线面垂直课件优质课
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线面垂直的性质(优质课件)
证明： 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴a∥b .
否定结论b’
a b
α
正确推理
o
导出矛盾
肯定结论
© 2006 NENU 济南九中高三数学备课组
三、理论迁移
例 1: 如图，已知 l , CA 于点A，CB 于点B， a , a AB, 求证： a // l .
安化一中 蒋凯彬
一、知识回顾 如果一条直线和一个平面的任意一 条直线都垂直,则称这条直线和这个平面 互相垂直. l
1. 直线和平面垂直的定义如何？
性质 :若 l , b 则l b.
α
b
A
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 图形表示 符号表示 m ,n a mnO a m a m , a n O n
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②把“直线”改为“平面”
a ∥b
变式探究
√
b
l
a
α
无忧PPT整理发布
性质定理： a ⊥α , b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b
a ∥b
变式探究
√
②把“直线”改为“平面”
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2.逆向探究：
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , a ⊥ b
√
α
b ∥α
×α
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性质定理： a ⊥α , b ⊥α
否定结论b’
a b
α
正确推理
o
导出矛盾
肯定结论
© 2006 NENU 济南九中高三数学备课组
三、理论迁移
例 1: 如图，已知 l , CA 于点A，CB 于点B， a , a AB, 求证： a // l .
安化一中 蒋凯彬
一、知识回顾 如果一条直线和一个平面的任意一 条直线都垂直,则称这条直线和这个平面 互相垂直. l
1. 直线和平面垂直的定义如何？
性质 :若 l , b 则l b.
α
b
A
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 图形表示 符号表示 m ,n a mnO a m a m , a n O n
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b ②把“直线”改为“平面”
a ∥b
变式探究
√
b
l
a
α
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性质定理： a ⊥α , b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α , b ∥α a⊥ b
a ∥b
变式探究
√
②把“直线”改为“平面”
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2.逆向探究：
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , a ⊥ b
√
α
b ∥α
×α
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性质定理： a ⊥α , b ⊥α
高中数学立体几何之线线垂直、线面垂直、面面垂直(公开课)(共16张PPT)
∵ OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,∴ OM=
2 ∴ 由余弦定理可得：cos∠OEM= 4
1 AC=1， 2
【例2】四面体ABCD中,点O,E分别是BD,BC的中
A
点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2 .
(3)求点E到平面ACD的距离.
（3）设点E到平面ACD的距离为h.∵ VE-ACD=VA-CDE
D1
A1
1 1
B1
C1
D
2
C
E B
A
例题讲解
实战演练
作业布置
【例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,
点E是AB的中点. (1)求三棱锥D1-DCE的体积. 1 解：V= 3 · h·S△ECD
D1
A1
1
B1 D
2
C1
1 1 = 3· D1D · 2 S△ECD
∴ AE⊥A1D,
又∵ AD1∩AE=A,
D1 A1 D A
B1
C1
∴ A1D⊥平面AD1E,
D1E⊂平面AD1E,
C
E
B
∴ D1E⊥A1D.
例题讲解
实战演练
作业布置
【例2】如图,四面体ABCD中,点O,E分别
是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,
AB=AD= 2 (1)求证:AO⊥平面BCD. (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. (3)求点E到平面ACD的距离.
A M O
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. 解： (2)取AC的中点M，连接OM，ME，OE，
∵点O，E分别是BD，BC的中点
∴ OE
D E
中小学优质课件线面垂直课件.ppt
AP AD，M , N分别是AB, PC的中点。
P
1）求证MN 平面PCD
2）当AB变化时，求异面直线
A
PC与AD所成角的范围
M
B
N
D
C
例题5，在斜边为AB的直角三角形ABC中，过A作PA ⊥ 平面ABC, AE ⊥PC于E,AF ⊥PB于F.
