选修2-3课件：1.3二项式定理第一课时(新人教A版选修2-3)

(a + b) = C a + C a
n 0 n n 1 n
n−1
b+C a
2 n
n−2
b +
2 n
L+ C a
r n
n−r
b +L+ C b
r n n
问题6：公式 问题6
(a + b) = C a + C a b + L + C a b + L + C b
n 0 n n 1 n- 1 n k n- k k n n n n
问题7 根据二项式定理，(1＋ 问题7：根据二项式定理，(1＋x)n (n∈N*)等于什么？ (n∈N )等于什么？
(1 + x) = C + C x + C x + L + C x + L + C x
n 0 n 1 n 2 2 n k k n n n n
问题8：(a－b)n(n∈N )的展开式是什么？ 问题8 － (n∈N*)的展开式是什么？
3 7
经典范例
例1 求 (2 x 3 2
1 6 的展开式. ) 的展开式. x
60 12 1 64x - 192x + 240x - 160 + - 2+ 3 x x x
1 9 例2 求 (x 的展开式中x3的 ) 的展开式中x x 系数. 系数.
－84
1 n 例3 已知 ( x - 3 ) 的展开式中 2 x 项与第3项的二项式系数之比为14 14︰ 第5项与第3项的二项式系数之比为14︰3， 求展开式中所有的有理项. 求展开式中所有的有理项.
探究（ 探究（一）：二项式定理
问题1 问题1：将(a＋b)2＝(a＋b)( ＋b)按多 ＋ ＋ )(a＋ 项式乘法法则展开， 项式乘法法则展开，每个括号内各取一 个数相乘得到展开式中的一项， 个数相乘得到展开式中的一项，根据分 步计数原理， 步计数原理，在合并同类项之前共有多 少项？ 和一个a， 少项？其中不取b，取一个b和一个 ，取 的项数用组合数分别怎样表示？ 二个b的项数用组合数分别怎样表示？由 此可得( ＋ 的展开式是什么？ 此可得(a＋b)2的展开式是什么？
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展 叫做二项式定理， 二项式定理 k 开式，其中各项的系数 Cn (k＝0，1， 开式， (k＝ 2，…，n)叫做二项式系数，那么二项展 n)叫做二项式系数， 叫做二项式系数 开式在结构上有哪些基本特征？ 开式在结构上有哪些基本特征？
共有n 的最高次数为n 共有n＋1项；字母a的最高次数为n且按降幂 字母 的最高次数为 排列； 的最高次数为n且按升幂排列； 排列；字母b的最高次数为n且按升幂排列； 各项中a与 的指数幂之和都是n 各项中 与b的指数幂之和都是n；各项的二项 1 2 n 且与a， 无关. 式系数依次为Cn0,Cn ,Cn , L ,Cn ，且与 ，b无关.
2.对于 ＋ ， ＋ 2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， 对于 ＋ (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 ＋ ＋ 等代数式， 称为二项式 其一般形式为( ＋ 二项式， 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n n∈N*） （n∈N ）.由于在许多代数问题中需要 将它展开，因此，研究( ＋ 将它展开，因此，研究(a＋b)n展开后的 表达式的一般结构， 表达式的一般结构，就是一个具有重要 意义的课题. 意义的课题.
(a + b) = C a + C ab + C b
2
0 2 2
1 2
2 2 2
问题2 类似地， 问题2：类似地，将(a＋b)3＝(a＋b) · ＋ ＋ (a＋b)( ＋b)按多项式乘法法则展开， ＋ )(a＋ 按多项式乘法法则展开， 在合并同类项之前共有多少项？ 在合并同类项之前共有多少项？其中不 和二个a， 和一个a， 取b，取一个b和二个 ，取二个b和一个 ， 的项数用组合数分别怎样表示？ 取三个b的项数用组合数分别怎样表示？ 由此可得( ＋ 的展开式是什么？ 由此可得(a＋b)3的展开式是什么？
Tk = C a
k- 1 n - k + 1 k- 1 n
b
Tk + 1 = C a
k n- k k n
b
问题2 问题2：在(a＋b)n的二项展开式中， ＋ 的二项展开式中，
Tk + 1 = C a
k n- k k 叫做二项展开式的通 叫做二项展开式的通 n
b
那么( － 项，那么(a－b)n的二项展开式的通项是 什么？ 什么？
3.二项展开式的通项 3.二项展开式的通项 Tk + 1 = C a
k n- k k n
b
是研究二项展开式问题的重要工具， 是研究二项展开式问题的重要工具，但 需注意通项是表示二项展开式中的第 对于求展开式中某些特定的项， k＋1项.对于求展开式中某些特定的项， 一般要分析通项中字母的幂指数来解决. 一般要分析通项中字母的幂指数来解决.
