函数极限的定义证明
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习题1-3
1. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3
=-→x x ;
(2)12)25(lim 2
=+→x x ;
(3)42
4
lim 22-=+--→x x x ;
(4)21
241lim
3
2
1=+--→x x x . 证明 (1)分析 |(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε3
1
|3|<-x .
证明 因为∀ε >0, ∃εδ31
=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .
(2)分析 |(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε5
1
|2|<-x .
证明 因为∀ε >0, ∃εδ5
1
=, 当0<|x -2|<δ时, 有|(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .
(3)分析 |)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 要使ε<--+-)4(2
4
2x x , 只须ε<--|)2(|x .
证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有
ε<--+-)4(2
42x x , 所以424
lim 22-=+--→x x x . (4)分析 |)21
(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 要使
ε<-+-212413x x , 只须ε2
1|)21(|<--x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21
(|0x 时, 有
ε<-+-212413x x , 所以21241lim 32
1=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2
121lim
3
3=+∞
→x x x ; (2)0sin lim
=+∞
→x
x
x .
证明 (1)分析
3
3
333
3||21212121x x x x x x =-+=-+, 要使
ε<-
+21213
3x x , 只须ε<3|
|21
x , 即3
21
||ε
>
x .
证明 因为∀ε >0, ∃3
21
ε
=
X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2
121lim 33=+∞→x x x .
(2)分析 x
x
x x
x 1|sin |0sin ≤=
-, 要使
ε<-0sin x x
, 只须
ε 1, 即2 1 ε > x . 证明 因为∀ε>0, ∃2 1 ε= X , 当x >X 时, 有 ε<-0sin x x , 所以0sin lim =+∞→x x x . 3. 当x →2时, y =x 2→ 4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0. 001？ 解 由于x →2, |x -2|→0, 不妨设|x -2|<1, 即1 0002.05 001 .0|2|=< -x , 取δ=0. 0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001. 4. 当x →∞时, 13 12 2→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01? 解 要使 01.03 413 1222<+= -+-x x x , 只397301 .04 ||=-> x , 397=X . 5. 证明函数f (x )=|x | 当x →0时极限为零. 6. 求,)(x x x f = x x x | |)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在. 证明 因为 11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f , )(lim )(lim 0 x f x f x x +→→=-, 所以极限)(lim 0 x f x →存在. 因为 1lim ||lim )(lim 00 -=-==-- -→→→x x x x x x x x ϕ, 1lim ||lim )(lim 00 ===++ +→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0 x x x x ϕϕ+→→≠-, 所以极限)(lim 0 x x ϕ→不存在. 7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞ →)(lim .