1) 求证：PB⊥平面AEF
P
2）若AP=AB=2,用角BPC的正切值表示
使G1G2G3三点重合于点G。 求证：SG ⊥平面EFG来自SG3G
F
S
F
G1 E
G2
E
例2: 有一根旗杆AB高8 m，它的顶端A 挂 有一条长10 m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面 上的(和旗 杆脚不在同一条直线上)C、D。如果这两点都和旗 杆脚B 的距离是6 m，那么旗杆就 和地面垂直，为 什么？ A
F
三角形AEF的面积，并求面积的最大值
E
A
B
C
例题6，已知l1、l2是异面直线，A, B l1, A1, B1 l2
AA1
l2，BB1
l2。当l1，l2所成角为 (0
),
2
且AB a时，求A1B1的长。
例题3，我国北方冬季种植蔬菜要在暖室里种植，如右图 所示，某蔬菜专业户要借助自家围墙修建一暖室，暖室由 两墙面、地面和塑料薄膜四个面围成。已知两墙面的长度 分别为a米和b米，高为c米。
问：1）修建暖室需要多少塑料薄膜？ 2）暖室最高点固定，在地面面积 不变得情况下，如何设计，塑料薄 膜用的最少？
例题4，如图，ABCD是矩形，PA 面ABCD
练习，1）过一点和已知平面垂直的直线有
条
过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．
P
1）求证MN 平面PCD
2）当AB变化时，求异面直线
A
PC与AD所成角的范围
M
B
N
D
C
例题5，在斜边为AB的直角三角形ABC中，过A作PA ⊥ 平面ABC, AE ⊥PC于E,AF ⊥PB于F.
1) 求证：PB⊥平面AEF
P
2）若AP=AB=2,用角BPC的正切值表示
使G1G2G3三点重合于点G。 求证：SG ⊥平面EFG来自SG3G
F
S
F
G1 E
G2
E
例2: 有一根旗杆AB高8 m，它的顶端A 挂 有一条长10 m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面 上的(和旗 杆脚不在同一条直线上)C、D。如果这两点都和旗 杆脚B 的距离是6 m，那么旗杆就 和地面垂直，为 什么？ A
F
三角形AEF的面积，并求面积的最大值
E
A
B
C
例题6，已知l1、l2是异面直线，A, B l1, A1, B1 l2
AA1
l2，BB1
l2。当l1，l2所成角为 (0
),
2
且AB a时，求A1B1的长。
例题3，我国北方冬季种植蔬菜要在暖室里种植，如右图 所示，某蔬菜专业户要借助自家围墙修建一暖室，暖室由 两墙面、地面和塑料薄膜四个面围成。已知两墙面的长度 分别为a米和b米，高为c米。
问：1）修建暖室需要多少塑料薄膜？ 2）暖室最高点固定，在地面面积 不变得情况下，如何设计，塑料薄 膜用的最少？
例题4，如图，ABCD是矩形，PA 面ABCD
练习，1）过一点和已知平面垂直的直线有
条
过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．
直线与平面垂直的判定公开课优质课课件
直线与平面垂直的定义
判定
性质
转化
线线垂直
线面垂直
用定义判定线面垂直，方便吗？
？ 转化
无限验证
ห้องสมุดไป่ตู้
有限验证
文字语言
判定 定理
作用
图形语言
符号语言
定义：
转化
线线垂直
线面垂直
定理：
任意一条 线线垂直
转化
线面垂直
两条相交
基底
例1
求证：如果两条平行线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于这个平面.
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
作业
1.课本67页第1题. 2.查阅资料，了解欧几里得与《几何原本》.
