程y=x2的有序实数对(x,y)组成的集合,则-1______D,(−1,1)______D.答案:∉∈∉∈分析:(1)先判断2√3,1+√2与√11的大小关系,再根据元素与集合的关系求解,(2)集合D是点集,可知−1不在此集合中,再将(−1,1)代入函数解析式中验证即可.(1)∵2√3=√12>√11,∴2√3∉B.∵1+√2<3<√11,∴1+√2∈B.(2)∵集合D中的元素是有序实数对(x,y),而-1不是有序实数对,∴−1∉D.∵(−1)2=1,∴(−1,1)是满足方程y=x2的有序实数对,∴(−1,1)∈D.所以答案是:∉,∈,∉,∈.。

高中数学专题复习-集合与常用逻辑用语

高中数学专题复习-集合与常用逻辑用语

第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节集__合1.集合的相关概念(1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. (2)元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为∉. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. (4)五个特定的集合:集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *或N +ZQR2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A 的元素都是集合B 的元素x ∈A ⇒x ∈B A ⊆B 或B ⊇A真子集集合A 是集合B 的子集,且集合B 中至少有一个元素不属于AA ⊆B ,且存在x 0∈B ,x 0∉AA B 或B A相等 集合A ,B 的元素完全相同 A ⊆B ,B ⊆A A =B 空集不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集任意的x ,x ∉∅,∅⊆A∅3.集合的基本运算表示 运算 文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ,且x ∈B }A ∩B并集属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ,或x ∈B }A ∪B补集全集U 中不属于集合A 的元{x |x ∈U ,且x ∉A }∁U A素组成的集合4.集合问题中的几个基本结论 (1)集合A 是其本身的子集,即A ⊆A ; (2)子集关系的传递性,即A ⊆B ,B ⊆C ⇒A ⊆C ; (3)A ∪A =A ∩A =A ,A ∪∅=A ,A ∩∅=∅,∁U U =∅,∁U ∅=U . (4)A ∩B =A ⇒A ⊆B ,A ∪B =B ⇒A ⊆B . [小题体验]1.已知集合A ={1,2},B ={x |0<x <5,x ∈N },则满足A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4答案:D2.已知集合A ={1,2,3},B ={2,4,5},则集合A ∪B 中元素的个数为________. 答案:53.(江苏高考)已知集合A ={0,1,2,8},B ={-1,1,6,8},那么A ∩B =________. 解析:A ∩B ={0,1,2,8}∩{-1,1,6,8}={1,8}. 答案:{1,8}1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件. 2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 3.易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身. 4.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心.5.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.[小题纠偏]1.(浙江名校联考)已知∁R M ={x |ln|x |>1},N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y =1x ,x >0,则M ∪N =( ) A .(0,e] B .[-e,+∞) C .(-∞,-e]∪(0,+∞)D .[-e,e]解析:选B 由ln|x |>1得|x |>e,∴M =[-e,e].N =(0,+∞),∴M ∪N =[-e,+∞).故选B.2.若集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1},且B ⊆A ,则由m 的可能取值组成的集合为________.解析:当m +1>2m -1,即m <2时,B =∅,满足B ⊆A ;若B ≠∅,且满足B ⊆A ,如图所示,则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,m +1≥-2,2m -1≤5,即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2,m ≥-3,m ≤3,所以2≤m ≤3.故m <2或2≤m ≤3,即所求集合为{m |m ≤3}.答案:{m |m ≤3}3.已知集合A ={0, x +1,x 2-5x },若-4∈A ,则实数x 的值为________. 解析:∵-4∈A ,∴x +1=-4或x 2-5x =-4. ∴x =-5或x =1或x =4.若x =1,则A ={0, 2,-4},满足条件; 若x =4,则A ={0, 5,-4},满足条件; 若x =-5,则A ={0,-4,50},满足条件. 所以x =1或x =4或-5. 答案:1或4或-5考点一 集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.下列命题正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合;②(易错题)集合{}y |y =x 2-1与集合{(x ,y )|y =x 2-1}是同一个集合; ③1,32,64,⎪⎪⎪⎪-12,0.5这些数组成的集合有5个元素; ④集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R }是指第二和第四象限内的点集. A .0个 B .1个 C .2个D .3个解析:选A 由题意得,①不满足集合的确定性,故错误;②两个集合,一个是数集,一个是点集,故错误;③中⎪⎪⎪⎪-12=0.5,出现了重复,不满足集合的互异性,故错误;④不仅仅表示的是第二、四象限的点,还可表示原点,故错误.综上,没有正确命题,故选A.2.已知a >0,b ∈R ,若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ,4,b a ={a -b,0,a 2},则a 2+b 2的值为( )A .2B .4C .6D .8解析:选B 由已知得a ≠0,则ba =0,所以b =0,于是a 2=4,即a =2或a =-2,因为a >0,所以a =2,故a 2+b 2=22+02=4.3.若集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a 等于( ) A.92 B.98C .0D .0或98解析:选D 若集合A 中只有一个元素,则方程ax 2-3x +2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a =0时,x =23,符合题意.当a ≠0时,由Δ=(-3)2-8a =0,得a =98,所以a 的值为0或98.4.(易错题)(江西重点中学协作体联考)设集合A ={1,2,3},B ={2,3,4} ,M ={x |x =ab ,a ∈A ,b ∈B },则M 中的元素个数为________.解析:结合题意列表计算M 中所有可能的值如下:观察可得:M ={2,3,4,6,8,9,12},据此可知M 中的元素个数为7. 答案:7[谨记通法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性. 考点二 集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1.已知集合M ={1,2,3,4},则集合P ={x |x ∈M 且2x ∉M }的子集有( ) A .8个 B .4个 C .3个D .2个解析:选B 由题意,得P ={3,4},所以集合P 的子集有22=4个. 2.已知集合A ={x |x 2+x -2=0},B ={x |ax =1},若B ⊆A ,则a =( ) A .-12或1B .2或-1C .-2或1或0D .-12或1或0解析:选D 集合A ={x |x 2+x -2=0}={-2,1}.当x =-2时,-2a =1,解得a =-12;当x =1时,a =1;又因为B 是空集时也符合题意,这时a =0,故选D.[由题悟法]集合间基本关系的两种判定方法和一个关键[即时应用]1.集合{a ,b ,c ,d ,e }的真子集的个数为( ) A .32 B .31 C .30D .29解析:选B 因为集合有5个元素,所以其子集的个数为25=32个,其真子集的个数为25-1=31个. 2.已知集合A ={x |-1<x <3},B ={x |-m <x <m },若B ⊆A ,则m 的取值范围为________. 解析:当m ≤0时,B =∅,显然B ⊆A . 当m >0时,∵A ={x |-1<x <3}.当B ⊆A 时,在数轴上标出两集合,如图,∴⎩⎪⎨⎪⎧-m ≥-1,m ≤3,-m <m .∴0<m ≤1.综上所述m 的取值范围为(-∞,1]. 答案:(-∞,1]考点三 集合的基本运算(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识;有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生的灵活处理问题的能力.