动态几何中的定值问题

动态几何中的定值问题

动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查同学们的综

合分析和解决问题的能力。这类问题中就有一类是定值问题，下面通过例题来探究这类问题

的解答方法。

【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角 边AB=AC=1，P 是斜边BC 上的一动点，过

P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则 PE+PF= 。

方法1：特殊值法：把P 点放在特殊的B 点或C 点或BC 中

点。此种方法只适合小题。 方法2：等量转化法：这是绝大部分同学能够想到的方法，

PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE 。

方法3：等面积法：连接AP ，ABC ABP APC S S S AB AC AB PE AC PF ∆∆∆=+⇒⋅=⋅+⋅

AB PE PF ⇒=+

总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗？不难，在解决过程中（方法2抓住了边长AB

的不变性和PE,PF 与BE,AE 的不变关系；方法3抓住了面积的不变性），使得问题迎刃而解。

设计：大部分学生都能想到方法2，若其他两种方法学生没有想到，也不要深究，更不要自

己讲掉。此题可叫差生或中等偏下的学生回答。

（设计意图：由简到难，让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。）

过渡：这道题太简单了，因为等腰直角三角形太特殊了，我若把等腰直角三角形换成一般的

等腰三角形，问题有没有变化，又该如何解决？请看：

【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为

等腰三角形，且两腰AB=AC=5，底边BC=6， 过P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则 PE+PF 还是定值吗？若是，是多少？

若不是，为什么? 方法1：三角形相似进行量的转化

ABM PBE PCF ∆∆∆ ,AM PE PF AM PB AM PC PE PF AB PB PC AB AB

⋅⋅⇒

==⇒== ()462455AM PB PC AM BC PE PF AB AB +⋅⋅⇒+==== （板书） （M 为BC 中点）（解题要点：等腰三角形中，底边上的中线是常作的辅助线，抓住这条线

的长度是不变量这个特点，建立PE,PF 与AM 之间的联系，化动为静）

方法2：等面积法：

ABC ABP APC S S S BC AM AB PE AC PF ∆∆∆=+⇒⋅=⋅+⋅

642455

BC AM PE PF AB ⋅⋅⇒+===（M 为BC 中点） （板书） （解题要点：抓住三角形面积是个不变量，用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂线段

有关的量的常用方法。）

(若学生想不到，可提示：在此题中，不变的东西是什么？不变的这个量和变量PE,PF 之间

有什么联系，能不能用一个等式来表示？

学生会三角形的边长，角度，周长，面积等都是不变量。

（设计意图：由特殊到一般，引出求垂线段长度的常用方法：等面积法）

（教师行为：出示题之后，让学生做，教师下去看。叫用方法1的同学先站起来回答，然后

再叫用方法2的同学。以达到过渡到下一题的目的。）

问：我把题中的5改为a ，6改为b ，PE+PF 还是定值吗？你能求出这个定值吗？

答：是定值，求解方法不变。

问：由这题，你能得出等腰三角形的一个一般性结论吗？

结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值PE+PF=b h a

⋅(a 为腰长,b 为底边长,h 为的边上的高)（等面积法可以求解，注意当顶角为钝角的情况）

（设计意图：培养学生探究的精神，养成勤总结的习惯）

问题：通过前面几题，你能说说在解答动态几何问题时解题的关键是什么？应该注意什么问

题？

答：不要被"动"、"变"迷惑，通过观察，分析，动中窥静，变化之中求不变，从而明确图形

之间的内在联系，找到不变量或不变关系，找到解题的途径。在解题过程中要注意点或线在

运动的过程中，是否需要讨论。

过渡：上面两题中的动点都是在一定线段或直线上运动，有些同学可能还是觉得不够刺激，

下面再来一道刺激一点的，让点在一个区域内运动，请看：

【变式2】已知P 为边长为a 的等边三角形ABC 内任意一动点， P 到三边的距离分别为

h 1,h 2,h 3,则P 到三边的距离之和是否为定值？为什么？ （由上题的启示，学生可能很容易想到等面积法）

ABC ABP ACP BCP S S S S BC AM AB PE AC PF BC

∆∆∆∆=++⇒⋅=⋅+⋅+⋅PE PF PD AM ⇒++= 为定值 （M 为BC 中点）

（板书） 可以用几何画板度量长度，进行演示

（设计意图：使学生更深一步理解等面积法的应用）

过渡：研究完了P 在三角形内部运动的情况，我们不防降低对P 点的约束，让这个好动的点P 动到三角形外部去，情况又会有何变化？ 【变式3】已知P 为边长为a 的等边三角形ABC 外任意一点，P 到三边的距离分别为h 1,h 2,h 3,

则

P 到三边的距离之间有何关系？为什么？

图1 图2

图3 在几何画板中操作，发现当点P 移出三角形时，h 1＋h 2＋h 3发生改变，那么h 1,h 2,h 3有没有

什么一定的关系呢？

等面积法还可以用吗？△PAB ，△PBC ，△PAC 的面积有何关系？这三个三角形的面积和不

变的三角形ABC 的面积有何关系？

C

C

C

（只需讲解一种情况，其它让学生自己去补充）

图1：ABC ABP ACP BCP S S S S BC AM AB PE AC PF BC PD ∆∆∆∆=+-⇒⋅=⋅+⋅-⋅

PE PF PD AM ⇒+-=为定值 （板书）

图2：ABC ACP BCP ABP S S S S BC AM AC PF BC PD AB PE ∆∆∆∆=+-⇒⋅=⋅+⋅-⋅

PF PD PE AM ⇒+-=为定值 （只把结论板书）

图3：ABC ABP BCP ACP S S S S BC AM AB PE BC PD AC PF ∆∆∆∆=+-⇒⋅=⋅+⋅-⋅

PE PD PF AM ⇒+-=为定值 （只把结论板书）

图1 图2 图3

图1：ABC ACP ABP BCP S S S S BC AM AC PE AB PF BC PD ∆∆∆∆=--⇒⋅=⋅-⋅-⋅

PF PE PD AM ⇒--=为定值 （板书）

图2：ABC ABP BCP ACP S S S S BC AM AB PE BC PD AC PF ∆∆∆∆=--⇒⋅=⋅-⋅-⋅

PE PD PF AM ⇒--=为定值 （只把结论板书）

图3：ABC BCP ABP ACP S S S S BC AM BC PD AB PE AC PF ∆∆∆∆=--⇒⋅=⋅-⋅-⋅

PD PE PF AM ⇒--=为定值 （只把结论板书）

（设计意图：渗透分类讨论思想在平面几何中的应用。）

（教师行为：在几何画板中作出个三角形，填充内部，让学生直观地发现几个三角形之间的面积关系。）

过渡：前面我们研究的都是以三角形为背景的动态几何定值问题，下面再看一道以圆为背景的定值问题。

【问题2】 已知：已知弧AB 为120度，在以AB 为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A 、B 两点)，以M 为圆心作圆M 和AB 相切，分别过A ，B 作⊙M 的切线，两条切线相交于点C.

求证：∠ACB 有定值，并求出这个定值.

分析：

问：这个图形中不变的是什么？不变的角是那一个？ 答： 此题中的不变量是弧AB ，因此∠AMB 也是不变量；

不变关系是相切。 问：已知直线和圆已经相切，我们会想到什么？

C