谢谢大家！
2.3.1 直线与平面垂直的判定
人 教 必A 修版 2
18世纪法国数学家克莱罗在《几何基础》 中给出线面垂直的直观解释： “一条直线不向平面上的任何一面倾斜”
“平面化”、“降维”
若一条直线垂直于平面上与该直线相交 的所有直线，则该直线与平面垂直. （任意一条）
——欧几里得《几何原本》
定义 记法 图示 作用
线面垂直判定课件
B1
C1
M
A
B
C •线面垂直判定
例 6 如图，已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB1⊥BC1， 求证：AB1⊥A1C．
A
C
B
A1
C1
B1
•线面垂直判定
定义：如果一条直线 a 与一个平面 α 内的任意一条直线 都垂直，我们就说直线 a 与平面 α 互相垂直，记 作 a⊥α． 直线 a 叫做平面 α 的垂线；平面 α 叫做直线 a 的垂面；垂线和平面的交点叫做垂足．
•线面垂直判定
例3.（如图）在正方体AC1中， 求证：(1)AC⊥平面D1DB
(2)D1B⊥平面ACB1 D1
A1 D
A
•线面垂直判定
C1 B1
C B
练习1.在ABCD—A1B1C1D1中， 求证：（1）AC1⊥BD （2）AC1⊥平面BC1D
C1 D1
B1 A1
C
B
D
A
•线面垂直判定
2. 已知E、F分别是正方形ABCD边
3、证明线面垂直
(1)由线面垂直得到线线垂直；
(2)由线线垂直得到线面垂直；
•线面垂直判定
体现了转化的思想
例1 已知P是△ABC所在平面外的一点， PA、PB、PC两两互相垂直，
１、 H是△ABC的垂心， 求证：(1)PA⊥BC； (2)PH⊥面ABC
２、ＰＨ⊥面ＡＢＣ。
P
求证：Ｈ是△ABC的垂心。
S
A
D
C
B
•线面垂直判定
三. 练习:
1. 如图，若 C ,P D ,P A ,
A为垂足，A⊥CD于O ，则________,理由______
P
D
线面垂直的判定定理(公开课)课件
习题
01
02
03
04
B. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的两条相交直
线都垂直，则线面垂直。
C. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的无数条直线
都垂直，则线面垂直。
D. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的两条平行直
线都垂直，则线面垂直。
填空题：若直线a与平面β内 的两条直线分别平行和垂直，
情况二
如果一条直线与平面内的 两条平行直线都垂直，那 么这条直线与这个平面垂 直。
情况三
如果一条直线与平面内的 无数条直线都垂直，那么 这条直线与这个平面垂直 。
线面垂直在几何问题中的应用
应用一
在几何问题中，线面垂直可以用来证明某些几何图形的性质，例如三角形的高线、矩形的对角线等。
应用二
线面垂直可以用来解决一些几何问题，例如求点到平面的距离、求两平面之间的夹角等。
本节课的难点解析
如何理解线面垂直的概念及其几何意 义
运用判定定理解决复杂问题的策略和 方法
判定定理证明中的逻辑推理和数学表 达
下节课预告
线面平行的判定定理及其应用 平行线的性质和判定方法总结
几何问题中线面平行与垂直的综合应用
THANK YOU
判定定理的证明实例
实例一
假设有一个正方体，我们知道它的一个顶点A所在的直线a与顶点B、C所在的平 面β都垂直，那么我们可以应用线面垂直的判定定理证明直线a与平面β垂直。
实例二
假设有一个长方体，我们知道它的一个顶点A所在的直线a与顶点B、C、D所在的 平面β都垂直，那么我们同样可以应用线面垂直的判定定理证明直线a与平面β垂 直。
线面垂直的判定定理(公开课)课件
线面垂直课件优质课ppt课件
8
；.
9
实例研探,定义新知
探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线 的关系又怎样呢?
生活中线面垂直的实例:
A
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影 子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动， 但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直 （如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任 意一条不过点B的直线也是垂直的。
二、学习重点、难点： 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
；.
5
观察实例,发现新知
旗杆与地面的关系，给人以直线与 平面垂直的形象。
；.
6
观察实例,发现新知
房屋的屋柱与地面的关系，给人以直线 与平面垂直的形象。
；.
7
观察实例,发现新知
大桥的桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平 面垂直的形象。
；.
l
，
l
l
；.
24
练习3:已知 一点，求证：
C
AB O PA 平面
ABC ， 是⊙ 的直径， 是⊙ 上的任
O
PCBC
；.
25
7.在空间四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD,则对角线AC与BD所成 的角为______.
A
B
；.
D
C
26
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
所以 b.
；.
22
线面垂直的判定定理
线线垂直
线面垂直的定义
关键：线不在多 相交则行
；.
线面垂直 23
练习
a,b//, a与b 1．
则 的位置关系是_____.