常见的命题角度有: (1)集合的运算;(2)利用集合运算求参数; (3)新定义集合问题.[题点全练]角度一:集合的运算1.(北京高考)已知集合A ={x ||x |<2},B ={-2,0,1,2},则A ∩B =( ) A .{0,1} B .{-1,0,1} C .{-2,0,1,2}D .{-1,0,1,2}解析:选A ∵A ={x ||x |<2}={x |-2<x <2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.故选A.2.(全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=()A.{x|-1<x<2} B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}解析:选B∵x2-x-2>0,∴(x-2)(x+1)>0,∴x>2或x<-1,即A={x|x>2或x<-1}.则∁R A={x|-1≤x≤2}.故选B.角度二:利用集合运算求参数3.(浙江联盟校联考)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<a},若P∪Q={x|-1<x<2},则实数a的值为()A.1 B.2C.12D.32解析:选B因为P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<a},所以当a≤1时,P∪Q={x|-1<x<1},不符合题意;当a>1时,P∪Q={x|-1<x<a},结合P∪Q={x|-1<x<2},可得a=2.角度三:新定义集合问题4.如果集合A,B,同时满足A∪B={1,2,3,4},A∩B={1},A≠{1},B≠{1},就称有序集对(A,B)为“好集对”.这里有序集对(A,B)是指当A≠B时,(A,B)和(B,A)是不同的集对,那么“好集对”一共有()个() A.5个B.6个C.7个D.8个解析:选B因为A∪B={1,2,3,4},A∩B={1},A≠{1},B≠{1},所以当A={1,2}时,B={1,3,4};当A={1,3}时,B={1,2,4};当A={1,4}时,B={1,2,3};当A={1,2,3}时,B={1,4};当A={1,2,4}时,B={1,3};当A={1,3,4}时,B={1,2}.所以满足条件的“好集对”一共有6个,故选B.[通法在握]解集合运算问题4个技巧[演练冲关]1.(浙江十校联盟适考)已知集合A={x|1<x<4},B={x∈Z|x2-6x<0},则(∁R A)∩B=()A.{1,4} B.{4,5}C.{1,4,5} D.{2,3}解析:选C法一:由x2-6x<0可得0<x<6,所以B={1,2,3,4,5},又∁R A={x|x≤1或x≥4},所以(∁R A)∩B={1,4,5}.法二:因为求的是(∁R A)∩B,故排除D,又1,5∈∁R A,1,5∈B,故选C.2.(长沙模拟)已知集合A={1,2,3},B={x|x2-3x+a=0,a∈A},若A∩B≠∅,则a的值为()A.1 B.2C.3 D.1或2解析:选B当a=1时,x2-3x+1=0,无整数解,则A∩B=∅;当a=2时,B={1,2},A∩B={1,2}≠∅;当a=3时,B=∅,A∩B=∅.因此实数a=2.3.(杭州高三四校联考)设集合A={x|(x-3)(x-a)=0,a∈R},B={x|(x-1)(x-4)=0},则A∪B的子集个数最多为()A.2 B.4C.8 D.16解析:选D由题意可知,要使A∪B的子集个数最多,则需A∪B中的元素个数最多,此时a≠1,a≠3,且a≠4,即集合A={3,a},B={1,4},A∪B={1,3,4,a},故A∪B的子集最多有24=16个.4.如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合A B为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|y=2x-x2},B={y|y=3x,x>0},则A B为()A.{x|0<x<2} B.{x|1<x≤2}C.{x|0≤x≤1或x≥2} D.{x|0≤x≤1或x>2}解析:选D因为A={x|0≤x≤2},B={y|y>1},A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<x≤2},所以A B=∁A∪(A∩B)={x|0≤x≤1或x>2},故选D.B一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(浙江考前热身联考)已知集合M={x|y=2x-x2},N={x|-1<x<1},则M∪N=()A.[0,1)B.(-1,2)C.(-1,2] D.(-∞,0]∪(1,+∞)解析:选C法一:易知M={x|0≤x≤2},又N={x|-1<x<1},所以M∪N=(-1,2].故选C.法二:取x=2,则2∈M,所以2∈M∪N,排除A、B;取x=3,则3∉M,3∉N,所以3∉M∪N,排除D,故选C.2.(浙江三地联考)已知集合P={x|||x<2},Q={x|-1≤x≤3},则P∩Q=()A.[-1,2) B.(-2,2)C.(-2,3] D.[-1,3]解析:选A由|x|<2,可得-2<x<2,所以P={x|-2<x<2},所以P∩Q=[-1,2).3.(嘉兴期末测试)已知集合P={x|x<1},Q={x|x>0},则()A .P ⊆QB .Q ⊆PC .P ⊆∁R QD .∁R P ⊆Q解析:选D 由已知可得∁R P =[1,+∞),所以∁R P ⊆Q .故选D.4.(浙江吴越联盟第二次联考)已知集合M ={0,1,2,3,4},N ={2,4,6},P =M ∩N ,则P 的子集有________个. 解析:集合M ={0,1,2,3,4},N ={2,4,6},P =M ∩N ={2,4},则P 的子集有∅,{2},{4},{2,4},共4个. 答案:45.已知集合A ={x |x ≥3},B ={x |x ≥m },且A ∪B =A ,则实数m 的取值范围是________. 解析:因为集合A ={x |x ≥3},B ={x |x ≥m },且A ∪B =A ,所以B ⊆A ,如图所示,所以m ≥3. 答案:[3,+∞)二保高考,全练题型做到高考达标1.(杭州七校联考)已知集合A ={x |x 2>1},B ={x |(x 2-1)(x 2-4)=0},则集合A ∩B 中的元素个数为( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选B A ={x |x <-1或x >1},B ={-2,-1,1,2},A ∩B ={-2,2},故选B.2.(浙江六校联考)已知集合U ={x |y =3x },A ={x |y =log 9x },B ={y |y =-2x }则A ∩(∁U B )=( ) A .∅ B .R C .{x |x >0}D .{0}解析:选C 由题意得,U =R ,A ={x |x >0},因为y =-2x <0,所以B ={y |y <0},所以∁U B ={x |x ≥0},故A ∩(∁U B )={x |x >0}.故选C.3.(永康模拟)设集合M ={x |x 2-2x -3≥0},N ={x |-3<x <3},则( ) A .M ⊆N B .N ⊆M C .M ∪N =RD .M ∩N =∅解析:选C 由x 2-2x -3≥0,解得x ≥3或x ≤-1,所以M ={x |x ≤-1或x ≥3},所以M ∪N =R . 4.(宁波六校联考)已知集合A ={x |x 2-3x <0},B ={1,a },且A ∩B 有4个子集,则实数a 的取值范围是( )A .(0,3)B .(0,1)∪(1,3)C .(0,1)D .(-∞,1)∪(3,+∞)解析:选B ∵A ∩B 有4个子集,∴A ∩B 中有2个不同的元素,∴a ∈A ,∴a 2-3a <0,解得0<a <3且a ≠1,即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3),故选B.5.(镇海中学期中)若集合M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y =lg2-x x ,N ={x |x <1},则M ∪N =( ) A .(0,1) B .(0,2) C .(-∞,2)D .(0,+∞)解析:选C 集合M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y =lg2-xx ={x |0<x <2},N ={x |x <1}.M ∪N ={x |x <2}=(-∞,2).故选C.6.设集合A ={x |x 2-x -2≤0},B ={x |x <1,且x ∈Z },则A ∩B =________.解析:依题意得A ={x |(x +1)(x -2)≤0}={x |-1≤x ≤2},因此A ∩B ={x |-1≤x <1,x ∈Z }={-1,0}. 答案:{-1,0}7.(嘉兴二模)已知集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |x 2-4x ≤0},则A ∪B =________,A ∩(∁R B )=________. 解析:因为B ={x |x 2-4x ≤0}={x |0≤x ≤4},所以A ∪B ={x |-1≤x ≤4};因为∁R B ={x |x <0或x >4},所以A ∩(∁R B )={x |-1≤x <0}.答案:{x |-1≤x ≤4} {x |-1≤x <0}8.设集合A ={(x ,y )|y ≥|x -2|,x ≥0},B ={(x ,y )|y ≤-x +b },A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是________;(2)若(x ,y )∈A ∩B ,且x +2y 的最大值为9,则b 的值是________. 