概周期函数的定义及其性质文献综述

毕业论文文献综述

数学与应用数学

概周期函数的定义及其性质

一、前言部分

函数在日常生活中扮演越来越重要的角色,而概周期函数正成为函数的一个重要组成部分. 概周期函数是在20世纪20年代由丹麦著名数学家H.Bohr首先提出的,它为了解决周期函数对加法运算不封闭而创造的一类新函数.在二、三十年代有了进一步发展，包括概周期函数的调和分析理论以及1933年由S.Bochner所建立的Bannch空间向量值概周期函数的理论.往后的发展更密切的联系着常微分方程、稳定性理论和动力系统，其应用范围不仅限于常微分方程和古典动力系统，也涉及泛函数微分方程、Banach空间微分方程以及一类广泛的偏微分方程.

经过几代数学家的努力,概周期函数理论有了巨大的发展,但是还有许多有待解决的问题. 首先,抽象空间中的概周期函数理论已经被广泛研究,伪概周期函数作为概周期函数的一种推广,在微分方程理论中有重要的应用,但是距离空间中的伪概周期函数理论尚未建立.随着科学技术的发展，学者们首次在距离空间中定义了向量值伪概周期函数,考察了该函数的性质,给出了距离空间中的函数是伪概周期函数的充要条件,即唯一分解定理:距离空间中的伪概周期函数和概周期函数之间的距离是一个唯一的遍历扰动. 其次,求微分方程的概周期函数型解和概周期微分方程的求解在数学理论方面也有了很大的进步,在常微分,偏微分方程及抽象微分方程,光滑动力系统都有应用.学者们研究了非线性抛物方程有界解的存在唯一问题.主要通过先验证非齐次Cauchy问题有界解是存在唯一的,并得出解的表达式,应用这个表达式及压缩映像不动点定理证明非线性Cauchy问题的有界解是存在的,并给出了解存在的条件. 最后,学者们也看到了Fréchet空间中的渐近概周期函数和算子半群的性质,并将得到的结果应用到抽象Cauchy问题中,得出Fréchet空间中抽象Cauchy问题的渐近概周期解是存在且唯一的.

而本文介绍的概周期函数又称殆周期函数,周期函数的一种推广,具有某种近似周期性的有界连续函数.概周期函数是在研究周期函数某种性质的基础上进一步提出来的.三角多项式以及三角多项式序列的极限都是周期函数.而三角和序列的极限却未必是周期函数.但这类极限函数的特征可以用某种近似周期性来刻画.关于概周期函数,我们可以从两个不同

角度去看待：一方面,概周期函数是一类具有独特结构性质的连续函数,是周期函的推广；另一方面,概周期函数可以看成是一致收敛的三角多项式序列的限.从而,概周期函数理论的建立,为我们开辟了一个道路,使我们能够究一类更广泛的三角级数,甚至指数级数.即使在现实生活中,概周期函数也是比周期函数更容易见到的一类函例如,天体力学,机械振动,生态学系统,经济领域以及工程技术中出振荡现象的许许多多的实际问题往往都可以转化为求解常微分方程、泛函分方程、差分方程以及偏微分方程等数学模型的周期解,其中有些问题诸如天体运转,生态环境,以及市场供需规律等）考查概周期解比考查周解更具有现实意义.

此外通过查找资料，发现近年来，国内外各个大学和科学研究所的学者专家都取得了喜人的成果，对生产生活和科学技术的发展起到了间接的推动作用，因此，对概周期函数的研究意义重大.本综述报告的主要任务是结合数学分析的相关书籍和文献的学习，总结许多学者对概周期函数的各个研究成果．我们希望通过总结已有文献来深刻概理解周期函数的定义，进而从不同的角度，不同的思维来深入探讨概周期函数的定义及其性质．

二、主题部分

近些年来,国内外许多学者对有关周期函数,概周期函数方面的问题很感兴趣,并发表了大量的研究成果.例如文献[]1作者所发表的《Almost Periodic Function 》. 现将要引用的文献以及文献的重要研究结果概括如下：

文献[]2展示泛函分析中的重要概念以及定理，其中Hahn-Banach 定理是泛函分析中一个十分重要的基本定理.它的重要性不仅表现在其对Banach 空间理论体系所起的作用上，而且还表现解决许多具体的分析问题之中.然而Hahn-Banach 定理的这些巧妙的应用，不是我们能一目了然的.事实上，往往需要把原始分析问题的陈述转成几何形式.本书中的泛函分析的几个基本定理可以应用到常、偏微分方程理论、实函数论、函数逼近论、数值分析、数学规划理论、变分不等方程等好几个数学分支中.对概周期函数的研究有一定的理论帮助.

文献[]35-讲述了一些关于周期函数与概周期函数最基本的定义以及一些简单的性质,从多方面理解概周期函数,周期函数,同时也利用周期函数与概周期函数的定义,把周期函数的周期集与概周期函数的概周期集进行了比较,另外也对周期函数与概周期函数的性质进行了比较,并得出一些重要结论.文章也概括了概周期函数在纯量积、有限和、乘积运算下是封闭的.因此，概周期函数的集合是上的代数.而且它关于实数的格运算和一致极限下也是封闭的.期刊中也明确表示随着现代科学技术的不断发展,对于函数的概周期性质的研究已经在实际

应用中越来越显示出它的意义.特别是在动力系统的研究中占有非常重要的位置的地位.现将主要结果概括如下:

定义1 设()f x 是在实轴上定义的连续的实(或复)函数.如果对于任给的0ε>,存在实数()0l ε>,使得在任意长度为()l ε的区间里至少存在一个数τ满足:

()(),.f x f x x τε+-<-∞<<+∞

则称()f x 是概周期函数.

定理 1 任何概周期函数都是有界的,且一致连续.

定理 2 若()f x 为概周期函数, a 为实数,则()()()(),,,f x a f ax af x f x +也都是概周期函数.

定理3 若()(),f x g x 为概周期函数,则()()()(),f x g x f x g x ±也为概周期函数;又()inf 0g x m =>,则()()/f x g x 也为概周期函数集.

文献[]68-清晰的解释了关于概周期函数的微分方程的一些定义,定理,以及概周期函数基本的定义和性质，还有它们的证明.其中更重要的是概周期函数的一般理论,现概括如下:

定义 2 设 ()()

,,n f t x C R D E ∈⨯，如果对任给0ε>和D 中任一紧集S ，存在数(),l l S ε=，使得R 上长为l 的任意区间内总有τ使

()(),,,f t x f t x τε+-<

对一切(),t x R S ∈⨯成立，则称(),f t x 对x D ∈关于t 是一致概周期的，即(),f t x 是t 的概周期函数，对x D ∈是一致的.

定义 3 设()()

,n t C R E ϕ+∈如果有定义在R 上的概周期函数()p t 和定义在R +上的连续函数()q t ,()lim 0t q t →+∞=,在R +上有分解式 ()()(),t p t q t ϕ=+

则称()t ϕ是R +上渐近概周期函数.

文献[]910-主要给出了一些概周期数列几个等价的新定义,运用数学分析的方法,对其等价性进行了详细证明,使概周期理论得到进一步发展,由于该等价定义使得概周期函数理论