那么在平面 内（ ）
优质课比赛一等奖课件 线面垂直、面面垂直的性质定理PPT共29页
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科Байду номын сангаас布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
优质课比赛一等奖课件 线面 垂直、面面垂直的性质定理
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
15、机会是不守纪律的。——雨果
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科Байду номын сангаас布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
优质课比赛一等奖课件 线面 垂直、面面垂直的性质定理
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
《线面垂直的判断》课件
学习目标
掌握定义
学生应能准确理解线面垂直的定 义。
理解判定定理
学生应能掌握并运用线面垂直的判 定定理。
应用能力
通过实例分析，培养学生运用线面 垂直知识解决实际问题的能力。
02
线面垂直的定义
线面垂直的概念
线面垂直是指一条直线与一个 平面垂直，即这条直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
在几何学中，线面垂直是描述 直线与平面之间关系的一种重 要概念。
判定定理
如果一条直线与平面内两条相交直线 都垂直，那么这条直线与这个平面垂 直。
符号表示
若直线m与平面α内的两条相交直线l 和n都垂直，则m⊥α。
判定定理的证明
• 证明过程：假设直线m与平面α内的两条相交直线l和n都垂直，那么m与l的夹角为0°，m与n的夹角也为0°。由于l和n相交 ，所以它们的夹角为180°，因此直线m与平面α的夹角为90°，即m⊥α。
判定方法三：利用其他性质
总结词：间接证明
详细描述：除了直接验证和利用判定定理外，还可以通过其他性质来证明线面垂直关系。例如，如果一条直线与平面内的两 条平行直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。此外，还可以利用平面的性质和直线的性质来证明线面垂直关系。
05
练习与巩固
基础练习题
判断题
如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线与该平面垂直。
《线面垂直的判断 》ppt课件
contents
目录
• 引言 • 线面垂直的定义 • 线面垂直的判定定理 • 线面垂直的判定方法 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
课程背景
知识关联
理解线面垂直的判断是空间几何 的重要概念，是解决实际问题的 基础。
直线与平面垂直的判定公开课ppt课件
证明两平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
证明点到平面的距离
利用直线与平面垂直的性质，可以方便地求解点到平面的距离。
在空间几何中的应用
三维坐标系中的垂直关系
在空间直角坐标系中，直线与坐标平面垂直时，其方向向量与平 面法向量平行。
空间图形的垂直关系
在空间几何中，可以利用直线与平面垂直的性质来描述和证明空间 图形之间的垂直关系。
空间向量的垂直关系
当两个空间向量的点积为零时，这两个向量垂直。利用这一性质， 可以判断直线与平面是否垂直。
在实际问题中的应用
建筑设计中的垂直关系
在建筑设计中，需要保证建筑物的某些部分与地面或其他部分保持垂直，这时可以利用直线 与平面垂直的性质进行计算和设计。
工程测量中的垂直关系
在工程测量中，经常需要测量某一点到某一平面的垂直距离，这时可以利用直线与平面垂直 的性质进行精确的测量。
03
直线与平面垂直的判定定理
Chapter
判定定理一：直线与平面内两条相交直线垂直
在平面内画出两条相交的直线， 再画出一条与这两条直线都垂直 的直线，表示这条直线与平面垂 直。
在几何题目中，经常需要利用这 个定理来证明直线与平面的垂直 关系。
定理内容 图形表示 证明方法 应用举例
如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直 线与这个平面垂直。
可以通过反证法或者利用向量的 性质进行证明。
判定定理二：直线与平面内无数条直线垂直
定理内容
如果一条直线与一个平面内的无 数条直线都垂直，那么这条直线 与这个平面垂直。
注意事项
这个定理中的“无数条”直线必 须是互相平行的，否则定理不成 立。
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
证明点到平面的距离
利用直线与平面垂直的性质，可以方便地求解点到平面的距离。
在空间几何中的应用
三维坐标系中的垂直关系
在空间直角坐标系中，直线与坐标平面垂直时，其方向向量与平 面法向量平行。
空间图形的垂直关系
在空间几何中，可以利用直线与平面垂直的性质来描述和证明空间 图形之间的垂直关系。
