不等式恒成立问题的解法ppt课件
14.不等式恒成立
第十四讲：不等式恒成立问题1．()()()f x g a ≥或≤，求参（1）若x ∀∈R ，不等式2121222x x a a -++++≥恒成立，则a ∈_________．（2）已知函数()2,011sin ,13236x x x f x x x ππ⎧-+<⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤，若x ∀∈R ，不等式()212f x m m -≤恒成立， 则实数m 的取值范围是_________．（3）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()222f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，()()[]2,0,11,1,2x x x f x x x⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩．若(]0,4x ∀∈，不等式()2732t t f x t --≤≤恒成立，则t ∈________．1．若x ∀∈R ，不等式2412log x x a -+-≥恒成立，则a ∈_________．2．已知函数()233,11,12xx x x f x x ⎧++-⎪=⎨⎛⎫<-⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，若x ∀∈R ，不等式()2f x m m >-恒成立，则实数m的取值范围是_________．3．已知函数()()2,01,0x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++>⎪⎩≤，若x ∀∈R ，不等式()()0f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2 1.5,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，若[)4,2x ∀∈--，不等式()142t f x t -≥成立，则t ∈________．2．参变分离【示例1】已知()21f x x =-，不等式()()()2414x f m f x f x f m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭≤在区间上3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，则实数m 的取值范围是_________．【例2】（1）已知()1,x ∀∈+∞，不等式2201x m x ++>-恒成立，则m 的取值范围是__________．（2）若()0,x ∀∈+∞，不等式2211110a x x a x x ⎛⎫⎛⎫+-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，则a ∈_________．（3）已知()2f x x =，若()()()22431a f x a f x f x ⋅++≤在区间[)1,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．（4）已知函数()()2x f x x =∈R ，可以表示为一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 之和，若[]2,3x ∀∈，不等式()()20a g x h x ⋅+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．（选讲）练习2：1．若(]0,2x ∀∈，不等式2210x ax -+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．2．若[]2,6x ∀∈，不等式()23110ax a x +-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．3．关于x 的不等式144x x a+>在区间[]1,2上恒成立，则a ∈_________．4．已知()()232,2log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩≥，若x ∀∈R ，不等式()()241a f x f x ⋅-≥恒成立，则实数a的最小值是_________．5．已知函数()1f x x x=-，若(]0,1x ∀∈，不等式()221x x t f ⋅-≥恒成立，则实数t 的取值范围是_________．（选做）【示例2】已知a ∈R ，函数()2222,022,0x x a x f x x x a x ⎧++-⎪=⎨-+->⎪⎩≤，若[)3,x ∀∈-+∞，若不等式()f x x ≤在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【例3】已知函数()204,0x f x x x x >=-⎪⎩≤，若不等式()1f x ax -≥恒成立，则a ∈_________．练习3：1．已知函数()011,1x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩≤≤，若关于x 的不等式()14f x x a -+≥在区间[)0,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．2．若x ∀∈R ，不等式23324x ax x --≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．3．已知a ∈R ，设函数()222,1ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩≤．若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．2．含参讨论2.1 单调函数【例4】（1）若[]1,2x ∀∈-，不等式20ax +>恒成立，则实数a 的取值范围是__________．（2）已知[]1,1a ∀∈-，不等式()24240x a x a +--+>恒成立，则x ∈__________．（3）若函数()()()2log 20,1a f x x x a a =+>≠在区间()0,a 上恒有()0f x >成立，则实数a 的取值范围是__________． 练习4：1．已知1,42a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，不等式2log 10a x a +->恒成立，则x 的取值范围是_________．2．若1,32m ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2424x mx m x ++>+恒成立，则x 的取值范围是__________．3．