解析:由图可知,当y =-x 往右移动到阴影区域时,才满足条件,所以b ≥2;要使z =x+2y 取得最大值,则过点(0,b ),有0+2b =9⇒b =92.答案:(1)[2,+∞) (2)929.已知集合A ={x |4≤2x ≤16},B =[a ,b ],若A ⊆B ,则实数a -b 的取值范围是________.解析:集合A ={x |4≤2x ≤16}={x |22≤2x ≤24}={x |2≤x ≤4}=[2,4],因为A ⊆B ,所以a ≤2,b ≥4,所以a -b ≤2-4=-2,即实数a -b 的取值范围是(-∞,-2].答案:(-∞,-2]10.已知集合A ={x |(x +2m )(x -m +4)<0},其中m ∈R ,集合B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1-x x +2>0.(1)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围; (2)若A ∩B =∅,求实数m 的取值范围.解:(1)集合B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1-xx +2>0={x |-2<x <1}. 当A =∅时,m =43,不符合题意.当A ≠∅时,m ≠43.①当-2m <m -4,即m >43时,A ={x |-2m <x <m -4},又因为B ⊆A ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >43,-2m ≤-2,m -4≥1,即⎩⎪⎨⎪⎧m >43,m ≥1,m ≥5,所以m ≥5.②当-2m >m -4,即m <43时,A ={x |m -4<x <-2m },又因为B ⊆A ,所以⎩⎪⎨⎪⎧m <43,-2m ≥1,m -4≤-2,即⎩⎪⎨⎪⎧m <43,m ≤-12,m ≤2,所以m ≤-12.综上所述,实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤-∞,-12∪[5,+∞). (2)由(1)知,B ={x |-2<x <1}. 当A =∅时,m =43,符合题意.当A ≠∅时,m ≠43.①当-2m <m -4,即m >43时,A ={x |-2m <x <m -4},又因为A ∩B =∅,所以-2m ≥1或者m -4≤-2, 即m ≤-12或者m ≤2,所以43<m ≤2.②当-2m >m -4,即m <43时,A ={x |m -4<x <-2m },又因为A ∩B =∅,所以m -4≥1或者-2m ≤-2, 即m ≥5或者m ≥1,所以1≤m <43.综上所述,实数m 的取值范围为[1,2]. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.对于复数a ,b ,c ,d ,若集合S ={a ,b ,c ,d }具有性质“对任意x ,y ∈S ,必有xy ∈S ”,则当⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b 2=1,c 2=b 时,b +c+d 等于( )A .1B .-1C .0D .i解析:选B ∵S ={a ,b ,c ,d },由集合中元素的互异性可知当a =1时,b =-1,c 2=-1,∴c =±i,由“对任意x ,y ∈S ,必有xy ∈S ”知±i ∈S ,∴c =i,d =-i 或c =-i,d =i,∴b +c +d =(-1)+0=-1.2.对于集合M ,N ,定义M -N ={x |x ∈M ,且x ∉N },M ⊕N =(M -N )∪(N -M ),设A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥-94,x ∈R ,B ={x |x <0,x ∈R },则A ⊕B =( )A.⎝⎛⎭⎫-94,0B.⎣⎡⎭⎫-94,0C.⎝⎛⎭⎫-∞,-94∪[0,+∞)D.⎝⎛⎦⎤-∞,-94∪(0,+∞) 解析:选C 依题意得A -B ={x |x ≥0,x ∈R },B -A =⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <-94,x ∈R ,故A ⊕B =⎝⎛⎭⎫-∞,-94∪[0,+∞).故选C.3.已知函数f (x )=x -3-17-x的定义域为集合A ,且B ={x ∈Z |2<x <10},C ={x ∈R |x <a 或x >a +1}.(1)求:A 和(∁R A )∩B ;(2)若A ∪C =R ,求实数a 的取值范围. 解:(1)要使函数f (x )=x -3-17-x, 应满足x -3≥0,且7-x >0,解得3≤x <7, 则A ={x |3≤x <7}, 得到∁R A ={x |x <3或x ≥7},而B ={x ∈Z |2<x <10}={3,4,5,6,7,8,9}, 所以(∁R A )∩B ={7,8,9}.(2)C ={x ∈R |x <a 或x >a +1},要使A ∪C =R , 则有a ≥3,且a +1<7,解得3≤a <6. 故实数a 的取值范围为[3,6).第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题概念 使用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的陈述句特点 (1)能判断真假;(2)陈述句分类真命题、假命题2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系:(2)四种命题中真假性的等价关系:原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3.充要条件若p⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件p 成立的对象的集合为A ,q 成立的对象的集合为B p 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q ⇒/p A 是B 的真子集 集合与充要条件p 是q 的必要不充分条件p ⇒/ q 且q ⇒pB 是A 的真子集p 是q 的充要条件 p ⇔q A =B p 是q 的既不充分也不必要条件 p ⇒/ q 且q ⇒/pA ,B 互不包含[小题体验]1.下列命题是真命题的是( )A .若log 2a >0,则函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1)在其定义域上是减函数B .命题“若xy =0,则x =0”的否命题C .“m =3”是“直线(m +3)x +my -2=0与mx -6y +5=0垂直”的充要条件D .命题“若cos x =cos y ,则x =y ”的逆否命题 答案:B2.(温州高考适应性测试)已知α,β∈R ,则“α>β”是“cos α>cos β ”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析:选D α>β ⇒/ cos α>cos β,如α=π3,β=π6,π3>π6,而cos π3<cos π6;cos α>cos β ⇒/ α>β,如α=π6,β=π3,cos π6>cos π3,而π6<π3.故选D. 3.设a ,b 是向量,则命题“若a =-b ,则|a |=| b |”的逆否命题为:________. 答案:若|a |≠|b |,则a ≠-b1.易混淆否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论. 2.易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同.[小题纠偏]1.(杭州模拟)“x<0”是“ln(x+1)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B2.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为:________________.解析:原命题的条件:在△ABC中,∠C=90°,结论:∠A,∠B都是锐角.否命题是否定条件和结论.即“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角”.答案:在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角考点一四种命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.命题“若a2>b2,则a>b”的否命题是()A.若a2>b2,则a≤b B.若a2≤b2,则a≤bC.若a≤b,则a2>b2D.若a≤b,则a2≤b2解析:选B根据命题的四种形式可知,命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”.该题中,p为a2>b2,q为a>b,故綈p为a2≤b2,綈q为a≤b.所以原命题的否命题为:若a2≤b2,则a≤b.2.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为()A.“若x=4,则x2-3x-4=0”为真命题B.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为真命题C.“若x≠4,则x2-3x-4≠0”为假命题D.“若x=4,则x2-3x-4=0”为假命题解析:选C根据逆否命题的定义可以排除A,D,因为x2-3x-4=0,所以x=4或-1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题.3.给出以下四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;④若ab是正整数,则a,b都是正整数.其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)解析:①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;④若ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题.