空间向量的垂直关系
当两个空间向量的点积为零时，这两个向量垂直。利用这一性质， 可以判断直线与平面是否垂直。
在实际问题中的应用
建筑设计中的垂直关系
在建筑设计中，需要保证建筑物的某些部分与地面或其他部分保持垂直，这时可以利用直线 与平面垂直的性质进行计算和设计。
工程测量中的垂直关系
在工程测量中，经常需要测量某一点到某一平面的垂直距离，这时可以利用直线与平面垂直 的性质进行精确的测量。
03
直线与平面垂直的判定定理
Chapter
判定定理一：直线与平面内两条相交直线垂直
在平面内画出两条相交的直线， 再画出一条与这两条直线都垂直 的直线，表示这条直线与平面垂 直。
在几何题目中，经常需要利用这 个定理来证明直线与平面的垂直 关系。
定理内容 图形表示 证明方法 应用举例
如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直 线与这个平面垂直。
可以通过反证法或者利用向量的 性质进行证明。
判定定理二：直线与平面内无数条直线垂直
定理内容
如果一条直线与一个平面内的无 数条直线都垂直，那么这条直线 与这个平面垂直。
注意事项
这个定理中的“无数条”直线必 须是互相平行的，否则定理不成 立。
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我们要学习作者善于观察的精神，还 要学习他的不畏艰苦，积极保卫边疆的爱国
主义精神。
练习4
如图：在三棱锥V-ABC中，VA=VC， AB=BC
求证： VB ⊥ AC
V
C D
A B
巩固提高 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC， AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.
P
D
C
A
B
内（ ）
l l A．不存在与 垂直的直线 B．只存在一条与
垂直的直线
l C．存在无数条直线与 垂直 D．以上都不对
练习3:已知 PA 平面 ABC，AB 是⊙O 的直径，C是⊙ O上的任一点，求证：PC BC
7.在空间四边形ABCD中，若AB=AD， BC=CD,则对角线AC与BD所成的角为 ______.
平面的垂线
直线的垂面
垂足
探究2：
如果直线 l与平面内的一条直线垂直， 则直线 l 和平面 互相垂直?
a
b
α
探究3：
如果直线 l与平面内的两条直线垂直，
则直线 l 和平面 互相垂直?
如果两条直线平行
如果两条直线相交
a
b
α
探究
提出问题：有没有比较方便可行的方法来判断直 线和平面垂直呢？
师生活动：请同学们准备一
因为 a ，根据直线与平
面垂直的定义知
n
m
am．
又因为 b // a， 所以 b m．
因为 m为 内的任一直线 ，
所以 b ．
例2. 如图，已知 a // b, a ， 求证b .
证法2：在平面
因为直线
内作 两条相交直线m，n．
， a
a
b
根据直线与平面垂直的定义知
a m,a n.
线不在多 相交则行 线线垂直 线面垂直
直线与平面垂直的判定定理：
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，则这条直线垂直于这个平面.
m
n
mn P
l
l
m
α
l n 线线垂直
l
m
n
P
线面垂直
例题1，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
D1 A1
D A
C1 (1)请列举与平面ABCD垂直
块三角形的纸片，我们一起
来做如图所示的试验：过
△ABC的顶点A翻折纸片，
得到折痕AD，将翻折后的
A
A
纸片竖起放置在桌面上
（BD、DC与桌面接触），
问:折痕AD与桌面垂直吗？
B
D
如何翻折才能保证折痕AD
B
D
C
C
与桌面所在平面垂直？
l
m
O
α
n
直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直．
又因为
b // a
所以 b m,b n.
m n
又 m , n , m, n 是两条相交直线，
所以 b .
线面垂直的判定定理
线线垂直
线面垂直
线面垂直的定义
关键：线不在多 相交则行
练习
l 1．a ,b //, 则 a与b 的位置关系是_____.
2．若直线 不垂直于平面 ，那么在平面
二、学习重点、难点： 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
观察实例,发现新知
旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。
观察实例,发现新知
房屋的屋柱与地面的 关系，给人以直线与 平面垂直的形象。
观察实例,发现新知
大桥的桥柱与水面的位置关 系，给人以直线与平面垂直 的形象。
实例研探,定义新知 探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面 垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎 样呢? 生活中线面垂直的实例: A
练习题
5.已知 : = CD, EA , EB .