若[]1,1a∀∈-，不等式221x ax a->-恒成立，则实数x的取值范围是_________．4．若10,3x⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，不等式32log1xax+≤恒成立，则实数a的取值范围是_________．（选做）2.2 非单调函数【例5】（2）已知函数()21f x x x =+-，若x ∀∈R ，不等式()()21f x m x +-≥恒成立，则实数m 的取值范围是_________．（2）已知()f x 是R 上的奇函数，当0x <时，()()297a f x x a x=++∈R ，当[)0,x ∈+∞时，不等式()1f x a +≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．（选讲） 练习5：1．若()0,x ∀∈+∞，不等式22944a x a x+-≥恒成立，则a ∈_________．2．已知函数()()f x x x a a a =--∈R ，若[]3,5x ∀∈，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若当0x >时，()21m f x x x=+-，若(],0x ∀∈-∞，不等式()2f x m -≤恒成立，则实数m 的取值范围是_________．（选做）3．任意与存在问题 3.1 1x A ∀∈，2x D ∃∈ 展现条件 示例图形 不等式转化()()12f x g x ≥()()()1min min f x g x f x c →≥≥()()12f x g x ≤()()()2max max f x g x f x c →≤≤()()12f x g x =()()()()()()1min min 2max max f x g x f x c f x g x f x c ⎧⎧⎪⎪→⎨⎨⎪⎪⎩⎩≥≥≤≤ 答题步骤①．分析()f x 和()g x 之间最值的关系；当()()12f x g x =时，需分析值域之间的关系； ②．转化为不等式恒成立问题处理．问题难点 ①．求确定函数的最值； ②．处理不等式恒成立问题【例6】（1）已知函数()43f x x x=+-，()2g x kx =+，若()11,4x ∀∈，[]21,2x ∃∈-． ①．若()()12g x f x >，则k ∈__________． ②．若()()12g x f x <，则k ∈__________．（2）已知函数()2124,0,411log 3,,124x x f x x x ⎧⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，()2232g x x a x a =--，若[]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()21f x g x =成立，则a 的最大值为_________．（3）已知函数()221xf x x =+，()()520g x ax a a =+->，若1x ∀∈R ，[]20,1x ∃∈，使得方程()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是_________．练习6：1．已知函数()12f x x k =-，()13g x x x =-+-．若[]10,2x ∀∈，[]22,4x ∃∈，使得()()12g x f x =成立，则实数k 的取值范围是_________．2．已知函数()21f x x =-，()232g x ax a =-+．若[]10,1x ∀∈，21,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是__________．3．已知函数()[)1,2,112,1,211,,22x x x f x x x x x ⎧+∈--⎪⎪⎪⎡⎫=-∈-⎨⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩，设函数()2g x ax =-，若[]12,2x ∀∈-，[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立，则a ∈__________．4．已知函数()11f x x x =-+，()224g x x ax =-+，若[]10,1x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得不等式()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是_________．3.2 双任意及双存在问题 I ．1x A ∀∈，2x D ∀∈展现条件 示例图形 不等式转化()()12f x g x ≥()()()1min max f x g x f x c →≥≥()()12f x g x ≤()()()2max min f x g x f x c →≤≤()()12f x g x =()()()()()()1min min 2max max f x g x f x c f x g x f x c =⎧⎧=⎪⎪→⎨⎨==⎪⎪⎩⎩II ．1x A ∃∈，2x D ∃∈展现条件 示例图形 不等式转化 ()()12f x g x ≥()()max min f x g x ≥()()12f x g x ≤()()min max f x g x ≤()()12f x g x =()()()()max minminmax f x g x f x g x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤（交集非空） 【例7】（1）已知函数()213,1log ,1x x x f x x x ⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤，()1g x x k x =-+-，若12x x ∀∈R 、，不等式()()12f x g x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是_________．（2）已知函数()()sin2336f x a x a a π=-+>，()222xg x x x =++，若存在[]120,1x x ∈、，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是_________．（3）已知函数()2,137,1x ax x f x ax x ⎧-+=⎨->⎩≤，若存在12x x ∈R 、且12x x ≠，使()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是_________．（4）已知函数()f x 的定义域为D ，若c D ∃∈，使得12x x D ∀∈、，c =称()f x 为D 上的“c 平均函数”，已知()[]3,1,2f x x x =∈，若()f x 是区间[]1,2上的“c 平均函数”，则实数c 的值为_________．