答案:①③[谨记通法]1.写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.2.命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.(2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1.(杭州高三四校联考)“a>-1”是“x2+ax+14>0(x∈R)”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A若x2+ax+14>0(x∈R),则a2-1<0,即-1<a<1,所以“a>-1”是“x2+ax+14>0(x∈R)”的必要不充分条件.故选A.2.(杭州高三质检)设数列{a n}的通项公式为a n=kn+2(n∈N*),则“k>2”是“数列{a n}为单调递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A法一:因为a n=kn+2(n∈N*),所以当k>2时,a n+1-a n=k>2,则数列{a n}为单调递增数列.若数列{a n}为单调递增数列,则a n+1-a n=k>0即可,所以“k>2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件,故选A.法二:根据一次函数y=kx+b的单调性知,“数列{a n}为单调递增数列”的充要条件是“k>0”,所以“k>2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件,故选A.[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断;(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断;(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的某种条件.[即时应用]1.设a >0,b >0,则“a 2+b 2≥1”是“a +b ≥ab +1”成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 因为a >0,b >0,所以a +b >0,ab +1>0,故不等式a +b ≥ab +1成立的充要条件是(ab +1)2≤(a +b )2,即a 2+b 2≥a 2b 2+1.显然,若a 2+b 2≥a 2b 2+1,则必有a 2+b 2≥1,反之则不成立,所以a 2+b 2≥1是a 2+b 2≥a 2b 2+1成立的必要不充分条件,即a 2+b 2≥1是a +b ≥ab +1成立的必要不充分条件.2.(浙江期初联考)若a ,b ∈R ,使|a |+|b |>4成立的一个充分不必要条件是( ) A .|a +b |≥4 B .|a |≥4 C .|a |≥2且|b |≥2D .b <-4解析:选D 对选项A,若a =b =2,则|a |+|b |=2+2≥4,不能推出|a |+|b |>4;对选项B,若a =4≥4,b =0,此时不能推出|a |+|b |>4;对选项C,若a =2≥2,b =2≥2,此时不能推出|a |+|b |>4;对选项D,由b <-4可得|a |+|b |>4,但由|a |+|b |>4得不到b <-4.故选D.3.(宁波模拟)已知四边形ABCD 为梯形,AB ∥CD ,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰AD ,BC ”是“l 垂直于两底AB ,DC ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 因为四边形ABCD 是梯形,且AB ∥CD ,所以腰AD ,BC 是交线,由直线与平面垂直的判定定理可知,当l 垂直于两腰AD ,BC 时,l 垂直于ABCD 所在平面,所以l 垂直于两底AB ,CD ,所以是充分条件;当l 垂直于两底AB ,CD ,由于AB ∥CD ,所以l 不一定垂直于ABCD 所在平面,所以l 不一定垂直于两腰AD ,BC ,所以不是必要条件.所以是充分不必要条件.考点三 充分必要条件的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]若不等式x -m +1x -2m<0成立的一个充分不必要条件是13<x <12,则实数m 的取值范围是______________.解析:令A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x -m +1x -2m <0,B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12. 因为不等式x -m +1x -2m <0成立的充分不必要条件是13<x <12,所以B ⊆A .①当m -1<2m ,即m >-1时,A ={x |m -1<x <2m }.由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧m -1≤13,2m ≥12,m >-1,解得14≤m ≤43;②当m -1=2m ,即m =-1时,A =∅,不满足B ⊆A ;③当m -1>2m ,即m <-1时,A ={x |2m <x <m -1}.由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤13,m-1≥12,m <-1,此时m 无解.综上,m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤14,43.答案:⎣⎡⎦⎤14,43[由题悟法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件,常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等,得到关于参数的方程或不等式(组),再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.[即时应用]1.(杭州名校大联考)已知条件p :|x +1|>2,条件q :x >a ,且綈p 是綈q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .(-∞,1]C .[-3,+∞)D .(-∞,-3]解析:选A 由|x +1|>2,可得x >1或x <-3,所以綈p :-3≤x ≤1;又綈q :x ≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件,所以a ≥1.2.已知“命题p :(x -m )2>3(x -m )”是“命题q :x 2+3x -4<0”成立的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为________________.解析:命题p :x >m +3或x <m , 命题q :-4<x <1.因为p 是q 成立的必要不充分条件, 所以m +3≤-4或m ≥1, 故m ≤-7或m ≥1. 答案:(-∞,-7]∪[1,+∞)一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.“(2x -1)x =0”是“x =0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 若(2x -1)x =0,则x =12或x =0,即不一定是x =0;若x =0,则一定能推出(2x -1)x =0.故“(2x-1)x =0”是“x =0”的必要不充分条件.2.设a ,b ∈R ,则“a 3>b 3且ab <0”是“1a >1b ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 由a 3>b 3,知a >b ,由ab <0,知a >0>b ,所以此时有1a >1b ,故充分性成立;当1a >1b 时,若a ,b 同号,则a <b ,若a ,b 异号,则a >b ,所以必要性不成立.故选A. 3.设φ∈R ,则“φ=0”是“f (x )=cos(x +φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 若φ=0,则f (x )=cos x 为偶函数;若f (x )=cos(x +φ)(x ∈R )为偶函数,则φ=k π(k ∈Z ).故“φ=0”是“f (x )=cos(x +φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件.4.命题p :“若x 2<1,则x <1”的逆命题为q ,则p 与q 的真假性为( ) A .p 真q 真 B .p 真q 假 C .p 假q 真D .p 假q 假解析:选B q :若x <1,则x 2<1. ∵p :x 2<1,则-1<x <1.∴p 真,当x <1时,x 2<1不一定成立,∴q 假,故选B.5.若x >5是x >a 的充分条件,则实数a 的取值范围为( ) A .(5,+∞) B .[5,+∞) C .(-∞,5)D .(-∞,5] 解析:选D 由x >5是x >a 的充分条件知,{x |x >5}⊆{x |x >a },∴a ≤5,故选D. 二保高考,全练题型做到高考达标1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A .“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B .“若一个数的平方是正数,则它是负数” C .“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D .