作业： 作业： P37习题1.3A组：2，3，4，5. P37习题1.3A组 习题1.3A
1.3 1.3.1
二项式定理 二项式定理
引入课题
今天是星期一， 今天是星期一，试问22007天之后是星期 几呢？ 几呢？
引入课题
1.(a＋ ) 1.( ＋b)2和(a＋b)3展开后分别等于 ＋ ) 什么？ 什么？
2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b) ＋ ＋
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3. ＋ ＋
3
45 63 , , 2 64x 8
45 2 x . 4
课堂小结
1.二项式定理是以公式的形式给出的 1.二项式定理是以公式的形式给出的 一个恒等式，其中n是正整数， ， 一个恒等式，其中n是正整数，a，b可以 任意取值，也可以是代数式. 任意取值，也可以是代数式. 2.(a＋ 的展开式统一规定按a的 2.( ＋b)n的展开式统一规定按 的 降幂排列，各项的系数与a， 降幂排列，各项的系数与 ，b的取值有 各项的二项式系数与a， 关，各项的二项式系数与 ，b的取值无 关.
(a - b) = C a - C a b + C a b - L + (- 1) C b
n 0 n n 1 n- 1 n 2 n- 2 2 n n n n n
探究（ 探究（二）：二项展开式的通项
问题1 在二项展开式中， 问题1：在二项展开式中，用Tk表示从左 到右第k 那么T 分别等于什么？ 到右第k项，那么Tk和Tk＋1分别等于什么？
(a + b) = C a + C a b + C ab + C b
3
0 3 3
1 2 3
2 3
2
3 3 3
问题3 问题3：在(a＋b)4＝(a＋b)( ＋b)( ＋ ＋ ＋ )(a＋ )(a＋ )(a＋ 的展开式中， b)( ＋b)的展开式中，有哪几种形式的 项？合并同类项之后各项的系数分别是 什么组合数？由此可得( ＋ 什么组合数？由此可得(a＋b)4的展开式 是什么？ 是什么？
Tk + 1 = (- 1) C a
k
k n- k k n
b
问题3 问题3：(2x＋3y)20的二项展开式的通项 是什么？ 是什么？
Tk + 1 = C (2x )
3 7
k 20
20- k
(3y)
k
问题4：(1＋2x)7的展开式中第4项的二 的展开式中第4 问题4 (1＋ 项式系数和系数分别是什么？ 项式系数和系数分别是什么？ 二项式系数： = 35 ， C 二项式系数： 系数： 系数：8C = 280 .
(a + b) = C a + C a b + C a b + C ab + C b
4
0 4 4
1 3 4
2 2 2 4
3 4
3
4 4 4
Байду номын сангаас
问题4 根据归纳推理， 问题4：根据归纳推理，你能猜测出 (a＋b)n(n∈N )的展开式是什么吗？ ＋ (n∈N*)的展开式是什么吗？
(a + b) = C a + C a b + C a b + L +C
n- 1 n n 0 n n 1 n- 1 n 2 n- 2 2 n
ab
n- 1
+C b
n n n
问题5 如何证明这个猜想？ 问题5：如何证明这个猜想？
定理的证明
(a+b)n是n个(a+b)相乘， 每个（a+b）在相乘时有两种 选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。 由分步计数原理可知展开式共有2n项 （包括同类项）， 其中每一项都是an-kbk的形式，k=0，1，…，n； 对于每一项an-kbk ，它是由n-k个(a+b)选了a， k个 (a+b)选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b) 中取k个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项 展开式，这就是二项式定理。