（5）已知函数()[]2ln ,0,1x f x a x x a x =+-∈，若[]120,1x x ∀∈、，不等式()()121f x f x a --≤恒成立，则实数a 的取值范围是_________．4．运用图像解含参不等式问题描述 已知()0f x ≥（解析式中含参数a ），将不等式分离为()()g x h x ≥（其中一个含参，另一个不含参），则()g x 的图像在()h x 图像的上方．为了便于讨论，下面所有的讲解中，()h x 含参数，()g x 不含参数．分离函数 I ．()()()h x kx bh x kx b h x k x b⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩（一次函数模型）II ．()()h x g x a =±（左右平移模型）备注 在处理这种问题时，需保证两点：①．将不等式分离成一个含参及一个不含参的函数；②．需保证不含参函数的图像比较“好画”．4.1 一次函数模型问题问题描述 所分离的含参函数()h x 为一次函数或含绝对值的一次式，求参数取值范围图形变换I ．()h x 过定点，旋转变换（k 未知） II ．()h x 平移变换（b 未知）答题步骤①．不等式分离成()()()g x h x ≥或≤，注意()h x 需分离成含参一次函数； ②．画出()g x （确定函数）的图像；③．旋转（或平移）()h x ，确定临界情况（一般为相切时）； ④．求出临界值（求导或用0∆=），写出参数取值范围．【示例3】已知函数()ln f x x =，若(]0,x e ∀∈，不等式()()()11f x f c x --≥恒成立，则实数c 的取值范围是_________．解：()10f =，则()()1f x c x -≥可得()f x 的图像在()()1g x c x =-图像的上方I ．确定函数及其图像高低关系．()g x 过点()1,0旋转．画出()()[]ln ,0,1ln ,1,x x f x x x e ⎧-∈⎪=⎨∈⎪⎩的图像，且()g x 恒过()1,0点 II ．画出()f x 图像，旋转()g x 找临界．①．若()y g x =在()0,1上满足()()g x f x ≤恒成立，则临界情况为()g x 与()f x 相切于点()1,0； 此时()1f x x'=-，则()11c f '==-；∴当()0,1x ∈时，()()g x f x ≤可得1c -≥；②．若()y g x =在[]1,e 上满足()()g x f x ≤恒成立，则临界情况为11c e =- ∴当[]1,x e ∈时，()()g x f x ≤可得11c e -≤ III ．分段分析临界情况，并分别求出对应的c 的取值范围．综上，11,1c e ⎡⎤∈-⎢⎥-⎣⎦IV ．求出c 的范围【例8】（1）已知()1f x x =-，若x ∀∈R ，不等式()1f x ax -≥恒成立，则a ∈_________．（2）若x ∀∈R ，不等式()24a x x x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．（3）已知函数()1,12,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+⎪⎩≥．设a ∈R ，若关于x 的不等式()2x f x a +≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．（4）已知函数()()121x f x x e mx +=++，若有且仅有两个整数使得()0f x ≤，则实数m 的取值范围是__________．（选讲） 练习8：1．已知函数()()22log 1,02,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨-+⎪⎩≤，若x ∀∈R ，不等式()f x mx ≥恒成立，则实数m 的取值范围是_________．2．已知函数()2,04,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨-⎪⎩≤，若x ∀∈R ，不等式()1f x ax -≥恒成立，则a ∈______．3．已知()23,032,0x x f x x x ⎧-=⎨->⎩≤，若[]1,1x ∀∈-，不等式()f x ax >恒成立，则实数a 的取值范围是_________．4．若[)0,x ∃∈+∞，使得不等式242x x m --≤成立，则实数m 的取值范围是_________．5．已知(]0,1x ∀∈，函数()2f x x x a =--的值恒为负值，则实数a 的取值范围是_______．6．已知函数()23,12,1x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩≤．设a ∈R ，若关于x 的不等式()2x f x a +≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．7．若关于x 的不等式20x xe ax a -+<的非空解集中无整数解，则a ∈_________．4.2 原函数平移问题（选讲） 问题描述 不等式()()()f x t f x +≤或≥在指定区间A 上恒成立，求参数取值范围．需要注意的是，参数即有可能在解析式中，也有可能为平移幅度（即t ）示例图像核心思想 这类问题解决的关键在于找“特定点”．图像平移，图形形态不变．只需找出平移的临界点及其坐标（一般为横坐标）即可求解．核心步骤 ①．画出原函数()f x 的图像，并确定平移方向；②．将()f x 平移至满足()()()f x t f x +≤或≥；③．确认临界点，并求出该点横坐标；④．求出参数取值范围．【例9】（1）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2221232f x x a x a a =-+--，若x ∀∈R ，不等式()()1f x f x -≤，则实数a 的取值范围是_________．（2）已知函数()()1f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A ，若 11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是_________．（选讲）练习9：1．定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()()32ln 1x f x e x x =+++，若()1,x ∀∈-+∞， 不等式()()f x t f x +>恒成立，则实数t 的取值范围是_________．2．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数t ，使得()x M M D ∀∈⊆，都有x t D +∈且()()f x t f x +≥，则称()f x 为M 上的“t 高调函数”，若()()()210f x x x =-≥是[)0,+∞上的“m 高调函数”，则实数m 的取值范围是_________．3．已知函数()2,0,0x x f x ax x x -⎧=⎨+>⎩≤，若x ∀∈R ，不等式()()1f x f x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是_________．。