“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”解析:选B 依题意得,原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数,则它是负数”.2.命题“对任意实数x ∈[1,2],关于x 的不等式x 2-a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )A .a ≥4B .a ≤4C .a ≥3D .a ≤3解析:选C 即由“对任意实数x ∈[1,2],关于x 的不等式x 2-a ≤0恒成立”可推出选项,但由选项推不出“对任意实数x ∈[1,2],关于x 的不等式x 2-a ≤0恒成立”.因为x ∈[1,2],所以x 2∈[1,4],x 2-a ≤0恒成立,即x 2≤a ,因此a ≥4;反之亦然.故选C.3.有下列命题:①“若x +y >0,则x >0且y >0”的否命题; ②“矩形的对角线相等”的否命题;③“若m ≥1,则mx 2-2(m +1)x +m +3>0的解集是R ”的逆命题; ④“若a +7是无理数,则a 是无理数”的逆否命题. 其中正确的是( ) A .①②③ B .②③④ C .①③④D .①④解析:选C ①的逆命题为“若x >0且y >0,则x +y >0”为真,故否命题为真; ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”,为假命题; ③的逆命题为,若mx 2-2(m +1)x +m +3>0的解集为R ,则m ≥1. ∵当m =0时,解集不是R ,∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0,Δ<0,即m >1.∴③是真命题;④原命题为真,逆否命题也为真.4.(浙江名校联考信息卷)已知直线l 的斜率为k ,倾斜角为θ,则“0<θ≤π4”是“k ≤1”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 当0<θ≤π4时,0<k ≤1;反之,当k ≤1时,0≤θ≤π4或π2<θ<π.故“0<θ≤π4”是“k ≤1”的充分不必要条件,故选A.5.命题“对任意x ∈[1,2),x 2-a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A .a ≥4 B .a >4 C .a ≥1D .a >1解析:选B 要使“对任意x ∈[1,2),x 2-a ≤0”为真命题,只需要a ≥4,∴a >4是命题为真的充分不必要条件.6.命题“若a >b ,则ac 2>bc 2(a ,b ∈R )”,否命题的真假性为________. 解析:命题的否命题为“若a ≤b ,则ac 2≤bc 2”. 若c =0,结论成立.若c ≠0,不等式ac 2≤bc 2也成立. 故否命题为真命题.答案:真 7.下列命题:①“a >b ”是“a 2>b 2”的必要条件;②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的充要条件;③“a >b ”是“a +c >b +c ”的充要条件.其中是真命题的是________(填序号).解析:①a >b ⇒/ a 2>b 2,且a 2>b 2⇒/ a >b ,故①不正确; ②a 2>b 2⇔|a |>|b |,故②正确;③a >b ⇒a +c >b +c ,且a +c >b +c ⇒a >b ,故③正确. 答案:②③8.已知α,β∈(0,π),则“sin α+sin β<13”是“sin(α+β)<13”的________条件.解析:因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β<sin α+sin β,所以若sin α+sin β<13,则有sin(α+β)<13,故充分性成立;当α=β=π2时,有sin(α+β)=sin π=0<13,而sin α+sin β=1+1=2,不满足sin α+sin β<13,故必要性不成立.所以“sin α+sin β<13”是“sin(α+β)<13”的充分不必要条件.答案:充分不必要 9.已知p :实数m 满足m 2+12a 2<7am (a >0),q :方程x 2m -1+y 22-m=1表示焦点在y 轴上的椭圆.若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________.解析:由a >0,m 2-7am +12a 2<0,得3a <m <4a ,即p :3a <m <4a ,a >0.由方程x 2m -1+y 22-m=1表示焦点在y 轴上的椭圆,可得2-m >m -1>0,解得1<m <32,即q :1<m <32.因为p 是q 的充分不必要条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a >1,4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1,4a <32,解得13≤a ≤38,所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13,38. 答案:⎣⎡⎦⎤13,3810.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y =x 2-32x +1,x ∈⎣⎡⎦⎤34,2,B ={x |x +m 2≥1}.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件,求实数m 的取值范围.解:y =x 2-32x +1=⎝⎛⎭⎫x -342+716, ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34,2, ∴716≤y ≤2, ∴A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2.由x +m 2≥1,得x ≥1-m 2, ∴B ={x |x ≥1-m 2}.∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件, ∴A ⊆B ,∴1-m 2≤716, 解得m ≥34或m ≤-34,故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,-34∪⎣⎡⎭⎫34,+∞. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.已知p :x ≥k ,q :3x +1<1,如果p 是q 的充分不必要条件,则实数k 的取值范围是( ) A .[2,+∞) B .(2,+∞) C .[1,+∞)D .(-∞,-1]解析:选B 由3x +1<1得,3x +1-1=2-x x +1<0,即(x -2)(x +1)>0,解得x <-1或x >2,由p 是q 的充分不必要条件知,k >2,故选B.2.在整数集Z 中,被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k ]={4n +k |n ∈Z },k =0,1,2,3,则下列结论正确的为________(填序号).①2 018∈[2];②-1∈[3];③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3];④命题“整数a ,b 满足a ∈[1],b ∈[2],则a +b ∈[3]”的原命题与逆命题都正确;⑤“整数a ,b 属于同一类”的充要条件是“a -b ∈[0]”.解析:由“类”的定义[k ]={4n +k |n ∈Z },k =0,1,2,3,可知,只要整数m =4n +k ,n ∈Z ,k =0,1,2,3,则m ∈[k ],对于①中,2 018=4×504+2,所以2 018∈[2],所以符合题意;对于②中,-1=4×(-1)+3,所以符合题意;对于③中,所有的整数按被4除所得的余数分为四类,即余数分别为0,1,2,3的整数,即四“类”[0],[1],[2],[3],所以Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3],所以符合题意;对于④中,原命题成立,但逆命题不成立,因为若a +b ∈[3],不妨设a =0,b =3,则此时a ∉[1]且b ∉[2],所以逆命题不成立,所以不符合题意;对于⑤中,因为“整数a ,b 属于同一类”,不妨设a =4m +k ,b =4n +k ,m ,n ∈Z ,且k =0,1,2,3,则a -b =4(m -n )+0,所以a -b ∈[0];反之,不妨设a =4m +k 1,b =4n +k 2,m ,n ∈Z ,k 1=0,1,2,3,k 2=0,1,2,3,则a -b =4(m -n )+(k 1-k 2),若a -b ∈[0],则k 1-k 2=0,即k 1=k 2,所以整数a ,b 属于同一类,故“整数a ,b 属于同一类”的充要条件是“a -b ∈[0]”,所以符合题意.答案:①②③⑤3.已知全集U =R ,非空集合A =⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x -2x -(3a +1)<0,B ={x |(x -a )(x -a 2-2)<0,命题p :x ∈A ,命题q :x ∈B .(1)当a =12时,若p 真q 假,求x 的取值范围; (2)若q 是p 的必要条件,求实数a 的取值范围.解:(1)当a =12时,A ={x |2<x <37},B ={x |12<x <146},因为p 真q 假. 所以(∁U B )∩A ={x |2<x ≤12},所以x 的取值范围为(2,12].(2)若q 是p 的必要条件,即p ⇒q ,可知A ⊆B .因为a 2+2>a ,所以B ={x |a <x <a 2+2}.