求证 : CD AB.
E A
D
B
C
作业
P67 练习：第1题 P74习题2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3B组：第2题
6.P是三角形ABC平面外一点，
PA PB, PB PC, PC PA, H是三角形ABC垂心，求证：PH 平面ABC
P
B
A
H
C
7.在空间四边形ABCD中，若AB=AD， BC=CD,则对角线AC与BD所成的角为 ______.
A
B
D
C
练习
l 1．a ,b //, 则 a与b 的位置关系是_____.
2．若直线 不垂直于平面 ，那么在平面
内（ ）
l l A．不存在与 垂直的直线 B．只存在一条与
垂直的直线
l C．存在无数条直线与 垂直 D．以上都不对
思考
A
m
C D
Bm EF
H G
⑴书脊所在直线和各页面与桌面 的交线的位置关系?
垂直
⑵书脊所在直线与桌面中任意一
条直线的位置关系?
垂直
直线与平面垂直的定义 任意 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面α互相垂直，
记作：a⊥α.直线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面．直线与平面垂直 时，它们惟一的公共点P 叫做垂足.
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面
的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置
在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所
在的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所
在直线与地面内任意一条不过点B的直线也
是垂直的。
C
C1
B
α
B1
提出问题:
假设书有无数页,竖 立在桌面上,书脊所 在直线与桌面给人 以垂直的印象.
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
大漠孤烟直，长河落日圆。
颈联：笔力苍劲，意境雄浑，视野开阔，描绘出奇 特壮美的塞外风光。 一个“直”字突出了它的劲拔、坚毅之美。一个“长” 字写出了诗人对横贯沙漠的黄河的真实感觉。长河落 日本来很平常，这里用一个“圆”字，突出了在大漠 中观落日的特殊感受，给人以亲切温暧又微带苍茫的 感觉。这两句形象地状写了大沙漠中孤烟垂直，落日 浑圆的奇异壮观的景象，并寓悲凉之情于壮美景色之 中，从侧面烘托了守边将土凄凉艰苦的生活环境，借 以反映了他们不畏艰苦，积极保卫边疆的爱国主义精 神。这一联是千古名句，为后人所激赏。
B1
的直线 ；
(2)请列举与直线A1A垂直的 平面 ；
C
B (3)你还能找出一条与平面 D1DBB1垂直的直线吗?
例2 已知：正方体中，AC是面对角线，BD'是 与AC 异面的体对角线.
求证：AC⊥BD'
D′
C′
A′
B′
D A
C B
证明：连接BD
因为正方体ABCD-A'B'C'D'
所以DD‘⊥平面ABCD
引入新课
在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很 特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点 来探究这种形式的相交
一、学习目标 1、知识与技能 （1）掌握直线和平面垂直的定义及判定定 理； （2）掌握判定直线和平面垂直的方法； （3）培养的几何直观能力，直观感知，在 操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 2、过程与方法 （1）通过学习活动，了解，感受直线和平 面垂直的定义的形成过程； （2）探究判定直线与平面垂直的方法。
又因为 AC 平面ABCD 所以AC DD'
因为AC、BD 为对角线 所以AC⊥BD 因为DD'∩BD=D 所以AC⊥平面D'DB 所以AC⊥BD'
D′
A′
D A
C′ B′
C B
直线与平面垂直的性质
例2. 如图，已知 a // b, a ，求证：b ．
证法1：设 m 为 内的任一
b
a
直线 ．
复习 直线和平面的位置关系
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
使
至
都 萧长 大 护 关河 漠 在 逢落 孤 燕 候日 烟 然 骑圆 直 。 ，。 ，
归 雁 入 胡 天 。
征 蓬 出 汉 塞 ，
属 国 过 居 延 。
单 车 欲 问 边 ，
—
塞 上
王 维
大漠孤烟直，长河落日圆。
颈联：笔力苍劲，意境雄浑，视野开阔，描绘出奇 特壮美的塞外风光。 一个“直”字突出了它的劲拔、坚毅之美。一个“长” 字写出了诗人对横贯沙漠的黄河的真实感觉。长河落 日本来很平常，这里用一个“圆”字，突出了在大漠 中观落日的特殊感受，给人以亲切温暧又微带苍茫的 感觉。
A
B
D
C
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
大漠孤烟直，长河落日圆。
这两句形象地状写了大沙漠中孤烟垂直， 落日浑圆的奇异壮观的景象，并寓悲凉之 情于壮美景色之中，从侧面烘托了守边将 土凄凉艰苦的生活环境，借以反映了他们 不畏艰苦，积极保卫边疆的爱国主义精神。 这一联是千古名句，为后人所激赏。
主义精神。
练习4
如图：在三棱锥V-ABC中，VA=VC， AB=BC
求证： VB ⊥ AC
V
C D
A B
巩固提高 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC， AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.