不等式恒成立问题基本类型及常用解法
第七讲 不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型1：设f(x)=ax+bf(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩⎨⎧0)(0)( n f m ff(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩⎨⎧0)(0)( n f m f .例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。
例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(21)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。
类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立⇔a ＞0 且△＜0;f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立⇔a ＜0 且△＜0. 说明：①.只适用于一元二次不等式②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论.例3.不等式3642222++++x x mmx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
类型3：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) （1） 当a ＞0时① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或⎪⎩⎪⎨⎧∆-o n a b m 2或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0)(2 n f n ab⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m ab 或△＜0或⎪⎩⎪⎨⎧≥-)(2 n f n a b. ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩⎨⎧0)(0)( n f m f .（2） 当a ＜0时① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩⎨⎧0)(0)( n f m f② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或⎪⎩⎪⎨⎧∆-o n a b m 2或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0)(2 n f n ab⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m ab 或△＜0或⎪⎩⎪⎨⎧≥-)(2 n f n a b. 说明：只适用于一元二次不等式.类型4：a ＞f(x) 恒成立对x ∈D 恒成立⇔a ＞f(x)max ，a ＜f(x)对x ∈D 恒成立⇔ a ＜f(x)min .说明：①. f(x) 可以是任意函数②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。
专题一单双变量不等式恒(能)成立问题课件-高一数学人教版(2019)必修第一册
图①
2 ＋＋ > 0 ( ≠ 0)在R上恒成立
(1)
如图①，一元二次不等式
2
注：当不等式 ＋＋ > 0未说明为一元二次不等式时，
⟺一元二次不等式 2 ＋＋ > 0 ( ≠ 0)的解集是R
对任意实数恒成立问题，应分情况讨论：
2
⟺二次函数 ==
= ＋＋ ( ≠ 0) 的图像恒在x轴上方
当 = 时，
>
⟺a>0且Δ<0 >
当 ≠ 时，
2 ＋＋ < 0 ( ≠ 0)在R上恒成立
∆<
(2) 如图②，一元二次不等式
⟺一元二次不等式 2 ＋＋ < 0 ( ≠ 0)的解集是R
函数 = +
1
在[ , 2]上单调递增，故()
2
= 1 =1+
函数 = − 2 − 3在[1,2]上单调递减，故() = 1 = −4
所以1 + ≥ −4
综上，所求的取值范围为{|�� ≥ −5}
练习
4
练习 设 = − − ， = + 1
，
故() = 2 = −4
函数 = + 1
2
+ 在(−∞, −1]上单调递减，在[−1, +∞)上单
调递增，故() = −1 =
所以−4 ≥
活学活用
例题2 已知函数 1 = 12 , 2 = −22 − ，若∀1 ∈ | − 1 ≤ < 1 ,
≤ ()恒成立⟺ ≤
课堂小结
二、双变量恒成立主要学习了双参数不等式问题的求解方法：
不等式恒成立问题PPT优秀课件
f ( x ) min 0 在 [ 1,1 ]在上成立
1 当 a 0 时， f ( x ) 0 恒成立， f ( x ) 在 [ 1,1 ]上单调递减 f ( x ) min f (1 ) a 2 0 a 2 与 a 0 矛盾 .此时不成立
1 1 在 [， 1 ] 上单调递减， g ( x ) 的最大值为 g () 4 ， a 4 . 2 2
分离参数
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
解： 1 当 x 0 时， f ( x ) 1 0 恒成立， a R .
f ( 1) a 4 0 3 1 1 1 3 ) a 1 0 f( a a a 综上可知 a 4 .
点评
法二可以进行优化吗？
以上两种方法本质是相同的，但我们的 收获可能就不同，由于构造的函数一定 一动，所以给出的函数一定一动，给出 的方法有较大差异，但解决问题的本质 是相同的。
求g(x)的最值。即把不等式成 立
分离参数
的问题转化为函数的最 值问题。
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
问题1
恒成立问题转化为最值问题为什么一定要 分离参数呢？ 不分离行吗？ 本题 还有别的办法吗？
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
法二：（直接求最值）
f ( x ) 0 在 x [ 1,1 ]上恒成立 f ( x ) 3 ax 2 3 3 ( ax 2 1 )
不等式恒成立问题优秀课件 人教版
3
（2008年江苏卷 14题）
f( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f( x ) 0 成立，则 a ______ .