当3a +1>2,即a >13时,A ={x |2<x <3a +1}, 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2,a 2+2≥3a +1,解得13<a ≤3-52; 当3a +1=2,即a =13时,A =∅,不符合题意; 当3a +1<2,即a <13时,A ={x |3a +1<x <2}, 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a +1,a 2+2≥2解得-12≤a <13; 综上所述,实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫-12,13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13,3-52.命题点一 集合及其运算1.(浙江高考)已知全集U ={1,2,3,4,5},A ={1,3},则∁U A =( )A .∅B .{1,3}C .{2,4,5}D .{1,2,3,4,5}解析:选C ∵U ={1,2,3,4,5},A ={1,3},∴∁U A ={2,4,5}.2.(天津高考)设全集为R ,集合A ={x |0<x <2},B ={x |x ≥1},则A ∩(∁R B )=( )A .{x |0<x ≤1}B .{x |0<x <1}C .{x |1≤x <2}D .{x |0<x <2}解析:选B ∵全集为R ,B ={x |x ≥1},∴∁R B ={x |x <1}.∵集合A ={x |0<x <2},∴A ∩(∁R B )={x |0<x <1}.3.(浙江高考)已知集合P ={x |-1<x <1},Q ={x |0<x <2},那么P ∪Q =( )A .(-1,2)B .(0,1)C .(-1,0)D .(1,2)解析:选A 根据集合的并集的定义,得P ∪Q =(-1,2).4.(全国卷Ⅲ)已知集合A ={x |x -1≥0},B ={0,1,2},则A ∩B =( )A .{0}B .{1}C .{1,2}D .{0,1,2}解析:选C ∵A ={x |x -1≥0}={x |x ≥1},B ={0,1,2},∴A ∩B ={1,2}.5.(全国卷Ⅱ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为( )A .9B .8C .5D .4解析:选A 将满足x 2+y 2≤3的整数x ,y 全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.故选A.6.(江苏高考)已知集合A ={1,2},B ={a ,a 2+3}.若A ∩B ={1},则实数a 的值为________.解析:因为a 2+3≥3,所以由A ∩B ={1}得a =1,即实数a 的值为1.答案:1命题点二 充要条件1.(2016·浙江高考)已知函数f (x )=x 2+bx ,则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A∵f (x )=x 2+bx =⎝⎛⎭⎫x +b 22-b 24,当x =-b 2时,f (x )min =-b 24,又f (f (x ))=(f (x ))2+bf (x )=⎝⎛⎭⎫f (x )+b 22-b 24,当f (x )=-b 2时,f (f (x ))min =-b 24,当-b 2≥-b 24时,f (f (x ))可以取到最小值-b 24,即b 2-2b ≥0,解得b ≤0或b ≥2,故“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件.选A.2.(浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C 因为{a n }为等差数列,所以S 4+S 6=4a 1+6d +6a 1+15d =10a 1+21d,2S 5=10a 1+20d ,S 4+S 6-2S 5=d ,所以d >0⇔S 4+S 6>2S 5.3.(2015·浙江高考)设a ,b 是实数,则“a +b >0”是“ab >0”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选D 特值法:当a =10,b =-1时,a +b >0,ab <0,故a +b >0⇒/ ab >0;当a =-2,b =-1时,ab >0,但a +b <0,所以ab >0⇒/ a +b >0.故“a +b >0”是“ab >0”的既不充分也不必要条件.4.(天津高考)设x ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪x -12<12”是“x 3<1”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 由⎪⎪⎪⎪x -12<12,得0<x <1,则0<x 3<1,即“⎪⎪⎪⎪x -12<12”⇒“x 3<1”;由x 3<1,得x <1,当x ≤0时,⎪⎪⎪⎪x -12≥12,即“x 3<1”⇒ / “⎪⎪⎪⎪x -12<12”.所以“⎪⎪⎪⎪x -12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件.5.(天津高考)设θ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”是“sin θ<12”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 法一:由⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12,得0<θ<π6,故sin θ<12.由sin θ<12,得-7π6+2k π<θ<π6+2k π,k ∈Z ,推不出“⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”.故“⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件.法二:⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12,而当sin θ<12时,取θ=-π6,⎪⎪⎪⎪-π6-π12=π4>π12.故“⎪⎪⎪⎪θ-π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件.6.(北京高考)设a ,b 均为单位向量,则“|a -3b |=|3a +b |”是“a ⊥b ”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C 由|a -3b |=|3a +b |,得(a -3b )2=(3a +b )2,即a 2+9b 2-6a ·b =9a 2+b 2+6a ·b .又a ,b 均为单位向量,所以a 2=b 2=1,所以a ·b =0,能推出a ⊥b .由a ⊥b ,得|a -3b |=10,|3a +b |=10,能推出|a -3b |=|3a +b |,所以“|a -3b |=|3a +b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件.命题点三 四种命题及其关系1.(2015·山东高考)设m ∈R ,命题“若m >0,则方程x 2+x -m =0有实根”的逆否命题是() A .若方程x 2+x -m =0有实根,则m >0B .若方程x 2+x -m =0有实根,则m ≤0C .若方程x 2+x -m =0没有实根,则m >0D .若方程x 2+x -m =0没有实根,则m ≤0解析:选D 根据逆否命题的定义,命题“若m >0,则方程x 2+x -m =0有实根”的逆否命题是“若方程x 2+x -m =0没有实根,则m ≤0”.2.(北京高考)能说明“若a >b ,则1a <1b”为假命题的一组a ,b 的值依次为________. 解析:只要保证a 为正b 为负即可满足要求.当a >0>b 时,1a >0>1b .答案:1,-1(答案不唯一)3.(北京高考)能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为________.解析:因为“设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a +b >c ”是假命题,则它的否定“设存在实数a ,b ,c .若a >b >c ,则a +b ≤c ”是真命题.由于a >b >c ,所以a +b >2c ,又a +b ≤c ,所以c <0.因此a ,b ,c 依次可取整数-1,-2,-3,满足a +b ≤c .答案:-1,-2,-3(答案不唯一)。

高考数学二轮专题复习:集合与常用逻辑用语

高考数学二轮专题复习:集合与常用逻辑用语