P
D
C
A
B
内（ ）
l l A．不存在与 垂直的直线 B．只存在一条与
垂直的直线
l C．存在无数条直线与 垂直 D．以上都不对
练习3:已知 PA 平面 ABC，AB 是⊙O 的直径，C是⊙ O上的任一点，求证：PC BC
7.在空间四边形ABCD中，若AB=AD， BC=CD,则对角线AC与BD所成的角为 ______.
平面的垂线
直线的垂面
垂足
探究2：
如果直线 l与平面内的一条直线垂直， 则直线 l 和平面 互相垂直?
a
b
α
探究3：
如果直线 l与平面内的两条直线垂直，
则直线 l 和平面 互相垂直?
如果两条直线平行
如果两条直线相交
a
b
α
探究
提出问题：有没有比较方便可行的方法来判断直 线和平面垂直呢？
师生活动：请同学们准备一
因为 a ，根据直线与平
面垂直的定义知
n
m
am．
又因为 b // a， 所以 b m．
因为 m为 内的任一直线 ，
所以 b ．
例2. 如图，已知 a // b, a ， 求证b .
证法2：在平面
因为直线
内作 两条相交直线m，n．
， a
a
b
根据直线与平面垂直的定义知
a m,a n.
线不在多 相交则行 线线垂直 线面垂直
直线与平面垂直的判定定理：
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，则这条直线垂直于这个平面.
m
n
mn P
l
l
m
α
l n 线线垂直
l
m
n
P
线面垂直
例题1，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
D1 A1
D A
C1 (1)请列举与平面ABCD垂直
块三角形的纸片，我们一起
来做如图所示的试验：过
△ABC的顶点A翻折纸片，
得到折痕AD，将翻折后的
A
A
纸片竖起放置在桌面上
（BD、DC与桌面接触），
问:折痕AD与桌面垂直吗？
B
D
如何翻折才能保证折痕AD
B
D
C
C
与桌面所在平面垂直？
l
m
O
α
n
直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直．
又因为
b // a
所以 b m,b n.
m n
又 m , n , m, n 是两条相交直线，
所以 b .
线面垂直的判定定理
线线垂直
线面垂直
线面垂直的定义
关键：线不在多 相交则行
练习
l 1．a ,b //, 则 a与b 的位置关系是_____.
2．若直线 不垂直于平面 ，那么在平面
二、学习重点、难点： 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
观察实例,发现新知
旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面 垂直的形象。
观察实例,发现新知
房屋的屋柱与地面的 关系，给人以直线与 平面垂直的形象。
观察实例,发现新知
大桥的桥柱与水面的位置关 系，给人以直线与平面垂直 的形象。
实例研探,定义新知 探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面 垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎 样呢? 生活中线面垂直的实例: A
练习题
5.已知 : = CD, EA , EB .
求证 : CD AB.
E A
D
B
C
作业
P67 练习：第1题 P74习题2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3B组：第2题
6.P是三角形ABC平面外一点，
PA PB, PB PC, PC PA, H是三角形ABC垂心，求证：PH 平面ABC
P
B
A
H
C
7.在空间四边形ABCD中，若AB=AD， BC=CD,则对角线AC与BD所成的角为 ______.
A
B
D
C
练习
l 1．a ,b //, 则 a与b 的位置关系是_____.