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
2 3 2 1 . 已知两函数 f (x )8 x 16 xk ， g (x )2 x 5 x 4 x (k 为实数 )
(2 )对任意 x 和 x [ 3 ,3 ] ，都有 f (x )g (x ) 成立，求 k 的取值范 . 1 2
思考题
求实数 a 的取值范围 .
2 . 设函数 f ( x ) ( x 1 ) ln( x 1 ), 若对所有 x 0 , 都有 f ( x ) ax 成立
( 1 )对任意 x [ 3 ,3 ] ，都有 f (x )g (x ) 成立，求 k 的取值范围 . ( 3 )存在 x [ 3 ,3 ] ，使 f (x )g (x ) 成立，求 k 的取值范围 . （ 4 ）当且仅当 x3 时， f (x )g (x ) 成立，求 k 的值 .
求g(x)的最值。即把不等式成 立
分离参数
的问题转化为函数的最 值问题。
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
问题1
恒成立问题转化为最值问题为什么一定要 分离参数呢？ 不分离行吗？ 本题 还有别的办法吗？
3 ( 1 2 x ) g ( x ) 4 0 ， g ( x ) 在 [ 1 , 0 ) 上单调 . x
g ( x) min g (1) 4, a 4.
1.3.1-4不等式恒成立问题的解法ppt课件
①
对称轴为x a . 2
O
1
xa
2
2
a
≤
0
2
a≥0
f (0) ≥ 0
8②Oxa Nhomakorabea2③
O1 2
令f (x) x2 ax 1≥ 0,对称轴为x a . 2
1 2
0
f
a 2
( a) 2
1 2
≥0
1
a
0
x
a 2
a≥1
f
22 (1)≥0
5 2
≤
a
≤ -1
2
综上①②③，a
≥
-
5
2
9
例2.若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2
则a的最小值为
C （
）
A.0
B.-2
C.- 5 2
D.-3
法三：验证法：令f (x) x2 ax 1, 对称轴为x a . 当a=0时，f ( x) x2 1≥ 0在（0,1 ]恒成立。 2
2 当a 2时，f (x) x2 2x 1 （x 1）2在（0,1 ]恒成立。
由x (0,1 ]， a ≥ (x 1 ).
2
x
Q (x 1 )在(0,1 ]上是减函数, x2
(x
1 x )max
5 2
a ≥- 5
2
7
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2 则a的最小值为 （ ）
A.0 B.-2
C.- 5
D.-3
2
法二：令f (x) x2 ax 1,
2
4
2
10
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美课件
令t=2/x， t的范围则为（1/2，2） 则 2/x-2/x^2 = 2t-t^2/2 = -1/2(t-2)^2 + 2
这便是两次函数求最值 当t=2时 2t-2t^2 的最大值 为 2(但取不到) 所以a的范围是 [2, 正无穷﹚
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
恒成立 恒成立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
m 1(m21)2
m242mm5(m4m5)2
4 2 52
521(当且仅当m=
5 时等号成立)
∴ a ≥ [f (x)] max=
5 2*
1
即a
≥
5 1 2
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
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b
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
(2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立
(
bx-
1 x
)max ≤a ≤(bx+
)1xmin
此时
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得)
而
bx +
1 x
在(0,1]上递减
故
(
bx+
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
高中数学导数及应用-不等式恒成立问题课件
利用数形结合来解决。
方法1：分离变量法(优先)
方法2：构造函数
，转化为 零点问题
方法3：构造两个函数的图象判断交点个数
方法4：转化为二次函数零点问题
方法5：转化为一次函数零点问题
类型五：利用导数研究函数与不等式问题
1、利用导数证明不等式的方法：证明
构造函数
。如果
，则F(x) 在
函数，同时若
，则由减函数的定义可知，
的值，要注意验证 左右的导数值的符号是否符 合取极值的条件。
（3）已知含参函数的极值点讨论 ①分类讨论根据 解（判断为极值点）
的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、 中、右”，对四种分类标准进行取舍（或合并）；
②注意数形结合。
注意：（1）在函数的整个定义域内，函数的极 值不一定唯一，在整个定义域内可能有多个极大
（2）切点的三个作用：①求切线斜率； ②切点在切线上； ③切点在曲线上。
类型二：利用导数研究函数的单调性 (1)求函数的单调区间
方法:判断导函数的符号 步骤：①求函数定义域；
②求函数的导函数； ③解不等式f '(x) 0 (或 f '(x) 0)，求出 递增区间(或递减区间)。
注意：求单调区间前先求定义域（定义域优 先原则）；单调区间是局部概念，故不能用“∪” 连接，只能用“，”或“和”。
'( x) mi n
0；
函数f (x)在区间D单调递减 在f ' (x) 0在x D
恒成立 对x D, f ' (x) 0； max
试题研究：
例1、已知函数f (x) x ln x.