集合与常用逻辑用语【考纲解读】1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的从属关系,知道常用数集及其记号,了解集合中元素的确定性,互异性,无序性.会用集合语言表示有关数学对象.2.掌握集合的表示方法----列举法和描述法,并能进行自然语言与集合语言的相互转换,了解有限集与无限集的概念.3.了解集合间包含关系的意义,理解子集、真子集的概念和意义,会判断简单集合的相等关系.4.理解并集、交集的概念和意义,掌握有关集合并集、交集的术语和符号,并会用它们正确地表示一些简单的集合,能用图示法表示集合之间的关系.掌握并集、交集的求法.5.了解全集的意义,理解补集的概念.掌握全集与补集的术语和符号,并会用它们正确地表示一些简单的集合,能用图示法表示集合之间的关系.掌握补集的求法.6.理解命题的概念;了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析种命题的相互关系;理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.7.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.8.理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【考点预测】3.注意弄清元素与集合、集合与集合之间的包含关系.4.能根据Venn图表达的集合关系进行相关的运算.5.注意区分否命题与命题的否定,前者是同时否定条件和结论,而后者只否定结论.6.原命题与其逆否命题等价,当直接判定命题条件的充要性有困难时,可等价地转化为对该命题的逆否命题进行判断.7.全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.【考点在线】考点一集合的概念例1.已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则M∩N=()A.(0,1),(1,2) B.{(0,1),(1,2)}C.{y|y=1,或y=2} D.{y|y≥1}从而选B的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是点,因此M、N是数集而不是点集.②集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x2+1}、{y|y=x2+1,x∈R}、{(x,y)|y=x2+1,x∈R},这三个集合是不同的.这类题目主要考察不等式的性质成立的条件,以及条件与结论的充要关系.【备考提示】:正确理解集合中的代表元素是解答好本题的关键.练习1:若P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x2+1,x∈R},则P∩Q等于()A.P B.Q C. D.不知道【答案】B【解析】事实上,P、Q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=x2,y= x2+1的值域,由P={y|y≥0},Q={y|y≥1},知QP,即P∩Q=Q.∴应选B.考点二集合元素的互异性集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.(a2-3a-8), a3+例2.若A={2,4, a3-2a2-a+7},B={1, a+1, a2-2a+2,-12a2+3a+7},且A∩B={2,5},则实数a的值是________.【答案】2【解析】∵A∩B={2,5},∴a3-2a2-a+7=5,由此求得a=2或a=±1. A={2,4,5}.当a=1时,a2-2a+2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去a=1.当a=-1时,B={1,0,5,2,4},与A∩B={2,5}相矛盾,故又舍去a=-1.当a=2时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时A∩B={2,5},满足题设.故a=2为所求.【解析】分两种情况进行讨论.(1)若a+b=a c且a+2b=a c2,消去b得:a+a c2-2a c=0,a=0时,集合B中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故a≠0.∴c2-2c+1=0,即c=1,但c=1时,B中的三元素又相同,此时无解.(2)若a+b=a c2且a+2b=a c,消去b得:2a c2-a c-a=0,.∵a≠0,∴2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0,又c≠1,故c=-12考点三集合间的关系例3.设集合A={a|a=3n+2,n∈Z},集合B={b|b=3k-1,k∈Z},则集合A、B的关系是________.【答案】A=B【解析】任设a∈A,则a=3n+2=3(n+1)-1(n∈Z),∴ n∈Z,∴n+1∈Z.∴ a∈B,故A B⊆.①又任设b∈B,则 b=3k-1=3(k-1)+2(k∈Z),∵ k∈Z,∴k-1∈Z.∴ b∈A,故B A⊆②由①、②知A=B.【名师点睛】这里说明a∈B或b∈A的过程中,关键是先要变(或凑)出形式,然后再推理.【备考提示】:集合与集合之间的关系问题,是我们解答数学问题过程中经常遇到,并且必须解决的问题,因此应予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的.因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去.考点四要注意利用数形结合思想解决集合问题集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化,然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解.例4.设全集U={x|0<x<10,x∈N*},若A∩B={3},A∩C U B={1,5,7},C U A∩C U B={9},则集合A、B是________.【答案】A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.【解析】由题意,画出图如下:由图可知: A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.【名师点睛】本题用推理的方法求解不如先画出文氏图,用填图的方法来得简捷,由图不难看出.【备考提示】:熟练数形结合的思想是解答好本题的关键.练习4.集合A={x|x2+5x-6≤0},B={x|x2+3x>0},求A∪B和A∩B.【答案】A∪B=R,A∩B={x|-6≤x<-3或0<x≤1}.【解析】本题采用数轴表示法,根据数轴表示的范围,可直观、准确的写出问题的结果.∵ A={x|x2-5x-6≤0}={x|-6≤x≤1},B={x|x2+3x>0}={x|x<-3,或x>0}.如图所示,∴ A∪B={x|-6≤x≤1}∪{x|x<-3,或x>0}=R.A∩B={x|-6≤x≤1}∩{x|x<-3,或x>0}={x|-6≤x<-3,或0<x≤1}.【易错专区】问题1:空集例1.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-a x+a-1=0},且A∪B=A,则a的值为______.解:∵ A∪B=A,,∴⊆B A∵ A={1,2},∴ B=∅或B={1}或B={2}或B={1,2}.若B=∅,则令△<0得a∈∅;若B={1},则令△=0得a=2,此时1是方程的根;若B={2},则令△=0得a=2,此时2不是方程的根,∴a∈∅;若B={1,2}则令△>0得a∈R且a≠2,把x=1代入方程得a∈R,把x=2代入方程得a=3.1.(2011年高考山东卷文科1)设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0},N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =( )(A )[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]【答案】A【解析】因为{}|32M x x =-<<,所以{}|12M N x x ⋂=≤<,故选A.2. (2011年高考海南卷文科1)已知集合{}0,1,2,3,4M =,{}1,3,5N =,P M N =⋂,则P 的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个【答案】B【解析】因为{}1,3M N ⋂=中有两个元素,所以其子集个数为224=个,选B. 3.(2011年高考安徽卷文科2)集合}{,,,,,U =123456,}{,,S =145,}{,,T =234,则()U S C T 等于( )(A )}{,,,1456 (B) }{,15 (C) }{4 (D) }{,,,,12345 【答案】B【解析】{}1,5,6U T =,所以(){}1,6U S T =.故选B.4.(2011年高考广东卷文科2)已知集合(){,|A x y x y =、为实数,且}221x y +=,5. (2011年高考江西卷文科2)若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于( )A.M N ⋃B.M N ⋂C.()()U U C M C N ⋃D.()()U U C M C N ⋂【答案】D【解析】{}4,3,2,1=⋃N M ,Φ=⋂N M ,()(){}6,5,4,3,2,1=⋃N C M C U U ,()(){}6,5=⋂N C M C U U .6.(2011年高考福建卷文科1)若集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∩N 等于A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}【答案】A【解析】因为{}{}{}1,0,10,1,20,1M N ⋂=-⋂=,故选A.7.(2011年高考湖南卷文科1)设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===则N =( )A .{1,2,3}B .{1,3,5} C.{1,4,5} D.{2,3,4}答案:B解析:画出韦恩图,可知N ={1,3,5}。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语考点题型与解题方法(带答案)

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语考点题型与解题方法(带答案)