2．若直线 不垂直于平面 ，那么在平面
内（ ）
l l A．不存在与 垂直的直线 B．只存在一条与
垂直的直线
l C．存在无数条直线与 垂直 D．以上都不对
思考
A
m
C D
Bm EF
H G
⑴书脊所在直线和各页面与桌面 的交线的位置关系?
垂直
⑵书脊所在直线与桌面中任意一
条直线的位置关系?
垂直
直线与平面垂直的定义 任意 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面α互相垂直，
记作：a⊥α.直线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面．直线与平面垂直 时，它们惟一的公共点P 叫做垂足.
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面
的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置
在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所
在的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所
在直线与地面内任意一条不过点B的直线也
是垂直的。
C
C1
B
α
B1
提出问题:
假设书有无数页,竖 立在桌面上,书脊所 在直线与桌面给人 以垂直的印象.
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
大漠孤烟直，长河落日圆。
颈联：笔力苍劲，意境雄浑，视野开阔，描绘出奇 特壮美的塞外风光。 一个“直”字突出了它的劲拔、坚毅之美。一个“长” 字写出了诗人对横贯沙漠的黄河的真实感觉。长河落 日本来很平常，这里用一个“圆”字，突出了在大漠 中观落日的特殊感受，给人以亲切温暧又微带苍茫的 感觉。这两句形象地状写了大沙漠中孤烟垂直，落日 浑圆的奇异壮观的景象，并寓悲凉之情于壮美景色之 中，从侧面烘托了守边将土凄凉艰苦的生活环境，借 以反映了他们不畏艰苦，积极保卫边疆的爱国主义精 神。这一联是千古名句，为后人所激赏。
B1
的直线 ；
(2)请列举与直线A1A垂直的 平面 ；
C
B (3)你还能找出一条与平面 D1DBB1垂直的直线吗?
例2 已知：正方体中，AC是面对角线，BD'是 与AC 异面的体对角线.
求证：AC⊥BD'
D′
C′
A′
B′
D A
C B
证明：连接BD
因为正方体ABCD-A'B'C'D'
所以DD‘⊥平面ABCD
引入新课
在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很 特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点 来探究这种形式的相交
一、学习目标 1、知识与技能 （1）掌握直线和平面垂直的定义及判定定 理； （2）掌握判定直线和平面垂直的方法； （3）培养的几何直观能力，直观感知，在 操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 2、过程与方法 （1）通过学习活动，了解，感受直线和平 面垂直的定义的形成过程； （2）探究判定直线与平面垂直的方法。
又因为 AC 平面ABCD 所以AC DD'
因为AC、BD 为对角线 所以AC⊥BD 因为DD'∩BD=D 所以AC⊥平面D'DB 所以AC⊥BD'
D′
A′
D A
C′ B′
C B
直线与平面垂直的性质
例2. 如图，已知 a // b, a ，求证：b ．
证法1：设 m 为 内的任一
b
a
直线 ．
复习 直线和平面的位置关系
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
使
至
都 萧长 大 护 关河 漠 在 逢落 孤 燕 候日 烟 然 骑圆 直 。 ，。 ，
归 雁 入 胡 天 。
征 蓬 出 汉 塞 ，
属 国 过 居 延 。
单 车 欲 问 边 ，
—
塞 上
王 维
大漠孤烟直，长河落日圆。
颈联：笔力苍劲，意境雄浑，视野开阔，描绘出奇 特壮美的塞外风光。 一个“直”字突出了它的劲拔、坚毅之美。一个“长” 字写出了诗人对横贯沙漠的黄河的真实感觉。长河落 日本来很平常，这里用一个“圆”字，突出了在大漠 中观落日的特殊感受，给人以亲切温暧又微带苍茫的 感觉。
A
B
D
C
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
大漠孤烟直，长河落日圆。
这两句形象地状写了大沙漠中孤烟垂直， 落日浑圆的奇异壮观的景象，并寓悲凉之 情于壮美景色之中，从侧面烘托了守边将 土凄凉艰苦的生活环境，借以反映了他们 不畏艰苦，积极保卫边疆的爱国主义精神。 这一联是千古名句，为后人所激赏。