(1)若函数g(x) f (x) ax在区间e2, 上的增函数，
求a的取值范围；
不等式 恒成立问题
由题意得，对于 恒成立 对于 恒成立,令 ,设 ,则 ，
, , k的取值范围是k> .
解：令 ， 所以原不等式可化为： ，
要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量实行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例4．对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。
1） 函数 图象恒在函数 图象上方；
2） 函数 图象恒在函数 图象下上方。
例5：已知 ，求实数a的取值范围。
解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 得到a分别等于2和0.5，并作出函数 的图象，所以，要想使函数 在区间 中恒成立，只须 在区间 对应的图象在 在区间 对应图象的上面即可。当 才能保证，而 才能够，所以 。
3.设 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。
解：设 ，则当 时， 恒成立
当 时， 显然成立；
当 时，如图， 恒成立的充要条件为：
解得 。
综上可得实数 的取值范围为 。
4：在 ABC中，已知 恒成立，求实数m的范围。
解析：由
， ， 恒成立， ，即 恒成立，
5、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范围。
解：设 ，对满足 的 ， 恒成立，
解得：
6、若不等式 在 内恒成立，求实数 的取值范围。
解：由题意知： 在 内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数 和
观察两函数图象，当 时，若 函数 的图象显然在函数 图象的下方，所以不成立；
高考二轮复习专题_不等式中的恒成立问题教学PPT课件
小结
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课后练习
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策略与方法
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例题精讲
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不等式中的恒成立问题
策略与方法
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策略与方法
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策略与方法
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例题精讲
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不等式恒成立问题的解法PPT
故 （*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 解，得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
1
一、方法引入：
１.数形结合法 : (1）若f(x)=ax+b,x ∈[α,β]，
则：
f()>0
f(x)>0恒成立 f()>0
f(x)<0恒成立 y
f()<0 f()<0
α
o
βx
2
（2）ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 C>0_________Δ_=_b_2_-_4_a_c__<_0___。
≤a
≤
1 x
+bx
∵ x ∈(0,1]， b>1
∴
bx+
1 x
≥
2
b (x=
1时取等号
b
)
又
bx
-
1 x
在(0,1]上递增
∴ ( bx- 1x)max=b-1 (x=1时取得 )
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为:
_____________;
解决一元二次不等式的恒成立问题 高中数学课件
若f(x)=-x2+mx-1 的函数值没有正值，求m的取值范围。
解：f(x)= -x2+mx-1的函数值没有正值，意思是x取任何实数，都使f(x)≤ 0成立，
也就是关于x的不等式-x2+mx-1≤0 对一切实数x都成立。
因此，符合题意的二次函数f(x)= -x2+mx-1的图像为：
y
y
o
x
Байду номын сангаас
或
o
x
所以，Δ≤0，从而得到m的取值范围是：-2≤m≤2
y
解法三：画函数y=-x2+2x-3的图像
y o
x
o
x
根据图像，原不等式的解集为∅
根据图像，原不等式的 解集为∅
小结：这两种求不等式解集的方法都是用了数形结合的思想方法，但 是第三种是直接画不等式对应的二次函数图像，过程简洁明了，是非 常可取的办法。
知识讲解
例1：已知关于x的不等式x2-x+a>0的解 集是R，求a的取值范围。 分析：不等式的解集是R，意思是x取任 何实数，都能使不等式成立， 因此，二次函数y=x2-x+a的图像就要保 证x为任何实数时，都要使y>0，即：
3.2
解
决
一
人 教
元
A 版
二
高
次
中 数
不
学 必
等
修
式
五 第
的
三 章
恒
成
立
问
题
课题导入
教材例2：求不等式-x2+2x-3>0的解集
：将不等式化为标准不等式 形式：x2-2x+3<0 因为y=x2-2x+3=(x-1)2+2>0
2021届高三二轮复习微专题课件——不等式恒成立或有解问题(共37张PPT)
1.已知函数 f(x)＝ax－1＋ln x，若存在 x0>0，使得 f(x0)≤0 有解，则实数 a 的取值范
围是
(C )
A.a>2
B.a<3
(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式ax－1＋ln x≤0 有解， 即a≤x－xln x在(0，＋∞)上有解.