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语考点题型与解题方法单选题1、已知集合M ={x |x =2k +1,k ∈Z },集合N ={y |y =4k +3,k ∈Z },则M ∪N =( )A .{x |x =6k +2,k ∈Z }B .{x |x =4k +2,k ∈Z }C .{x |x =2k +1,k ∈Z }D .∅答案:C分析:通过对集合N 的化简即可判定出集合关系,得到结果.因为集合M ={x|x =2k +1,k ∈Z},集合N ={y|y =4k +3,k ∈Z}={y|y =2(2k +1)+1,k ∈Z},因为x ∈N 时,x ∈M 成立,所以M ∪N ={x|x =2k +1,k ∈Z}.故选:C.2、若集合A ={1,m 2},集合B ={2,4},若A ∪B ={1,2,4},则实数m 的取值集合为( )A .{−√2,√2}B .{2,√2}C .{−2,2}D .{−2,2,−√2,√2}答案:D分析:由题中条件可得m 2=2或m 2=4,解方程即可.因为A ={1,m 2},B ={2,4},A ∪B ={1,2,4},所以m 2=2或m 2=4,解得m =±√2或m =±2,所以实数m 的取值集合为{−2,2,−√2,√2}.故选:D.3、已知“命题p:∃x ∈R,使得ax 2+2x +1<0成立”为真命题,则实数a 满足( )A .[0,1)B .(-∞,1)C .[1,+∞)D .(-∞,1]答案:B分析:讨论a =0或a ≠0,当a =0时,解得x <−12,成立;当a ≠0时,只需{a >0Δ>0或a <0即可.若a=0时,不等式ax2+2x+1<0等价为2x+1<0,解得x<−12,结论成立. 当a≠0时,令y=ax2+2x+1,要使ax2+2x+1<0成立,则满足{a>0Δ>0或a<0,解得0<a<1或a<0,综上a<1,故选:B.小提示:本题考查了根据特称命题的真假求参数的取值范围,考查了分类讨论的思想,属于基础题.4、已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2},则A∪B=()A.{x|0≤x<1}B.{x|-1<x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|0<x<1}答案:B分析:由集合并集的定义可得选项.解:由集合并集的定义可得A∪B={x|-1<x≤2},故选:B.5、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b,a∈P,b∈P},若M⊆P,则M中的运算“⊕”是()A.加法B.除法C.乘法D.减法答案:C分析:用特殊值,根据四则运算检验.若a=3,b=1,则a+b=4∉P,a−b=2∉P,ba =13∉P,因此排除ABD.故选:C.6、等比数列{a n}的公比为q,前n项和为S n,设甲:q>0,乙:{S n}是递增数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案:B分析:当q>0时,通过举反例说明甲不是乙的充分条件;当{S n}是递增数列时,必有a n>0成立即可说明q> 0成立,则甲是乙的必要条件,即可选出答案.由题,当数列为−2,−4,−8,⋯时,满足q>0,但是{S n}不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件.若{S n}是递增数列,则必有a n>0成立,若q>0不成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则q>0成立,所以甲是乙的必要条件.故选:B.小提示:在不成立的情况下,我们可以通过举反例说明,但是在成立的情况下,我们必须要给予其证明过程.7、设集合M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5},则M∩N=()A.{x|0<x≤13}B.{x|13≤x<4}C.{x|4≤x<5}D.{x|0<x≤5}答案:B分析:根据交集定义运算即可因为M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5},所以M∩N={x|13≤x<4},故选:B.小提示:本题考查集合的运算,属基础题,在高考中要求不高,掌握集合的交并补的基本概念即可求解.8、下列各式中关系符号运用正确的是()A.1⊆{0,1,2}B.∅⊄{0,1,2}C.∅⊆{2,0,1}D.{1}∈{0,1,2}答案:C分析:根据元素和集合的关系,集合与集合的关系,空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于,所以选项A错误;根据集合与集合的关系是包含或不包含,所以选项D错误;根据空集是任何集合的子集,所以选项B错误,故选项C正确.故选:C.多选题9、某校举办运动会,高一的两个班共有120名同学,已知参加跑步、拔河、篮球比赛的人数分别为58,38,52,同时参加跑步和拔河比赛的人数为18,同时参加拔河和篮球比赛的人数为16,同时参加跑步、拔河、篮球三项比赛的人数为12,三项比赛都不参加的人数为20,则()A.同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B.只参加跑步比赛的人数为26C.只参加拔河比赛的人数为16D.只参加篮球比赛的人数为22答案:BCD分析:设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x,由Venn图可得集合的元素个数关系.设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x,由Venn图可得,58+38+52−18−16−x+12=120−20,得x=26,则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26,只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12= 16,只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选:BCD.10、对于集合M,N,我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”,记作M−N,即M−N={x|x∈M,且x∉N};把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”,记作MΔN,即MΔN={x|x∈M∪N,且x∉M∩N}.下列四个选项中,正确的有()A.若M−N=M,则M∩N=∅B.若M−N=∅,则M=NC.MΔN=(M∪N)−(M∩N)D.MΔN=(M−N)∪(N−M)答案:ACD分析:根据集合的新定义得到A正确,当M⊆N时,M−N=∅,B错误,根据定义知C正确,画出集合图形知D正确,得到答案.若M−N=M,则M∩N=∅,A正确;当M⊆N时,M−N=∅,B错误;MΔN={x|x∈M∪N,且x∉M∩N}=(M∪N)−(M∩N),C正确;MΔN和(M−N)∪(N−M)均表示集合中阴影部分,D正确.故选:ACD.11、定义集合运算:A⊗B={z∣z=(x+y)×(x−y),x∈A,y∈B},设A={√2,√3},B={1,√2},则()A.当x=√2,y=√2时,z=1B.x可取两个值,y可取两个值,z=(x+y)×(x−y)有4个式子C.A⊗B中有4个元素D.A⊗B的真子集有7个答案:BD分析:根据集合的定义可求出A⊗B,从而可判断各项的正误.A⊗B={z∣z=x2−y2,x∈A,y∈B}={1,0,2},故A⊗B中有3个元素,其真子集的个数为23−1=7,故C错误,D正确.当x=√2,y=√2时,z=0,故A错误.x可取两个值,y可取两个值,z=(x+y)×(x−y)共有4个算式,分别为:(√2+1)(√2−1),(√3+1)(√3−1),(√3+√2)(√3−√2),(√2+√2)(√2−√2),故B正确.故选:BD.小提示:本题考查新定义背景下集合的计算、集合子集个数的计算,注意不同的算式可以有相同的计算结果,另外,注意集合中元素的互异性对于集合表示的影响,本题属于基础题.填空题12、若命题“∃x0∈R,x02−2x0−a=0”为假命题,则实数a的取值范围是______.答案:a<−1;解析:根据命题为假得到x2−2x−a>0恒成立,计算得到答案.命题“∃x0∈R,x02−2x0−a=0”为假命题,故x2−2x−a>0恒成立.Δ=4+4a<0,故a<−1.所以答案是:a<−1.小提示:本题考查了根据命题的真假求参数,意在考查学生的推断能力.13、已知集合A={−1,3,0},B={3,m2},若B⊆A,则实数m的值为__________.答案:0分析:解方程m2=0即得解.解:因为B⊆A,所以m2=−1(舍去)或m2=0,所以m=0.所以答案是:014、集合A={x|(x−1)(x2+ax+4)=0,x∈R}中所有元素之和为3,则实数a=________.答案:−4分析:由(x−1)(x2+ax+4)=0得x1+x2+x3=1−a,即可求解参数.由(x−1)(x2+ax+4)=0得x−1=0或x2+ax+4=0所以x1=1∈A,x2+ax+4=0,当Δ=a2−16=0时,x=2是方程x2+ax+4=0的根,解得a=−4,当Δ>0时,若方程x 2+ax +4=0的一根为1,则a =−5,方程的另一根为4,不合题意;若1不是方程x 2+ax +4=0的根,则方程两根x 2+x 3=−a =2,此时a =−2不满足Δ>0,舍去. 所以答案是:−4.解答题15、已知集合A ={x|m −1<x <m 2+1},B ={x|x 2<4}.(1)当m =2时,求A ∪B ,A ∩B ;(2)若′′x ∈A′′是′′x ∈B′′成立的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.答案:(1)(−2,5),(1,2);(2)−1<m ≤1分析:(1)当m =2时,A ={x|1<x <5},B ={x|−2<x <2},根据交集并集运算法则即可得解;(2)根据A 是B 的真子集,建立不等关系求解参数范围.(1)当m =2时,A ={x|1<x <5},B ={x|−2<x <2},A ∪B =(−2,5),A ∩B =(1,2);(2)若′′x ∈A′′是′′x ∈B′′成立的充分不必要条件,则A 是B 的真子集,m −1≥m 2+1或{m −1<m 2+1m −1≥−2m 2+1≤2解得:−1≤m ≤1,因为m =-1时为充要条件,不合题意,所以−1<m ≤1。

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