令h(x)＝x－xln x，则h′(x)＝－ln x.
索引
令 h(x)＝ex－12x2－x－1(x>0)， 则h′(x)＝ex－x－1，令H(x)＝ex－x－1， H′(x)＝ex－1>0， 故h′(x)在(0，＋∞)上是增函数， 因此h′(x)>h′(0)＝0，故函数h(x)在(0，＋∞)上递增， ∴h(x)>h(0)＝0，即 ex－12x2－x－1>0 恒成立， 故当x∈(0，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减.
A.x＝2 是 f(x)的极小值点 B.函数 y＝f(x)－x 有且只有 1 个零点 C.对任意两个正实数 x1，x2，且 x2＞x1，若 f(x1)＝f(x2)，则 x1＋x2＞4 D.存在正实数 k，使得 f(x)＞kx 恒成立 解析 对于函数 f(x)＝2x＋ln x，其定义域为(0，＋∞)，由于 f′(x)＝－x22＋x1， 令 f′(x)＝0 可得 x＝2，当 0＜x＜2 时，f′(x)＜0，当 x＞2 时，f′(x)＞0， 可知 x＝2 是 f(x)的极小值点，选项 A 正确；
在区间(1，e]上，g′(x)>0，函数g(x)为增函数.
由题意知g(x)min＝g(1)＝1－a＋3≥0，得a≤4， 所以实数a的取值范围是(－∞，4].
索引
人教版高中数学课件 第三册：不等式恒成立问题
例1.若不等式x 2 2 xy a ( x y )对一切 正数x, y恒成立, 则正数a的最小值为( A. 1 B.2 C. 2 1 2
B
).
D. 2 2 1
练习求使 x .
y a x y ( x 0, y 0)
恒成立的a的最小值
2
例2.设f ( x) lg
1 2 4 a
x x
(其中a R),
3 如果当x (,1]时, f ( x)恒有意义, 求a的 取值范围.
a
3 4
练习.设 f ( x) lg 1 2 3 ( n 1) n a
x x x x
, 其中
n a是实数, n是任意给定的自然数且n 2, 如果 f ( x)当x ( ,1]时恒有意义, 求a的取值范围.
2
取值范围是 _______________ .
1 7 x 1 3
2 2 换个角度看问题,换个方面去解释,换个方向去 思考.
1.利用一次函数的单调性
设一次函数f(x)=ax+b (a≠0),当a > 0时f(x)在R上是 增函数;当a < 0时f(x)在R上是减函数.所以关于不等 式恒成立问题,若能将不等式化为关于主元(或参数) 的一次函数,则可用一次函数的单调性求解.
x 1 x
) ( x 0).
2 1
(1)求f ( x)的反函数f
( x);
(2)若x 2时, 不等式 ( x 1) f
1
1
( x) a (a
1 x 1 ( x 1);
x )恒成立,
求实数a的取值范围.
(1) f ( x)
(2) 1 a
不等式“恒成立”问题的解法
不等式“恒成立”问题的解法
解决不等式“恒成立”的问题需要采用不等式的性质和规则进行推导和证明。
首先，可以使用分析法来解决不等式“恒成立”的问题。
分析法要求对不等式进行分析和推导，找出其中的规律和特点，从而得出结论。
其次，可以运用数学归纳法来解决不等式“恒成立”的问题。
数学归纳法是通过给出一些特例，然后从其中推导出结论的方法。
另外，可以使用反证法来证明不等式“恒成立”。
反证法是指假设不等式不成立，然后通过推导出矛盾的结论，证明假设的不等式是错误的，从而得出不等式“恒成立”的结论。
最后，可以使用代数法来解决不等式“恒成立”的问题。
代数法是通过对不等式进行变形，转化为“等式”的形式来解决问题。
例如，可以将一个不等式两边分别加上或减去相同的数，或者将不等式两边同时乘以或除以一个正数，从而得出不等式“恒成立”的结论。
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a=b=0 或 a<0 _C_<_0________Δ_=_b__2-_4_a_c_<__0_。
3
2.分离系数法： 把所给不等式中的参数a分离出来放在不等式一
边，其余项放在另一边构成函数f(x),利用 ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_ａ__≥_[f_(_x_)]_m_a_x ___; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_ａ__≤__[f_(_x)_]_m_in__
恒成立，则实数x的取值范围是：（-∞—，——-1—）—∪—（——3，——+∞）
7
例取2值、范①围若不是等—式—x—2—<—lo—g—ax—对. x（1016,12,1）恒成立，则实数a的
②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k
的取值范围是 —————————— . y
①解：设
令
y x
t
（t
>
0） ,
则
a
≥
1 2t 1 t2
（t > 0） 恒成立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
1
m (m21)2
m2
4m 2m
5
(m
4 m5 )
2
4 2 52
5 1 2
(当且仅当m=
5 时等号成立)
∴ a ≥ [f (x)] max=
5 1 2
即a
≥
5 1 2
11
小结： 4、 使用分离参数法，将问题转化为ａ≥f(x)
1时取等号
b
)
又
bx
-
1 x
在(0,1]上递增
∴ ( bx- 1x)max=b-1 (x=1时取得 )
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为:
b-1≤a≤2 b
b-1≤a≤2 b
14
(2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立
3 2
适合条件的m的范围是:
（-11，23 ）
5
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ； （2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解: (2) 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m [-2,2]）
的思想，去解不等式的方法。
4
二、典型例题：
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 . 解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；
小结:
3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数
图象的关系再处理。 练习2、
若 x ≤ kx-1 对x ∈ [1,+ ) 恒成立，则实数k的取值范
围是：__[_2_，__+_∞__）____。
10
例立解3，:、分则若离实不参数数等a得的式:取x a+值2≥范xx围yx是≤2a—(x—y+x—yy—5)2对—1—一,—切1——1正。2数xyxxy、y恒恒成成立
y1= x2
(x (0,
1 ))
2
y2= logax
在同一坐标系下作它们
的图象如右图:
由图易得:
1 16
≤a
＜1
y=x2 1 4
0
x
1 2
1 y=log 1x
16
8
例2、①若不等式x2
值范围是 ——1—16—,1 .
<logax对x （0,12 ）恒成立，则实数a的取
②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k的
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 ，解得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为：(1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+ 3 >0
解得: 综上可知:
1<m<
(
bx-
1 x
)max
≤a
≤(bx+
1 x
)min
此时
( bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得)
而
bx
+
1 x
在(0,1]上递减
故
(
bx+
1 x
)min =b+1
(x=1时取得)
……（*）
故 （*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1
取值范围是 —(—-2——2—,2——2—)— .
②解：原不等式可化为：x2+2>kx
设 y1= x2+2 (x[-3,3])
y2= kx
y y=x2+2
11
y=2 2 x
y=kx
在同一坐标系下作它们的图 象如右图:
由图易得: -2 2 <k<2 2
2
-３ - 2 0 2 ３
x
y= - 2 2 x 9
g(-2)=3x2-3x+3>0 则 g(m)>0恒成立
g(2)=-x2+x+3>0
x R
即
1 13 2
<
x
<1
13 2
∴
x
（
1
13 2
，1
13 2
）
6
小结： 1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问
题，分类讨论。
练习1:
对于一切 |p| ≤2，p∈R，不等式x2+px+1>2x+p
1
一、方法引入：
１.数形结合法 : (1）若f(x)=ax+b,x ∈[α,β]，则：
f(x)>0恒成立
f()>0 f()>0
f(x)0
y
α
o
βx
2
（2）ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 __C_>_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<_0_。
（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求 函数最值的方法，使 问题获解。
注意：ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：ａ__≥_[f_(_x_)]_m_a_x ____; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_ａ__≤__[f_(x_)_] _m_in___。
12
例４、已知a>0，函数f (x)=ax-bx2， （1）当b>1，证明对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件是:
b-1≤a≤2 b ；
（2）当0<b≤1时,讨论:对任意的x ∈[0,1]，|f(x)|≤1充要条件。
13
解:(1) b>1时,对x ∈(0,1],|f(x)|≤1
-1≤ax-bx2≤1
bx2-1≤ ax ≤1+bx2
bx
-
1 x
≤a
≤
1 x
+bx
∵ x ∈(0,1]， b>1
∴
bx+
1 x
≥
2
b (x=